1 Разностные схемы для уравнений гиперболического типа 1 Схемы для уравнения переноса Рис. 1 Для простейшего уравнения переноса ut u x 0, const , 0 , все множество явных линейных схем на 5-точечном (см. рис. 1; dx dt — характеристика уравнения (1)) с узлами: (m,n+1), (m–2,n), (m–1,n), (m,n), (m+1,n) имеет вид: сеточном (1) шаблоне (2) umn1 um , n (3) , 0 0 с 4-мя неопределенными коэффициентами (рис. 1): 2 , 1 , 00 , 10 . Из них, после удовлетворения условий аппроксимации первого порядка 0 1 0, 1 ( ) 0, (4) , , 0 — число Куранта) два коэффициента, например, 2 , 00 ( / h остаются свободными, а два другие, например, , выражаются через эти свободные 0 коэффициенты. Принимая 2 , 00 за координаты линейного пространства с евклидовой метрикой, в котором каждой точке соответствует некоторая схема 1-го порядка аппроксимации, можно найти все множество устойчивых схем (при 0< <1 — область B1 , B2 , C, B3 , B4 , A3 , A4 , A0 (голубой цвет) на рис. 2), все монотонные схемы (положительные по Фридрихсу, то есть такие, у которых все коэффициенты неотрицательны, (при 0< <1 — зеленый четырехугольник 0 1 0 1 A0 , A1 , A3 , A4 на рис. 2), однопараметрическое семейство схем 2-го порядка аппроксимации 2 2 ( ) 2 0, (5) , (отрезок B1 B4 на рис. 2 — устойчивые при 0< <1 схемы с порядком аппроксимации выше первого), единственную на этом шаблоне схему 3-го порядка аппроксимации: 3 3 ( )3 0, (6) , (при 0< <1 точка C на рис. 2) На основе этих множеств можно строить оптимальные в том или ином смысле схемы, например, "наиболее точную из монотонных схем" — точка A1 , "наименее осциллирующую на разрывных решениях схему 2-го порядка аппроксимации" — точка B2 на рис. 2, гибридные схемы (схемы с переменным порядком аппроксимации — первым вблизи разрывов и вторым 2 или третьим в области гладкого повеления решения) и т.д. Красный треугольник A1B2C на рис. 2 есть множество наиболее удачных схем (по соотношению точности и устойчивости). Рис. 2 Аналогичные рис. 2 построения могут быть выполнены при 1< <2 и при –1< <0. В частности, при <0 аналогичные рис. 2 разностные схемы получаются заменой на – и коэффициентов на . Например, если для т. A1 (при >0) имеем: 02 20 10 0 , 01 , 00 1 , то для аналогичной точки при <0 02 20 01 0 , 10 , 00 1 . Для построения гибридных схем каждый из коэффициентов вектора { 02 , 00 , 20 } можно задавать в виде линейной комбинации двух опорных схем – монотонной схемы 1-го порядка 1 – одной из точек многогранника A0 , A1 , A3 , A4 (при 0< <1) – и немонотонной схемы 2-го или 3-го порядка аппроксимации 2 – одной из точек отрезка B1 B4 : ( , g ) g1 ( ) (1 g ) 2 ( ) (7) При этом g(u) выбирается в зависимости от поведения решения так, чтобы вблизи разрывов g=1, а в области гладкого поведения g=0, например, “по Ван-Лиру”: g (umn 1 , umn , umn 1 ) (1 ( 2q 1)(| 2q 1 | 10 6 ) (1/ k 1) ) / 2 , q | dp dm | /( dp dm 10 6 ) , dp || umn 1 | | umn || , dm || umn | | umn 1 || , k=2÷10. (8) 2 Схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа Система может быть задана в следующей (недивергентной) форме Vt AVx 0 , V {v1 ,..., vI } , A {aij } 1 , aij const , i,j=1,…,I, (10) где {i } – диагональная матрица из собственных значений i , i=1,...,I матрицы A, определяемых из характеристического уравнения PI ( ) Det ( A E ) 0 , E – единичная матрица, {i } – неособенная матрица, строками которой являются линейно-независимые левые собственные векторы матрицы A i { i1 ,..., iI } , для каждого i , с точностью до длины определяемые из линейных однородных систем уравнений i ( A i E ) 0 ). Тогда аналоги разностных схем (3), сохраняющие все описанные выше свойства (порядок аппроксимации, устойчивость, монотонность и т.