3 Уравнивание измеренных величин, связанных условиями

СОДЕРЖАНИЕ
1 Основы способа наименьших квадратов………….. ………………….4
1.1 Сущность задачи уравнивания…………………………..………..4
1.2 Два подхода к решению задачи уравнивания…………………....4
1.3 Принцип наименьших квадратов и его обоснование………....…6
2 Параметрический способ уравнивания…………………………..…....8
2.1 Постановка задачи. Уравнения поправок…………………..…….8
2.2 Минимум [V 2 ] . Нормальные уравнения………………..……….9
2.3 Уравнения поправок и нормальные уравнения в матричной
записи. Решение нормальных уравнений……..………………………..11
2.4 Оценка точности уравненных значений неизвестных…….…...13
2.5
Вычисление
эмпирической
средней
квадратической
погрешности по поправкам, полученным из уравнивания……………17
2.6 Средняя квадратическая погрешность измеренных величин
после уравнивания………………………………………………………..18
2.7 Уравнивание и оценка точности при неравноточных
измерениях………………………………………………………………..21
2.8 Уравнивание триангуляции. ......................................................... 23
2.9 Уравнивание трилатерации (линейная засечка). ......................... 33
2.10 Уравнивание системы нивелирных ходов. ................................ 37
3 Уравнивание измеренных величин, связанных условиями. .............. 40
3.1 Постановка задачи. Условные уравнения. .................................. 40
 
3.2 Условный минимум V 2  min . Нормальные уравнения
коррелат и их решение. ............................................................................ 41
3.3 Оценка точности функций уравненных величин. ...................... 44
3.4
Вычисление
эмпирической
средней
квадратической
погрешности по поправкам и средней квадратической погрешности
уравненных величин. ................................................................................ 48
3.5 Уравнивание и оценка точности неравноточных измерений. ... 49
3.6 Уравнивание триангуляции. ......................................................... 52
3.7 Уравнивание систем нивелирных ходов. .................................... 64
4 Уравнивание систем измеренных величин, связанных условиями, с
дополнительными неизвестными. ........................................................... 69
Список литературы .................................................................................. 74
1 Основы способа наименьших квадратов.
1.1 Сущность задачи уравнивания.
До сих пор в теории погрешностей мы, по сути, решали три
задачи:
1. Математическая обработка результатов многократных
измерений (равноточных или неравноточных) одной величины с целью
нахождения вероятнейшего значения этой величины и оценки ее
точности.
2. Оценка точности функций одной или нескольких
независимо измеренных величин.
3. Оценка точности по результатам двойных измерений.
Если бы при создании геодезических сетей выполнялись только
необходимые измерения, проблема их математической обработки
исчерпывалась решением этих задач. Однако на практике кроме
необходимых выполняют также избыточные измерения, например, в
треугольнике измеряют не два, а все три угла. Это дает возможность
контролировать
качество
измерений,
повышать
надежность
определяемых величин и производить надежную оценку их точности.
Таким образом, на практике мы имеем дело не с простой
совокупностью независимо измеренных величин, а с системой
измеренных величин, связанных жесткими математическими
условиями (например, сумма углов в треугольнике должна быть равна
180 и т.д.).
Отсюда возникает потребность нахождения таких значений
измеренных величин, которые бы полностью удовлетворяли
математическим условиям данной системы. Достигается это введением
соответствующих поправок.
Задача эта получила название: уравнивание геодезических
измерений.
Задача уравнивания возникает тогда и только тогда, когда
благодаря избыточным измерениям, между измеренными величинами
возникают математические соотношения, которые необходимо
удовлетворить.
1.2 Два подхода к решению задачи уравнивания.
Существует два подхода к решению задачи уравнивания.
Рассмотрим их по существу.
1. Возьмем треугольник, где измерены все три угла.
Следовательно, имеет место уравнение
1  V1   2  V2   3  V3  180   0 ,
4
где  - измеренные углы, V - поправки.
Рис. 1.1
Обозначив:
1   2   3  180   W ,
где W - невязка в треугольнике, можем записать
V1  V2  V3  W  0 .
(1.1)
В (1.1) V1 ,V2 ,V3 - неизвестные, а W - свободный член.
Мы получили одно уравнение с тремя неизвестными, которое
имеет множество решений, т.е. система является неопределенной.
2. Возьмем систему трех нивелирных ходов с одной узловой
точкой. Неизвестной при этом будет высота узловой точки H .
1
·
h1
h3
3
·
h2
2
·
Рис. 1.2
Следовательно, можно записать три уравнения
H  H 1  h1  V1 ,
H  H 2  h2  V 2 ,
H  H 3  h3  V3 ,
5
(1.2)
где H1 , H 2 , H 3 - высоты исходных реперов, H - высота узловой
точки, hi - измеренные превышения.
Таким образом, мы имеем три уравнения с одним неизвестным
Н. Следовательно, мы снова получили неопределенную систему.
Подведя итог, можно сказать, что решение задачи
уравнивания всегда приводит к неопределенной системе уравнений,
которая не имеет единственного решения, т.е. не может быть решена
по правилам алгебры.
Где же выход?
Решение предложили в начале ХІХ в. немецкий математик и
геодезист Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) и французский математик
Андриен Мари Лежандр (1752-1833). Оно получило название способ
наименьших квадратов.
1.3 Принцип наименьших квадратов и его обоснование.
Сущность решения по принципу наименьших квадратов состоит
в том, что системы (1.1) и (1.2) решаются под условием
(1.3)
[ pV 2 ]  min ,
где р – веса измерений, т.е. под условием минимума суммы
квадратов поправок, умноженных на веса измерений. В случае
равноточных измерений (1.3) принимает вид:
[V 2 ]  min .
Рассмотрим решение задачи уравнивания по этому способу на
примере системы (1.2).
Представим (1.2) в виде:
H  l1  V1 ,
H  l 2  V2 ,
H  l3  V3 ,
где li  H i  hi ( i  1,2,3 ), и подставим в (1.3).
f H   p1V12  p 2V22  p3V32  p1 H  h1 2  p 2 H  h2 2  p3 H  h3 2
Чтобы найти минимум функции f(H) возьмем производную по
переменным hi и приравняем ее нулю.
f ' ( H )  2 p1( H  h1 )  2 p2 ( H  h2 )  2 p3 ( H  h3 )  0,
или
2H ( p1  p2  p3 )  2( h1 p1 h2 p 2 h3 p 3 )  0 .
В результате получим:
6
H
 ph .
 p
(1.4)
Выражение (1.4) представляет собой общую арифметическую
средину.
Чтобы убедиться, что решение (1.4) действительно дает
минимум (1.3), найдем вторую производную:
f " ( H )  2 p1  2 p2  2 p3  2 p  0 .
Вторая производная положительна. Следовательно,
 
