Уравнения с параметрами.

Уравнения с параметрами.
Иногда уравнений , кроме букв , обозначающих неизвестные, содержат
другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а
с бесконечным множеством уравнений . При этом бывает, что при одних
значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только
один корень, при третьих- два корня. При решении таких уравнений надо
сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем
разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается
одной и той же функцией через параметры.
Пример 1. Решим уравнение: 𝒂𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎
В данное уравнение входит лишь один параметр (а). Если а = 0, получаем
3
линейное уравнение, имеющее лишь один корень , 𝑥 = .
4
Если 𝑎 ≠ 0 ,то уравнение является квадратным и его корни выражаются
через параметр (а) формулами :
Если 𝑎 <
4
3
𝑥=
2+√4−3𝑎
𝑎
𝑥=
2−√4−3𝑎
,то имеем два действительных корня при 𝑎 =
4
𝑎
4
3
,эти корни
совпадают , при 𝑎 >
подкоренное выражение отрицательно и
3
действительных корней нет.
Ответ записываем так: при 𝑎 = 0 𝑥 =
4
3
4
3
4
,при 𝑎 <
3
4
𝑥1,2 =
2±√4−3𝑎
𝑎
,
при 𝑎 =
𝑥 = , при 𝑎 > , действительных корней нет.
3
2
3
Вообще решить уравнение с параметрами (а) или ( b) – это значит
установить соответствие , с помощью которого для каждого значения
параметра (а) или (b) указывается множество корней соответствующего
уравнения . заметим, что если уравнение содержит параметр (а) , то
допустимыми значениями параметра (а) считаются все те значения (а),при
которых выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Например,
допустимыми значениями параметр (а) в уравнении 5𝑎𝑥 + 9 = 2𝑎 Являются
8
15
любые действительные числа , а в уравнении
+
= 7 - все
𝑎−2
𝑥−1
действительные числа, отличные от 2.
Приме 2. Решим относительно Х уравнение:
𝒙 ∙ (𝒂𝟐 − 𝟏) = (𝒂 + 𝟏) ∙ (𝟏 − 𝒙)
Раскроем скобки и перенесем слагаемые, содержащие неизвестные , в одну
часть уравнения ,а слагаемые, содержащие известные, в другую часть
уравнения. Получим уравнение, линейное относительно Х:
𝑎 ∙ (𝑎2 + 1) ∙ 𝑥 = 𝑎 + 1
1
Если 𝑎 ≠ 0 и 𝑎 ≠ −1 ,то 𝑥 = . Если 𝑎 = 0 то уравнение примет вид
𝑎
0 ∙ 𝑥 = 1 . Это уравнение не имеет корней.
Если 𝑎 = −1 то имеем уравнение 0 ∙ 𝑥 = 0 корнем которого может
служить любое число.
Ответ: при 𝑎 ≠ 0 и 𝑎 ≠ −1 уравнение имеет единственный корень 𝑥 =
1
; при 𝑎 = 0 корней нет; при 𝑎 = −1 уравнение имеет бесконечное
𝑎
множество корней, его корнем является любое число.
𝒙
𝒎
Пример 3. Решим относительно Х уравнение:
=𝟏+
𝒙−𝟐
𝒙
Умножив обе части уравнения на выражение 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) – общий
знаменатель дробей , получим целое уравнение (𝑚 − 2) ∙ 𝑥 = 2𝑚 ,которое
при условии 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ≠ 0 ,будет равносильно данному уравнению.
(𝑚 − 2) ∙ 𝑥 = 2𝑚
Это можно записать так: {
Решим уравнение (𝑚 − 2) ∙
𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ≠ 0
𝑥 = 2𝑚 Получим : при 𝑚 ≠ 2 уравнение имеет единственный корень
2𝑚
𝑥=
при 𝑚 = 2 уравнение корней не имеет.
𝑚−2
2𝑚
Дробь
при 𝑚 ≠ 2 может принимать различные значения. Нам надо
𝑚−2
исключить те значения m , при которых 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) обращается в нуль.
2𝑚
Выясним , при каких значениях m корень
равен 0 или равен 2.
𝑚−2
2𝑚
2𝑚
Равенство
= 0 имеет место при 𝑚 = 0 ;
= 2 не выполняется
𝑚−2
𝑚−2
ни при каком 𝑚 = (2𝑚 ≠ 2𝑚 − 4) .
