part_II._Results_of_Tests_english_

ОЦЕНКА ЧАСТОТЫ СИГНАЛА ПО КОРОТКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ. I. РЕЗУЛЬТАТЫ
РАБОТЫ АЛГОРИТМА
Введение
В первой части предложен новый алгоритм для измерения кратковременных задержек линейно
частотно-модулированных сигналов. [1].
Основная часть.
Для проверки данного алгоритма в программном пакете «MatLab» был построена модель
схемы, представленной на рисунке 1. Целью моделирования являлось сравнение между
предложенным алгоритмом и оценкой задержки по спектру Фурье в зависимости от отношения
сигнал/шум при различных задержках. Сигналы биения оцифровывались со скоростью выборки в
100 раз выше ожидаемой частоты биения (последняя может быть рассчитана исходя из
предположения о расстоянии до цели). Грубое значение частоты биения может всегда быть
быстро оценено по характерным точкам, например по нулям или по нулю и пику, высокая
точность в данном случае не требуется. Частота выборки эвристически оптимальна, то есть при
меньших частотах ошибка выше, по всей видимости, из-за недостатка выборок для выполнения
точного быстрого преобразования Фурье и точной линеаризации. А при более высоких частотах
выборки ошибка либо такая же, либо выше. Последнее можно легко объяснить тем, что
увеличение частоты выборки ведет к увеличению полосы, пропусканию то есть, к тому, что растет
мощность оцифрованной части белого шума. Более подробное изучение данного вопроса
оставлено за рамками статьи.
Кроме того стоит отметить реализуемость требования о повышенной частоте выборки
для ЧМ дальномеров. Так как обрабатываемый сигнал биений, как правило, является
низкочастотным (порядка 1-10 кГц), то его оцифровка с требуемой частотой может быть
проведена 100кГц-1МГц АЦП, такие широко используются и выпускаются в промышленных
масштабах.
В ходе численных экспериментов проводилось измерение среднеквадратического
отклонения (СКО) оцениваемой частоты биения от варьируемой задержки сигнала (периода
модуляции, равного времени наблюдения) и в зависимости от соотношения сигнал/шум на входе
приемника, то есть при наличии только белого гауссово шума. Оценка проводилась по
предложенному в статье алгоритму (фаз.ал) и при помощи оценки частоты сигнала, по пику его
спектра. Оценка задержки по спектру проводилась путем быстрого преобразования Фурье (БПФ) с
количеством точек в 300 раз превышающим отношение частоты Найквиста к несущей. Это
необходимо для достижения достаточной разрешающей способности без применения
дополнительных интерполяций. В предложенном, в статье, алгоритме осуществлялось
программное преобразование гильберта во временной области. Каждое значение СКО, полученное
в эксперименте, являлось результатом 100 измерений.
На рисунках 2,3 представлены графики зависимостей СКО нормированных на частоту
биений (𝑓б ) от количества периодов, заключенных в рассматриваемой реализации сигнала (N).
Зависимости представлены для отношений сигнал/шум (С/Ш) на входе приемника, равных от 3 до
50 дБ, они представлены на два рисунках, так как в силу различия в величинах СКО их
представление на одном графике являлось бы не информативным.
С/Ш 3дБ, БПФ
0.25
0.003
С/Ш 3дБ, фаз.ал
0.15
С/Ш 10дБ, БПФ
СКО/fб
0.2
С/Ш 10дБ, фаз.ал
0.1
0.002
0.001
0
0.05
1.0
1.5
N 2.0
0
0
1
2
3
4
N 5
6
7
2.5
8
3.0
9
10
Рисунок 1 – Зависимость СКО нормированного на частоту биений от количества периодов
непрерывного сигнала для разработанного алгоритма и оценки задержки по спектру для
отношений сигнал/шум 3 и 10 дБ
0.03
СКО/fб
0.025
0.02
0.015
0.01
С/Ш 20дБ, БПФ
0.012
С/Ш 20дБ, фаз.ал
0.009
С/Ш 50дБ, БПФ
0.006
С/Ш 50дБ, фаз.ал
0.003
0
0.005
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0
0
1
2
3
4 N
5
6
7
8
9
Рисунок 2 – Зависимость СКО нормированного на частоту биений от количества периодов сигнала
для разработанного алгоритма и оценки задержки по спектру для отношений сигнал/шум 20 и 50
дБ
На графиках, представленных на рисунках 1,2 показаны зависимости ошибки оценки
частоты биений для предложенного в статье алгоритма и алгоритма оценки по максимуму
спектру. Видно, что при коротких реализациях (меньше 2 периодов сигнала) предложенный
алгоритм дает большую точность, по сравнению с преобразование Фурье при отношении сигнал
шум более 10 дБ. Это может быть объяснено тем, что при уменьшении величины выборки
возрастает роль дискретной ошибки БПФ. Значение ошибки может быть снижено путем
10
интерполяции, однако любая интерполяция формы спектра имеет лишь приближенный характер.
