Прикладная теория колебаний

Аннотация
Рабочая программа по дисциплине “Прикладная теория колебаний”
разработана для студентов, обучающихся по направлению 010400, специальности
“Прикладная математика и информатика” очной формы обучения.
В программу по данной дисциплине включены следующие разделы теории
колебаний: свободные колебания системы с одной степенью свободы; уравнения
Лагранжа второго рода; кинетическая энергия системы; функция рассеяния;
вынужденные колебания системы с одной степенью свободы; свободные колебания
системы с двумя степенями свободы; влияние сил сопротивления,
пропорциональных скорости, на свободные колебания системы с двумя степенями
свободы; критерий Гурвица; вынужденные колебания системы с двумя степенями
свободы; метод фазовой плоскости; области притягивания в нелинейных системах;
классификация особых точек фазовой плоскости; релаксационные автоколебания;
синхронизация автоколебаний.
Задача изучения - дать практические навыки описания и исследования
динамических систем, имеющих колебательный характер и широко используемых в
расчётах машин, строительных конструкций, а также в расчётах электрических
цепей.
1.Цели освоения дисциплины.
В курсе рассматриваются вопросы построения дифференциальных уравнений,
описывающих непрерывные колебательные процессы и методы их решения, в том
числе и с использованием математических пакетов. Цели изучения данной
дисциплины следующие:
1. Проектная и производственно-технологическая деятельность.
Разработка математических моделей динамики систем различной природы и
методов их исследования.
2. Научная и научно-исследовательская деятельность.
Чтение научной литературы и изучение новых научных результатов. Применение
математических пакетов и прикладных программ для решения задач в различных
областях (физики, биологии, экономики). Подготовка научных публикаций, участие
в семинарах и конференциях.
3. Организационно- производственная деятельность.
Планирование научно-производственной деятельности и ресурсов для её
реализации.
4. Педагогическая деятельность.
Владение методикой преподавания данной дисциплины и владение методами
электронного обучения.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Прикладная теория колебаний включена в раздел обще-профессиональных
дисциплин. Знание теории и методов исследования математических моделей
колебательных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями,
позволит более полно и глубоко изучить естественнонаучные дисциплины (физика,
экология и другие); обще профессиональные (уравнения мат. физики, методы
оптимизации, численные методы); УИРС. Перед изучением методов теории
колебаний необходимо знать и уметь применять методы решения задач
математического анализа, линейной алгебры и прежде всего дифференциальных
уравнений. В качестве кореквизитов можно указать следующие дисциплины:
уравнения мат. физики, методы оптимизации, численные методы.
3. Результаты освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен будет пробрести:
ЗНАНИЯ – общетеоретических, базовых разделов теории колебаний,
понимание основных фактов, концепций, принципов их теории и связь с прикладной
математикой.
УМЕНИЯ – способность логического мышления и оперирования с
абстрактными объектами. Понимать и применять в исследовательской и
прикладной деятельности современный математический аппарат. Собирать,
обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований,
необходимые для формирования выводов по соответствующим научным и
профессиональным проблемам.
ОПЫТ - в составе научно-исследовательского и производственного
коллектива решать задачи профессиональной деятельности и обладать
письменной и устной коммуникации на математическом языке и с использованием
математических пакетов.
В процессе освоения дисциплины у студентов развиваются следующие
компетенции:
1.Универсальные (общекультурные) –
(ОК-13)
(ОК-14)
(ОК- 15)
(ОК-16)
—
способность работать в коллективе и использовать нормативные правовые документы в своей
деятельности;
—
способность использовать в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере
профессиональные навыки работы с информационными и компьютерными технологиями;
—
способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети
Интернет, для решения профессиональных и социальных задач;
—
способность к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и
профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства;
2. Профессиональные –
(ПК-3)
(ПК-4)
(ПК-5)
(ПК-7)
(ПК-10)
—
способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный
математический аппарат;
—
способность в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи
профессиональной деятельности;
—
способность критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и
характер своей профессиональной деятельности;
—
способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных
исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным,
профессиональным, социальным и этическим проблемам;
—
способность применять в профессиональной деятельности современные языки программирования
и языки баз данных, операционные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые
технологии;
(ПК-12)
—
способность составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать необходимые
для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной работы;
4. Структура и содержание дисциплины
4.1 АННОТИРОВАННОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ:
1. Основы теории малых колебаний (линейные системы с одной степенью
свободы). 6 ч.
Свободные колебания системы. Уравнения Лагранжа второго рода.
Кинетическая энергия системы. Функция рассеяния. Влияние сил сопротивления,
пропорциональных скорости. Дифференциальные уравнения вынужденных
колебаний
2. Основы теории малых колебаний (линейные системы с двумя степенями
свободы). 8 ч.
Основные определения. Свободные колебания системы. Дифференциальные
уравнения свободных колебаний. Влияние сил сопротивления, пропорциональных
скорости. Критерий Гурвица. Дифференциальные уравнения вынужденных
колебаний и их общее решение. Общий случай периодической возмущающей силы.
3. Не линейные системы колебаний с одной степенью свободы. 8ч.
Основные понятия и определения. Метод фазовой плоскости. Траектории на
фазовой плоскости. Особые точки. Отображение решений на фазовой
плоскости. Релаксационные автоколебания. Классификация особых точек
для системы дифференциальных уравнений 3-го порядка.
4. Синхронизация периодических автоколебаний. 6
Нелинейные консервативные системы. Потенциальная функция и ее связь с
фазовым портретом системы. Особые фазовые траектории.
Неконсервативные системы ДУ. Предельные циклы и автоколебания. Точечные
отображения и их применение при анализе решений ДУ. Внешняя синхронизация
генератора Ван дер Поля. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы.
5. Использование современных математических пакетов для решения ОДУ.4ч.
АННОТИРОВАННОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N1
ЗНАКОМСТВО С ПАКЕТОМ MAPLE (DERIVE)
Цель работы: первоначальное знакомство с пакетом MAPLE (DERIVE)
и освоение основных операций и функций, необходимых для решения
дифференциальных уравнений в аналитическом виде.(6 часа)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 2
ВЕКТОРНЫЕ И МАТРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ В ПАКЕТЕ
MAPLE (DERIVE)
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение и освоение функций пакета, позволяющих выполнять
преобразования и вычисления в аналитической форме с использованием матриц и
векторов. ( 6 часа)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N3
ОРГАНИЗАЦИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ РЯДОВ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение функций математического анализа пакета
MAPLE (DERIVE) и освоение методики построения рядов с использованием этих
функций. (6 часа)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N4
РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОРЯДКА N
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: освоение методов построения аналитического
решения дифференциальных уравнений (общего решения и задачи Коши) в пакете
MAPLE (DERIVE). (6 часа)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N5
РЕШЕНИЕ НЕ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОРЯДКА N
Цель работы: освоение методов построения аналитического решения
данного типа дифференциальных уравнений (общего решения и задачи Коши) в
пакете MAPLE (DERIVE). (6 часов)
1. Метод Лагранжа.
2. Метод Коши.
3. Метод неопределенных коэффициентов.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N6
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: итоговая проверка знаний и умения студентов
использовать пакет символьной математики MAPLE (DERIVE) для решения
математических задач. Использование современных математических пакетов
для решения ДУ.(6 часов)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N7