f ( H )  pV 2  min .
Подведем итог:
1. Мы получили единственное решение системы (1.2). При
этом оно оказалось общей арифметической срединой, что
подтверждает единство принципа наименьших квадратов и принципа
арифметической средины.
2. Из (1.3) и (1.4) следует, что решение (1.4) соответствует
минимуму функции (1.3) и соответственно минимуму эмпирической
средней квадратической погрешности единицы веса:
2 
pV  .
2
n 1
Следовательно, вес определяемой величины, равный:
c p
,
PH 
2
где с – произвольная положительная постоянная.
При любых значениях с, [p] PH будет максимальным.
Поэтому решение, найденное способом наименьших квадратов
соответствует наибольшему весу определяемой величины.
Возникает вопрос, насколько принцип наименьших квадратов
отвечает
природе
накопления
погрешностей
измерений,
рассмотренной нами в первой части, и становятся ли значения
измеренных величин, исправленные поправками, найденными
способом наименьших квадратов, ближе к их истинным значениям?
Другими словами, не является ли способ наименьших квадратов
каким-то надуманным алгоритмом?
По этому вопросу еще в конце ХІХ века известный немецкий
геодезист Ф.Р. Гельмерт дал следующее разъяснение:
1. Если результаты измерений содержат только случайные
погрешности, подчиняющиеся нормальному закону распределения, то
значения неизвестных, полученные по способу наименьших квадратов
7
будут вероятнейшими значениями неизвестных и обладать
наименьшей средней квадратической погрешностью.
2. Если результаты измерений содержат погрешности,
обладающие только свойствами компенсации, значения неизвестных,
хотя и будут иметь наибольший вес, но не могут считаться
вероятнейшими значениями неизвестных.
3. Если же результаты измерений помимо случайных,
существенно отягощены систематическими погрешностями, то
уравнивание измерений по способу наименьших квадратов даст, как
всегда однозначное решение, но найденные значения не будут
вероятнейшими и не будут обладать наибольшим весом.
Применительно к двум подходам, сформулированных нами в
1.2 в виде уравнений (1.2) и (1.1) существует два способа уравнивания:
1. Параметрический способ
2. Способ уравнивания измеренных величин, связанных
условиями.
2 Параметрический способ уравнивания.
2.1 Постановка задачи. Уравнения поправок.
Пусть для определения значений неизвестных x,y,z,…t
выполнены равноточные независимые измерения L1 , L2 ,... Ln . Общее
число неизвестных t , общее число измерений n. При чем n>t, т.е.
система неопределенная.
Неизвестными могут быть координаты пунктов, высоты реперов
и другие величины, значения которых необходимо определить.
Измеряемыми величинами в этом случае будут горизонтальные
направления, горизонтальные или вертикальные углы, длины линий,
превышения и т.д.
Между неизвестными x,y,z…t и измеренными величинами Li
существуют точные математические зависимости, которые в общем
виде можно представить:
(2.1)
f i ( x , y , z ...t )  Li  Vi ,
где Vi – поправки к измеренным значениям Li .
На основании (2.1) сможем записать систему уравнений
поправок в общем виде:
f 1 ( x , y , z ...t )  L1  V1 ,
f 2 ( x , y , z ...t )  L 2  V 2 ,
.......... .......... .......... ..
f n ( x , y , z ...t )  L n  V n .
8
(2.2)
Перед уравниванием уравнения (2.2) необходимо привести к
линейному виду. Для этого введем приближенные значения
неизвестных xo , y o , z o ,..., t o и поправки к этим приближенным
значениям  x, y , z ,..., t т.е.
x  x o  x ,
y  y o  y ,
z  z o  z ,
(2.3)
.......... ......
t  t o  t .
Подставим (2.3) в (2.2)
(2.2а)
f i ( xo  x , yo  y , z o  z ,...t o  t , )  Li  Vi .
Разложим функцию fi в ряд Тейлора, ограничиваясь только
первыми степенями поправок. В результате получим:
 f 
 f 
 f 
f i ( xo , y o ...t o )   i x   i y  ...   i t  Li  Vi , (2.4)
 xo 
 y o 
 t o 
где i  ( 1,2...n ) .
Введем обозначения:
 fi 
 fi 
 fi 






