Дополнительные главы функционального анализа

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Дополнительные главы функционального анализа
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
В.н.с., д.ф.-м.н.
М.И. Белишев
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
-
Целью преподавания является подготовка специалистов, обладающих знаниями в
области теории C*-алгебр, способных сопоставлять эти знания с более общими
представлениями о теории операторов, а так же применять методы теории к
решению задач иных дисциплин, таких как обратные задачи математической
физики.
-
Задачами освоения дисциплины являются:
- изучение теории коммутативных и некоммутативных C*-алгебр и ее
применения в теории операторов.
- обсуждение вопросов канонической реализации C*-алгебр, а также их
использования для восстановления римановых многообразий произвольной
топологии по отображению Dirichlet-to-Neumann.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа»
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы математической теории рассеяния в
теоретико-прикладных задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» и её вклад в
формирование результатов обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения теоретических задач.
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины.
- умение применять освоенные теоретические методы в смежных дисциплинах.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих курсах
функционального анализа, алгебры, а так же обратных задач. Дисциплина
«Дополнительные главы функционального анализа» дает аспирантам понимание методов
теории С*-алгебр, а так же на примере задачи о восстановлении римановой поверхности
по Dirichlet to Neumann оператору демонстрирует применение методов теории для
решения задач смежных дисциплин.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Трудоемкость по курсам
Итого, ач
Виды учебной работы
3 курс.
ач/сем
Лекции (Л)
18
Практические занятия (ПЗ)
18
Самостоятельная работа (СР)
36
Экзамен (Э)
1
Общая трудоемкость освоения дисциплины в академических часах, ач
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1 Коммутативные банаховы алгебры.
2 Каноническая реализация
коммутативной C*-алгебры.
3 Представления C*-алгебр.
4 Спектр C*-алгебры.
5 Применение к обратным задачам.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч.
18
18
36
1
72
Л, ач
3
3
ПЗ, ач
3
3
СР, ач
6
6
4
4
4
18
4
4
4
18
72
8
8
8
36
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Коммутативные банаховы алгебры.
Определения и примеры банаховых алгебр.
Коммутативные банаховы алгебры.
Спектр и преобразование Гельфанда.
Каноническая реализация равномерной
коммутативной банаховой алгебры.
Каноническая реализация
коммутативной C*-алгебры.
C*-алгебры. Теорема Гельфанда-Наймарка
о канонической реализации
коммутативной C*-алгебры.
Представления C*-алгебр.
Положительные функционалы и
состояния. ГНС-конструкция.
Спектр C*-алгебры.
Примитивные идеалы и спектр. Топология
Джекобсона.
Применение к обратным задачам.
Задача Кальдерона о восстановлении
римановой поверхности по D-Nоператору.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
зачета. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии, такие
как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций
«Дополнительные главы функционального анализа» базируется на знаниях,
приобретенных слушателями на предыдущих этапах обучения, в частности алгебры,
функционального анализа и уравнений математической физики.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Дополнительные
главы функционального анализа» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства банаховых алгебр.
- Определения и основные свойства коммутативных банаховых алгебр,
преобразования Гельфанда.
- Определения и основные свойства С*-алгебр, топологии Джекобсона.
- Формулировка и структура доказательства теоремы Гельфанда-Наймарка.
- Описание спектра С*-алгебры посредством мультипликативных функционалов и
примитивных идеалов.
- Построение ГНС-конструкции и ее роль в доказательстве теоремы ГельфандаНаймарка.
- Определение и основные свойства Dirichlet to Neumann оператора.
- Постановка задачи восстановления римановой поверхности по Dirichlet to Neumann
оператору и применение к ней теории С*-алгебр.
- Умение применять теорию С*-алгебр к другим обратным задачам.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Дополнительные главы
функционального анализа» является посещение лекций и успешная сдача зачета для
приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского
экзамена по специальности 01.01.03 Математическая физика и выполнения
квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. Дж.Мерфи. C*-алгебры и теория операторов. Факториал, Москва, 1997.
2. М.А.Наймарк. Нормированные кольца. Наука, Москва, 1968.
