АННОТИРОВАННЫЙ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ О РЕЗУЛЬТАТАХ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ, ВЫПОЛНЕННЫХ НА ЭТАПЕ

АННОТИРОВАННЫЙ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ
О РЕЗУЛЬТАТАХ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ, ВЫПОЛНЕННЫХ
НА ЭТАПЕ
№1
«Численные эксперименты и формулирование гипотез»
Соглашение № 8206 от 06 августа 2012 г.
Тема: «Фундаментальные проблемы анализа и геометрии»
Исполнитель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт
математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (ИМ
СО РАН)
Ключевые слова: анализ, геометрия, теория орбифолдов, пространства Карно−Каратеодори, пространства Соболева, конформно плоские римановы пространства
1. Цель проекта
1.1. Проект направлен на решение трудных актуальных задач геометрического анализа.
Предполагается
решить ряд ключевых проблем: геометрии пространств Карно – Каратеодори; геометрического анализа на субримановых и сублоренцевых структурах; максимальных поверхностей в сублоренцевой геометрии; Lp-теории горизонтальных
дифференциальных форм на
субримановых многообразиях; теории пространств Соболева и квазиконформного анализа на субримановых многообразиях; теории кратных
стохастических интегралов; теории геометрических структур
на многообразиях и
орбифолдах в топологии малых размерностей; дискретности двупорожденных групп;
теории риччи-плоских, эйнштейновых и конформно плоских римановых пространств и
обобщенных потоков Риччи, а также теории полукубических множеств и полукубических пространств.
1.2. Развитие современных методов математики, получение новых научных результатов мирового уровня, подготовка и закрепление в сфере науки и образования научных и
научно-педагогических кадров, формирование эффективных и жизнеспособных научных
коллективов, создание условий для эффективного воспроизводства научных и научнопедагогических кадров и закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких
технологий, сохранения преемственности поколений в науке и образовании. Основой для
достижения поставленных целей будут являться решения актуальных и трудных теоретических задач, имеющих принципиальное значение для дальнейшего развития ряда направлений современного анализа и геометрии.
2. Основные результаты проекта
2.1. 2.1.1 Локальная геометрия на субримановых многообразиях. 2.1.2 Пространства
Соболева и квазиконформный анализ на субримановых многообразиях. 2.1.3 Геометрическая теория функций на неголономных многообразиях. 2.1.4 Общая теория кратных стохастических интегралов как кратных ортогональных рядов. 2.1.5 Разработка категорных
характеризаций эквивалентностей полукубических множеств и изучение их взаимосвязей.
2.1.6 Строение конформно плоских римановых метрик. 2.1.7 Определение пропорции
длин сторон прямоугольных параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром, доставляющих максимальное и минимальное значения интегралов поперечных мер Минков-
ского. 2.1.8 Теория геометрических структур на многообразиях и орбифолдах в топологии
малых размерностей. 2.1.9 Теория дискретности двупорожденных групп.