 x   ai ;  y   bi ;......  t   ti ,
(2.5)
 o
 o
 o
fi xo , yo , zo ...to   Li  li .
С учетом (2.3), (2.4), и (2.5) система уравнений поправок (2.2)
принимает вид:
a1x  b1y  ...  q1t  l1  V1 ,
a 2 x  b2 y  ...  q 2 t  l 2  V 2 ,
.......... .......... .......... .......... ...
(2.6)
a n x  bn y  ...  q n t  l n  V n .
Общее число уравнений поправок равно числу измерений n.
2.2 Минимум [V 2 ] . Нормальные уравнения.
Возьмем систему уравнений поправок в линейном виде. Чтобы
выкладки были не такими громоздкими, ограничимся только тремя
неизвестными, имея ввиду, что полученные результаты можно будет
распространить на любое число неизвестных. Итак,
9
a1x  b1y  c1z  l1  V1 ,
a 2x  b2y  c 2z  l 2  V2 ,
.......... .......... .......... .......... ...
(2.7)
a nx  bny  c nz  l n  Vn .
Число уравнений больше числа неизвестных. Число уравнений
n, число неизвестных 3. Число избыточных измерений r = n – 3, а
потому система (2.7) не имеет единственного решения.
Найдем для этой системы минимум [V 2 ] . Возведем в квадрат
левые и правые части уравнений поправок (2.7), а результаты сложим.
[V 2 ]  aax 2  2abxy  2acxz  2al x  bby 2 
 2bcyz  2bl y  ccz 2  2cl z  ll .
(2.8)
2
Чтобы найти минимум [V ] , возьмем от функции (2.8) частные
производные по неизвестным  x , y , z и приравняем их нулю
[V 2 ]
 2aax  2aby  2acz  2al   0,
x
[V 2 ]
 2abx  2bby  2bcz  2bl   0 ,
y
[V 2 ]
 2acx  2bcy  2ccz  2cl   0.
z
Сократив на общий множитель 2, получим
aax  aby  acz  al   0,
(2.9)
abx  bby  bcz  bl   0,
acx  bcy  ccz  cl   0.
В системе (2.9) число неизвестных равно числу уравнений.
Такая система имеет единственное решение. Вот почему уравнения
(2.9) принято называть нормальными уравнениями.
В
этой
системе
коэффициенты
при
неизвестных,
расположенные по главной диагонали, называют квадратичными,
которые всегда положительны. Коэффициенты при неизвестных,
расположенные симметрично относительно главной диагонали,
попарно равны между собой, т.е. система (2.9) симметрична. Решив
эту систему, находим неизвестные  x , y , z . Подставляем
неизвестные в (2.7) и находим поправки.
10
2.3 Уравнения поправок и нормальные уравнения в
матричной записи. Решение нормальных уравнений.
Запишем систему уравнений поправок (2.7) в матричной форме.
a1 b1 c1 x l1
V1
c 2 y l 2 V2