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЕ НЕ ОДНОРОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТИ РЕЗОНАНСА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: итоговая проверка знаний и умения студентов
использовать пакет символьной математики MAPLE (DERIVE) для решения
математических задач. Использование современных математических пакетов
для исследования колебательных систем .(6 часов)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N8
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЕ НЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТИ РЕЗОНАНСА В ПАКЕТЕ MATLAB
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: итоговая проверка знаний и умения студентов
использовать пакет для численного решения задач теории колебаний. (6
часов)
4.2 СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ ПО РАЗДЕЛАМ И ВИДАМ УЧЕБНОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (лекция, практическое занятие, курсовой проект) С
УКАЗАНИЕМ ВРЕМЕННОГО РЕСУРСА ВЧАСАХ.
Таблица 1.1.
Структура дисциплины
по разделам и формам организации обучения(теоретический курс)
Название раздела
Лекци
и
6
Лабораторны
е работы
12
СРС
(час)
12
30
2. Основы теории малых
колебаний (линейные системы
с двумя степенями свободы). 8
ч.
8
12
12
32
3. Не линейные системы
колебаний с одной степенью
свободы. 8ч
4. Синхронизация
периодических
8
12
12
32
6
6
12
24
1. Основы теории малых
колебаний (линейные системы
с одной степенью свободы). 6 ч.
Итого
автоколебаний. 6
5. Использование современных
математических пакетов для
решения ОДУ.4ч
4
6
11
21
Таблица 1.2.
Структура дисциплины
по разделам и формам организации обучения (лабораторные работы)
Название раздела
Лабораторны
е работы
6
7
13
2.ВЕКТОРНЫЕ И
МАТРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ В
ПАКЕТЕ MAPLE (DERIVE)
6
7
13
3.ОРГАНИЗАЦИЯ
ЦИКЛИЧЕСКИХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ И
ПОСТРОЕНИЕ РЯДОВ
6
7
13
4. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ПОРЯДКА N
6
7
13
5.РЕШЕНИЕ НЕ
ОДНОРОДНОГО ДУ.
1. Метод Лагранжа.
2. Метод Коши.
3. Метод
неопределенных
коэффициентов
6
8
14
6.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
6
8
14
1. ЗНАКОМСТВО С ПАКЕТОМ
MAPLE (DERIVE)
СРС
(час)
Итого
6
7
13
7.АБОРАТОРНАЯ РАБОТА
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЕ
НЕ ОДНОРОЛНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТИ
РЕЗОНАНСА
8.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЕ
НЕ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТИ
РЕЗОНАНСА В ПАКЕТЕ
MATLAB
6
8
14
7. ЗАЧЁТ
Итого
2
50
2
61
4
111
4.3 Распределение компетенций по разделам дисциплины
Распределение по разделам дисциплины планируемых результатов обучения по
основной образовательной программе, формируемых в рамках данной дисциплины
и указанных в пункте 3.
Таблица 2.
Распределение по разделам дисциплины планируемых результатов обучения
№ Формируемые
компетенции
1.
(ОК-13)
2.
(ОК-14)
3.
(ОК- 15)
4.
(ОК-16)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(ПК-3)
(ПК-4)
(ПК-5)
(ПК-7)
(ПК-10)
(ПК-12)
В.1.1.
В.1.2.
…..
11.
12.
13.
1
2
Разделы дисциплины
3
4
5
6
7
8
5. Образовательные технологии
Образовательные технологии, обеспечивающие достижение планируемых
результатов освоения дисциплины.
Таблица 3.
Методы и формы организации обучения (ФОО)
ФОО
Лекции
Методы
IT-методы
Работа в команде
Case-study
Игра
Методы проблемного
обучения.
Обучение
на основе опыта
Опережающая
самостоятельная работа
Проектный метод
Поисковый метод
Исследовательский метод
Другие методы
+
Практически
е зан.
Тр*.,
Мк**
СРС
+
+
+
+
+
+
+
К. пр.
6. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
6.1
Текущая СРС:
1. Индивидуальные домашние задания
2. Подготовка к лабораторным работам
3. Самостоятельная проработка тем.
6.2
Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа (ТСР):
ориентированная на
развитие интеллектуальных умений, комплекса
универсальных (общекультурных) и профессиональных компетенций,
повышение творческого потенциала студентов.
6.3.
Содержание самостоятельной работы студентов по дисциплине:
1. Применение методов дифференциальных уравнений для анализа
колебательных процессов (как линейных моделей, так и не линейных)
реальных процессов и систем.
2. Темы курсовых работ – исследование аналитических методов решения
систем линейных уравнений высокого порядка. Численное решение систем не
линейных ДУ.
ЗАДАНИЯ ПО КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ
Исследовать методы решения системы ДУ с постоянной матрицей:
d y  A y ;
dt
A  (aij ) ;
 y1 
 