Основными характеристиками созданной научной продукции являются: новые модельные примеры пространств типа Карно − Каратеодори с горизонтальным недифференцируемым подрасслоением. Новая метрическая теория весовых пространств Карно –
Каратеодори; новая теория локальной геометрии C2M+1-гладких порождающих пространство векторных полей; новое описание отображений на группах Карно, индуцирующих
ограниченный оператор композиции весовых пространств Соболева. Новый метод исследования аналитических свойств квазиконформных отображений на пространствах Карно –
Каратеодори; новое описание 1-квазиконформных отображений группы поворотовсдвигов; новый способ получения необходимые условия на поверхность-график отображения неголономных структур для того, чтобы она была экстремальной поверхностью;
новый способ определения горизонтальных дифференциальных Lp-форм на группах Карно
и доказательства их основных свойств; новые теоремы о свойствах кратных ортогональных рядов со случайными коэффициентами и о представлении кратных стохастических
интегралов с помощью таких рядов; новые теоретико-категорные характеризации эквивалентностей полукубических множеств, а также их взаимосвязи друг с другом и с (наследуемой) сохраняющей историю эквивалентностью; новый метод доказательства теорем о
строении конформно плоских метрик специального полиэдрального типа, или многогранных конформно плоских римановых метрик, которым отвечают конформные сплайнфункции; новый метод получения эффективных численных алгоритмов представления для
данного класса конформно плоских римановых метрик; новый способ доказательства теорем о монотонности, экстраполяции и интерполяции для конформно плоских римановых
метрик ограниченной кривизны; новый пакет программ для численного расчета соотношений длин сторон прямоугольных параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром, доставляющих максимальное и минимальное значения интегралов поперечных мер
Минковского; новые методы для нахождения объемов многогранников в евклидовом, гиперболическом и сферическом пространствах; новый метод получения замкнутых интегральных выражений для вычисления объемов через длины сторон или двугранные углы;
новый метод компьютерного представления орбит двупорожденных групп изометрий.
2.2. Все полученные результаты в рамках работ этапа проекта являются новыми.
2.3. 2.3.1 Задача о нахождении минимальных условий на векторные поля, при которых выполняются теоремы Рашевского − Чоу и Ball-Box, является трудной актуальной
задачей (A.Montanari, D.Morbidelli, С.К.Водопьянов, М.Б.Карманова). Полученные модельные примеры квазипространств типа Карно − Каратеодори с горизонтальным недифференцируемым подрасслоением, являются новыми, и не имеют аналогов в математической литературе. 2.3.2 Ранее в субримановой геометрии 1-квазиконформные отображения были описаны только на одной серии групп Карно — группах джетов. Разработанные методы исследования квазиконформных отображений пространств Карно−Каратеодори распространяют технику J.Heinonnen и P.Koskela на случай негоризонтальных слоений векторных полей, также усиливают результаты M. Bourdon и H. Pajot
(2003) в задаче о суперпозиции пространств Соболева на группах Карно. 2.3.3 Результаты
по условиям на минимальность поверхностей-графиков на группах Карно обобщают результаты J. H. Cheng, J. F. Hwang, A. Malchiodi, P. Yang, D. Danielli, N. Garofalo, D. M.
Nhieu и S. D. Pauls. 2.3.4 Кратные стохастические интегралы впервые были введены
Н.Винером в конце 1940-х годов. Вплоть до начала 1980-х изучались кратные интегралы,
у которых стохастическая продакт-мера задавалась приращениями гауссовых процессов,
например, винеровских. Принципиальное отличие предложенной в проекте модели от
конструкций предшественников состоит в отказе от гауссовости распределений интегрирующих случайных процессов. 2.3.5 Полученные в проекте теоретико-категорные харак-
теризации эквивалентностей полукубических множеств существенно развивают результаты работ A.Joyal, M.Nielsen, G.Winskel и S. Lasota. 2.3.6 Проблема описания конформно
плоских римановых многообразий посвящены работы многих математиков (Н.Кюйпер,
Д.В.Алексеевский, Б.Н.Кимельфельд, Е.Д.Родионов, В.В.Славский, и др.). 2.3.7 Результаты об экстремальных значениях интеграла средней кривизны на множестве параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром существенно развивают результат о максимуме площади поверхности на том же множестве параллелепипедов, полученном ранее
Ю.Г. Никоноровым и Ю.В. Никоноровой. 2.3.8 Задача об описании многогранников в
пространствах постоянной кривизны восходит к классическим работам Н. Лобачевского,
L. Schlaefli, J. Bolyai. Наибольший интерес представляет вычисление объемов. В евклидовом пространстве для случая тетраэдра она решена в трактате Тартальи, а в случае произвольного многогранника И.Х. Сабитовым (1996). Двумерный аналог теоремы Сабитова
был получен D. P. Robbins (1994), В.В. Варфоломеевым (2003), M. Федорчуком, И. Паком
(2005). Неевклидов аналог указанной теоремы не известен даже для n=4. В проекте восполнен указанный пробел и найдены неевклидовы аналоги формулы Брахмагупты, выражающей площадь вписанного четырехугольника через длины его сторон, а также получить ее дальнейшие обобщения, такие как формула Бретшнайдера для гиперболического и
сферического четырехугольников. 2.3.9 Результаты по дискретности двупорожденных
групп соответствуют мировому уровню и усиливают результаты, полученные ранее F.