     
a n bn c n z l n Vn
a2
b2
или сокращенно:
aδ+l=V.
(2.10)
Матрица a имеет размер n t , δ  t 1 ,l  n 1 ,V  n 1 .
Транспонируем матрицу a и умножаем ее слева почленно на
выражение (2.10).
aTaδ+aTl=aTV.
(2.11)
Рассмотрим произведения матриц, входящих в (2.11).
a1a1  a 2 a 2  ...  a n a n a1b1  a 2 b2  ...  a n bn a1c1  a 2 c 2  ...  a n c n
a a  a1b1  a 2 b2  ...  a n bn b1b1  b2 b2  ...  bn bn b1c1  b2 c 2  ...  bn c n 
a1c1  a 2 c 2  ...  a n c n b1c1  b2 c 2  ...  bn c n c1c1  c 2 c 2  ...  c n c n
T
aa ab ac
 ab bb bc  A ,
ac bc cc
т.е. мы получили
уравнений (2.9).
матрицу
коэффициентов
нормальных
al 
 bl   λ,
cl 
(2.13)
a1l1  a 2 l 2  ...  a n l n
a l  b1l1  b2 l 2  ...  bn l n
c1l1  c2 l 2  ...  cn l n
T
(2.12)
т.е. мы получили столбец свободных членов нормальных
уравнений (2.9).
a1V1  a 2V2  ...  a nVn aV 
(2.14)
a T V  b1V1  b2V2  ...  bnVn  bV   T .
cV 
c1V1  c 2V2  ...  c nVn
Принимая во внимание (2.12) и (2.13), приходим к выводу, что
левая часть выражения (2.11) есть не что иное, как система
нормальных уравнений (2.9) в матричной форме. В (2.9) и (2.11) левые
11
части равны. Следовательно, должны быть равны правые. Поэтому
можем записать
(2.15)
aV   0; bV   0;
cV   0 .
Вот почему на основании (2.9) и (2.11), принимая во внимание
(2.12), (2.13), (2.14), (2.15), система нормальных уравнений принимает
вид:
Аδ+λ = 0.
(2.16)
Так как уравнения поправок (2.10) независимы друг от друга,
матрица A неособенная. Следовательно, для решения уравнения
(2.16) необходимо и достаточно умножить его слева на матрицу A -1 ,
обратную матрице A . В результате будем иметь:
δ = -А-1λ .
(2.17)
Подведем итог. Уравнивание параметрическим способом
осуществляется в такой последовательности:
1. Подсчитываем количество определяемых неизвестных t,
подсчитываем число независимых измерений n и определяем число
избыточных измерений r=n-t.
Если n=t, r=0, то задача уравнивания измеренных величин не
возникает.
2. Используя только необходимые измерения, определяем тем
или иным способом приближенные значения неизвестных
x о , y о , z о ...t о .
3. Составляем уравнения поправок в общем виде (2.2),
приводим их к линейному виду (2.6). В результате получаем
коэффициенты уравнений поправок a ,b, c , ... q .
4. Вычисляем свободные члены уравнений поправок по
формуле (2.5).
5. Составляем матрицу коэффициентов уравнений поправок a
и матрицу- столбец свободных членов l . Размер матрицы a ( n t ), а
матрицы l ( n  1 ). Составляем уравнения поправок в матричной
форме (2.10).
6. Транспонируем матрицу a .
7. Умножаем матричное уравнение (2.10) слева на матрицу
a T . В результате получаем систему нормальных уравнений (2.9),
представленную в матричной форме (2.16).
8. Находим матрицу A 1 , обратную матрице коэффициентов
нормальных уравнений A . Размер той и другой матрицы t  t .
12
9. Умножаем уравнение (2.16) слева на матрицу A 1 . В
результате получаем вектор-столбец поправок δ. Размер матрицы t  1 .
10. Вычисляем по формуле (2.3) уравненные значения
неизвестных x , y , ..., t .
11. Подставляем вектор-столбец δ в уравнение (2.10),
умножаем и складываем матрицы. В результате получаем матрицустолбец поправок к измеренным величинам V . Размер матрицы n  1 .
Вычисляем уравненные значения Li  Vi
12. Оцениваем точность полученных в результате уравнивания
неизвестных величин x , y , ..., t .
2.4 Оценка точности уравненных значений неизвестных.
Итак, мы получили уравненные значения неизвестных величин
x , y , ...t и поправки Vi к измеренным величинам Li .
Теперь, как и в случае математической обработки одной
величины, надлежит оценить точность неизвестных, т.е. определить их
средние квадратические погрешности m x , m y , ...mt . Решение данной
задачи имеет некоторые особенности, так как поправки  x, y ,..., t величины зависимые. Причем мы имеем дело не с одной функцией, а с
несколькими.
Поскольку величины L1 , L2 ,... Ln (см. 2.1) измерены независимо
и равноточно, их средние квадратические погрешности равны:
m1  m2  ...  mn  m .
Соответственно будут равны и их веса:
p1  p2  ...  pn  1 ,
m.
Обратимся к уравнению (2.17)
δ = -А-1λ.
В этом выражении переменными являются матрицы δ и λ.
Согласно основной теореме теории погрешностей, принимая во
внимание (2.13) и (2.17) средняя квадратическая погрешность
совокупности поправок δ будет равна:
T
 δ
  δ

λ
λ
M  m  
 
 ,
 λ l1 ,l2 ,...ln   λ l1 ,l2 ,...ln 
2
2
где на основании (2.17) и (2.13)
13
(2.18)
δ
 A1 ,
λ
a1 a2 ... an
λ
 b1 b2 ... bn  a T .
l1 ,l2 ,...ln
c1 c2 ... cn
(2.19)
 
Подставляя (2.19) в (2.18) и учитывая, что a T
иметь:
 
