Тема 1. Квадратные уравнения и неравенства с

.Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Кадетская школа № 47»
Согласовано:
зам. директора по УР
__________ Л.Р. Хайруллина
« ___»______________2014 г.
рассмотрено на заседании методического совета школы
« ____» ______________ 2014г.
руководитель методобъединения
__________________ Г. В. Газетдинова
Утверждаю
Директор МАОУ «КШ № 47»
____________М.Ю. Мухамадеев
« _____» ______________ 2014 г
Элективные курсы по математике
«Решение сложных и нестандартных задач по математике» для 11 классов
( всего 34 ч)
Программу составила: учитель математики
Маданова Татьяна Юрьевна, I квалификационная категория
г.Набережные Челны
2014 г.
Пояснительная записка
Программа предназначена для учащихся 11 классов. Всего 34часа. Особенностью элективного учебного предмета является возможность
обучения учащихся решению задач, не входящих в программный материал, но широко используемый при сдаче единого государственного
экзамена. В предложенной программе рассматриваются задачи с параметрами, причем, кроме использования определенных алгоритмов
решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы,
следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. Кроме этого, стандартные задачи систематизируются: делятся на классы. Причем
идея решения «элементарных задач с параметрами» прослеживается и при решении иррациональных, показательных и логарифмических
уравнений и неравенств.
Наряду с решением основной задачи обучения математике в школе - обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой
математических знаний и умений, углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к
математике, выявление и развитие их математических способностей. Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало
внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого
является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.
Цели курса:
 познакомить с теоретическим материалом, не входящим в школьный курс;
 раскрыть практическое значение изучения материала;
 подготовка учащихся к самостоятельному решению различных нестандартных задач.
 способствовать развитию учебной мотивации учащихся и осознанному выбору профиля обучения;
 развивать коммуникативные и общеучебные умения и навыки (вести дискуссии, доказывать свою правоту, аргументировать ответы)
 воспитание понимания значимости математики.
Организация учебного процесса отличается от обычной: ученику необходимо дать время на размышление, учить рассуждать, анализировать,
выдвигать гипотезы.
При проведении курса используются методы преподавания:
 инструктивный,
 объяснительно-иллюстративный,
 побуждающий;
методы учения:
 репродуктивный,
 практический,
 частично-поисковый,
 поисковый.
Для учащихся планируются учебно-познавательная, трудовая, творческая, мыслительная деятельности.
Каждое занятие и весь курс в целом направлен на то, чтобы развивать и поддерживать интерес школьников к математике, расширить их
значение.
2
Основой проведения занятий служит технология деятельностного подхода, которая обеспечивает системное включение учащихся в процесс
самостоятельного построения ими нового знания и позволяет проводить разноуровневое обучение.
Используемые технологии:
1. Информационные, направленные на формирование знаний, умений и навыков.
2. Исследовательские, направленные на становление системного мышления.
3. Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
4. Технология проблемно-диалогического обучения.
5. Технология проектного метода (мотивация к исследованию путем постановки проблемного вопроса, формированию цели деятельности, выдвижение вариантов решения проблемы и т. д.).
Форма занятий: Интерактивная лекция. Создание проблемной ситуации. Обсуждение вариантов решения. Разбор вариантов решения.
Самостоятельное решение задач
Самостоятельная работа учащихся организуется через:
1. Работу с дидактическим материалом (набор заданий).
2. Изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией.
3. Решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решения.
4. Конструирование задач.
5. Самоанализ своей деятельности.
Формы подведения итогов реализации учебной программы.
1. Текущий контроль
Текущий контроль осуществляется в форме индивидуальных дифференциальных заданий с рейтинговой оценкой.
2. Итоговой контроль
При итоговом контроле суммируются оценки по текущему контролю, а также оценки:
• за семинарское занятие по защите проекта решения нестандартных задач (групповая и индивидуальная форма);
• итоговое тестирование.