Gehring, G. Martin.
3. Назначение и область применения результатов проекта
3.1. Научные результаты проекта имеют теоретическое значение. Они могут применяться как в областях математики, которым посвящен проект (математический анализ,
дифференциальная геометрия, уравнения в частных производных, вариационное исчисление и теория оптимального управления, математическое моделирование), так и в смежных
разделах (комбинаторная геометрия, математическая статистика, теоретическая и статистическая физика, моделирование параллельных процессов).
Полученная научная продукция может быть востребована научными, научноисследовательскими, научно-образовательными, образовательными учреждениями, центрами повышения квалификациями; в частности, полученная научная продукция будет
востребована Институтом математики им. С. Л. Соболева Сибирского Отделения Российской академии наук, Кемеровским государственным университетом, Рубцовским индустриальным институтом, Югорским научно-исследовательским институтом информационных технологий, Алтайской государственной педагогической Академией, Новосибирским государственным университетом. Результаты НИР внедряются в образовательный
процесс: на их основе разрабатываются новые специальные курсы лекций и перерабатываются основные образовательные курсы для студентов, магистрантов и аспирантов математических специальностей. Площадкой внедрения в данном случае служат Новосибирский государственный университет и ряд других университетов Сибири, в которых преподают участники проекта. Такое непосредственное внедрение части результатов НИР в
образовательный процесс ведет к повышению качества образования на указанной площадке внедрения, что выражается в актуализации знаний, получаемых студентами, магистрантами и аспирантами.
Дальнейшее исследования по темам работ проекта будет способствовать возникновению новых взаимосвязей между различными областями математики и теоретической
физики.
Внедрение полученных результатов в учебный процесс, при чтении спецкурсов и
проведении спец. семинаров, приведет к более качественной подготовке выпускников в
классических университетах математическим и физическим специальностям.
Все полученные результаты научной деятельности своевременно представляются в
соответствующей научной документации, а именно: новые статьи в реферируемых научных отечественных и зарубежных изданиях, материалах конференций, стендовых и уст-
ных научных докладах на симпозиумах и конференциях, монографиях, брошюрах, методических пособиях, и др. Данная документация востребована научными, научноисследовательскими, научно-образовательными, образовательными учреждениями, центрами повышения квалификациями.
4. Перспективы развития исследований
1) Информация о том, насколько участие в ФЦП способствовало формированию
новых исследовательских партнерств. Участвует ли научный коллектив в проектах по 7й рамочной Программе Евросоюза (с указанием названия проектов и перечня партнеров
по ним). Участие в ФЦП способствовало формированию партнерства с Институтом экономики и ОПП СО РАН, коллективом НОЦ в области механики при АлтГУ (шифр в ФЦП:
«2010-1.1-112-129» по теме: «Математическое моделирование в механике неоднородных
сред» (шифр заявки «2010-1.1-112-129-003»), Алтайской краевой детской общественной
организацией «Центр дополнительного математического образования».
2) Краткая информация о проектах научного коллектива по аналогичной тематике. Грант Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ на
2012-2013 годы (НШ-921.2012.1), "Геометрический анализ на метрических структурах",
руководители: Решетняк Ю.Г. и Водопьянов С.К.