T
 a , будем
 
1 
1

.
M 2  m 2  A 1a T a AT   m 2 AT


Из (2.12) следует, что A - симметричная матрица.
Соответственно симметричной будет и обратная ей матрица A 1 , т.е.
A 
T 1
 A 1 . Принимая во внимание изложенные соображения,
получим:
М 2  m 2 A 1 .
Обозначив А
1
(2.20)
= Q , можем записать:
M 2  m 2
Q11 Q12 ... Q1t
Q 21 Q 22 ... Q1t
.
(2.21)
.......... .......... .....
Qt1 Qt1 ... Qtt
Из (2.21) следует, что квадрат средней квадратической
погрешности совокупности неизвестных x , y , ...t - матрица, полученная
умножением квадрата средней квадратической погрешности m
измеренных величин Li (i=1,2,...n) на матрицу Q .
Проанализируем более подробно матрицу Q . Её диагональные
элементы всегда положительны. Они представляют собой величины,
обратные весам неизвестных
1
Qij 
(i  j )
Pij
и называются весовыми коэффициентами.
Вот почему, принимая во внимание (6.8) (см. часть 1), средние
квадратические погрешности значений неизвестных x , y , ...t будут
соответственно равны:
14
mx  m Q11 ,
Недиагональные
m y  m Q22 , ...
элементы
mt  m Qtt .
Qij ( i  j )
могут
(2.22)
быть
как
положительными, так и отрицательными. Они представляют собой
корреляционные
моменты,
обусловленные
зависимостью
определяемых неизвестных. Так элемент Q12 и равный ему элемент
рассматривать
как
корреляционный
Q21 следует
обусловленный зависимостью величин x и y , т.е.
момент,
Q12  Q21  Qxy .
Положительное значение Qxy говорит о том, что увеличение
или уменьшение погрешности
m x неизбежно влечет за собой
соответственно увеличение или уменьшение величины m y . И,
наоборот, отрицательное значение Qxy говорит о том, что увеличение
m x влечет за собой уменьшение m y , а уменьшение m x - увеличение
my .
Приведенный выше анализ позволяет сделать вывод: хотя
величины
Li (i=1,2,...n) измерены равноточно и независимо,
полученные в результате уравнивания значения неизвестных x, y, ...t величины неравноточные и зависимые.
Если определяемыми неизвестными являются координаты
x , y пунктов геодезической сети, то совокупная погрешность
положения пункта в данной системе координат в соответствии (2.21)
характеризуется матрицей:
Q xx Q xy
.
(2.23)
M 2  m2
Q xy Q yy
Из (2.23) могут быть получены следующие точностные
характеристики положения точки:
1) Средние квадратические погрешности по осям координат mx
и m y , вычисляемые по формулам (2.22). Они зависят от выбора
системы координат (рис.2.1).
15
b
Рис. 2.1
2) Круговая средняя квадратическая погрешность, вычисляемая
по формуле:
m  m x2  m 2y ,
(2.24)
которая нашла широкое применение в геодезической практике,
при этом исходят из предположения, что рассеивание по всем
направлениям имеет одинаковую вероятность. Оценка (2.20) не
зависит от выбора системы координат.
3) Эллипс погрешностей – ориентировка и размеры осей
которого определяют наиболее вероятные направления и величину
максимальной и минимальной средней квадратической погрешности
положения пункта.
В самом деле, поворотом осей вокруг точки Р (рис.2.1) можно
UV , при которой
подобрать такую систему координат
недиагональный элемент будет равен нулю и (2.23) принимает вид:
M 2  m2
Quu
0
0
Qvv
.
(2.25)
Необходимый для такого преобразования угол поворота осей
определяется формулой:
2Q xy
tg2 
,
(2.26)
Q xx  Q yy
а элементы Quu ,Qvv - уравнением
16
1
2
2 
Qxx  Q yy  ( Qxx  Q yy )  4Q xy  .
2

Большая и малая полуоси эллипса погрешностей будут
соответственно равны:
Quu ,Qvv 
a  m Quu ,
b  m Qvv
(2.27)
2.5 Вычисление эмпирической средней квадратической
погрешности по поправкам, полученным из уравнивания.
Так как поправки в измеренные величины Li определены под
условием
V  min ,
2
есть основания предполагать, что на их основании может быть
получена
состоятельная
и
несмещенная
оценка
средней
квадратической погрешности m .
С другой стороны на основании этого же выражения имеем
неравенство:
  V ,
2
2
где  - истинные погрешности.
Разделив это неравенство на n , получим
m2 
   V  .
n
n
V  будет
2
2
2
Следовательно,
величина
состоятельной, но
n
смещенной оценкой m . Чтобы она стала несмещенной, необходимо
знаменатель правой части уменьшить на некоторую, пока неизвестную
величину u .
Тогда эмпирическая средняя квадратическая погрешность
будет:
m2 
V  .
2
(2.28)
nu
Таким образом, задача сводится к определению неизвестной
величины u .
Прежде всего, отметим, что общее число измерений n не может
быть меньше числа необходимых измерений, т.е. n  t . Отсюда
следует, что u не может быть большим t , так как при n  t
знаменатель в (2.28) будет равен нулю. Следовательно, u  t .
17
Предположим, что
u  t . При n  t задача уравнивания не
 
возникает, поправки V1  0, V2  0,......Vt  0, V 2  0 и m  0 , что
противоречит здравому смыслу, так как m  0 . Отсюда следует, что u
не может быть меньшим t . Таким образом, приходится принять, что
u t.
Это дает основание записать:
m2 
V  ,
2
(2.29)
nt
Приведенное выше доказательство (2.29) основано на
допущениях и не является вполне строгим. Существует строгое
доказательство, которое мы опускаем по причине его громоздкости.
Так как эмпирическая средняя квадратическая погрешность m
чаще всего определяется из небольшого количества измерений, ее
надежность определяет средняя квадратическая погрешность, которая
равна:
m
mm 
.
(2.30)
2( n  t )
2.6 Средняя квадратическая погрешность измеренных
величин после уравнивания.
Оценка (2.29) дает нам значение средней квадратической
погрешности m измеренных величин до уравнивания.
Измениться ли эта величина после уравнивания?
Чтобы ответить на этот вопрос докажем теорему.
Теорема: Среднее значение отношения квадрата средней
квадратической погрешности после уравнивания к квадрату средней
квадратической погрешности до уравнивания, т.е. ее среднее
уменьшение, обусловленное уравниванием системы измеренных
величин способом наименьших квадратов, равно отношению числа
необходимых измерений к числу всех измерений, т.е.
m 2ур
t
q.
(2.31)
n
m
Доказательство: Представим уравнения (2.7), ограничившись
для простоты выкладки 3 неизвестными в виде:
2
18

l1
x l1  V1
a 2 b2 c 2 y l 2  V2
l


 2 ,
...
...
   z
a1
an
b1
bn
c1
l n
l n  Vn
cn
(2.32)
где l i  - значения свободных членов, исправленные поправками.
Представим отношение (2.31) в виде:
m12
2
q m

m 22
 ... 
m n2
m2
m2 .
(2.32 а)
n
Значения l  - функции поправок x,y ,t . Вот почему, исходя из
основной теоремы теории погрешностей, можем записать:
T


 
l i 
l i 

2
2
2

(2.33)
mi  m 
M
.