y 
y  2 .

 
 yn 
 
1.Найти собственные числа и построить ФСР.
2.Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.
3.Найти приближённое решение в виде матричного ряда.
4.Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость
Жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы.
5.Решить задачу Коши.
6.Найти координаты особых точек и определить их тип.
7.Проинтегрировав численно не линейную систему в MATLAB , построить
фазовый портрет.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
t0  0. Н.У. 1111
1.
279

 1
11

A 1 2
4
5

0
0
155

1
 11

3
4  ; 1.
6
6

0
 1
 dx
 dt  2 x  LN ((1  y )  SIN ( x))
;

dy
x
2
  e  SIN ( x  y )  COS ( y )
 dt
3. Темы индивидуальных заданий:
1. Какой вид имеет дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
системы с одной степенью свободы и каково его общее решение?
2. Построить общее решение дифференциального уравнения вынужденных
колебаний системы с одной степенью свободы в случае малого сопротивления и
периодической возмущающей силы?
3. Найти вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при
установившемся режиме в области, близкой к резонансу?
4. Записать формулы для вычисляют кинетической и потенциальной
энергии системы с двумя степенями свободы?
5. Как определяют частоты свободных колебаний системы с двумя степенями свободы?
6.Нахождение вынужденных колебаний. Решение неоднородных ЛДУ
методом Лагранжа, методом Коши, методом неопределённых коэффициентов.
7. Найти угловой коэффициент направления, вдоль которых фазовые
траектории стремятся к простым состояниям равновесия.
8. Приближённый метод исследования предельных циклов.
9. Особые точки нелинейных консервативных систем. Линеаризация систем
ДУ. Фазовая плоскость. Предельные циклы. Точечные отображения.
10. Исследование решений ДУ на устойчивость.
6.4. Темы работ в структуре междисциплинарных проектов:
Применение методов не линейной динамики для прогноза цен акций на
фондовом рынке.
6.5. Темы, выносимые на самостоятельную проработку:
1. Почему даже при значительном трении резонансные амплитуды
стремятся к бесконечности?
2. Устойчивость решений ДУ. Определение разных типов устойчивых
решений ДУ.
3. Решение дифференциальных уравнений и систем в пакетах Maple и
MATLAB.
6.6
Контроль самостоятельной работы:
1. Опрос по теоретическому материалу на практических занятиях.
2. Коллоквиумы.
3. Контрольные работы.
4. Самоконтроль по тестовым вопросам.
7. Средства текущей и итоговой оценки качества освоения дисциплины
Вопросы для оценки текущей успеваемости и промежуточной аттестации
студентов по итогам освоения дисциплины
Вопросы для самоконтроля
Основы теории малых колебаний
(линейные системы с одной степенью свободы).
1. По какой формуле и с какой степенью точности определяют кинетическую
энергию системы?
2. Как вычисляют коэффициенты инерции системы и от каких параметров они
зависят?
3. Что представляет собой диссипативная функция, или функция рассеивания?
4. Как определяют амплитуду и начальную фазу свободных колебаний системы с
одной степенью свободы?
5. От каких параметров зависят частота и период свободных колебаний системы?
6. Каковы основные характеристики свободных колебаний системы с одной
степенью свободы?
7. При каком сопротивлении амплитуда убывает по закону геометрической
прогрессии, а при каком — по закону арифметической прогрессии?
8. Какой вид имеет дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы
с одной степенью свободы и каково его общее решение?
9. Что представляет собой каждое из слагаемых общего решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний?
10. Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения вынужденных
колебаний системы с одной степенью свободы в случае малого сопротивления и
периодической возмущающей силы?
11. Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на амплитуду, фазу,
частоту и период вынужденных колебаний системы?
12. При каких условиях возникает резонанс i-го порядка? Какие частоты называют
критическими?
13. Какой вид имеет уравнение вынужденных колебаний системы в случае
резонанса при наличии сопротивления?
14. По какой формуле определяют максимальное значение амплитуды
вынужденных колебаний?
15. При каком значении коэффициента затухания не существует максимума
амплитуды вынужденных колебаний?
16. По какому закону изменяется амплитуда вынужденных колебаний системы в
