Теория линейных операторов - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Тобольске
УТВЕРЖДАЮ
Директор
_______________________ /Короткова Е.А../
__________ _____________ 201__г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Теория линейных операторов»
Направление подготовки
050100.62 «Педагогическое образование»
(код и наименование направления подготовки)
Профиль
«Математика, информатика»
(наименование программы)
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск 2014
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_______________________________________________________________________________
Дисциплина:
_Теория линейных операторов______________________________
050100.62 «Педагогическое образование», профиль «Математика, информатика»
Учебный план:
Автор:
_Ярков Владимир Георгиевич ___________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
__Ярков Владимир Георгиевич, доцент, тел. 89026244222 _____________________________
_____________
_____________
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
дата
Содержание
с.
1.
2.
3.
4.
4.1.
4.2.
5.
6.
7.
7.1.
7.2.
7.3.
8.
9.
Цели и задачи освоения дисциплины …………………………………………………....
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......…………………………….....................
Требования к результатам освоения дисциплины.............................................................
Структура и содержание дисциплины …………....…………………………...................
Структура дисциплины........................................................................................................
Содержание разделов дисциплины.....................................................................................
Образовательные технологии..............................................................................................
Самостоятельная работа студентов………………………………………………………
Компетентностно-ориентированные оценочные средства……………………...............
Оценочные средства диагностирующего контроля…..…………………………………
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология
оценивания работы студентов…………………………………………………………….
Оценочные средства промежуточной аттестации………………………………….……
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины…………………
Материально-техническое обеспечение дисциплины……………………......................
4
4
4
5
5
6
7
8
8
8
8
10
10
11
Б3. В.ДВ. 10. Теория линейных операторов
1. Цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины «Теория линейных операторов» является изучение основных понятий
функционального анализа – линейный функционал, линейный оператор – как обобщения
понятия функции, отображения в пространствах произвольной природы.
Задачи дисциплины:
 изучение основных структур математического анализа;
 изучение основных типов отображений в математике;
 изучение линейных функционалов и операторов;
 изучение аналогий и различий в свойствах операторов, заданных в конечномерных и
бесконечномерных пространствах;
 установление межпредметных связей между данной дисциплиной и ранее читаемыми
курсами линейной алгебры, математического анализа, геометрии;
 рассмотрение математических методов описания и изучения некоторых физических
процессов и явлений;
 применение методов теории линейных операторов для решения теоретических и
практических задач математики.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Теория линейных операторов изучается как дисциплина по выбору цикла дисциплин
направления в 10-ом семестре. Согласно учебному плану общий объем часов по дисциплине
составляет 108 часов, из них 42 часа – аудиторные (лекции – 16 часов, практические занятия –
32 часа), 60 часов – самостоятельная работа студентов. Итоговый контроль по дисциплине –
зачет в 10-ом семестре.
Данная дисциплина имеет межпредметные связи с ранее читаемыми курсами
математического анализа, линейной алгебры, геометрии. Теория линейных операторов стоит на
стыке таких важных математических разделов как линейная алгебра, математический анализ,
геометрия. Изучение основных понятий и методов теории линейных операторов даёт
возможности их применения для решения теоретических задач и прикладных задач математики,
теоретической физики и других наук.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки:
а) общекультурных (ОК):
ОК-1 (владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения);
ОК-4 (способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в
образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической
обработки информации, теоретического и экспериментального исследования.
Студент, изучивший дисциплину,
должен знать:
 содержание предмета, его методологию, связь с другими дисциплинами;
 определения, свойства и примеры рассматриваемых математических понятий;
 основные методы построения моделей прикладных задач, основные методы их
решения;
 смысл и формулировки основных типов задач теории линейных операторов;
должен уметь:
 определить тип задачи, подобрать соответствующие методы ее решения;
 построить математическую модель задачи, решить ее, интерпретировать ответ;
 проверить выполнимость определений и свойств рассматриваемых объектов;
 находить обратный оператор, левый обратный, правый обратный операторы;
 находить собственные значения, собственные векторы, спектр оператора;
 доказывать теоремы существования и единственности решений;
 решать обратную задачу Штурма-Лиувилля;
должен владеть:
 навыками работы со специальной литературой;
 навыками математического моделирования;
 вычислительными навыками.