x , y , z 
 x , y , z




Дифференцируем (2.7) по переменным x,y...t , подставим их
в (2.33), а вместо M 2 его значение из (2.21), разделив обе части на m .
В результате, принимая во внимание равноточность измерений
получим:
Q11 Q12 Q13 a1
m12
 a1 b1 c1 Q12 Q22 Q23 b1 
m2
Q31 Q32 Q33 c1
 a1a1Q11  a1b1Q21  a1c1Q31  a1b1Q12  b1b1Q22  b1c1Q32  a1c1Q13 
 b1c1Q23  c1c1Q33 ,
(а)
Аналогично, для m22 , m32 ...mn2 получим
m22
m2
 a 2 a 2 Q11  a 2 b2 Q21  a 2 c 2 Q31  a 2 b2 Q12  b2 b2 Q22  b2 c 2 Q32 
 a 2 c 2 Q13  b2 c 2 Q23  c 2 c 2 Q33 ,
19
(b)
m32
m2
 a 3 a 3 Q11  a 3 b3 Q 21  a 3 c 3 Q31  a 3 b3 Q12  b3 b3 Q22  b3 c 3 Q32 
 a 3 c 3 Q13  b3 c 3 Q23  c 3 c 3 Q33 ,
(c)
.......................................................................................................................
m n2
m2
 a n a n Q11  a n bn Q 21  a n c n Q31  a n bn Q12  bn bn Q 22  bn c n Q32 
 a n c n Q13  bn c n Q23  c n c n Q33 .
(d)
Подставляя (a), (b), (c), (d) в (2.32) просуммируем произведения
коэффициентов ai , bi , ci , вынеся за скобки весовые коэффициенты
Qij . В результате найдем:
q
m2
aaQ11  abQ21  acQ31  
m2n
 abQ12  bbQ22  bcQ32  
 acQ13  bcQ23  ccQ33 .
Из теории матриц известно
(2.34)
A  A 1  E ,
где E – единичная матрица, у которой диагональные элементы
равны 1, а недиагональные – 0.
В (2.34) суммы произведений в круглых скобках, учитывая
(2.12), (2.21), представляют собой произведения i-той строки матрицы
A на i-й столбец матрицы A 1 . Следовательно, они соответствуют
диагональным элементам матрицы E , которые равны 1.
На основании (2.31), (2.32а), (2.34) можем записать:
q
2
mур
2
mn

1  1  1  3 .
n
n
При трех неизвестных t=3. Распространяя полученное равенство
на любое число неизвестных, получим окончательно:
q
m 2ур
m
2

t
.
n
Теорема доказана.
Вывод: Уравнивание способом наименьших
повышает в среднем точность результатов измерений.
20
(2.35)
квадратов
2.7 Уравнивание и оценка точности при неравноточных
измерениях.
До сих пор мы рассматривали только равноточные измерения. В
случае неравноточных измерений точность измеренных величин
L1 , L2 ,...Ln характеризуется весами p1 , p 2 ,... p n . Следовательно, и
свободные члены в уравнениях поправок
l i  f i xo , y o , ...t o   Li ,
являющиеся функциями измеренных величин, будут также
иметь веса pi .
Уравнивание результатов измерений производится под
условием:
pV   min .
2
Рассмотрим функцию:
l 
pl l .
Согласно теории погрешностей (см.ч.1,р.6.2) вес этой функции
2
1
1

pl  1 .
p l  pl
 
Следовательно, pl  1 .
Таким образом, случай неравноточных измерений можно свести
к случаю равноточных измерений. Для этого достаточно каждое
pi , т.е. согласно (2.7):
уравнение поправок умножить на
pi ai x 
pi bi y 
pi ci z 
pi li 
pi Vi .
Запишем эту систему уравнений поправок в матричном форме
(2.36):
p1
0
0
...
0
p2
...
0
p1

0
...
0
0
a1
...
0
...
...
...
pn
a
 2

0
...
0
...
0
0
p2
...
0
21
x
b2 c 2 y


  z
an
b1
c1
bn
cn
0
...
0
0
...
0
...
0
...
...
...
pn

l1
l2
....
ln

p1

0
0
p2
0
...
0
0
...
0
V1

...
...
...
...
...
0
0
0
...
pn
V2
....

раδ 
pl 
pV .
Vn
Умножив (2.36) слева на транспонированное произведение
матриц


T
pa
 aT p , получим
aTpaδ+ aTpl=aTpV ,
(2.37)
где
p
p1
0
0
p2
0
0
...
...
0
0
...
...
...
...
...
0
0
0
...
pn
p1

