Зыкин_Теория Чисел - Высшая школа экономики

Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Государственный университет - Высшая школа экономики»
Факультет Математики
Программа дисциплины Теория чисел
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Зыкин А. И., PhD, alzykin@gmail.com
Одобрена на заседании кафедры алгебры «___»____________ 2010 г.
Зав. кафедрой А.Н.Рудаков
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2010 г.
Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2010 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2010
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра,
направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика»
подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2010 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория Чисел» являются создание у учащихся
целостного представления об идеях и методах теории чисел, обучение использованию для
решения теоретико-числовых задач алгебраических, геометрических и аналитических методов.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать об основных понятиях теории чисел.
 Уметь решать различные конкретные теоретико-числовые задачи, с использованием
теории Галуа, локальных полей, теории Дедекиндовых колец, теории эллиптических
кривых и теории дзета- и L-функций.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения алгебраической и аналитической
техники в различных разделах теории чисел.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин
по выбору.
5
№
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Теория полей
Квадратичные формы и локальные поля
Десятая проблема Гильберта
Разложение в полях алгебраических чисел
Эллиптические кривые
Дзета-функции
Итого:
27
25
29
26
26
29
162
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
5
6
6
7
5
7
36
7
5
6
6
5
7
36
15
14
17
13
16
15
90
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Формы контроля знаний студентов
6
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Промежу
точный
Итоговы
й
Форма
контроля
Контрольная
работа
Зачет
1
*
1 год
2 3
8 9
4
9
1
2 год
2 3
Кафедра
Параметры **
4
письменный, 80 мин.
письменный, 240 мин.
v
Экзамен
письменный, 240 мин.
v
Критерии оценки знаний, навыков
На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания из
первых трех разделов курса к конкретным задачам теории чисел. На экзамене требуется
владение материалом всего курса, а также умение применять его в решении конкретных задач.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
Содержание дисциплины
7
Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по
разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным и практическим
занятиям.
1. Раздел 1 Теория полей
№
Тема
1.
Конечные и алгебраические расширения полей и их
свойства. Теорема о существовании алгебраического
замыкания.
2.
3.
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
7
1
2
4
7
1
2
4
13
3
3
7
В
задачах:
трансцендентные
расширения,
неприводимость многочленов, построения циркулем и
линейкой
Конечные поля – существование и свойства, теорема
Шевалле-Варнинга.
В задачах: неприводимые многочлены над конечными
полями, квадратичные формы над конечными полями,
квадратичный закон взаимности.
Сепарабельные и нормальные расширения. Расширения
Галуа. Основная теорема теории Галуа и ее
приложения.
В задачах: несепарабельные расширения, построение
полей разложения, вычисление группы Галуа
некоторых многочленов.
Итого:
1
27
3
1
5
7
2
15
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Литература по разделу:
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.:
МЦНМО, 2009.
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972
2. Раздел 2. Квадратичные формы и локальные поля
№
Тема
4.
Определение p-адических чисел. Нормирования поля
рациональных
чисел
и
пополнения.
Теорема
Островского. Лемма Гензеля.
5.
6.
В задачах: нормы на функциональных полях.
Топологические
свойства
p-адических
чисел,
архимедовы нормирования и теорема ГельфандаТорнхейма.
Квадратичные формы над полями p-адических чисел,
символ Гильберта – локальные и глобальные свойства.
В задачах: уравнения над Q_p и ряды Пуанкаре,
Общие свойства билинейных и квадратичных форм.
Теорема Минковского-Хассе. Приложения: теоремы
Гаусса и Лагранжа
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
8
2
1
5
8
1
2
5
9
3
2
4
В задачах: группа классов Витта квадратичных форм.
Итого:
1
25
3
7
6
5
3
14
Литература по разделу:
Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972
3. Раздел 3. Десятая проблема Гильберта.
№
Тема
7.
Вычислимость,
диофантовость.
множествами.
8.
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
10
2
2
6
7
1
1
5
разрешимость, перечислимость и
Операции над диофантовыми
В задачах: машина Тюринга, Геделева нумерация.
Доказательство диофантовость возведения в степень.
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
9.
В задачах: Диофантовость множеств факториалов,
простых чисел.
Кодировка уравнений. Универсальные уравнения.
Решение десятой проблемы Гильберта
В задачах: количество решений диофантовых
уравнений, диофантовы уравнения над Гауссовыми
числами.
Итого:
12
3
3
9
29
6
3
7
6
6
3
17
Литература по разделу:
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.:
МЦНМО, 2009.
Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. - М.: Наука, 1993.
4. Раздел 4. Разложение в полях алгебраических чисел.
№
Тема
10. Простые идеалы, нормы идеалов, разложение идеалов в
произведение
простых
–
существование
и
единственность.
В задачах: разложение на простые идеалы в
квадратичных и круговых полях.
11. Локальные поля. Лемма Краснера. Неразветвленные,
слабо
разветвленные,
вполне
разветвленные
расширения.
В задачах: продолжение нормирований, группы
ветвления.
12. Дискриминант и ветвление. Дифферента. Число классов
идеалов и регулятор. Конечность числа классов
идеалов, теорема Дирихле о единицах.