приобрести опыт деятельности:
 по исследованию основных свойств линейных операторов;
 по применению линейных операторов для решения математических и прикладных
задач.
4. Содержание и структура дисциплины
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов) в 10-ом
семестре.
Вид работы
Часы
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа:
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
108
48
16
32
60
зачёт
Разделы дисциплины, изучаемые в 10-ом семестре
Количество часов
№
раздела
1
Аудиторная
работа
Наименование разделов
Всего
2
3
Л
ПЗ
ЛР
4
5
6
Внеауд.
работа
СР
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Метрические пространства. Линейные пространства.
Принцип сжимающих отображений и его применения.
Линейные функционалы и линейные операторы.
Непрерывность, ограниченность и норма оператора.
Обратный оператор.
Операторы в гильбертовом пространстве.
Элементы спектральной теории.
Сопряженные операторы.
Линейный дифференциальный оператор.
Расширения симметрического оператора.
ИТОГО
11
1
4
-
6
11
1
4
-
6
9
1
2
-
6
11
1
4
-
6
12
2
4
10
2
2
-
6
12
2
4
-
6
12
2
4
10
2
2
10
2
2
6
108
16
32
60
6
6
-
6
4.2. Содержание разделов дисциплины
№
раздела
1.
Наименование
раздела
Метрические
пространства. Линейные
пространства.
2.
Принцип сжимающих
отображений и его
применения.
3.
Линейные функционалы и
линейные операторы.
4.
Непрерывность,
ограниченность и норма
оператора.
5.
Обратный оператор.
6.
Операторы в гильбертовом
пространстве.
7.
Элементы спектральной
теории.
8.
Сопряженные операторы.
9.
Линейный
Содержание раздела
Определение и основные примеры метрических пространств. Непрерывные
отображения метрических пространств. Изометрия. Сходимость. Полные
метрические пространства. Линейные пространства. Подпространства.
Фактор - пространства.
Отображения в метрических пространствах. Сжимающие отображения.
Неподвижная точка. Принцип сжимающих отображений (теорема Банаха).
Простейшие применения принципа сжимающих отображений. Условия
Липшица.
Теоремы
существования
и
единственности
для
дифференциальных уравнений. Применения принципа сжимающих
отображений к интегральным уравнениям.
Определения линейного функционала и линейного оператора.
Представление линейных функционалов в линейных, нормированных,
гильбертовых пространствах. Теорема Хана – Банаха в нормированном
пространстве и некоторые ее следствия. Линейные функционалы в счетнонормированном пространстве.
Непрерывные линейные операторы. Ограниченность и норма линейного
оператора. Критерий ограниченности. Последовательности линейных
операторов. Сильная и равномерная сходимости, связь между ними. Сумма
и произведение операторов.
Обратимость, обратный оператор. Линейность оператора, обратного к
линейному. Критерий ограниченности обратного оператора. Теорема
Банаха об обратном операторе. Левый обратный и правый обратный
операторы.
Геометрия гильбертова пространства. Базис и размерность. Операторы
проектирования. Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве.
Ограниченные и изометрические операторы. Матричное представление
линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве.
Собственные значения и собственные функции линейного оператора.
Спектральная функция. Интегралы по спектральной функции. Основная
спектральная теорема.
Сопряженные и самосопряженные операторы. Описание спектра
самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции.
Линейные дифференциальные выражения. Краевые условия. Однородная
дифференциальный
оператор.
10.
Расширения
симметрического
оператора.
краевая задача. Формула Лагранжа. Сопряженная краевая задача. Задача
обращения дифференциального оператора. Построение функции Грина.
Обращение дифференциального оператора при помощи функции Грина.
Дефектные подпространства симметрического оператора. Преобразование
Кэли. Формула фон Неймана. Размерность по модулю. Индекс дефекта.
Описание симметрических расширений данного симметрического
оператора.
5. Образовательные технологии.
№
занятия
№
разде
ла
Тема
Виды образовательных
технологий
Кол-во
часов
1
2
3
4
5
1
1
Понятие метрического пространства. Аксиомы
метрики. Линейные пространства.
Информационная
лекция
2
2
1
3
4
2
2
5
2
6
3
7, 8
4
9
5
10
5
11, 12
6
Примеры метрических пространств.