д.), имеют вид: Vmn 1 , 1 n A Vm , (11) где A { i } – диагональные матрицы, элементы которых 3 i ) , i i / h i ( 0 соответствуют рассмотренным выше построениям (т. A0 , A1 A4 , B1 B6 , C при i >0, 2 =0 на рис.2). Для разных i и значений i набор коэффициентов i может соответствовать разным точкам. Для квазилинейной системы гиперболического типа в дивергентной форме Wt (V ) Fx (V ) 0 , W {w1 ,..., wI } , F { f1 ,..., f I } , Det (W / V ) 0 , которой соответствует недивергентная форма типа (10): Wt R(W )Wx 0 (12) (13) R F / W (F / V )(V / W ) (F / V )(W / V ) 1 1 или (14) Vt A(V )Vx 0 , A (W / V ) 1 (F / V ) = 1 , на том же сеточном шаблоне, что и на рис.1, используя интегро-интерполяционный метод, можно построить семейство консервативных разностных схем с тем же числом свободных параметров, что и в случае линейной системы (10) (трехпараметрическое – 1-го порядка аппроксимации, двухпараметрическое – 2-го и т.д.). Например, можно построить семейство двухшаговых схем с неустойчивым предиктором ~ Wmn 1 = Wmn - ( Fmn1 - Fmn1 )/(2h), (15) и корректором ~ ~ ~ ~ ~ Wmn 1 = Wmn 1 +( 1C ) m 1 / 2 ( Wmn11 - Wmn 1 )-( 1C ) m 1 / 2 ( Wmn 1 - Wmn11 )+ ( 1 B ) m 1 / 2 ( Wmn1 - Wmn ) – ~ ~ – ( 1 B ) m 1 / 2 ( Wmn - Wmn1 )+( 1 D ) m 1 / 2 (( Wmn11 + Wmn 1 ) – ( Wmn1 + Wmn )) – (16) ~ ~ – ( 1 D ) m 1 / 2 (( Wmn 1 + Wmn11 )- ( Wmn + Wmn1 )), где B diag{bi } , C diag{ci } , D diag{d i } - диагональные матрицы. Если в (12) положить W=V, F=AV и сопоставить (15),(16) с (11), то можно установить взаимно однозначную связь коэффициентов bi , ci , d i из (16) с 02i , 00i , 20i из (11), а значит и из (3): bi 0.5(1 00i (20i (2 i ) 02i (2 i )) / i ) (17) ci ( 02i 20i ) / i , di ( 02i 20i ) / i и, тем самым, получить консервативные аналоги разностных схем, соответствующих точкам A0 (схема Лакса), A1 - A1' (аналог схемы Куранта-Изаксона-Риса), B3 - B3' (аналог схем ЛаксаВендроффа и Маккормака) и т.д., если соответствующим образом выбирать коэффициенты 02i , 00i , 20i . Пример системы уравнений гиперболического типа – одномерные уравнения газодинамики: u 2 Переменные V u ; для дивергентной формы системы W (V ) u ; F (V ) u p , E u( E p ) 2 u где – плотность, u – скорость, – удельная внутренняя энергия, E - удельная 2 полная энергия, p ( 1) – давление, 1.4 - показатель адиабаты воздуха. Для этой системы хорошо исследована «задача о распаде разрыва» в области 0 t T , 0 x 1 с VL {10,0,1}, 0 x 0.5 начальными условиями вида V (0, x ) и граничными условиями VR {1,0,1}, 0.5 x 1 V (t , x 0) / t 0, V (t , x 1) / t 0 . 4 3 Примеры разностных схем 1 Схемы 1-го порядка 1.1 наиболее точная при значениях числа Куранта 0< <1 монотонной схеме (т. А 1 : 00 1 , 02 0 ) 1.2 схема Лакса, для которой 00 02 0 (т. A0 ) 1.3 00 =1– /2, 02 = /2 (т. A3 ) 1.4 00 =0, 02 =( +1)/3 (т. A4 ) 2 Схемы 2-го порядка 2.1 наименее осциллирующая на разрывных решениях схема ( 02 =3 ( –1)/10 — т. B2 ) 2.2 схема Лакса-Вендроффа, у которой 02 =0 (т. B3 ), 2.3 схема Бима-Уорминга, у которой 02 = ( –1)/2 (т. B5 ) 2.4 схема Фромма, у которой 02 = ( –1)/4 (т. B6 ) 2.5 02 =( 2 –1)/4 (т. B 1 ; граница множества устойчивых схем) 2.6 02 =( 2 –1)/4 и 02 = 2 /4 (т. B 4 ; граница множества устойчивых схем) 3 Схема 3-го порядка аппроксимации (т. C: a 02 = ( 2 –1)/6; коэффициент a 00 =3a 02 +1– 2 вычисляется в соответствии с (5)).