случае резонанса при отсутствии сопротивления?
17. При каком условии возникает явление биений и каков его график?
18. Какое влияние на биения оказывает сопротивление, пропорциональное
скорости, и каков график этих колебаний?
19. По каким уравнениям определяют вынужденные колебания системы с одной
степенью свободы при установившемся режиме в области, близкой к резонансу?
20. Каким уравнением определяются вынужденные колебания системы с одной
степенью свободы, вызываемые импульсами мгновенных сил?
21. Каково динамическое воздействие внезапно приложенной постоянной силы?
22. Каковы графики вынужденных колебаний в случае неограниченного числа
периодически возникающих импульсов мгновенных сил?
23. Исходя из какого условия определяется эквивалентный коэффициент вязкости и
от каких величин он зависит?
Основы теории малых колебаний
(линейные системы с двумя степенями свободы).
1. По каким формулам вычисляют кинетическую и потенциальную энергии
системы с двумя степенями свободы?
2. Приведите дифференциальные уравнения свободных колебаний системы с двумя
степенями свободы.
3. Каким соотношениям удовлетворяют коэффициенты инерции и жесткости
системы с двумя степенями свободы?
4. Как определяют частоты свободных колебаний системы с двумя степенями
свободы?
5. Приведите уравнения, определяющие главные колебания системы.
6. Как определяются формы главных колебаний системы с двумя степенями
свободы?
7. Является ли результирующее движение системы с двумя степенями свободы
гармоническим колебанием?
8. При каких условиях возникает явление биений и какова его физическая
сущность?
9. Какие координаты системы называют главными и какова их связь с
обобщенными координатами, выбранными произвольно?
10. Какова особенность дифференциальных уравнений свободных колебаний
системы в главных координатах?
11. Зависят ли частоты свободных колебаний системы от выбора обобщенных
координат?
13. Какова особенность свободных колебаний системы с двумя степенями свободы
в случае равенства частот ее главных колебаний, а также в случае, когда одна из
частот главных колебаний системы равна нулю?
14. Каков физический смысл коэффициентов влияния механической системы?
15. Какова зависимость между коэффициентами влияния и коэффициентами
жесткости механической системы?
16. Как выражается потенциальная энергия механической системы с двумя
степенями свободы через обобщенные силы?
17. Как влияет сопротивление на свободные колебания системы с двумя степенями
свободы?
Не линейные системы колебаний с одной степенью свободы.
1. Понятие консервативной системы. Связь потенциальной функции с фазовым
портретом уравнения 2-го порядка ( на примере указанных видов потенциальных
функций: W=x^2; W=x^2-a*x^4).
2. Первый интеграл. Лемма Морса.
3. Уравнение Гамильтона.
4. Теорема Лиувиля. (Интегральный инвариант Гамильтоновой системы).
5. Не консервативные системы. Линеаризация систем ДУ.
6. Возможный характер простых состояний равновесия.
7.
Направления, вдоль которых фазовые траектории стремятся к простым
состояниям равновесия. Угловой коэффициент направлений.
8. Предельные циклы не консервативной системы. Их типы.
9. Приближённый метод исследования предельных циклов. Определение гладкого
цикла.
10. Критерий Бендиксона.
11.Функции последования. Условия устойчивости неподвижной точки точечного
преобразования.
Синхронизация периодических автоколебаний.
1. Какие колебания называются релаксационными.
Вынужденная синхронизация ?
Взаимная синхронизация?
Параметр рассогласования ?
Диаграмма суперкритической бифуркации вил.
Вопросы для оценки текущей успеваемости и промежуточной аттестации
студентов по итогам выполнения лабораторных работ.
1. Назначение пакета DERIVE.
2. Алфавит пакета.
3. Основные команды редактора.
4. Что такое "операнд" и его обозначение.
5. Понятие "функция" в пакете.
6. Чем отличаются разные функции VECTOR?
7. Назначение функции ELEMENT.
8. Как организовать с помощью изученных функций вложенные циклы?
9. Какие параметры являются входными для функции TAYLOR?
10. В чём отличие между разными функциями SUM?
11. Как записать характеристический полином дифференциального уравнения (ДУ)
с постоянными коэффициентами?
12. Для решения каких задач используется функция SOLVE?
13. Как построить общее решение однородного ДУ?
14. Как построить общее решение не однородного ДУ?
2.
3.
4.
5.
Задания (билеты), позволяющие оценить приобретенные студентами знания,
