Рис.5.24

5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ И ЧАСТОТНЫЙ
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
5.1. Разложение сигналов по системам взаимно-ортогональных
функций

2
Заданный сигнал S(t) при условии, что  S (t ) dt  , т.е. энергия

сигнала ограничена, что справедливо для всех реально
существующих сигналов, можно разложить в ряд по системе
взаимно-ортогональных функцийn (t ) .
В этом случае сигнал S(t) может быть представлен в виде:

(5.1)
S (t )   Cnn (t )
n0
Соотношение (5.1) представляет собой обобщенный ряд Фурье,
где Cn коэффициенты, n (t ) - функции, называемые базисными
функциями, должны быть непрерывны в области определения
t  t , и удовлетворять условию ортогональности.
1 2
t2

2
nm
 n (t )  const
(5.2)
n (t )m (t )dt  
n

m

t1
0
t
2
в (5.2) n (t )   n 2 (t )dt -норма функции ;
t
1
 (t )  некоторое постоянное число.
n
Если n (t )  1, базисную функцию называют ортонормированной.
Найдем коэффициент Cn , для чего представим (5.1) следующим
t
t
2
2

образом:  S (t )n (t )dt  n (t )  Cnn (t )dt.
(5.3)
t
t
n0
1
1
т.к. все члены суммы в правой части вида Сnn (t )m (t ) при n  m
равны нулю, (5.3) будет иметь вид:
t
t
2
2 2
2
 S (t )n (t )dt  Сn  n (t )dt  Cn  n (t ) ,
t
t
1
1
t
1  2S (t ) (t )dt - коэффициент обобщенного ряда
откуда Cn 
n
2 t
n (t ) 1
Фурье.
При усечении числа членов ряда (5.1) до N имеет место
погрешность представления сигнала S(t) в виде ряда и можно
показать, что:
t
n 2
2 2 2
(5.4)
 Cn  n (t )   S (t )dt
t
n0
1
Это неравенство Бесселя.
Если n (t ) -величина комплексная, то
t
1  2S (t ) (t )dt
Cn 
(5.5)
n
2 t
n (t ) 1
t
2

* - знак сопряженной величины и n (t )  n (t )n (t )dt .
t
1
Рассмотрим энергетические соотношения при разложении
сигнала в обобщенный ряд Фурье.
Энергия электрического сигнала S t  , заключенная в интервале
t  t , выражается соотношением:
1 2
t
2
(5.6)
Эс   S 2 t dt
t
1
Эс -энергия, выделяемая на сопротивление в 1 Ом за время
T  t t .
2 1
t
2 2
1
S t dt  Pc ; Pc мощность сигнала.
Соответственно
t  t t
2 11
Устремляя в соотношении (5.4) N   , можем сделать ошибку
усечения ряда в пределе сколь угодно малом и получим
равенство:
2
2 t2
 2
 Cn n (t )   S 2 t dt.
t
n0
1
Это равенство Парсеваля.
(5.7)
t
2 2

2
2
Если n (t )  1, то  Cn   S t dt.  Эс.
t
n0
1
(5.8)
Соотношение (5.8) свидетельствует о том, что полная энергия
сигнала S (t ) в интервале t  t при разложении его в обобщенный
1 2

ряд Фурье равна  Cn 2 .
n0
В качестве базисных функций, как было показано выше, может
быть использована любая ортогональная система функции. Таких
функций известно множество, однако, в технике связи и
автоматики используются гармонические функции, а также ряд
специальных функций: Лагерра, Лежандра, Уолша, Бесселя и др.
Выбор базисной функции производится из соображений:
1. Минимизации числа членов ряда N при достижении заданной
точности представления сигнала обобщенным рядом Фурье.
2. Простотой аппаратурной реализации генерирования базисной
функции.
5.2. Разложение сигнала в базисе гармонических функций
5.2.1. Экспоненциальный ряд Фурье
Пусть сигнал S (t ) определен на интервале 0t и является
периодическим:
S (t )  S (t  nT ) n=0, 1, 2, 3…
В качестве базисной функции n (t ) возьмем экспоненциальную
функции вида e jnt ,где   2 .
T

Запишем ряд Фурье (5.1) в виде: S (t )   Cne jnt
(5.9)
n
Это экспоненциальный ряд Фурье.
2
jn

t
Для вычисления Сn необходимо найти e
, а также
следует убедиться в том, что данная базисная функция
удовлетворяет условию ортогональности.
2 T
jn

t
e
  e jnt e  jnt dt  T
0
T
Легко показать также, что  e jnt e  jmt dt  0 при m  n .
0
В самом деле:
T j(nm)t
T
T
e
dt

cos(
n

m
)

tdt

j


 sin( n  m)tdt  0.
0
0
0
Отметим еще раз, что Tпериод колебания. Учитывая сказанное,
получим выражение для Сn в виде:
T
Cn  1  S (t )e  jnt dt
(5.10)
T0
5.2.2. Тригонометрический ряд Фурье
В инженерной практике чаще используется тригонометрическая
форма ряда Фурье.
Из (5.10) следует, что Сn величина в общем случае комплексная
и может быть представлена в виде:
Cn  A2  B 2 ;  n  arctg B .
Cn  Cn e jn  A  jB ;
A
Запишем (5.9) в виде:
j n  nt 


j n jnt

S t    Cn e
e
  Cn  e 
n  
n  
  C
C
1
2
 cos  2t  


2 
jC
2
 sin   2t  


2 
 cos  t     j C  sin   t     C  С  cos t    
1
1
1 0
1
1



 j C  sin  t     C  cos 2t     j C  sin  2t     
1
1
2
2
2
2



Суммируя по обе стороны 0-ые члены с одинаковыми
индексами и учитывая, что sin(x)  sin x; cos(x)  cos(x) , имеем