0
...
0
0
p2
...
0
0
...
0
0
...
0
... ...
0 ...
В (2.37)
a
T
...
pn
p1

0
0
...
0
p2
...
0
0
...
0
0
...
0
...
0
...
...
...
pn

- диагональная матрица весов.
 paa  pab  pac
~
pa   pab  pbb  pbc  A
 pac  pba  pcc
(2.38)
- матрица коэффициентов нормальных уравнений,
 pal 
~
a pl   pbl   
 pcl 
T
(2.39)
- вектор-столбец свободных членов нормальных уравнений,
 paV 
a T pV   pbV   0 .
 pcV 
Система нормальных уравнений
22
(2.40)
~
~
Aδ  λ  0
(2.41)
как и в случае равноточных измерений, решается умножением
~
ее слева на обратную матрицу A 1
δ   A1 λ .
(2.42)
Аналогично решается задача оценки точности неизвестных
x,y...t
~
M 2   2 A 1 .
Эмпирическая средняя квадратическая погрешность единицы
веса вычисляется по формуле:

pV  .
2
(2.43)
nt
Таким образом, мы видим, что уравнивание неравноточных
измерений принципиально не отличается от уравнивания
равноточных.
2.8 Уравнивание триангуляции.
Рис. 2.2
На рис.2.2 представлена сеть триангуляции, получившая
название геодезический четырехугольникх). Пункты И, Л – исходные.
Их координаты приведены в табл.2.1.
х)
Уравнивание геодезического четырёхугольника в этом разделе выполнила
Д.В.Грабовец
23
Для определения координат пунктов Е, Ж независимо и
равноточно измерены углы, обозначенные на рис.2.1 1, 2, 3, 4, ....8.
Значения измеренных углов приведены в табл.2.2.
Последовательность уравнительных вычислений изложена в
пункте 2.3.
Число независимых измерений n = 8. Количество определяемых
неизвестных t = 2 * 2 = 4. Следовательно, число избыточных
измерений составит
r = 8 – 4 = 4.
Наименование пункта
Таблица 2.1. Координаты пунктов
Приближенные координаты
Исходные и уравненные
координаты
Поправки
X0
Y0
δx, м
δy, м
X
Y
Л
-
-
-
-
4618742,624
7221870,144
И
-
-
-
-
4615909,521
7218431,808
Е
4619045,068
7218073,227
-0,027
-0,006
4619045,041
7218073,221
Ж
7616056,864
7221513,215
0,015
0,009
4616056,879
7221513,224
N/N углов
Таблица 2.2 Измеренные и уравненные углы
Свобо
дные
члены
сек
Углы,
вычисленные по
приближенным
координатам
Измеренные
углы
Попра
вки,
сек
Уравненные углы
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
-0,01
-0,22
1,04
-0,01
-0,03
-2,34
2,05
0,01
3
57о 02’ 10.75”
42о 29’ 46.43”
36о 25’ 31.78”
44о 02’ 31.03”
42о 56’ 32.11”
56о 35’ 25.07”
43о 43’ 02.58”
36о 45’ 00.23”
4
57о 02’ 10.76”
42о 29’ 48.63”
36о 25’ 30.74”
44о 02’ 31.04”
42о 56’ 32.14”
56о 35’ 27.41”
43о 43’ 00.53”
36о 45’ 00.22”
5
0.61
-0.91
0.61
-1.48
0.53
-0.99
1.13
-0.98
6
57о 02’ 11.37”
42о 29’ 47.72”
36о 25’ 31.35”
44о 02’ 29.56”
42о 56’ 32.67”
56о 35’ 26.42”
43о 43’ 01.66”
36о 44’ 59.24”
24
По измеренным углам вычисляем приближенные координаты
Х  , Y  определяемых пунктов Е и Ж. Здесь удобно использовать
формулы Юнга (рис. 2.3)
Рис. 2.3
X L ctg  X P ctg  YP  YL
,
ctg  ctg
Y ctg  YP ctg  X P  X L
YC  L
,
ctg  ctg
XC 
(2.44)
где XL, YL, XP, YР - координаты левого пункта L и правого пункта
P соответственно.
Для контроля вычисляем координаты пункта L, принимая
координаты пунктов P (левый) и С (правый) за исходные, а угол в
пункте С – равным 180       .
Все вычисления следует разместить в виде таблицы (см. табл.
2.3).
Вычисленные приближенные координаты записываем в таблицу
2.1.
25
Таблица
2.3
определяемых пунктов
Наименование
пунктов
И
Л
Е
И
Л
И
Ж
Л
Вычисление
приближённых
координат
Координаты
X
Y
4615909.521
7218431.808
4618742.625
7221870.144
4619045.068
7218073.227
4615909.521
7218431.808
4618742.625
7221870.144
4615909.521
7218431.808
4616056.864
7221513.215
4618742.625
7221870.144
Измеренные
углы
57о 02’ 10.76”
44о 02’ 31.04”
78о 55’ 18.20”
42о 56’ 32.14”
36о 45’ 00.22”
100о 18’ 27.64”
Вычисленные приближенные координаты пунктов Е и Ж
записываем в таблицу 2.1.
Приступаем к составлению уравнений поправок измеренных
углов.
Рис. 2.4
На пункте C (рис. 2.4) измерены направления на пункты L и P
относительно нулевого направления CO.
В соответствии с (2.7) уравнения поправок направлений CL и
CP имеют вид:
z  a L x L  b L y L  c L x C  e L y C  l L  V L ,
(2.45)
 z  a P x P  b P y P  c P x C  e P y C  l P  V P ,
26
где z - поправка нулевого направления (нулевого диаметра
лимба), x , y - поправки к приближённым координатам.
Как известно, угол  равен разности направлений, т.е.
  P L.
Вычитая в (2.45) из второго уравнения первое, имеем
a L x L  b L y L  a P x P  b P y P  ( c L  c P )x C 
 ( e L  e P )y C  l   V  ,
(2.46)
где V  - поправка в измеренный угол  .
Введём обозначения
X L  X Lо  X Cо , X P  X Pо  X Со ,
YL  YLо  YCо , YP  YPо  YСо .
Приближённые значения дирекционных углов и длин линий CL и CP
Y L
tg L 
,
X L
tg P 
Y P
,
X P
(2.47)
d L2  X L2  Y L2 ,
d P2  X P2  Y P2 .
На основании (2.5) и с учетом (2.47) найдем значения
коэффициентов a, b, c, e в (2.46)
aL 
 L
sin  L cos  L
sin  L d L
YL
 