Дополнительная литература
1. В.А.Тихомиров. Банаховы алгебры. Дополнение в книге А.Н.Колмогоров,
С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука,
Москва, 1976.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория математических проблем геофизики ПОМИ РАН, оснащенная
необходимой техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Дополнительные главы функционального анализа
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания является подготовка специалистов, обладающих знаниями в
области теории C*-алгебр, способных сопоставлять эти знания с более общими
представлениями о теории операторов, а так же применять алгебраические
подходы к решению задач иных дисциплин, таких как обратные задачи
математической физики.
- Задачами освоения дисциплины являются:
- изучение теории коммутативных и некоммутативных C*-алгебр и ее
применения в теории операторов.
- обсуждение вопросов канонической реализации C*-алгебр, а также их
использования для восстановления римановых многообразий произвольной
топологии по отображению Dirichlet-to-Neumann.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа»
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы математической теории рассеяния в
теоретико-прикладных задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» и её вклад в
формирование результатов обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения теоретических задач;
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины;
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Дополнительные
главы функционального анализа» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства банаховых алгебр.
- Определения и основные свойства коммутативных банаховых алгебр,
преобразования Гельфанда.
- Определения и основные свойства С*-алгебр, топологии Джекобсона.
- Формулировка и структура доказательства теоремы Гельфанда-Наймарка.
- Описание спектра С*-алгебры посредством мультипликативных функционалов и
примитивных идеалов.
- Построение ГНС-конструкции и ее роль в доказательстве теоремы ГельфандаНаймарка.
- Определение и основные свойства Dirichlet to Neumann оператора.
- Постановка задачи восстановления римановой поверхности по Dirichlet to Neumann
оператору и применение к ней теории С*-алгебр.
- Умение применять теорию С*-алгебр к другим обратным задачам.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Аттестация производится в форме экзамена.
Тесты:
1. Примером С*-алгебры является:
a. Пространство непрерывных функций на компактном топологическом
пространстве.
b. Пространство финитных непрерывных функций на локально компактном
топологическом пространстве.
c. Пространство непрерывных функций на локально компактном
топологическом пространстве.
d. a и b.
2. С*-алгебра является:
a. Банаховой алгеброй.
b. Коммутативной алгеброй.
c. Ассоциативной алгеброй.
d. a и c.
3. Данная алгебра не содержит единицу:
a. Алгебра комплексных чисел.
b. C(X), X -- компактно.
c. С0(X), X -- локально компактно, но не компактно.
d. b и c.
4. Если x -- элемент банаховой алгебры с единицей, то его спектр:
a. Открыт.
b. Замкнут.
c. Ограничен.
d. b и c.
5. Спектр самосопряженного элемента унитальной банаховой алгебры:
a. Пустой.
b. Вещественный.
c. Мнимый.
d. Отрицательный.
6. Если u -- мультипликативный функционал на унитальной С*-алгебре, то:
a. u не ограничен.
b. Норма u меньше единицы.
c. Норма u равна единице.
d. Норма u больше единицы.
7. Элемент С*-алгебры называется положительным, если:
a. Он самосопряжен.
b. Его спектр положителен.
c. Его спектр неотрицателен.
d. a и b.
e. a и c.
8. Состояние -- это:
a. Множество устойчивых значений переменных параметров объекта.
b. Положительный линейный функционал с единичной нормой.
c. Точка в фазовом пространстве.
d. Функция распределения плотности вероятности в фазовом пространстве
9. Множество состояний является:
a. Коническим.
b. Звездным.
c. Открытым.
d. Выпуклым.
10. Теорема Гельфанда-Наймарка дает
a. Мультипликативный вариант теоремы Хана – Банаха.
b. Универсальное описание всех C*-алгебр.
c. Критерий сепарабельности С*-алгебр.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Дополнительные главы
функционального анализа» является посещение лекций, практических занятий,
самостоятельная работа и успешная сдача экзамена для приобретения дополнительных
знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по специальности 01.01.03
Математическая физика и выполнения квалификационной работы и последующей защиты
кандидатской диссертации.