S (t )  C  2  Cn cos(nt   n ).
(5.11)
0 n1
(5.11)- тригонометрическая форма ряда Фурье.
Представив
1T
1T
1T
 jnt
Cn   S (t )e
dt   S (t ) cos( nt )dt   S (t ) sin( nt )dt 
T0
T0
T0
 Cnc  jCns
2C  a ,
0
0
получим следующую модификацию тригонометрического ряда:
a


S (t )  0   an cos nt   bn sin nt .
(5.12)
2 n1
n1
T
Заметим, что a  2  S t dt.
0 T
0
и обозначив
2Cnc  an ;
2Cns  bn ;
Разложение сигнала в ряд (5.9) и (5.12) представляет сигнал в
виде вектора в многомерном пространстве, где члены ряда есть
проекции вектора на координатные оси x, y, z,… Координатные оси
- орты и есть базисные функции.
В данном случае e jnt или cos nt, sin nt .
ПРИМЕР 5.1
Разложить сигнал (рис.5.1),представляющий собой периодическую
последовательность прямоугольных импульсов, в
экспоненциальный ряд Фурье. Длительность импульса  u ,
амплитуда U, период T.
Рис. 5.1
Вычислим коэффициенты ряда:
u


u 
  jn и
jn


2
2 e
2
Cn  1  Ue  jnt dt  U  1  e

T 
T  jn 
u




2
 n u 

sin 

2
U u
.

 
T
n u
2
sinc x  sin x -интегральный синус ;
x
U
 n u 
.
Cn  u sin c

2
T


U
 n u 
Подставив   2 , получим: Cn  u sin c
.
T
T
T


Учитывая, что sinc x функция четная: sinc x=sinc(-x) запишем
экспоненциальный ряд Фурье в виде:
jn 2
2 t 2U
t
jn
n




U и 
 n и 
u
u
T
T


 sin c
S (t ) 

e
.
 sin c
e


T 
T
T
T


n0


5.3. Спектр периодического сигнала
Множество Сn называется комплексным спектром периодического
сигнала.
Множество Cn составляет амплитудный спектр.
Множество  n составляет фазовый спектр.
Рассмотрим картину спектра периодической последовательности
прямоугольных импульсов (см. пример 5.1).
При этом в качестве спектральных составляющих будем брать
коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, где модуль Cn
удваивается.
Рис. 5.2
Отметим, что коэффициент Сn существует только в точках
кратных n, n  0,1,2,
Рис.5.2 изображает амплитудный спектр заданного сигнала.
Пунктирная линия является огибающей амплитудного спектра и

равна 0 в точках, где n и 2   ;2 ;3 и т.д.,отсюда:
  2 ;   4 ; …
2 и
1 и
Частотный интервал 0   заключает в себя первую полуволну
1
огибающей спектра (первый лепесток),    - вторую полуволну
1
2
и т.д.
и
U и
U и sin  2
C0 
,
C1 
,

T
T
 и
2
и
U и sin 2 2
C2 
,

T
и
2
2


и
U и sin k 2
Ck 
.

T
и
k
2
Фазовый спектр данного сигнала изображен на рис.5.3.
Рис. 5.3
На рис. 5.3 видно, что    изменяется ступенчато с интервалом
 , что связано с периодическим изменением знака sin  n и 2  .


ПРИМЕР 5.2
Разложить в тригонометрический ряд Фурье сигнал S (t ) ,
представляющий собой знакопеременную периодическую
последовательность прямоугольных импульсов  меандр
(рис.5.4).Амплитуда сигнала U, период Т.
В соответствии с (5.11):

S (t )  C  2 Cn cos(nt   n ) ;
0
1
Рис. 5.4
T
2
C  1  S (t )dt;
0 T T

2
T
T
2
2
1
1


Cnc 
S
(
t
)
cos
n

t
dt
;
C

ns T  S (t ) sin nt dt.
T T

T
2
2
Согласно выбранному началу отсчета функция S t  нечетная и
C , Cnc соответственно равны 0.
0
T
0
2
Cns  1  (U ) sin nt dt  1 U sin nt dt  U 1  cos n 
n
T T
T 0

2
Таким образом, Cn  U 1 cos n  .
n
U 1  cos n 
C
 n  arctg ns  arctg n
 
(см.п.5.2.2)
Cnc
0
2
Запишем S t  в виде:


S (t )  2  U 1  cos n cos nt      2U 1  cos n sinnt.
2  n1 n

n1 n
Построим спектральную диаграмму до n=7.
при.
n  0,2..., 2n
0
U

Сn 
cos(1  n )   2U
n
при
n  1,3,5,..., (2n  1)
 n
Спектральная диаграмма данного сигнала изображена на рис.5.5.
Рис. 5.5
Легко видеть, что и ряд Фурье имеет вид:


S t   4U  sin t  1 sin 3t  1 sin 5t     .
 
5
3

Рассмотренный пример позволяет дать прозрачную физическую
трактовку понятию спектра периодического сигнала.
Коэффициенты 2 Cn являются амплитудами мгновенных
значений токов или напряжений частот n ,а  n -их начальными
фазами.
В самом деле:
U  2 C sin t;
U  2 C sin 3t и т.д.
1
1
3
3
Суммируя члены ряда Фурье, можно восстановить временную
форму сигнала.
На примере периодической последовательности
равноотстоящих импульсов (Рис.5.1) рассмотрим точность
представления сигнала в зависимости от числа членов ряда
(Рис.5.6, а, б, в, г, д, е, ж).
Амплитуда импульса
Длительность
Период
N-число членов ряда.
U= 1 Вольт
 u = 0,1 миллисекунда
T= 0,2 миллисекунды
N=1
а)
N=3
б)
N=5
в)
N=11
г)
N=21
д)
N=101
е)
N=1001
ж)
Рис. 5.6
Разложение в ряд Фурье периодических сигналов позволяет
решить, по меньшей мере, две практически важные задачи:
1.Определение с достаточной для инженерной практики
точностью ширины спектра сигнала.
Хотя ряд Фурье бесконечен, можно брать конечное число членов
ряда, оговорив заранее ошибку "усечения" ряда.
В соответствии с равенством Парсеваля,
T
2