3. Психолого-педагогическая диагностика
По окончании курса проводится психолого-педагогическая диагностика с рефлексивной оценкой учащимися своих достижений.
Основные требования к уровню подготовки учащихся.
В результате изучения данного элективного предмета учащиеся должны:
- уметь решать сложные и нестандартные задачи по математике;
- анализировать и обобщать полученные в результате изучения знания.
3
Содержание программы.
Тема 1. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. (3 ч). В данной теме рассматриваются квадратные уравнения и
неравенства, сводящиеся к ним, решаются задачи с использованием свойств квадратного трехчлена, причем выделяются четыре основных
подхода к изучению квадратного трехчлена:
- метод выделения полного квадрата;
- нахождение корней квадратного трехчлена с последующей работой с полученными корнями;
- использование теоремы Виета;
- использование графических представлений о квадратном трехчлене.
При решении конкретных задач не исключается одновременное использование нескольких подходов.
Тема 2. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, при наличии параметра. (3 ч). В данной теме рассматривается
решение уравнений аналитическим способом (методом интервалов в том числе), а также графическим способом решения, который является
более наглядным и в ряде случаев дает более простое решение.
Тема 3. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами. (3 ч). В данной теме рассматривается решение
тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами, сводящиеся к квадратным, уравнения и неравенства, при решении которых
учитываются свойства тригонометрических функций, уравнения и неравенства, решаемые с использованием ограниченности синуса и
косинуса.
Тема 4. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.(3 ч). В данной теме рассматривается решение
уравнений и неравенств с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции. В уравнениях требуется определить
неизвестное по заданному значению одной из аркфункций. Необходимо также учитывать область допустимых значений переменных. При
решении уравнений и неравенств используются также графический способ решения.
Тема 5. Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами. (3ч). В данной теме рассматриваются показательные
уравнения и неравенства с параметрами, которые зависят от вида конкретного уравнения и неравенства, причем при решении уравнений и
неравенств с параметрами надо помнить, что функция вида у = а х (а> 0) всегда больше нуля.
Тема 6. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами. (3ч). При решении иррациональных уравнений и неравенств
основным методом решения иррациональных уравнений и неравенств является сведение их к рациональным путем возведения обеих частей
в одинаковую степень. При этом нужно следить за эквивалентностью получаемых уравнений и неравенств исходным. Кроме того, следует
помнить, что функция у = 2𝑛√𝑓(𝑥) , n Є N всегда неотрицательна, а областью определения этой функции является множество решений
неравенства f (x) ≥ 0. Во многих случаях удобно пользоваться также равносильными переходами.
Тема 7. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.(4ч). При решении логарифмических уравнений и
неравенств с параметрами надо помнить, что функция у = log а x определена при а > 0, а ≠ 1 и х > 0, поэтому решение логарифмических
уравнений надо начинать с нахождения области допустимых значений (ОДЗ) неизвестной величины и параметров.
Тема 8. Системы уравнений и неравенств с параметрами. (4ч). В данной теме рассматриваются системы, содержащие показательную,
логарифмическую функции, тригонометрические уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения и неравенства. При решении
таких систем используются методы замены переменных, подстановки, разложения на множители, использование свойств логарифмической,
показательной, тригонометрических функций в сочетании с методами решения задач с параметрами
4
Тема 9. Графические способы решения уравнений и неравенств с параметрами. (4ч). Стандартный способ решения уравнений и
неравенств в отдельных случаях приводит к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения может быть иногда упрощен,
если применить графоаналитический прием. Можно выделить две разновидности рассматриваемого приема:
1) изображение на плоскости (х; а), где х – неизвестное; а – параметр;
2) на плоскости (х; у) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра а.
Первый способ используется в задачах, которые содержат лишь неизвестную х и параметр а, или сводящихся к таким.
Второй способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными х и у и одним параметром а. Именно эти приемы рассматривается в
данной теме.
