Особенности решения задачи С2 (нахождение угла между плоскостями).

Особенности решения задачи С2 (нахождение угла между плоскостями).
Большинство учмтелей, работающих в 10-11 классах ведут преподавание геометрии по учебнику:
«Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для
10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]».
В этом учебном пособии нет четкого определения двугранного угла. Вместо этого приводится
способ построения линейного угла двугранного угла.
«Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки
проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется
линейным углом двугранного угла.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.»1
При таком подходе к введению понятия двугранного угла решение задач на нахождение угла
между плоскостями следует решать, придерживаясь следующего алгоритма:
1)построить ребро двугранного угла;
2)выбрать точку на ребре и из этой точки построить перпендикуляры в гранях двугранного
угла;
3) решить получившийся треугольник.
Решение любой задачи по стереометрии занимает довольно много времени, и поэтому
учитель сталкивается с определёнными трудностями в организации урока.
Очень удобно пользоваться методом, при котором стереометрическая задача разбивается на
простейшие планиметрические задачи. Я рекомендую делать чертёж каждой
планиметрической фигуры отдельно. При таком подходе к организации решения, идёт
сопутствующее повторение свойств плоских фигур – квадрата, прямоугольника,
прямоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции.
Ниже приводятся примеры решения задач на нахождение угла между плоскостями.
Задача 1.
В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известны длины рёбер: АВ=12,AD=16, CC1=9.
Найдите угол между плоскостями ВDD1 и AB1D1.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – пар Особенности решения
задачи С2 (нахождение угла между плоскостями).
аллелепипед.
AB = 12, AD = 16, CC1= 9.
Найти: угол между (BDD1) и (AB1D1) - ?
Решение.
1) Строим АЕ перпендикулярно ЕН, строим ЕН перпендикулярно B1D1.
AH перпендикулярен B1D1 по теореме о трёх перпендикулярах.
Следовательно, угол АНЕ – линейный угол двугранного угла между плоскостями (BDD1) и
(AB1D1).
2) ∆ ABD теорема Пифагора:
BD2=AB2+AD2,
BD = √122 + 162 =√144 + 256 = √400 =20.
AE – высота ∆ ABD . Используем метод площадей:
1
1
SABD = 2*AD*AB=2*AE*BD,
AE=
AE=
𝐴𝐷∗𝐴𝐵
,
𝐵𝐷
16∗12 48
= 5.
20
𝐴𝐸
3)∆ AEH: tg(AHE) = 𝐻𝐸 ,
tg(AHE) =
48
48
:9=
5
5
< (AHE) = arctg
Ответ: arctg
1
9
* =
16
15
,
16
.
15
16
.
15
Задача 2.
Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а диагональ боковой
грани равна √5. Найдите угол между плоскостью А1ВС и
плоскостью основания призмы.
Дано:ABCA1B1C1 –правильная призма,
AB = 2, A1В = √5.
Найти: угол между (А1BС) и (ABС) - ?
Решение.
1) ∆ AВС – равнобедренный, АН – медиана, высота.
АН перпендикулярен ВС, А1Н перпендикулярен ВС.
Следовательно, угол АНА1 – линейный угол двугранного угла между плоскостями (А1BС) и
(ABС).
2) ∆ A1АB теорема Пифагора:
А1B2=AB2+АA12,
АA1 = √А1 B 2 − AB 2 ,
АA1 =
2
√(√5) − 22 =√5 − 4 = √1 = 1.
3) ∆ ABН теорема Пифагора:
АВ2=AН2+НВ2,
АН = √АB 2 − НB 2 ,
АН = √22 − 12 =√4 − 1 = √3 .
4) ∆ AHН1: tg(AHА1) =
tg(AHА1) =
1
√3
=
< (AHА1) = arctg
√3
3
𝐴А1
А𝐻
,
,
√3
3
= 300 . Ответ: 300 .
Задача 3.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 4 и высотой 7 на
ребре AA1 взята точка М так, что АМ=2. На ребре BB1 взята точка К так, что B1K=2.Найдите угол
между плоскостью и плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная призма.