2
(5.13)
 Cn   S (t ) 2 dt.
n0
T
2
Используя принятый в практике критерий, что ошибка "усечения"
ряда не должка быть больше 0,1 Эc и на основе (5.13) запишем:
T
2
2
n
2
C

0
,
9
(5.14)
 i
 S (t ) dt .
i0
T
2
и, таким образом, верхняя ширина спектра сигнала в  n .
2. Синтез сигнала заданной формы.
Задан спектр сигнала S (t ) в обобщенном базисе n (t ) .
Необходимо аппаратурным путем синтезировать данный сигнал,
т.е. восстановить его временную форму S (t ) .
Принцип действия синтезатора сигнала в обобщенном базисе
поясняется на рис.5.7.
Рис. 5.7
Как уже упоминалось выше, необходимое число членов ряда для
достижения заданной точности совпадения S t  и S t  зависит от
1
вида базисной функции n (t ) .
5.4. Спектр непериодического сигнала
Предельным случаем периодического сигнала является одиночный
сигнал: импульс, "пачка" импульсов и т.д. (рис.5.8,а,б,в).
Рис. 5.8
Для вычисления спектра непериодического сигнала
предположим, что сигнал периодический с T   (рис. 5.9),
Рис. 5.9
и используем это предположение для получения аналитического
выражения спектра данного сигнала.
Запишем для S (t ) экспоненциальный ряд Фурье:

jnt
(5.15)
S (t )   Cne
,
n
где
T
2
1 2
 jnt

; n  1,2,;
Cn 
dt.
(5.16)
 S (t )e
T
T T
2
1
1
d ,
Учитывая (5.15), (5.16) и полагая, что при T  ; 
T
2
а n   - текущая частота, преобразуем сумму бесконечно малых
величин в интеграл.
1  jt 
 jt
(  S (t )e
dt )d.
(5.17)
 e
2 

Введем обозначение:

 jt
S ( j )   S (t )e
dt.
(5.17а)

Тогда (5.17) примет вид:
1 
jt
S (t ) 
d.
(5.18)
 S ( j )e
2 
Выражения (5.17а) и (5.18) представляют собой соответственно
формулы прямого и обратного преобразования Фурье. В
Запишем: S (t ) 
литературе для указанных преобразований приняты следующие
условные
обозначения:
S ( j )  F S (t ) ;
S (t )  F 1S ( j )  ,
S ( j ) - является непрерывной функцией частоты и представляет
собой спектральную плотность сигнала.
В дальнейшем спектральную плотность будем называть спектром.
В общем случае величина S ( j ) - комплексная и может быть
представлена в виде:
j ( )
,
S ( j )  S ( )e
где
S ( )  S ( j ) - спектральная плотность амплитуд-амплитудный
спектр;
 ( ) - спектральная плотность фаз - фазовый спектр.
ПРИМЕР 5.3
Вычислить спектр одиночного прямоугольного импульса(рис.5.10).

U
S (t )  
0

Рис. 5.10


 u t  u
2
2

t  u
2
u
S ( j ) 
2U

sin
2
 Ue
u
2
 и
2
 j t
 U и
sin
1
dt  U
(e
(  j )
 и
 и
 ju
2 e
ju
2 )
2
2
Амплитудный и фазовый спектры S (t ) изображены на рис.5.11,а,б.
Рис. 5.11
Основные свойства спектра непериодического сигнала.
1.Спектр непериодического сигнала сплошной - непрерывная
функция  .
2.Размерность спектра непериодического сигнала: [размерность
сигнала  c ].
Таким образом, спектр непериодического сигнала можно
трактовать, как плотность амплитуд мгновенных значений тока или
напряжения на единицу частоты.
3.Кривая спектра непериодического сигнала совпадает с огибающей спектра периодического сигнала такой же формы с учетом
масштабного коэффициент.
Сравнительная характеристика спектров периодического и
непериодического сигналов.
Периодический сигнал S (t )В; А
T
1 2
 jnt
Cn 
dt
 S (t )e
T T
2
Cn В; А
Cn -дискретная функция  .
Непериодический сигнал S (t )В; А

 jt
S ( j )   S (t )e
dt

S ( j )B  c; A  c ;
S ( ) -непрерывная функция  .
Огибающие Cn и S ( ) совпадают (с точностью до масштабного
коэффициента) (рис.5.12,а,б).
Рис.5.12
Физический смысл:
2 C - амплитуда мгновенного значения колебания тока или
n
напряжения частоты n .
S ( ) - плотность амплитуд тока или напряжения на единицу
частоты.
5.5. Основные теоремы о спектрах
5.5.1. Теорема линейности
Спектр суммы сигналов равен сумме спектров слагаемых сигналов.
S (t )  S1(t )  S 2 (t ).
S ( j )  S1( j )  S 2 ( j ).
Доказательство:



 jt
 jt
 jt
S ( j )   S (t )e
dt   S1(t )e
dt   S 2 (t )e
dt. 



 S1 j   S 2  j .
Следствие: если S (t )  AS1(t ) ,то S ( j )  AS1( j ) .
Иногда данное следствие называют теоремой пропорциональности.
5.5.2. Теорема запаздывания
Спектр сигнала, запаздывающего на фиксированное время t0
(рис. 5.13), равен спектру исходного сигнала, умноженного на
 jt
0.
e
 j t
0.
S (t )  S1(t  t0 ),
S ( j )  S1( j )e
Рис. 5.13
Доказательство:


S ( j )   S (t )e  jt dt   S (t  t )e  jt dt.
0

 1
Производим замену переменных интегрирования:
t  t0   ;
dt  d ;
t    t0 .
 j ( t )
 jt