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
7
2
2
3
10
3
2
5
9
2
2
5
В задачах: геометрия чисел, оценка Минковского для
дискриминанта.
Итого:
1
26
3
7
7
6
1
13
Литература по разделу:
Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5. Раздел 5. Эллиптические кривые.
№
Тема
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
11
2
2
7
15
3
3
9
Всего
часов
13. Эллиптические кривые над произвольными полями.
Модель Вейерштрасса. Закон сложения точек на
эллиптической кривой. Дискриминант, j-инвариант.
В
задачах:
автоморфизмы
и
эндоморфизмы
эллиптических кривых, эллиптические кривые над
конечными полями.
14. Слабая теорема Морделла-Вейля о рациональных
точках на эллиптических кривых. Высоты и их
свойства. Существование канонической высоты.
Доказательство теоремы Морделла-Вейля. Целые точки
на эллиптических кривых.
В задачах: точки конечного порядка на эллиптических
кривых, теорема Лутца-Нагеля, методы нахождения
рациональных точек, гипотеза Берча-СуиннертонаДайера.
Итого:
1
26
5
3
7
5
16
Литература по разделу:
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.:
МЦНМО, 2009.
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
6. Раздел 6. Дзета-функции.
№
Тема
15. Дзета-функция Римана. Эйлеровское произведение.
Аналитическое продолжение и функциональное
уравнение. Нули дзета-функции и распределение
простых. Гипотеза Римана.
В задачах: отсутствие нулей дзета-функции на Re s = 1.
Остаточный член в формуле распределения простых .
16. Характеры и ряды Дирихле. Теорема Дирихле о
простых числах в арифметических прогрессиях.
Аналитическая формула для числа классов идеалов и
регулятора.
Аналитическое
продолжение
и
функциональное
уравнение
для
дзета-функции
Дедекинда.
В задачах: число классов идеалов круговых и
квадратичных полей, регулярные простые числа и
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
12
3
3
6
17
4
4
9
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
теорема
Ферма
для
регулярных
регулярность и числа Бернулли.
показателей,
Итого:
1
29
7
7
7
3
15
Литература по разделу:
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.:
МЦНМО, 2009.
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.
Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972
8
8.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примеры вопросов для домашнего задания:
1. Посчитайте группу Галуа поля разложения x^4-x^2+x+1.
2. Чему равно число классов идеалов кольца целых поля Q(157^{1/2})?
3. Вычислите вычет в $s=1$ дзета-функции поля Q(163^{1/2}).
4. Какие простые числа имеют вид x^2+64y^2?
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Чем характеризуются нормальные расширение полей?
2. Что такое сепарабельные и чисто несепарабельные расширения? Каковы их свойства?
3. Какие имеются нормирования поля рациональных чисел? Полей алгебраических
чисел?
4. Докажите теорему Минковского-Хассе.
5. Сформулируйте критерий эквивалентности квадратичных форм над Q.
6. Дайте определение диофантовых множеств. Какова связь диофантовости,
перечислимости и разрешимости?
7. Докажите диофантовость возведения в степень.
8. Выведите из диофантовости возведения в степень решение 10-ой проблемы Гильберта
10. Сформулируйте и докажите теорему об однозначности разложения на простые
идеалы в полях алгебраических чисел.
11. Как связаны простые идеалы и нормирования полей алгебраических чисел?
12. Дайте классификацию неразветвленных и вполне разветвленных расширений
локальных полей.
13. Что такое число классов идеалов и почему оно конечно?
14. Докажите теорему Дирихле о единицах. Какова ее связь с представлением чисел
полными разложимыми формами?
15. Как характеризуются ветвящиеся простые в расширении полей?
16. Докажите границу Минковского для дискриминанта
17. Как задавать закон сложения на эллиптической кривой? Каковы его свойства?
18. Cформулируйте и докажите теорему Лутца-Нагеля о точках конечного порядка на
эллиптических кривых.
19. Сформулируйте и докажите слабую теорему Морделла-Вейля.
20. Что такое дзета-функция Дедекинда и какова ее связь с арифметикой числовых
полей?
21. Почему дзета-функция Дедекинда продолжается на всю комплексную плоскость?
22. Вычислите вычет дзета-функции Дедекинда в s=1.
23. Докажите теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
8.2
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
8.3
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Примеры экзаменационных задач:
1. Почему корни третей степени из различных простых чисел линейно независимы над
Q?
2. Классифицируйте группы автоморфизмов эллиптических кривых.
3. При каких a в Q_p разрешимо уравнение x^2+axy+axz+z^2=0?
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается количество
решенных задач из списка для самостоятельной работы. Оценки за самостоятельную работу
студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти
балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым
контролем – Осам. работа.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль в форме зачета
выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Опромежуточный = 0.7·Озачет + 0.3· Осам. работа
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по
следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый = 0.7·Оэкзамен + 0.3· Осам. работа
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
10.2 Основная литература
1.
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
2.
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
3.
Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
4.
Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.
5.
Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. - М.: Наука, 1993.
6.
Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972
10.3 Дополнительная литература
7.
Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.
8.
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.:
МЦНМО, 2009.