Отображения в метрических пространствах.
Сжимающие отображения. Неподвижная точка.
Принцип сжимающих отображений (теорема
Банаха).
Принцип
сжимающих
отображений.
Применения
принципа
сжимающих
отображений.
Семинар, деловая
игра
Теоремы существования и единственности для
дифференциальных уравнений. Применения
принципа
сжимающих
отображений
к
интегральным уравнениям.
Понятие линейного функционала и линейного
оператора, их основные свойства.
Непрерывные
линейные
операторы.
Ограниченность и норма линейного оператора.
Информационная
лекция,
Обратный оператор. Линейность оператора,
обратного
к
линейному.
Критерий
ограниченности обратного оператора.
Информационная
лекция
Обратный оператор. Левый и правый обратные
операторы.
Практическое
занятие, деловая
игра
Операторы в гильбертовом пространстве.
Лекция, ролевая
игра
Лекция,
практическое
занятие, деловая
игра
Лекция,
практическое
занятие
7
Собственные значения и собственные функции
линейного оператора.
15, 16
8
Сопряженные и самосопряженные операторы.
Спектр оператора.
17, 18
9
13,14
Практическое
занятие
Информационная
лекция,
проблемная лекция
Линейные дифференциальные операторы.
Лекция, деловая
игра
Лекция,
практическое
занятие
Лекция
2
2
2
2
2
4
2
2
4
4
4
4
№
занятия
№
разде
ла
19
9
20, 21
10
Виды образовательных
технологий
Тема
Примеры
на
собственные
значения
и
собственные
функции
линейных
дифференциальных операторов.
Расширения
симметрического
оператора.
Дефектные подпространства.
Кол-во
часов
Практическое
занятие
2
Лекция
4
6. Самостоятельная работа студентов
Вид самостоятельной работы
№
раздела
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Трудоемкость
(в
академических
часах)
Наименование
раздела дисциплины
Метрические
пространства. Линейные
пространства.
Принцип сжимающих
отображений и его
применения.
Линейные функционалы и
линейные операторы.
Непрерывность,
ограниченность и норма
оператора.
Обратный оператор.
Операторы в
гильбертовом
пространстве.
Элементы спектральной
теории.
Сопряженные операторы.
Линейный
дифференциальный
оператор.
Расширения
симметрического
оператора.
Изучение литературы, конспект.
6
Реферат по теме.
6
Изучение литературы, решение домашнего задания.
Повторение разделов математического анализа, конспект,
решение домашнего задания.
Решение домашнего задания, изучение дополнительных
тем раздела. Подготовка к коллоквиуму.
Реферат по теме раздела. Индивидуальное расчетное
задание.
Изучение литературы, конспект. Домашнее задание.
Индивидуальное расчетное задание.
Изучение литературы, конспект. Домашнее задание.
Изучение литературы, конспект. Домашнее задание.
Индивидуальное расчетное задание.
6
6
6
6
6
6
6
Изучение литературы, конспект. Подготовка к зачету.
6
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
Входной тест, устный опрос.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология
оценивания работы студента
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
Виды работ
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
5
5
15
25
5
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
5
5
15
25
5
5
5
20
30
10
Итого
15
15
50
80
20
Итого
30
30
40
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Наименование раздела
дисциплины
Метрические
пространства. Линейные
пространства.
Принцип сжимающих
отображений и его
применения.
Линейные функционалы
и линейные операторы.
Непрерывность,
ограниченность и норма
оператора.
Обратный оператор.
Максимальное
количество
баллов
Модуль
(аттестация)
Работа на лекциях
Посещение и работа на лекции
1
1
Посещение и работа на лекции
2
1
Посещение и работа на лекции
1
1
Посещение и работа на лекции
1
1
Посещение и работа на лекции
2
1
2
2
Формы оцениваемой работы
Операторы в
Посещение и работа на лекции
гильбертовом
пространстве.
Элементы спектральной Посещение и работа на лекции
2
теории.
Сопряженные
Посещение и работа на лекции
2
операторы.
Линейный
Посещение и работа на лекции
2
дифференциальный
оператор.
Расширения
Посещение и работа на лекции
1
симметрического
оператора.
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Метрические
Участие в обсуждении проблемных
1
пространства. Линейные вопросов
пространства.