0 d  S ( j )e
0.
S ( j )   S1( )e
1

Представляя S ( j ) и S1( j ) в показательной форме и выделяя
модуль и фазу, получим:
S ( )  S1( );
 ( )  1( )  t0 .
Отсюда следует важный вывод, что при передаче сигнала по
неискажающей (идеальной линии) имеет место только
запаздывание сигнала, определяемое временем его
распространения вдоль линии t0 , при этом модуль спектра сигнала
остается без изменения, а фазовый сдвиг изменяется на величину
  t0 , т.е. прямо пропорционально  .
5.5.3. Теорема сжатия (изменения масштаба)
При изменении длительности сигнала в n раз модуль и аргумент
комплексного спектра изменяются обратно пропорционально n .
Пусть S (t )  S1(nt ) (при n  1 - имеет место сжатие сигнала,
при n  1 - расширение сигнала), тогда S ( j ) 
1  
S1 j  .
n  n


 jt
 jt
dt   S1(nt )e
dt.
Доказательство: S ( j )   S (t )e


Произведя замену переменных
  nt,
dt   ,
t  ,
n
n
получим:

 j

1
S ( j )   S ( )e n d  1 S  j  .
n  1
n 1 n 
Из данной теоремы следует практически важный вывод: при
сжатии сигнала спектр его расширяется прямо пропорционально
коэффициенту сжатия, а модуль уменьшается в n раз.
5.6.4. Теорема о спектре произведения двух сигналов (теорема
свертки)
Спектр произведения двух сигналов равен свертке этих сигналов.
Пусть S (t )  S1(t )  S 2 (t ),
1 
тогда S ( j ) 
(5.19)
 S ( j ) S2  j (   ) d .
2  1
Правая часть выражения (5.19) называется интегралом свертки
функций S1( j ) и S 2 ( j ) и имеет специальное обозначение:
S1( j )  S 2 ( j ) .
Доказательство:

 jt
(5.20)
S ( j )   S1(t ) S2 (t )e
dt.

Представим S 2 (t ) в виде:
1 
jt
S2 (t ) 
d . и положим   
 S2 ( j )e
2 
Тогда соотношение (5.20) примет вид:
1 

jt   jt
S ( j ) 
S
(
t
)
dt 
 1   S 2 ( j )e d   e
2 
 

1 

 j (  )t 

dt d .
 S 2 ( j )  S1(t )e
2 
 

Учитывая, что

 j (  )t
dt  S  j (   ) ,
 S1(t )e

Запишем S ( j ) в виде:
1 
S ( j ) 
(5.21)
 S ( j ) S1 j (   ) d .
2  2
Соотношение (5.21) и представляет собой свертку спектров
сигналов S1 (t ) и S 2 (t ) .
Аналогично можно показать, что, если S ( j )  S1( j )  S 2 ( j ), то

S (t )   S1(t   ) S2 ( )d ,

т.е. произведению спектров двух сигналов соответствует свертка их
временных функций.
Из теоремы свертки следует очень важный вывод:
положив в (5.21)   0 и заменяя  на  , получим

1 
 jt
(5.22)
S ( j )   S1(t ) S2 (t )e
dt 
 S1( j ) S2 ( j )d.
2 


Если S1(t )  S 2 (t ) , то  S 2 (t )dt  Эc ;

Эс - полная энергия сигнала.
Tогда, учитывая (5.22), можно записать:
1 
1 
2
Эc 
 S ( j ) S ( j )d 
 S ( j ) d .
2 
2 
Так как S ( j ) функция четная относительно  ,
1
2
то Эc   S ( j ) d - равенство Парсеваля.
 0
5.5.5 Теорема дифференцирования
(Доказательства теорем п.п. 5.5.5 и 5.5.6 см.,например,в [4]).
Если S1(t )  0 при t   , т.е. имеет затухающий с течением
времени сигнал,
dS t 
то при S (t )  1 ;
dt
S ( j )  jS1 j  .
5.5.6. Теорема интегрирования
t
1
S ( j ).
Если S (t )   S1(t )dt , то S ( j ) 
j

5.6. Спектры некоторых типовых сигналов
5.6.1. Спектр единичной функции включения
S (t )  1(t ),

 jt
 jt
S ( j )   1(t )e
dt   e
dt .

0
 j t
Интеграл в правой части не определен, так как функция e
в
бесконечности не определена.
Применим следующий искусственный прием: представим
заданный сигнал в виде S (t )  1(t )  e t ;
 - некоторая фиксированная постоянная, которую затем устремим к нулю.

1
1
1
 jt t
S ( j )   1(t )e
 e dt 
;
lim

.


0


j

j



j

0
1
при   0   (см. рис.
j
5.14), однако, для   0 функция S ( j ) снова не определена.
Итак, для единичного скачка S ( j ) 
Рис. 5.14
Определим S ( j ) в точке   0 .
1
Представим lim
в виде:
 0   j
1


lim
 lim
 j  lim
.
 0   j  0  2   2
 0  2   2
(5.23)
Первое слагаемое (5.23) равно 0 при   0 и, одновременно, при
  0 обращается в  , но мы можем вычислить площадь функции,
которая при всех значениях  - постоянная величина.
В самом деле:



d  

  2   2

 
d    .
2
   
1  
 
Для фиксации площади в точке   0 умножим полученный
результат на  (t ).
Таким образом, окончательно:
1
S ( j )   ( ) 
j .
Данное выражение характеризует спектральную плотность
сигнала во всей области частот:   0   .
1
5.6.2. Спектр единичного импульса 1 (t )
S (t )  1 (t )   (t ).

 jt
S ( j )    (t )e
dt  e0t  1 ,(*)

*- см.фильтрующее свойство  - функции.
На рис. 5.15 изображен график спектра 1 (t ).
Рис. 5.15
Итак, модуль спектра единичного импульса равен единице в
пределах  ; и энергия спектра в соответствии с равенством
Парсеваля равна  , что еще раз свидетельствует о том, что
единичный импульс является математической идеализацией и
технически реализован быть не может.
Смещенный на t0 единичный импульс.
S (t )  1(t  t0 )   (t  t0 ).
 j t

 jt
0 , (*)
S ( j )    (t  t0 )e
dt  e

*-см. теорему запаздывания.
Используя обратное преобразование Фурье (5.18), получим весьма полезное соотношение:
 j (t t )
0 d .
(5.24)
2 (t  t0 )   e