3) Информация о том, сотрудничество с какими странами и исследовательскими
центрами может способствовать наибольшей отдаче для развития в России технологий
в области исследования, а также для выхода российской продукции на региональные и
глобальные рынки. Courant Institute (New-York, USA), University of Pittsburgh (Pittsburg,
USA), University of Urbana-Champagn (Urbana-Champagn, USA), University of Syracuse (Syracuse, USA), Scuola Normale Superiore (Pisa, Italy), International School for Advanced Studies
(Trieste, Italy), Ecole Polytechnique (Palaiseau Cedex, France), Institute of Mathematics (Warsaw, Poland), Warzaw University (Warsaw, Poland), University of Javaskula (Javaskula, Finland), Институт прикладной математики и механики (Донецк, Украина). Со всеми вышеперечисленными научными центрами у участников проекта существуют долговременные
научные контакты.
5. Опыт закрепления молодых исследователей – участников проекта (этапа проекта) в области науки, образования и высоких технологий
Моховиков А.Ю., 1989 г.р., поступил в аспирантуру ИМ СО РАН, научный руководитель− С.К.Водопьянов.
Медных И.А., 1985 г.р., был принят на работу на должность ассистента кафедры
теории функций НГУ.
Соколова Д.Ю., 1987 г.р., была принята на работу на должность ассистента кафедры теории функций НГУ.
Маслей А.В., 1989 г.р., был принят на работу на должность ассистента кафедры
геометрии и топологии НГУ.
В проекте принимал участие молодой исследователь Медных И.А., 1985 г.р., аспирант. При его непосредственном участии удалось решить классическую проблему де
Франкиса о числе голоморфных отображений одной римановой поверхности на другую
для случая поверхностей рода 2 и 3, соответствующие мировому уровню в области гиперболической геометрии, что позволит использовать полученные результаты теории голоморфных отображений римановых поверхностей более высокого рода. Указанные результаты легли в основу кандидатской диссертации Медных И.А.
В проекте принимали участие два молодых исследователя: Соколова Д.Ю., 1987
г.р., и Байгонакова Г.А., 1986 г.р., аспиранты. При их непосредственном участии удалось получить формулы площади трапеции в сферической и гиперболической геометрии,
соответствующие мировому уровню в области сферической и гиперболической геометрии, что позволит использовать полученные результаты для других неевклидовых многоугольников и продолжить исследования в направлениях сферической и гиперболической
геометрии. Полученные результаты использованы в кандидатской диссертации Байгонаковой Г.А.
В проекте принимал участие молодой исследователь Ошевская Е. С., 1982 г.р., аспирант. При ее непосредственном участии удалось получить следующие результаты: в
контексте полукубических множеств были изучены некоторые виды эквивалентностей и
даны их категорные характеризации в терминах открытых путей, морфизмов путей и когомоморфизмов, соответствующие мировому уровню в области области геометрических
моделей параллелизма, это позволит использовать полученные результаты в анализе параллельных процессов и продолжить исследования в направлении классификации и унификации эквивалентностей полукубических множеств.
В проекте принимал участие молодой исследователь Чебарыков М. С., 1987 г.р.,
ассистент. При его непосредственном участии удалось доказать существование не менее
двух отрицательных собственных значений у оператора Риччи произвольной неунимодулярной вполне разреши-мой метрической алгебры Ли, что соответствует мировому уровню в области дифференциальной геометрии, и что позволит использовать полученные результаты в дальнейших исследованиях по геометрии однородных римановых многообразий.
В проекте принимала участие молодой исследователь Исангулова Д. В., 1979 г.р.,
к.ф.-м.н., с.н.с. При её непосредственном участии удалось получить следующие результаты: описание 1-квазиконформных отображений группы поворотов сдвигов, соответствующие мировому уровню в области квазиконформного анализа, что позволит использовать
полученные результаты в субримановой геометрии и продолжить исследования в направлении метрического функционального анализа.
Руководитель организации-исполнителя:
Директор ИМ СО РАН
С.С.Гончаров
Руководитель Проекта
Советник СО РАН
Ю.Г.Решетняк
___ __________ 20__ г.
М.П.