В предложенном алгоритме используется априорная информация о линейности фазы сигнала
биения, и, по этой причине, линеаризация фазы от времени может быть рассмотрена как наиболее
точный тип интерполяция, соответственно дающий наименьшую ошибку определения времени
задержки. При отношении сигнал шум 3 дБ алгоритм оценки по спектру показал результаты
лучшие, по сравнению с алгоритмом, продолженным в статье, данная особенность, вероятно,
может быть объяснена неточностью использования метода наименьших квадратов при больших
отклонениях значений и малой величине выборки.
При увеличении задержки на величину, соответствующую более чем двум периодам
непрерывного сигнала биений, точности продолженного алгоритма и оценку по спектру не
меняются и зависят только от отношения сигнал/шум, что согласуется с общей теорией
оптимального приема [11]. Зависимость СКО от отношения сигнал/шум приведена на рисунке 4.
N=0,5; БПФ
N=0,5; фаз.ал
N=1,5; фаз.ал
N=1,5; БПФ
N=10; БПФ
N=10; фаз.ал
0.03
СКО/fб
0.025
0.02
0.015
N=1,5; фаз.ал
N=10; БПФ
0.006
0.004
N=1,5; БПФ
N=10; фаз.ал
0.002
0
0.01
0
0.005
20
40
60
80
100
0
0
20
40
С/Ш,
60 дБ
80
Рисунок 3 – зависимости СКО, нормированной на частоту биений, от отношения сигнал шум на
входе приемника для предложенного в статье алгоритма (фаз.ал) и оценки частоты по спектру
(БПФ), зависимости приведены для трех значений выборки, нормированных на значение периода
сигнала (N=0,5; 1,5;10)
Из графика, представленного на рисунке 4 видно, что при отношениях сигнал/шум на
входе приемника выше 40 дБ ошибка измерений практически не меняется для каждой из
представленных зависимостей. При этом, как и указывалось ранее, при количестве периодов
непрерывного сигнала биения менее 1,5 ошибка измерений имеет сильную зависимость от
величины задержки. Например, при изменении от 𝑁 = 0,5 до 𝑁 = 1,5 СКО снижается в 5 раз.
При дальнейшем росте величины задержки существенной зависимости ошибки от нее не имеется.
При отношении сигнала шум менее 40 дБ имеется сильная зависимости СКО от величины шума,
например, при снижении отношения сигнал/шум от 40 до 10 дБ СКО увеличивается в 3 − 5 раз.
Различия в СКО предложенного алгоритма и оценки по спектру снижаются при увеличении
отношения сигнал/шум.
100
Кроме наличия случайной составляющей ошибки для выборок с длительностью менее
одного периода присутствует постоянная составляющая ошибки в определении значения частоты.
Ошибку можно объяснить уширением пика спектра и явлением Гиббса для оценки частоты
методом БПФ [10]. Можно ожидать, что в экспериментальном продолжении работы, при
использовании предложенного алгоритма с аналоговым способом получения квадратур она будет
устранена.
ВЫВОД
В статье проведено сравнение предложенного метода с традиционно используемым
способом оценки по пику спектра.
При помощи численного моделирование для каждого из алгоритмов проводилась оценка
среднеквадратического отклонения измеряемой частоты в зависимости от величины выборки и от
отношения сигнал/шум. Разработанный алгоритм имеет преимущества в точности по сравнению с
традиционным при отношениях сигнал/шум более 10 дБ. При величинах задержки,
соответствующих менее чем двум периодам сигнала, ошибка измерений зависит от нее.
Стоит отметить вычислительную простоту предложенного алгоритма по сравнению с
БПФ, где для достижения высокой точности требуется вычислений коэффициентов нелинейной
интерполяции или выполнение преобразования на сетке значительно превышающей шаг
дискретизации. В предложенном алгоритме, напротив, используется априорная информация о
линейной зависимости фазы от времени, что позволяет упростить и ускорить вычисление времени
задержки сигнала.
В статье оставлены открытыми вопросы о выборе метода получения квадратур для выборок
сигнала менее длительности одного периода. Кроме того открытым остается вопрос о
минимальной скорости дискретизации для таких реализаций. Как было показано, она должна быть
выше, чем удвоенное значение несущей частоты. Это связано с тем, что при малом количестве
точек в выборке существенной является ошибка в детектировании каждой из таких точек.