1   jt0 jt
1  j (t t0 )
e
d 
d .
В самом деле:  (t  t0 ) 
 e
e
2 
2 
5.6.3 Спектр сигнала, умноженного на экспоненту
j t
S (t )  S1(t )e 0 .
 j (  )t

0 dt  S j (   ) .
S ( j )   S1(t )e
1
0



5.6.4. Спектр экспоненциального сигнала
j t
  j (  )t
0 dt.
S (t )  e 0 ;
S ( j )   e

Как было показано в п.п.5.6.2,
 j (t t )
0 d ,
2 (t  t0 )   e

произведя в (5.24) замену t   ; t0   0 , получим
 jt   
0  dt 2 (   ) .

e
0

Выражение (5.25) используется для определения спектра
гармонического сигнала.
5.6.5. Спектр гармонического сигнала
(5.25)
S (t )  U m cos  0t

U m   j ( 0 )t
 jt
S ( j )   U m cos  0te
dt 
dt 
e
2 



U m   j  0 t

dt  U m (   0 )  U m (   0 ).
e
2 
Напоминаем, что
j t
 j t
0
0
e
e
cos  0t 
.
2
Рис.5.16
Можно показать также, что, если S (t )  U m sin  0t , то
S ( j )  U m (   0 )  U m (   0 ) .
Итак, спектр гармонического колебания дискретный и содержит
две составляющие:U m (   0 );U m (   0 ) -(см.рис. 5.16).
Рассмотренные выше спектры типовых сигналов позволяют
решать задачи, связанные с вычислением спектров сложных
сигналов.
ПРИМЕР 5.4
Вычислить спектр тонального
телеграфного импульса (рис.
5.17).
Рис. 5.17
S (t )1- огибающая гармонического колебания - прямоугольный им-
пульс с амплитудой U m и длительностью  u (на рис.5.17 огибающая изображена пунктирной линией).
Вычислим спектр огибающей:
U m cos 0t
S (t )
0
0  t  u
,
t  u


u
 j  t
 j  t
S ( j )   S (t )  e
dt   U  e
dt 
1
1
m

0
 

sin  и   j и
2

 e 2 .
 U 
m и 
и
2
Используя результаты п.5.6.3, можем непосредственно записать:
 j (  )u
0
(



)



1
u
0
2
e
S ( j )  U m u  sin c


2
2


 j (  )u
0
 (   0 ) u 
1
2
e
 U m u sin c
.

2
2


Модуль спектра сигнала S (t ) изображен на рис.5.18.
Рис. 5.18
Из рис.5.18 видно, что умножение сигнала на гармоническое
колебание с частотой  переносит его спектр на частоту  вдоль
0
0
оси   , при этом и зеркальное отображение спектра исходного
сигнала или часть его (в зависимости от величины  ) оказывают0
ся в области положительных частот, т.е. спектр может быть в 2 раза
2
шире при  
.
0

u
ПРИМЕР 5.5
Вычислим спектр амплитудно-модулированного АМ колебания при
модуляции монохроматическим сигналом с частотой  .
S (t )  U (1  M cos t ) cos t.
m
0
М - коэффициент модуляции;  - модулирующая частота,  0
несущая частота. Разложим S (t ) на составляющие:
U M
U M
m
S (t )  U cos  t 
cos(  )t  m cos(  )t.
m
0
0
0
2
2
Используя результаты п.5.6.5, запишем спектр заданного сигнала в виде:


U M
S ( j )  U  (   )  U  (   )  m    (  ) 
m
0
m
0
0
2
U M
U M
m

   (  )  m    (  ) 
0
0
2
2






U M
 m    (  )
.
0
2
Модуль спектра АМ колебания изображен на рис.5.19.
Рис. 5.19
"Зеркальная" часть спектра в области отрицательной частоты физического смысла не имеет, но ее необходимо учитывать при
переходе к временной форме, используя обратное преобразование
Фурье.
ПРИМЕР 5.6
Вычислить спектр пакета равноотстоящих импульсов (рис. 5.20).
Рис. 5.20
U - амплитуда импульсов,  - длительность, T - межимпульсный
и
интервал, N - число импульсов в пакете.
Спектр данного сигнала получим, используя известное
выражение для спектра одиночного прямоугольного импульса,
теоремы запаздывания и сложения.
Обозначив спектр одиночного прямоугольного импульса S ( j )
1
,получим:
 jT
 j 2T
 jNT
S ( j )  S ( j ) (1  e
e
 e
).
(5.26)
1
 jNT
Легко видеть, разлагая e
по формуле Эйлера на cos NT и
2
, где К = 0,1... все слагаемые в
sin NT , что на частотах   K
T
скобках (5.26) равны единице и S ( j )  NS ( j ) .
1
1  2 
На частотах     выражение в скобках обращается в нуль. Во
N T 
всех остальных точках имеет место геометрическая сумма слагаемых.
График модуля спектра при N  3 изображен на рис.5.21.
Рис. 5.21
На рис.5.21 пунктирной линией нанесена огибающая спектра одиночного импульса.
При увеличении N пики спектральной функции увеличиваются
и сужаются, и при очень большом N сплошной спектр
вырождается в дискретный, что логично, так как S (t ) уже будет
почти периодическим сигналом (см. рис.5.22).
Рис.5.22
5.7. Частотный (спектральный) метод анализа линейных цепей
Реализация частотного метода базируется на представлении сигнала S (t ) в виде его спектральной функции и использует частотную
функцию цепи.
Суть спектрального метода заключается в следующем:
спектральная функция отклика S ( j )
равна произведению
вых
спектральной функции воздействия S ( j ) на частотную
вх
функцию цепи K ( j ) :
S ( j )
 S ( j )  K ( j ).
вых
вх
(5.27)
Доказательство:
в соответствии с представлением электрической цепи, как
динамической системы, отклик и воздействие связаны дифференциальным уравнением:
d n y (t )
d n  1 y (t )
dy(t )
a
a
 a
 a y (t ) 
n
n 1
1 dt
0
n
n

