Рис. 2

Исследовательская деятельность
школьников в процессе решения
геометрических задач
Подготовила: учитель математики
МБОУ «Лицей №4» г.Рузаевка РМ
Овчинникова Т.В.
2014-2015 учебный год
Геометрические задачи используются не только в качестве основного
средства для усвоения математических понятий, но и как материал,
способствующий развитию исследовательских умений, математического
мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике. Поэтому обучение
решению задач является одной из важнейших составляющих практики
преподавания.
Известно, что решение большинства задач по планиметрии не
достигается с помощью жестких алгоритмов (как, например, при решении
задач по алгебре), почти каждая геометрическая задача требует своего
подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять
их в каждом конкретном случае. Поэтому особое значение имеет выработка
разнообразных подходов, которые могут быть успешно применены при
решении многих геометрических задач.
Важно также, чтобы задача выступала не только в качестве
иллюстрации теории, как это часто происходит на уроках, а рассматривалась
бы и как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской
деятельности учащихся.
Я предлагаю несколько способов решения одной задачи по
планиметрии, детальный анализ которых позволит убедиться в реальной и
существенной пользе проделанной работы. Этими материалами можно
воспользоваться на уроках итогового повторения и при подготовке к
экзамену к геометрии.
Решим следующую задачу:
В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4 см проведена медиана
к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если длина
медианы равна 3 см.
На рисунке изображается равнобедренный треугольник АВС и проводится
медиана АО боковой стороны (рис. 1). Полезным на начальном этапе работы
может оказаться замена терминов их определениями.
Рис. 1
Вспомним, что называется медианой треугольника, и сделаем вывод, что ВО
= ОС = 2 см.
I способ.
Анализируя рисунок, замечаем, что искомая сторона АС принадлежит двум
треугольникам АОС и АВС, причем в обоих треугольниках известны две
другие стороны.
Вспомним теоремы, связанные с нахождением одной из сторон, если известны две другие. Третью сторону можно найти по теореме косинусов, но для
этого нужно знать величину угла, противолежащего неизвестной стороне
(или косинус этого угла). Таким образом, задача свелась к нахождению
величины углов АОС и АВС.
Какой из углов можно найти? Анализируя рисунок, замечаем, что в
треугольнике АВО известны все три стороны. Следовательно, соsВ можно
вычислить по теореме косинусов из треугольника АВО:
совВ=(АВ2 +ВО2 -АО2 )/(2АВ× ВО),
отсюда соsВ=11/16, следовательно, АС =
см.
II способ.
Применим свойство медианы треугольника, заключающееся в том, что
медиана делит треугольник на два равновеликих.
Даже если вам не удастся найти еще один способ решения, эта работа не
пройдет бесследно. Учитель должен демонстрировать классу сложную и
противоречивую картину поиска решения, показывать не только те пути,
которые приводят к правильному решению, но и тупиковые ходы мысли,
анализируя и оценивая их.
Убедившись в равенстве площадей треугольников АВО и АОС, обращаем
внимание на то, что в AВО известны все три стороны. Следовательно, можно
вычислить площадь по формуле Герона. Но это значит, что найдена и
площадь треугольника АОС. Можно ли найти искомую сторону AС?
Конечно, нужно только записать формулу Герона для AОС, обозначив АС
через х, и решить полученное уравнение.
Итак,
SABO=
SAOC=
Используя формулу Герона для треугольника AОС, имеем
=
После несложных преобразований получаем уравнение
(25 —х2 ) (х2 —1) = 135
Оно имеет 4 действительных корня: ±4 и ±
. Отрицательные корни,
очевидно, не подходят по смыслу задачи. Остаются два: 4 и
. Полезно
показать, почему значение АС = 4 не удовлетворяет условию задачи (если
АС = 4, то AВС — равносторонний и, следовательно, медиана AО является
одновременно и высотой, т. е. AОС — прямоугольный. Но тогда АО
,
=
что
противоречит
условию).
Следовательно, AC=
.
Итак, в этом случае мы вспомнили, что медиана делит треугольник на
два равновеликих треугольника, а затем применили формулу Герона для
площади треугольника.
Эти способы решения примерно равнозначны, но во втором способе
вычисления оказались немного сложнее и, кроме того, пришлось проверять,
почему значение АС = 4 см не удовлетворяет условию задачи.
Последнее обстоятельство наталкивает на мысль рассмотреть частный
случай более подробно. Сформулируем условие аналогичной задачи для
равностороннего треугольника. В этом случае достаточно указать длину
медианы.
В равностороннем треугольнике проведена медиана к одной из сторон.
Найти стороны треугольника, если длина медианы равна 3 см.
После этого задачу можно сформулировать и решить в общем виде
(«найти стороны равностороннего треугольника, если длина медианы равна
m»). Далее учащимся можно предложить следующие задачи.
Дан равносторонний треугольник с медианой т. Найти: 1) периметр
треугольника; 2) площадь
треугольника; 3) радиус
описанной
окружности; 4) радиус вписанной окружности.
Решение задач не должно вызвать затруднений у учащихся.