Тема 10. Избранные задачи с параметрами. (4 ч). В данной теме рассматриваются задачи, относящиеся ко всем ранее разобранным
разделам. Они представляют набор тренировочных задач, данных неупорядоченно. При таком подходе не происходит отработки навыков
решения задач какого-то определенного типа, поэтому перед обучающимся ставится задача: самостоятельно проводить классификацию
задач и выбор способа решения.
Календарно-тематическое планирование
1ч в неделю, всего 34 часа
Номер
темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Содержание материала
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
Решение уравнений, содержащих знак модуля, при наличии параметра
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.
Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами
Логарифмические уравнения с параметрами
Системы уравнений и неравенств с параметрами.
Графические способы решения уравнений и неравенств с параметрами.
Избранные задачи с параметрами
Количество
часов
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
Дата
5
№
Содержание
материала
п/
п
количество
часов
Учебно-тематический план
календарные
сроки
11А
11 П
Квадратные уравнения с параметрами
Квадратные неравенства с
параметрами
Квадратные уравнения и неравенства с
параметрами
1
1
30.09
30.09
30.09
2.10
1
7.10
9.10
Графический
способ
решения
неравенств и уравнений с модулем
Решение уравнений, содержащих знак
модуля, при наличии параметра
Решение уравнений и неравенств,
содержащих знак модуля, при
наличии параметра.
Использование
основных
свойств
тригонометрических
функций
в
задачах с параметрами
Тригонометрические уравнения с
параметрами
Тригонометрические неравенства с
параметрами
1
14.10
16.10
1
17.10
17.10
1
21.10
21.10
1
22.10
23.10
1
28.10
27.10
1
29.10
30.10
10. Методы и приемы решения уравнений
1
11.11
13.11
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
и неравенств, содержащих обратные
тригонометрические функции.
Планируемые результаты
Знать/понимать
Уметь
 что такое уравнение; неравенство
 уметь решать квадратные уравнения и
 правильно употреблять термины «урав- неравенства более высокой сложности
нение»,
«корень
уравнения»,  точно и грамотно формулировать теоре«неравенства», «параметр», понимать их
в речи учителя, понимать формулировку
«решить уравнение неравенство»
 знать приемы решения уравнений,
неравенств и алгоритмы их решения
 модуль числа, способы решения
уравнений с модулем, содержащих
параметр
 метод интервалов
 способы решения уравнений и
неравенств
 свойства основных тригонометрических
тические положения и излагать собственные рассуждения
 применять рациональные приемы вычислений
 решать уравнения и неравенства,
содержащие знак модуля, при наличии
параметра различными способами
 уметь использовать свойства
функций;
тригонометрических функций при решении
тригонометрических уравнений и
 способы решения тригонометрических
неравенств с параметрами.
уравнений и неравенств
 Тригонометрические функции; графики
тригонометрических функций; свойства
(область значений); тригонометрические
уравнения.
 находить в уравнениях неизвестное по
 понятие обратной тригонометрической
заданному значению одной из аркфункций
функции;
6
11. Решение
1
18.11
12.
1
24.11
 решать уравнения и неравенства,
переменных
содержащие обратные тригонометрические
 графический способ решения уравнений и функции
24.11
неравенств.
1
13.01
15.01
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
уравнений,
содержащих
обратные
тригонометрические
функции
Решение
неравенств,
содержащих
обратные
тригонометрические
функции
Приемы
и
способы
решения
показательных уравнений и неравенств
с параметрами
Решение показательных уравнений с
параметрами
Решение показательных неравенств с
параметрами
Приемы решения иррациональных
уравнений и неравенств с параметрами
Иррациональные уравнения и
неравенства с параметрами
Иррациональные уравнения и
неравенства с параметрами
Методы решения логарифмических
уравнений с параметрами
Логарифмические
уравнения
с
параметрами
Логарифмические
неравенства
с
параметрами
Логарифмические и показательные
уравнения с параметрами
Системы
тригонометрических
уравнений и неравенств с параметрами.
Системы показательных уравнений и
неравенств с параметрами.