Принцип сжимающих
Выполнение индивидуальных и
2
отображений и его
групповых заданий
применения.
Непрерывность,
Выполнение индивидуальных и
2
ограниченность и норма групповых заданий
оператора.
Обратный оператор.
Выполнение индивидуальных и
2
групповых заданий
Элементы спектральной Решение аудиторной контрольной
3
теории.
работы
Сопряженные
Выполнение индивидуальных и
2
операторы.
групповых заданий
Линейный
Выполнение индивидуальных и
3
дифференциальный
групповых заданий
оператор.
2
3
3
3
1
1
1
2
2
3
3
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
№
1.
Наименование раздела
(темы) дисциплины
Метрические
пространства. Линейные
пространства.
Формы оцениваемой работы
Опрос, проверка конспекта
Максимальное
количество
баллов
Модуль
(аттестация)
3
1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Принцип сжимающих
отображений и его
применения.
Линейные функционалы
и линейные операторы.
Непрерывность,
ограниченность и норма
оператора.
Обратный оператор.
Операторы в
гильбертовом
пространстве.
Элементы спектральной
теории.
Сопряженные
операторы.
Линейный
дифференциальный
оператор.
Расширения
симметрического
оператора.
Проверка и защита реферата
4
1
Проверка индивидуального расчетного
задания
Проверка конспекта и домашнего
задания
4
1
4
1
Проверка домашнего задания.
Проведение коллоквиума.
Проверка реферата и индивидуального
расчетного задания
6
2
6
2
Проверка индивидуального расчетного
задания
Проверка конспекта и домашнего
задания.
Проверка индивидуального расчетного
задания, контрольная работа.
3
2
5
3
10
3
5
3
Проверка конспекта и домашнего
задания.
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Самостоятельные и контрольные работы, коллоквиум, тестирование.
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
Вид аттестации
Допуск к
аттестации
Зачёт
Зачет
40 баллов
61 балл
Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и
академических оценок)
Удовл.
Хорошо
Отлично
61-72 баллов
73-86 баллов
87-100 баллов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Реферат, зачет, контрольная работа.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) Основная литература
1. Ворович И.И. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды: учеб.
пособ. / И.И. Ворович, Л.П. Лебедев.- 3-е изд.- М.: Вузовская книга, 2011.- 320 с.
2. Гуревич А.П. Сборник задач по функциональному анализу: уч.пос. / А.П.Гуревич, В.В.
Корнев, А.П. Хромов.- 2-е изд.-СПб: Лань, 2012. - 192 с. : ил. - (Учебники для вузов.
Специальная литература)
3. Рудин У. Функциональный анализ. - 2-е изд. - М.: Лань, 2005.
4. Теория функций и функциональный анализ: учеб.пособ. /ред. Н.М. Пилипенко.- М.: СГУ,
2005.
5. Шмелькин Д.А. Теория функций и функциональный анализ. – М.: СГУ, 2005.
б) Дополнительная литература
1. Канторович Л.В. Функциональный анализ. - М.: БХВ-Петербург: Невский диалект, 2004.
2. Порошкин А.Г. Функциональный анализ. - М.: Вузовская книга, 2004.
3. Садовничий В.А. Теория операторов: Учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2001.
4. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Е.С. Задачи по функциональному анализу. – М.:
Мир, 1984.
5. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - М.: Физматлит, 2003.
в) периодические издания:
1. Квант.
2. Математика в школе.
3. Успехи математических наук.
г) мультимедийные средства:
Среды программирования Delphi, Vbasic;
Mathematica; табличный процессор Microsoft Excel.
д) Интернет-ресурсы:
математические
пакеты
MathCad,
_________________________
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Локальная сеть филиала ТюмГУ в г. Тобольске с доступом в интернет.
2. Оборудование: аудитории для обеспечения визуализации лекций и получения обратной связи
(интерактивные доски).
3. Лекционная аудитория новых информационных технологий
4. Компьютерная лаборатория:
Компьютер С1100/128/40Gb/3,5/Cd/LAN – 10 шт.
Philips 107E20 17 – 10 шт.
5. Мультимедиа проектор SAN40 PLC-400P – 1 шт.
6. Графопроектор «Пеленг-2400» (кодоскоп) – 1 шт.