1
dt
dt
(5.28)
d m x(t )
d m  1x(t )
dx(t )
b
b
 b
 b x(t ).
m
m 1
1 dt
0
m
m

1
dt
dt
y (t ) - отклик; x(t ) - воздействие; коэффициенты a , b отражают
n m
параметры и конфигурацию цепи.
Применив к правой и левой части (5.28) операцию прямого
преобразования Фурье и учитывая теоремы сложения и
дифференцировании, получим:
a ( j ) n S ( j )  a
( j ) n  1 S ( j )  ...
n
y
n 1
y
 a ( j  ) S ( j )  a S ( j )  b ( j  ) m S ( j  ) 
1
y
0
y
m
x
b
( j ) m  1 S ( j )  ...  b ( j ) S ( j )  b S ( j ).
m 1
x
1
x 0
(5.29)
Преобразуем (5.29)
b ( j ) m  b
( j  ) m  1    b ( j )  b
m 1
1
0 S ( j ) (5.30)
S ( j )  m
y
x
a ( j ) n  a
( j ) n  1    a ( j  )  a
n
n 1
1
0
обозначим сомножитель:
S ( j )
b ( j ) m  b
( j ) m  1    b ( j  )  b
y
m
m 1
1
0
 K ( j )
n
n

1
S
(
j

)
a ( j )  a
( j )
   a ( j )  a
x
n
n 1
1
0
и окончательно запишем (5.30) в виде:
S ( j )  S ( j )  K ( j ).
(5.31)
y
x
Соотношение (5.31) является формулой частотного
(спектрального) метода анализа отклика линейной цепи на заданное
воздействие. Временная форма отклика может быть получена с
помощью обратного преобразования Фурье:
1 
jt
S (t ) 
S ( j ) e
d .

y 2
x

(5.32)
ПРИМЕР 5.7
Определить отклик цепи (рис.5.23) на заданный сигнал:
U (t )
вх
 E e
 t
Рис. 5.23
1.Вычислим S ( j ) :
вх


E
S ( j )вх   U (t )вх e  j  t dt   Ee  t e  j  t dt 



j

0
0
 arctg  
E

e
.
2
2
 
2. Вычислим частотную функцию цепи:
  arctgRC
R
RC
K ( j ) 

e 2
.
1
2
R
1  (RC )
jC
3. Вычислим S ( j )
S ( j )
вых
вых
:
 K ( j )  S ( j )
вх

jRC
E


1  jRC   j

E
RC

  2   2  1  RC 2



e

j   (arctgRC  arctg  ) 
 
 2
Как уже упоминалось выше, S ( j )
дает возможность отвевых
тить на ряд вопросов, важных с технической точки зрения: ширина
полосы выходного сигнала, степень искажения и др.
Однако можно определить и временную форму отклика:
1 
jRC
E
j  t
U
(t ) 

e
d .

вых
2   1  jRC    j 
Вычисление полученного интеграла модно упростить, используя
связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа.
Заменим j на p , тогда:
pRC
E

 L U (t )
,
вых
1  pRC    p 
для перехода к оригиналу используются, например, таблицы
преобразования Лапласа, формула разложения или теорема
вычетов.
Приведем полученное изображение к табличному виду, в
результате получим:
t 1


1


t
RC

  e

e
p
RC

U (t )
 L 1 E
E.
вых
1
 

1 

  p  RC  p    
RC

 



Путем несложных алгебраических преобразований данное
выражение приводим к следующему виду:
1
E
  t

t 1

t
RC

RC .
U (t )
 Ee 
e
e
вых

1 



RC
Активная длительность импульса и эффективная ширина спектра
сигнала.
Активная длительность заданного импульса t определяется как
a
интервал времени, в котором сосредоточена основная часть
энергии сигнала (90-95%), т.е. активная длительность может быть
определена соотношением:
t

a
2
0,95Э  0,95  S (t )dt   S 2 (t )dt.
c
0
0
Эффективная ширина спектра    сигнала определяется ,как
э
в
интервал частот, в котором сосредоточена основная часть энергии
сигнала (90-95%) и в соответствии с теоремой Парсеваля определяется соотношением:


в
2
0,95Э  0,95  S ( j ) d   S ( j ) 2 d .