Для того чтобы вычислить радиусы описанной и вписанной
окружностей, вспомним, что центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении его биссектрис, а центр описанной — на
пересечении его серединных перпендикуляров. В нашем случае эти два
центра совпадают, так как в равностороннем треугольнике медианы,
биссектрисы и серединные перпендикуляры совпадают. Вспомнив, что
медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в
отношении 2:1, считая от вершины, несложно найти радиусы описанной и
вписанной (R=
,r=
) окружностей.
Решение этой дополнительной задачи даёт возможность учащимся
вспомнить, где располагаются центры описанной и вписанной окружностей,
а также применить еще одно свойство медиан.
III способ.
Одна медиана уже проведена (см. рис. 1). Подумаем, какое
дополнительное построение нам выполнить: провести оставшиеся две
медианы или только одну, а если одну, то какую? Нужно провести медиану к
основанию, так как она в равнобедренном треугольнике является и высотой,
что дает возможность рассмотреть прямоугольные треугольники и
применить теорему Пифагора.
Проводим высоту (медиану) ВК к основанию АС (рис. 2), М — точка
пересечения
медиан.
Получились
прямоугольные
треугольники АКМ и АКB, для
которых АК
— общая
сторона
(АС
= 2АК). Таким образом, задача сведется к нахождению половины искомого
отрезка. Обозначим АК через х. Далее, согласно свойству медиан АМ = 2
см, МО = 1 см.
Рис. 2
После анализа рисунка приходим к выводу, что в AKМ неизвестен
катет МК, а в АКВ — катет КВ. Это наводит нас на мысль рассмотреть два
треугольника
одновременно
и
ввести
новую
переменную у:
МК = у, тогда ВК = Зу.
А теперь, используя теорему Пифагора, составляем систему уравнений,
откуда x =
/2, следовательно, АС=
см.
Рис.3
Итак, в процессе решения мы применили одно из свойств медиан
треугольника, теорему Пифагора, а также вспомнили, что высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является одновременно
биссектрисой и медианой. Сравнивая этот способ с предыдущими, можно
отметить, что здесь мы вновь применили алгебраический метод решения и
что алгебраический метод достаточно удобен при решении геометрических
задач.
IV способ.
В процессе анализа рисунка можно вспомнить определение средней
линии треугольника и воспользоваться им.
Действительно,
если
провести
все
три
средние
линии
треугольника AВС, то можно решить задачу, используя свойство диагоналей
и сторон параллелограмма.
рис.4
В полученном параллелограмме ALOF известны обе диагонали и одна из
сторон (рис. 4):
АL=ОF=АВ/2=2 см; АF=ОL=АС/2=х см; LF=(1/2)ВС=2 см, AО=3 см.
Отсюда следует, что x =
/2.
V способ.
Поскольку мы уже провели высоту треугольника AВС (см. рис. 2), то
зададим себе вопрос: как еще можно ею воспользоваться? Все ли знания о
высоте треугольника мы использовали?
Попробуем применить формулу S= ah. Пусть ВК = h, АК = х. Тогда
SАВС= xh. Но площадь треугольника AВС нам уже известна:
SABC=2SABO=З
/2, следовательно, SАВС = xh = З
/2
Поскольку нам, согласно условию, нужно найти х, то выразим h через х. Это
можно сделать, если применить теорему Пифагора, например, к
прямоугольному треугольнику АКВ: xh = x
, откуда x =
/2,
Здесь мы воспользовались результатом 2-го способа (SABO=
поэтому последний способ менее рациональный.
),
AC =
см.
VI способ.
Можно решить эту задачу, достроив треугольник до ромба (рис. 5), но тогда
пришлось бы дополнительно вычислить длину диагонали ВМ.
Рис. 5
В заключение систематизируем известные учащимся сведения о
медиане треугольника.
· Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1,
считая от вершины.
· Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
· В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию,
является медианой и биссектрисой.
· В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон,
является медианой и биссектрисой.
· В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.
Благодаря такой работе у ученика снимается психологический барьер
перед поиском решения задач. Зная, что задача может быть решена разными
способами, он смелее будет браться за ее решение. Постепенно, решая задачу
за задачей, он приобретет некоторый опыт, что позволит ему развить
математическое чутье.
Подробный разбор способов решения задач является хорошим
подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал. Накопившиеся знания не будут лежать мёртвым грузом, их постоянно нужно
использовать, вспоминая то одну, то другую теорему или свойство фигуры.
Конечно, теоретический материал можно повторить и в ходе устного опроса
учащихся, но механическое заучивание формул и теорем не будет
способствовать развитию мышления. Использование же этих знаний на
практике является творческой работой, при которой школьники учатся
действенно применять теорию на практике.
При такой работе над задачей формируется логическое мышление
учащихся, развивается интуиция, систематизируются знания, расширяется
общеобразовательный кругозор, накапливается полезный опыт. Учащиеся
овладевают основными методами решения задач, составляющими важную
часть многих алгоритмов, учатся рационально планировать поиск решения
задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также
использовать известные приемы познавательной деятельности: наблюдение,
сравнение, обобщение и т. д.
Все перечисленное создает условия для формирования навыков
исследовательской учебной деятельности, способствующей накоплению
творческого потенциала школьника.