20.11  область допустимых значений
22.01
1
20.01
1
27.01
29.01
1
2.12
4.12
1
9.12
11.12
1
18.12
18.12
1
3.02
5.02
1
10.02
12.02
1
17.02
19.02
1
24.02
26.02
1
23.12
25.12
1
3.03
5.03

понятие «показательная функция»;
свойства показательной функции;
свойства степеней;
 способы решения показательных
уравнений и неравенств
 понятие иррационального уравнения
 способы решения иррациональных
уравнений и неравенств
 область допустимых значений
 понятие логарифмической функции;
 свойства логарифмической функции;
 способы решения логарифмических и
 уметь решать показательные уравнения и
неравенства с параметрами;
 применять различные приемы и способы
решения уравнений и неравенств
 уметь находить рациональные способы
решения иррациональных уравнений и
неравенств с параметром; область
допустимых значений; исследовать ответ
уметь решать логарифмические уравнения
и неравенства с параметрами различными
способами
показательных уравнений и неравенств

что такое система уравнений, система
неравенств

знать способы решения систем,
содержащие показательную,
7
 уметь применять при решении систем
методы замены переменных, подстановки,
разложения на множители, использование
свойств логарифмической, показательной,
25. Системы логарифмических уравнений
1
10.03
26.
1
17.03
27.
28.
29.
30.
31.
32.
и неравенств с параметрами.
Смешанные системы уравнений и
неравенств с параметрами.
Графические
способы
решения
уравнений и неравенств .
Графические
способы
решения
уравнений с параметрами.
Графические способы решения
неравенств с параметрами.
Решение уравнений и неравенств с
параметрами
Применение производной при решении
некоторых задач с параметрами
Различные задачи с параметрами
33. Проектная работа по теме «Решение
34. различных нестандартных задач с
1
1
1
12.03
19.03
логарифмическую функции,
тригонометрические уравнения и
неравенства, а также иррациональные
уравнения и неравенства.
тригонометрических функций в сочетании с
методами решения задач с параметрами
 знать графики функций у=f(x), y=f(x-  уметь применять графические способы
a), y=f(x)+b, y=kf(x), y=f(kx), y=f(ixi),
решения при решении различных
y=If(x)I;
уравнений и неравенств
 свойства функций(область
 применять свойства функции при решении
определения, область значений, чётность, неравенств, уравнений с параметром
нечётность функций, монотонность)
1
1
 производные функций; таблица
2
производных; исследование функций с
помощью производной;
 способы решения задач с параметрами с
помощью производной.
параметром»
8
уметь решать задачи с параметрами на
применение методов дифференциального
исчисления
применять графоаналитический прием при
решении различных задач с параметрами
уметь проводить доказательные
рассуждения при защите проекта
Литература для учителя.
1. «Алгебра и начала анализа 10», учебник, авторы Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд, издательство «Просвещение», М, 2011г
2. «Алгебра и начала анализа 11», учебник, авторы Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд, издательство «Просвещение», М, 2011г
3. В.И. Голубев «Решение сложных задач по математике. - М.: Илекса, 2010
4. «Задачи по алгебре и началам анализа», С.М. Саакян и др, М, «Просвещение», 2010 г
5. П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков Школа,.решения задач с параметрами. - М.: Илекса, 2007.
6. А.П. Власова, Н.И.Латанова Задачи с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства, системы уравнений
10-11 классы: Учебное пособие. - Москва, Дрофа, 2005.
7. А.Х.Шахмейстер Задачи с парметрами в ЕГЭ. - С. - Петербург, Москва, изд. Московского университета ЧеРо на Неве МЦНМО, 2004.
8. Материалы ЕГЭ, допущенные ФИПИ 2009-2011 гг.
9. «Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия», В. Н. Литвиненко, М, «Просвещение», 2003 г
10. В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. - 2-е изд., доп., перераб. - Чебоксары:
изд-во Чуваш. Унта, 2000.
9