2𝑚
Значит корень уравнения
= 0 при 𝑚 = 0, т. е. 𝑥 = 0 является
𝑚−2
посторонним корнем для исходного уравнения. Ответ: При 𝑚 ≠ 0 и 𝑚 ≠ 2
2𝑚
уравнение имеет единственный корень 𝑥 =
; при 𝑚 = 0 или 𝑚 = 2
𝑚−2
уравнение корней не имеет.
Пример 4. Решим относительно Х уравнение:
𝒙
𝒙+𝒂
−
𝒂−𝟐
𝒙−𝒂
=
𝟒𝒂−𝟐𝒂𝟐
𝒙𝟐 −𝒂𝟐
Приведем уравнение к целому виду, умножив обе его части на 𝑥 2 − 𝑎2 и
введем ограничение, что 𝑥 2 − 𝑎2≠0 .
𝑥 2 − 2(𝑎 − 1) ∙ 𝑥 + 𝑎2 − 2𝑎 = 0
Получим систему:{
𝑥 2 − 𝑎2 ≠ 0
Решив квадратное уравнение , найдем , что 𝑥1 = 𝑎 , 𝑥2 = 𝑎 − 2 .Корень
𝑥1 = 𝑎 является для данного уравнения посторонним. Выясним, какие
значения 𝑎 могут быть пригодны для второго корня 𝑥 2 = 𝑎 − 2 . Для этого,
подставим в равенство 𝑥 2 − 𝑎2 = 0 вместо 𝑥 выражение 𝑎 − 2 решим
полученное относительно 𝑎 уравнение.
(𝑎 − 2)2 − 𝑎2 = 0 , 𝑎2 − 4𝑎 + 4 − 𝑎2 = 0 , 4𝑎 = 4 , 𝑎 = 1 . Это значение 𝑎
надо исключить, т.к. при 𝑎 = 1 число 𝑥2 = −1 не является корнем
данного уравнения. Ответ: при 𝑎 ≠ 0 уравнение имеет единственный
корень 𝑥 = 𝑎 − 2 , при 𝑎 = 1 уравнение корней не имеет.
Линейные и квадратные уравнения с параметром следует изучать в конце
курса, когда пройдем весь материал по учебнику «Алгебра,8». С понятием
параметра ( без употребления этого термина) учащиеся в сущности уже
встречались: в курсе «Алгебры7» класса, когда изучались линейные
уравнения 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 с одной и 2-мя переменными, при
изучении линейной функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 в курсе 8 класса при изучении
квадратных уравнений 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Мне кажется, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше
внимания. Они представляют чисто математический интерес, способствуют
интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для
обработки навыков. В чем же основная методическая особенность уравнений
с параметрами? В самом начале знакомства с параметром у учеников
возникает некий психологический барьер, который обусловлен
противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр
в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – конкретное
значение параметра не известно. С одной стороны, параметр является
величиной постоянной, а с другой – он поможет перенимать различные
значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестное известное,
переменная постоянная величина, этот «каламбур» очень точно отражает
существо тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.
В некоторых случаях уравнения с параметрами могут облегчить работу и
учителя. Например, решив уравнение с параметром 𝑥 ∙ |𝑥 − 4| + 𝑎 = 0
получим: при 𝑎 < −4
𝑥 = 2 + √4 − 𝑎 ;
При −4 ≤ 𝑎 < 0 , 𝑥 = 2 ± √4 + 𝑎 , 𝑎 = 2 + √4 − 𝑎.
При 𝑎 = 0,
𝑥 = 0; 4;
При 𝑎 > 0,
𝑥 = 2 − √4 + 𝑎 .
Предавая параметру 𝑎 различные числовые значения, можно написать
сколько угодно много уравнений, корни которых легко найти по указанным
выше формулам. Пять таких уравнений приведены в таблице. Иногда
различным значениям параметра соответствуют уравнения различной
сложности, этим обстоятельством можно воспользоваться для
дифференцированного подхода к учащимся.
Многие задачи на решение уравнений с параметрами связаны с
определением расположения корней квадратного трехчлена
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 на действительной оси. При решении этих задач следует
учитывать, что если квадратный трехчлен 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 имеет два
действительных корня 𝑥1 , 𝑥2 (𝑥1 < 𝑥2 ), то при 𝑎 > 0 𝑦(𝑥) принимает
отрицательные значения на промежутке [𝑥1 , 𝑥2 ] и положительные значения
вне промежутка [𝑥, 𝑥2 ] ; при 𝑎 < 0 - положительные значения в
промежутке (𝑥1 , 𝑥2 ) и отрицательные значения вне промежутка [𝑥1 ,
𝑥2 ].Поэтому, чтобы выяснить ( не находя корней уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
0 ) принадлежит ли произвольное число ℒ промежутку (𝑥1 ; 𝑥2 )
достаточно знать знак выражения 𝑎ℒ 2 + 𝑏ℒ + 𝑐 и знак коэффициента ℒ .