0
(предполагается, что   0 ;  -нижняя частота спектра).
н
н
Для сигналов, энергия которых сконцентрирована в
ограниченном интервале частот - прямоугольный, колокольный
импульсы и др., вводится постоянная     t ,где  a
принятая ширина полосы сигнала; t - активная длительность
a
импульса.
Для технически реализуемых импульсов  колеблется в
интервале 0,5 ~ 1, что может служить критерием при оценке
ширины полосы при заданной длительности импульса, однако в
ряде специальных случаев, например в измерительной технике,
когда нужно воспроизвести форму сигнала с высокой точностью, 
берется больше единицы.
5.8. Условие неискаженной передачи сигналов в линейной цепи
Сигнал передается линейной цепью без искажений, если не изменяется его временная S (t ) , а следовательно, и частотная S ( j )
формы.
Неизбежными являются только запаздывания сигнала при
прохождении через линейный четырехполюсник, например
длинную линию, и изменение его уровня за счет затухания или
усиления.
Таким образом, линейная цепь является неискажающей, если
S (t )
 K S (t  t ) ,
вых
0
0 вх
(5.33)
где K - некоторый постоянный коэффициент; t - время задержки
0
0
сигнала в цепи.
Рассмотрим требования к АЧХ и ФЧХ цепи, при которых
выполняется условие (5.33).
Используем метод спектральной функции:
(5.34)
S ( j )
K ( j )S ( j ) .
вых
вх
Для выполнения условия (5.33) в соответствии с теоремой
запаздывания должно соблюдаться равенство:
 jt
0.
= S ( j ) e
(5.35)
S ( j )
вх
вых
Подставляя в левую часть (5.34) выражение (5.35), получим:
 jt
0  K ( j ) S ( j ) ,
S ( j ) e
вх
вх
отсюда
 jt
0.
K ( j )  1  e
(5.36)
Итак, для неискаженной передачи сигнала АЧХ (модуль K ( j )
цепи должен быть равен 1, а ФЧХ (фаза  ( ) ) должна изменяться
пропорционально  и равна   t ).
0
В самом деле, указанные выше требования технически
невыполнимы в широком диапазоне частот, да в этом и нет
необходимости, так как ширину полосы сигнала можно ограничить
верхней частотой или интервалом частот:     , где  и
н
в
н
 -соответственно верхняя и нижняя частоты спектра сигнала.
в
Кроме того, как было упомянуто выше, в цепи может иметь
место затухание или ослабление сигнала, которые не искажают
форму сигнала, но изменяют его уровень. Учитывая
вышеизложенное, сформулируем требования к K ( j ) следующим
образом: для неискаженной передачи сигнала с полосой,
ограниченной в интервале (   ), модуль K ( j ) в заданном
н
в
интервале частот должен быть равен постоянной величине K , а
0
фазовая характеристика должна изменяться пропорционально
частоте  ( )  t соответственно групповое время
0
d ( )
 t т.е. времени запаздывания.
запаздывания ГВЗ 
0
d
(рис.5.24,а,б,в)
Рис.5.24
5.9. Связь между временными и частотными функциями цепи
Как было указано выше, временные свойства линейных цепей,
характеризующие переходные процессы в них, описываются
временными функциями h(t ), k (t ) , частотные свойства цепи
описываются ее частотной функцией K ( j ) .
Установим связь между частотными и временными функциями
линейных цепей на следующем примере:
Подадим на вход линейной цепи (рис.5.25),заданной частотной
функцией K ( j ) , единичный импульс и найдем отклик
спектральным методом.
Рис.5.25
S ( j )
S ( j )
вых
K ( j ); S ( j )  F  (t )  1,
вх
вх
 1 K ( j )  K ( j )
 S ( j )
вых
и соответственно
1 
jt
S (t )

K ( j )e
d  F  1K ( j ) .

вых 2

Учитывая, что по определению, отклик линейной цепи на
воздействие единичного импульса равен импульсной функции
цепи, можем записать, что
S (t )
 k (t ),
вых
а следовательно,

 jt
K ( j )   k (t )e
dt  F k (t ) .
0
Итак, импульсная и частотная функции цепей однозначно
связаны между собой формулами прямого и обратного
преобразования Фурье:
1 
jt
(5.37)
k (t ) 
d ;
 K ( j )e
2  

 jt
(5.38)
K ( j )   k (t )e
dt .
0
Установим связь между частотной и переходной функциями цели.
Учитывая, что k (t )  h(0) (t )  h(t ) и используя прямое
преобразование Фурье, получаем

 jt
(5.39)
K ( j )  h(0)   h(t )e
dt.
0
ПРИМЕР 5.8
Импульсная функция цепи:
1
t
1
RC
k (t )   (t ) 
e
.
RC
Определим частотную функцию цепи:
1

t


jRC
 1  RC  jt
 jt
.
K ( j )    (t )e
dt    
e
dt 
e
RC
1

j

RC


0
0
Применив к K ( j ) обратное преобразование Фурье, запишем:
1  jRC jt
k (t ) 
e
d .

2   1  jRC
Для вычисления данного интеграла заменим j на p и, используя связь между преобразованиями Фурье и Лапласа, будем
рассматривать подынтегральное выражение

pRC
p
как изображение k (t ) по Лапласу и, переходя к

1  pRC p  1
RC
оригиналу, получим:
1

t
1
RC
k (t )   (t ) 
e
.
RC
6. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
В технике цифровой обработки аналоговый сигнал подвергается
дискретизации. В этой связи существенным является вопрос об
интервале дискретизации сигналов различной формы.
Ответом на заданный вопрос является теорема Котельникова,
которая формулируется следующим образом:
Непрерывная функция времени S (t ) со спектром, ограниченным
 , может быть полностью представлена отсчетами с интервалом
в

1
(или
).

2f
в
в

Соотношение
называют постоянной Котельникова.

в
Доказательство теоремы базируется на теории обобщенных рядов
Фурье.
Запишем представление S (t ) в виде обобщенного ряда Фурье:

S (t )   C  t .
(6.1)
n n
n  
Выберем в качестве базисной функции
sin  (t  nt )
в
 (t ) 
,
n
 (t  nt )
в
где t - интервал дискретизации;
 - верхняя частота спектра функции S (t ) ;
в
n - числа натурального ряда: 0, 1, 2... и представим S (t ) в виде
ряда




sin  (t  nt )

в
.
(6.2)
S (t )   S (nt )

(
t

n

t
)
n  
в
Здесь S (nt ) - выборка функции S (t ) в точке t  nt . Покажем,
что ряд (6.2) является обобщенным рядом Фурье, т.е.  (t ) n
ортогональная функция, а S (nt ) являются коэффициентами
обобщенного ряда Фурье.
Проверим ортогональность (t ).
В самом деле, легко показать(*), что

 sin  (t  nt ) sin  (t  mt )
nm
 
в
в

dt

при
в


nm

(
t

n

t
)

(
t

m

t
)
0

в
в
и, таким образом  (t ) 2  
 .
в
Покажем, что S (nt ) - выборки функции S (t ) являются
коэффициентами обобщенного ряда Фурье C .
n
Формула обратного преобразования Фурье дает значение
функции S (t ) в любой заданной точке, например, в точке t  nt .
1 
jnt
S (nt ) 
d .
(6.3)
 S ( j )e
2  
 -Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений. М.: Ф.-М., 1963.
Учитывая, что спектр S (t ) согласно определению ограничен
   и подставляя в (6.3) значение S ( j ) , получим
в
н
  