AB = 4, AА1 = 7, АМ = 9, В1К = 2.
Найти: угол между (КМD1) и (AВB1) - ?
Решение.
1) Для построения линейного угла между
плоскостями (КМD1) и (AВB1) опустим перпендикуляр из
точки А1 к прямой МК.
2) Рассмотрим ∆ A1НМ и ∆ KNM. В них:
<М – общий,
КМ = А1М = 5,
∆ A1НМ = ∆ KNM по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, HM = NM = 3, HK = 2, А1 H = 4.
3) ∆ KB1D1 теорема Пифагора:
KD12=KB12+B1D12,
2
KD1 = √22 + (4√2) =√4 + 32 = √36 =6.
4) ∆ MA1D1 теорема Пифагора:
MD12=MA12+A1D12,
MD1 = √52 + 42 =√25 + 16 = √41.
5) Предположим, что НD1 перпендикулярен МК.
Проверим справедливость теоремы Пифагора для ∆
D1НK и ∆ D1НM.
D1H = √D1 K 2 − 𝐻𝐾 2 ,
D1H = √62 − 22 =√36 − 4 = √32 = 4√2,
D1H = √D1 M 2 − 𝑀𝐻 2 ,
2
D1H = √(√41) − 32 =√41 − 9 = √32 = 4√2.
Следовательно, наше предположение верно и НD1 перпендикулярен МК.
НА1 перпендикулярен МК. Значит, угол А1НD1 – линейный угол двугранного угла между
плоскостями (KMD1) и (ABB1).
6) ∆ HA1D1 - прямоугольный, равнобедренный. Угол
A1HD1 равен 450 .
Ответ: 450.
Как видно из последнего примера, к построению линейного угла двугранного угла мы
приходим только в конце решения. И если рассматривать решение задачи в целом, то оно
представляется нам довольно сложным. А если рассматривать каждый этап как отдельную
планиметрическую задачу, то такое решение по силам даже среднему ученику.
В конце хочу привести рекомендации по решению задач С2.
1) Требовать от ученика чёткого понимания определения двугранного угла.
2) Чертить по линейке чёрной гелиевой ручкой, соблюдая основные правила
аксонометрических проекций.
3) Разбивать задачу на простейшие планиметрический задачи, для каждого нового
треугольника делать отдельный чертёж.
4) Повторять теорему Пифагора, определение тригонометрических функций, теоремы синусов
и косинусов, свойства равнобедренного треугольника.
Задачи для самостоятельного решения.
1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S – вершина. Точка М –
середина ребра SA, точка К – середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями
ВМК и АВС, если АВ = 4, SC = 6.
2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S – вершина. Точка М –
середина ребра SA, точка К – середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями
ВМК и АВС, если АВ = 6, SC = 8.
3. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 у которого АВ = 6, ВС = 6, СС1.=
4, найдите тангенс угла между плоскостями АСD1 и A1B1C1.
4. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 у которого АВ = 4, ВС = 6, СС1.=
4, найдите тангенс угла между плоскостями СDD1 и BDA1.
5. Основание пирамиды ABCМ – равнобедренный треугольник ABC , в котором АВ =
ВС = 26 , AС = 48. Ребро МB перпендикулярно плоскости основания и равно 40 .
Найдите котангенс двугранного угла при ребре АС.
6. Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 –прямоугольник ABCD ,
в котором АВ = 12 , AD = 31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания
призмы и плоскостью, перпендикулярной прямой BD1 , если расстояние между
прямыми АС и B1D1 равно 5 .
7. В правильной треугольной призмеАВСА1В1С1, все рёбра которой равны 1, найдите угол
между плоскостями АСВ1 и А1С1В.
Литература.
1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия:
Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11].
2. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2011: учебно-методическое пособие/Под редакцией
Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион,2010.-416с.
3. Панфёров В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ –
М.: Интеллект-центр,2010. – 80.с