АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ

АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ
КОРПОРАТИВНЫХ ОБЛИГАЦИЙ
Существующие модели и инструменты оценки облигаций не учитывают риск
неплатежеспособности эмитента облигации и поэтому подходят только для оценки
высококачественных
институциональные
государственных
инвесторы,
облигаций.
такие
как
В
пенсионные
связи
с
фонды,
этим,
крупные
сталкиваются
с
трудностями принятия решения по инвестированию средств вкладчиков и формированию
инвестиционного портфеля.
Предлагаемая модель построения оптимального с точки
зрения риска и доходности портфеля облигаций учитывает составляющую вероятности
дефолта в оценке облигаций. Кроме того, модель предлагает методы модификации
классических инструментов оценки облигаций и портфеля облигаций с учетом
составляющей вероятности дефолта. Модель позволит поднять качество бизнес-решений
пенсионных фондов на более высокий уровень и повысить качество риск менеджмента в
управлении инвестиционным портфелем корпоративных облигаций.
Рассмотрим
корпоративную
облигацию,
обладающую
следующими
характеристиками: P – цена облигации в настоящий момент времени; N – номинальная
стоимость облигации; c – ставка купона по облигации, процент от номинала; T – срок до
погашения облигации; r – доходность к погашению облигации; PD – вероятность дефолта
эмитента облигации; LGD – уровень потерь по облигации в случае дефолта; RR – уровень
возмещения в случае дефолта (RR=1-LGD).
Рассмотрим выплату по облигации, которую инвестор получит в первый купонный
период исходя из двух возможных исходов:
1. Эмитент исполнит свои обязательства с вероятностью (1-PD). В этом случае
сумма, полученная инвестором составит cN.
2. Эмитент не исполнит свои обязательства и допустит дефолт с вероятностью
PD. В этом случае инвестор получит сумму возмещения потерь в случае
дефолта PDcN(1-LGD).
Заметим,
инвестором
что
PD=(1-(1-PD)).
в
Математическое
первый
ожидание
суммы,
полученной
период,
составит:
(1  PD)cN  (1  (1  PD))(1  LGD)cN  (1  PD)cN  (1  LGD)cN  (1  PD)(1  LGD)cN 
 cN (1  PD)(1  (1  LGD))  cN (1  LGD)  cN (1  PD) LGD  cN (1  LGD)  cN ((1  PD) LGD  RR )
Принимая во внимание тот факт, эмитентам присваивается долгосрочный кредитный
рейтинг и соответствующая ему вероятность дефолта также является долгосрочной, в
формуле стоимости облигации используется одна и та же вероятность дефолта PD. Таким
образом, цена облигации с учетом кредитного риска рассчитывается по формуле:
T
P
t 1
cN ((1  PD) t LGD  RR ) N ((1  PD) T LGD  RR )

(1  r ) t
(1  r ) T
Для того, чтобы учесть изменение вероятности дефолта как меру риска облигации,
необходимо найти чувствительность цены облигации к изменениям вероятности дефолта.
Для этого необходимо найти первую производную цены облигации по переменной
вероятность дефолта:
dP
dP  T cN ((1  PD) t LGD  RR ) N ((1  PD) T LGD  RR ) 




dPD dPD  t 1
(1  r ) t
(1  r ) T



LGDcN (1) T ( PD  1) T  (r  1) T  r (r  1) T  (1) T r ( PD  1) T  (1) T rT ( PD  1) T  (1) T PDT ( PD  1) T

(1  r ) T ( PD  r ) 2
LGD(1  PD) T 1 NT
(r  1) T
Выведем формулу чувствительности цены облигации к изменению вероятности дефолта:

dP PD

dPD P
PD  LGDcN (1) T ( PD  1) T  (r  1) T  r (r  1) T  (1) T r ( PD  1) T  (1) T rT ( PD  1) T  (1) T PDT ( PD  1) T

P(1  r ) T ( PD  r ) 2
S 



PD  LGD(1  PD) T 1 NT
P(r  1) T
Величина чувствительности S показывает, насколько процентов изменится цена
облигации при изменении вероятности дефолта на 1 процент. Данный показатель является
линейной мерой чувствительности облигации по вероятности дефолта. В связи с этим, при
больших изменениях вероятности дефолта оценка изменения цены облигации будет менее
точной. Более важной характеристикой является модифицированная чувствительность Sm,
которая
определяется
по
формуле:
Sm 
S
dP

.
PD
dPD  P
Модифицированная
чувствительность позволяет найти связь между дисперсией процентного изменения цены
 dP
облигации и дисперсией изменения вероятности дефолта:  dPD 
позволит
строить
портфели
облигаций
с
минимальной
P
Sm
. Данное наблюдение
чувствительностью
и
максимальной рентабельностью с учетом риска.
Построение оптимизационной задачи
Пусть портфель, состоящий из n корпоративных облигаций обладает следующими
характеристиками: RAROC – рентабельность инвестиций с учетом риска. EADp – общий
объем вложений инвестора в портфель облигаций; PDp – вероятность дефолта портфеля;
LGDp – потери по портфелю в случае дефолта; ELmax – максимальные ожидаемые потери
инвестора; PDmax – максимальная вероятность дефолта портфеля; Θi – доля вложений
инвестора в i-ю облигацию; Pi - цена i-й облигации; NPi – прибыль, полученная от i-й
облигации; NPp – прибыль по портфелю облигаций. Прибыль, полученная от
инвестирования в i-ю облигацию составит:
 i EAD p ci N i
T
Pi
(1  r ) t
NPi  
t 1
 i EAD p ( N i  Pi )
Pi
(1  r ) T

n
; NPp   NPi . Пусть ожидаемое изменение
i 1
вероятности дефолта является 0. Тогда при допущении о нормальности распределения
вероятности дефолта, максимально возможные ожидаемые потери портфеля облигаций с
вероятностью 99% составят: ELmax  ( PD p  3 dPD ) LGD  EAD p . Таким образом, RAROC
портфеля составит: RAROC 
NPp  ELmax
EAD p
. Задача оптимизации портфеля облигаций
сводится к поиску таких долей вложений в облигации Θi, при которых имеет решение
данная система:
RAROC 
n
NPp  ELmax
EAD p
 max
n
2
 dPD
   i  j corrij dPD  dPD
i
i 1 j 1
j
n
PD p   PDi  i
i 1
n
S p   Si i  s
i 1
n

i 1
i
1
 i EAD p ci N i
T
NPi  
t 1
Pi
(1  r ) t
 i EAD p ( N i  Pi )

Pi
(1  r ) T
n
NPp   NPi
i 1
Решение данной оптимизационной задачи относительно Θi дает портфель облигаций с
максимальной доходностью, скорректированной на риск. Кроме этого, портфель
учитывает корреляцию между изменениями вероятностей дефолта эмитентов, что делает
итоговую оценку более точной. Возможны и другие модификации приведенной
оптимизационной задачи.