в
1
 jt  jnt

S (nt ) 
dt e
d .
(6.4)

 S (t )e

2     

в
Изменим порядок интегрирования в (6.4):
 

 в  j (t  nt ) 
1 
S (nt ) 
d dt.
(6.5)
 S (t )  e
2  


 в

Рассмотрим внутренний интеграл в (6.5):

sin  (t  nt )
в  j (t  nt )
в
(6.6)
d  2
.
 e
(
t

n

t
)

в
Подставляя (6.6) в (6.5), получаем окончательно:

sin  (t  nt )
1
в
S (nt ) 
  S (t )
dt.
(6.7)


(
t

n

t
)
в
 
в
2
Напомним, что 
  (t ) .

n
в
Таким образом, S (nt ) являются коэффициентами обобщенного
sin  (t  nt )
в
ряда Фурье при разложении S (t ) в базисе  (t ) 
и
n
 (t  nt )
в
мы можем представить функцию S (t ) со спектром, ограниченным
 в, виде ряда Фурье:
в
sin  (t  nt )

в
S (t )   S (nt )
.
(6.8)

(
t

n

t
)
n  
в
Множество S (nt ) является спектром функции S (t ) и однозначно
ее характеризует, следовательно, по известному множеству S (nt )
можно восстановить функцию S (t ) .
Восстановление аналоговой функции S (t ) по ее отсчетам
(выборкам).
Пусть сигнал S (t ) со спектром, ограниченным  , подвергается
в
дискретизации с интервалом t  
 (рис.6.1).
в
Исходная непрерывная функция S (t ) показана пунктиром.
Функцию S (t ) можно восстановить с достаточной степенью
точности.
Рис.6.1
Просуммируем члены ряда (6.8).
Обозначим восстановленную функцию S (t ) :
1
sin  t
sin  (t  t )
в  S (t )
в
S (t )  S (0) 

1
 t
 (t  t )
в
в
(6.9)
sin  (t  2t )
sin  (t  nt )
в
в
 S (2t )
   S (nt )
 (t  2t )
 t  nt 
в
в
sin  (t  nt )
в
Функция
в точках t  nt  n
 равна 1,
 (t  nt )
в
в
в точках кратных n
, 2n
, 3n


  и т.д. обращается в 0.
в
в
в
Таким образом S (t ) , отображенная рядом (6.9) имеет вид (рис.6.2).
1
Рис. 6.2
6.1 Аппаратурная реализация процесса дискретизации сигнала и
его последующего восстановления по отсчетам
Принцип действия системы дискретизация - восстановление
поясняется на рис.6.3.
1.Электронный ключ, замыкающий цепь с интервалом t .
2. Фильтр нижних частот (ФНЧ).
S (t ) - исходный сигнал, подвергаемый дискретизации.
S (nt ) - выборки.
S (t ) - восстановленный сигнал.
1
Рис. 6.3
Электронный ключ 1 производит выборки сигнала S (t ) в моменты
nt , и на выходе его получаем последовательность импульсов с
амплитудой S (nt ) и длительностью   t , которые подаются на
приемном конце линии на ФНЧ. С выхода ФНЧ получаем
последовательность сигналов вида
sin  (t  nt )
в
,
(6.10)
S (nt )
 (t  nt )
в
которые суммируются со сдвигом во времени nt и образуют восстановленный сигнал S (t ) .
1
Рис. 6.4
Рассмотрим механизм образования на выходе ФНЧ сигнала
вида (6.10). Полагая ФНЧ идеальным, зададим его характеристики
следующим образом:
;
АЧХ :
K ( j )  K
ФЧХ :  ( )  t
0
0
граничная частота фильтра    ;
гр
в
t - наклон фазовой характеристики фильтра, определяющий время
0
прохождения сигнала через фильтр (время запаздывания).
Определим импульсную характеристику фильтра с заданными
параметрами:

jt jt
в
1 
1
jt
0e
k (t ) 
K
(
j

)
e
d


K
e
d 


0
2  
2  
в

 sin  (t  t )
в j (t  t )
в
0 .
0
в
d  K в 
 e
0 
2  
 (t  t )
в
0
в
K
0

t  t  
 .
0
в
В этом случае импульсная характеристика ФНЧ будет равна
sin  (t  t )
в
k (t ) 
,
 (t  nt )
в
а в момент nt соответственно:
Зададим K  в ;

0
sin  (t  nt )
в
(6.11)
k (t ) 
 (t  nt )
в
Таким образом, отклик идеального ФНЧ с заданными выше
параметрами на воздействие импульса с амплитудой S (nt ) будет
равен
sin  (t  nt )
в
S (nt ) 
,
 (t  nt )
в
а это и есть член ряда Котельникова.
Погрешность восстановления сигнала определяется следующими
факторами,
1. АЧХ и ФЧХ реального фильтра не вполне соответствуют
поставленным условиям (см. пунктирные кривые рис. 6.4,а,б).
2. Ширина спектральной функции сигнала, ограниченного во
времени, бесконечна и, ограничивая ее частотой  ,мы вводим
в
погрешность "усечения" спектра.
3. Выборка должна быть бесконечно короткой, в самом же деле
импульс выборки имеет конечную длительность  .
Литература
1. Каллер М.Я., Соболев Ю.В., Богданов А.Г. Теория линейных
электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики
и связи. М.: Транспорт, 1987.
2. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 1985.
3. Шебес М.Р., Каплунова М.В. Задачник по теории линейных
электрических цепей. М.: Высшая школа, 1998.
4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы, М.: Радио и
связь, 1986.
5. Радиотехнические цепи и сигналы. Под ред. К.А. Самойло. М.:
Радио и связь, 1982.
6. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая
школа. 1988.
7. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1989.
8.Акопянц Х.Г. Теория линейных электрических цепей
железнодорожной автоматики и связи:
Учебное пособие. Ростов н/Д:
РГУПС.1998.