Так например, если 𝑎 > 0 и 𝑎ℒ 2 + 𝑏ℒ + 𝑐 > 0 , то ℒ находится в
промежутках (𝑥1 ; 𝑥2 ). Если известно, что 𝑥1 ; 𝑥2 , не находится между
корнями 𝑥1 ; 𝑥2 , то для того, чтобы выяснить , по какую сторону от
промежутка ( справа или слева) лежит число ℒ , достаточно сравнить его с
некоторым числом , заведомо принадлежащим промежутку (𝑥1 ; 𝑥2 ).
Пример 6. При каких значениях параметра 𝑎 оба корня уравнения 𝑥 2 +
𝑎𝑥 − 1 = 0 меньше чем 3? ( не проводя вычислений корней уравнения).
Рассмотрим функцию 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 − 1 т.к. коэффициент при 𝑥 2 равен 1
,то ветви параболы направлены вверх. Для того, чтобы корни
𝑥1 и 𝑥2 (𝑥1 ≤ 𝑥2 ) были меньше чем 3 , необходимо и достаточно , чтобы
число 3 лежало правее (𝑥1 ; 𝑥2 )
𝑎2 + 4 ≥ 0
выполняется при всех 𝑎 , существуют действительные
{9 + 3𝑎 − 1 > 0
𝑎
− <3
2
корни. Второе и третье неравенства обеспечивают расположение точки 𝑥 =
3 вне промежутка (𝑥1 ; 𝑥2 ) справа от него.
8
8
Решая эту систему ,получаем 𝑎 ∈ (− : ∞). Ответ: 𝑎 ∈ (− : ∞).
3
3
Значение параметра
Уравнение
Ответ
𝑎=0
𝑥 ∙ |𝑥 − 4| = 0
𝑥 =0; 4.
𝑎=1
𝑥 ∙ |𝑥 − 4| + 1 = 0
𝑥 = 2 − √5
𝑎 = 2.25
𝑥 ∙ |𝑥 − 4| + 2.25 = 0
𝑥 = −0.5
𝑎 = −3
𝑥 ∙ |𝑥 − 4| − 3 = 0
𝑥 = 1; 3 ; 2 + √7
𝑎 = −5
𝑥 ∙ |𝑥 − 5| − 5 = 0
𝑥=5
Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений с параметрами.
Пример 5. Для каждого значения, 𝑎 решить уравнение. 𝟐|𝒙| + |𝒂| = 𝒙 + 𝟏.
(1). Отложим на оси абсцисс значения 𝑥 , а на оси ординат – значения 𝑎 .
Тогда в координатной плоскости (𝑥 ; 𝑎 ) геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению, образуют фигуру
изображенную на рис.1.
Из рис.1.видно, что при |𝑎| > 1
Уравнение (1) решений не имеет. При |𝑎| < 1 каждому
значению 𝒂 соответствуют два корня уравнения,
а при |𝒂| = 𝟏 один корень 𝒙 = 𝟎 .
При 0 ≤ 𝑥 < 1 корни находятся из следующих
𝟏
уравнений: 𝒙 + 𝒂 = 𝟏 и − 𝟑𝒙 + 𝒂 = 𝟏
−
Они равны 𝑥 = 1 − 𝑎 и 𝑥 =
𝑎−1
3
𝟑
соответственно.
Рис.1
a
1
x
o
1
При −1 < 𝑎 < 0 корни находятся из уравнений 𝑥 − 𝑎 = 1 и − 3 − 𝑎 = 1
они равны
𝑎+1
𝑥 =1+𝑎 𝑥 =−
соответственно.
3
Ответ: |𝑎| > 1 исходное уравнение не имеет решений;
𝑎−1
⌈𝑎⌉ = 1 , 𝑥 = 0 ,
0≤𝑎 <1, 𝑥 =1−𝑎, 𝑥 =
3
𝑎+1
−1 < 𝑎 < 0 , 𝑥 = 1 + 𝑎 , 𝑥 = −
.
3