умения, профессиональные и универсальные (общекультурные) компетенции.
Пример билета.
Экзаменационный билет
По дисциплине «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Институт Кибернетики
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий учебным отделением ИК
С.А. Гайворонский “___”_______2013
Экзаменационный билет № 1
Тема 1: “Линейные системы с одной степенью свободы ”.
1. По какой формуле и с какой степенью точности определяют кинетическую
энергию системы?
2.Что представляет собой диссипативная функция, или функция рассеивания?
Тема 2: “ Линейные системы с двумя степенями свободы ”.
3. По каким формулам вычисляют кинетическую и потенциальную энергии
системы с двумя степенями свободы?
4. Приведите дифференциальные уравнения свободных колебаний системы с двумя
степенями свободы.
Тема 3: “ Не линейные системы колебаний с одной степенью свободы ”.
5. Предельные циклы не консервативной системы. Их типы.
6. Какие колебания называются релаксационными.
Тема 4: “ Какие колебания называются релаксационными ”.
6. Параметр рассогласования ?
7. Диаграмма суперкритической бифуркации вил.
Составил: доцент кафедры ПМ Козловских А.В.
Зав. кафедрой ПМ _____________________ А.Н. Квасов
«УТВЕРЖДАЮ»
Зав. кафедрой А.Н. Квасов
«_____» _________ 2013 г.
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
выполнения курсового проекта (работы) по дисциплине
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
на пятый семестр 2015/2016 уч. года, группа 0В31 ФТИ
№
п/п
1
2
3
4
1-2
3-4
5-6
7-8
5
6
9
10-12
7
8
13-14
14-16
17
Недели
Наименование разделов курсового проекта
(работы)
Изучение теории ДУ по теме курсовой работы.
Написание и отладка программы решения систем ЛДУ.
Построение решения системы ЛДУ в виде матричного ряда.
Разработка и отладка программы решения линейной СДУ
матричным методом.
Решение задачи Коши.
Изучение пакетов Maple и MATLAB для решения
СДУ. Разработка и отладка программ.
Решение не линейной системы ДУ в пакете MATLAB/
Написание отчёта.
Защита работы.
Подпись преподавателя ________________
«____» ___________2013 г.
Процент
выполнения
10
10
10
10
8
15
12
10
15
А.В. Козловских
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Рекомендуемая литература по дисциплине:
1.Ф.Ф. Яблонский, С.С. Норейко. Курс теории колебаний . Санкт-Петербурк.
«БХВ-Петербурк».:2007.
2. И.С. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова. Регулярные и хаотические
автоколебания. "Интелект". Долгопрудный.: 2009.
3. Н.Х. Ибрагимов. Практический курс ДУ и математического моделирования.
Нелинейные математические модели. Симметрия и принцип инвариантности.-2 изд.
–Москва: Физматлит, 2012 – 332с
4. Н.Н. Баутин, Е.А.Леонтович. Методы и приемы качественного исследования
динамических систем на плоскости. Наука. 1990.
Дополнительная литература
1. В.П. Справочник по системе символьной Дьяконов математики DERIVE.
М.:1998.
2. Дьяконов В.П. MAPLE 9. М.:2004.
3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. Санкт-Петербурк.
2005.
4. Андронов А.А, Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Наука. 1981 г.
Электронные ресурсы:
1. Бибиков Ю.Н..Курс обыкновенных дифференциальных уравнений
elecbooks.narod.ru/books/difur/bibikov
2. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р.. Качественная теория нелинейных
дифференциальных уравнений. elecbooks.narod.ru/books/difur/ /reissig
3. Кузнецов С.П. Динамический хаос. http://scintific.narod.ru/nlib
4. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.
http://scintific.narod.ru/nlib
6. Козловских А.В. «Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Исследование методов решений с помощью MAPLE и MATLAB»
http://portal.tpu.ru/departments/otdel/publish/catalog/2014/ik/method_2014
Программное обеспечение:
1. Математические пакеты: Maple; MATLAB.
2. Системы компьютерной алгебры DERIVE, MAPLE.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Указывается материально-техническое обеспечение дисциплины: технические
средства, лабораторное оборудование и др.
Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с
требованиями ФГОС по направлению и профилю подготовки ПРИКЛАДНАЯ
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
Программа одобрена на заседании кафедры прикладной математики ИК.
(протокол № ____ от «___» _______ 2013___ г.
Автор доц. каф. ПМ ИК А.В. Козловских.