Зимний «Головастик» - 2016 7 класс, разная геометрия 1. В остроугольном треугольнике ABC с углом A = 60 проведены биссектриса AL, медиана BM и высота CH. Докажите, что LM = LH. 2. Может ли каждая из диагоналей выпуклого пятиугольника быть меньше противоположной стороны? 3. В треугольнике стороны AB и AC равны. Медианы BN и CM пересекаются в точке O. NBC = 20. Чему равен NCО? 4. В пятиугольнике ABCDE угол A равен 60, а остальные углы равны между собой. Докажите, что AB=ED+DC. 5. Пусть AM медиана треугольника ABC, точка P середина медианы AM. И пусть луч BP пересекает сторону AC в точке N. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что NP– биссектриса угла ANM и BAC =NMC. 6. В остроугольном треугольнике ABC проведены высота AH, медиана BM и биссектриса CL. Точки пересечения этих трех линий образуют треугольник. Может ли этот треугольник быть правильным? 7. В треугольнике ABC биссектриса AL равна стороне AC. Докажите, что A < 120 8. Дан прямоугольник ABCD, у которого AB > BC. На стороне AB отмечены точки K и L такие, что K лежит между A и L и KL = BC. Докажите, что KD+LC < 0,5P. 9. На стороне CD трапеции ABCD (AD || BC) отмечена точка E такая, что BC = DE, EAD = 70, BEC = 50. Докажите, что AD+CE > AE. 10. Вершины замкнутой несамопересекающейся ломаной совпадают с вершинами куба. Доказать, что у этой ломаной существует 4 звена одинаковой длины. Зимний «Головастик» - 2016 7 класс, треугольник Паскаля 1. Докажите, что С n0 С n1 ... С nn 1 С nn 2 n . 2. Докажите, что𝐶𝑛0 − 𝐶𝑛1 + 𝐶𝑛2 − ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 = 0. 3. Докажите, что: а) каждое число С в треугольнике Паскаля равно сумме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом С; б) аналогично, с заменой правой диагонали на левую, и наоборот. 4. Докажите, что C C 0 2 n 1 2 n ... C nn 2 C 2nn 5. Докажите, что каждое число треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число С (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются). 6. Докажите, что из n предметов нечетное число предметов можно выбрать 2n–1 способам 7. Сколько слагаемых будет в выражении (a+b)n после раскрытия скобочек, но до приведения подобных? После приведения подобных?, 8. а) Некто раскрывает скобочки в выражении (x+y)25. Какой коэффициент у него будет при слагаемом x10y15? б) Докажите, что коэффициенты, которые получились у Арагорна при раскрытии (x+y)25, в точности составляют 25-ю строку треугольника Паскаля. 9. а) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «МАТЕМАТИКА»? б) В выражении (М+А+Т+Е+Р+И+К)10 раскрыли скобки и привели подобные. Какой будет коэффициент при слагаемом М2А3Т2Е1Р0И1К1? 1 10. Вырежем в бесконечной прямоугольной таблице 1 некоторые клетки так, как показано на рисунке (вырезанных 1 клеток бесконечно много). Остальные клетки заполним по 1 принципу треугольника Паскаля: число в каждой клетке есть сумма соседей сверху и слева (числа в вырезанных клетках ... считаем равными нулю). Докажите, что слева от вырезанной клетки стоит всегда вдвое большее число, чем сверху. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 3 4 5 6 7 ... 3 3 4 3 7 12 18 25 ... 4 7 11 11 14 12 30 55 ... 5 12 23 34 48 48 60 55 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11. Имеется сеть дорог в виде квадратной сетки. Из ресторана в левой нижней точке вышло 2048 человек. Выйдя на улицу, группа разделилась – половина пошла вверх, половина – направо. На следующем перекрестке каждая группа опять разделилась ровно пополам, и половина пошла вверх, половина – направо. Все идут равномерно с одной скоростью. Сколько человек встретится на правой верхней точке квадрата 5×5? 12. Из ресторана вышла толпа в 4096 человека. Ровно половина из них пошла направо, а половина – налево. Через полчаса каждая группа разделилась пополам – половина пошла дальше, а половина повернулась обратно. Так происходило каждые полчаса. Найдите, сколько народу будет в каждой точке дороги через 4 часа (все идут с одинаковой скоростью, 2 км/ч)