 
 
,
2
X L
X L
dLdL
X L  YL2
bL 
 L
sin  L cos  L
cos  L d L
X L



,
YL
YL
dLdL
X L2  YL2
cL 
 L
sin  L cos  L
YL


 a L ,
2
X C
X L
X L  YL2
eL 
 L
X L
 
 b L .
YC
X L2  YL2
Аналогично
27
YP
,
2
X P
 X P  YP2
 P
X P
bP 

,
2  Y 2
YP
X P
P
 P
cP 
 a p ,
X C
 P
eP 
 bP .
YC
aP 
 P
 
Подставляя найденные значения коэффициентов в уравнение
(2.45) получаем уравнение поправок в окончательном виде
YP
x 
 X L  YL
 X L  YL
 X P  YP P
YP
YL
YP

 yP   (

) xC  (2.48)
2
2
 X P  YP
 X L  YL  X P2  YP2
X L
X P
 (

) yC  l  V .
2
2
 X L  YL  X P2  YP2

YL
 xL  
YL
 yL  
Свободный член уравнения поправок вычисляем по формуле
(2.49)
l    выч   изм ,
где
tg выч 
X L YP  X P YL
.
X L X P  YL YP
Принимая во внимание, что в координаты исходных пунктов
поправки не вводятся, для геодезического четырехугольника,
представленного на рис. 2.2, коэффициенты уравнений поправок и
выражения для tg выч в буквенной записи представлены в таблице
2.4.
По формулам, приведенным в последней колонке табл.2.4,
используя исходные и приближенны координаты пунктов, вычисляем
углы  выч . Вычисления представлены в таблице 2.5. Углы  выч
записываем в 3 колонку таблицы 2.2.
28
Таблица 2.4 Коэффициенты уравнений поправок и тангенсы
углов, вычисленных по приближённым координатам, в буквенном
виде
Угол/
пункт
Поправки к приближённым координатам
xЕ
yЕ
YЖЕ

2
2
X ЖЕ
 Y ЖЕ
Y ЖЛ

2
2
X ЖЛ
 Y ЖЛ

YЕЖ

2
2
X ЕЖ
 YЕЖ
YЕИ

2
2
X ЕИ
 YЕИ
X ЕЖ

2
2
X ЕЖ
 YЕЖ
X ЕИ

2
2
X ЕИ
 YЕИ
3/Е
YЕЛ

2
2
X ЕЛ
 YЕЛ
YЕЖ

2
2
X ЕЖ
 YЕЖ
X ЕЛ

2
2
X ЕЛ
 YЕЛ
X ЕЖ

2
2
X ЕЖ
 YЕЖ
4/Л


1/И

2/Е

YЛЕ
2
2
X ЛЕ
 YЛЕ
X ИЕ
2
2
X ИЕ
 YИЕ


---------
---------
6/Ж
YЖЕ

2
2
X ЖЕ
 YЖЕ
X ЖЕ

2
2
X ЖЕ
 YЖЕ
7/Ж

8/И
--------

X ЖЕ
2
2
X ЖЕ
 YЖЕ
----------
--------
--------

YЕЖ
2
2
X ЕЖ
 YЕЖ


X ЛЕ
2
2
X ЛЕ
 YЛЕ
y Ж
X ЖЕ
2
2
X ЖЕ
 YЖЕ

5/Л
YЖЕ
2
2
X ЖЕ
 YЖЕ

x Ж
X ЕЖ
2
2
X ЕЖ
 YЕЖ
YЛЖ
2
2
X ЛЖ
 YЛЖ
YЖЕ

2
2
X ЖЕ
 YЖЕ
YЖЛ

2
2
X ЖЛ
 YЖЛ
Y: ЖИ

2
2
X ЖИ
 YЖИ
YЖЕ

2
2
X ЖЕ
 YЖЕ


YИЖ
2
2
X ИЖ
 YИЖ
X ЕЖ YЕИ  X ЕИ YЕЖ
X ЕЖ X ЕИ  YЕЖ YЕИ
X ЕЛ YЕЖ  X ЕЖ YЕЛ
X ЕЛ X ЕЖ  YЕЛ YЕЖ
----------
X ЛИ YЛЕ  X ЛЕYЛИ
X ЛИ X ЛЕ  YЛИ YЛЕ
X ЛЖ
2
2
X ЛЖ
 YЛЖ
X ЛЖ YЛИ  X ЛИYЛЖ
X ЛЖ X ЛИ  YЛЖ YЛИ

X ЖЕ

2
2
X ЖЕ
 YЖЕ
X ЖЛ

2
2
X ЖЛ
 YЖЛ

X ИЕ YИЛ  X ИЛ YИЕ
X ИЕ X ИЛ  YИЕ YИЛ
X ЕЖ
2
2
X ЕЖ
 YЕЖ
---------
Тангенсы углов

X ЖЕ YЖЛ  X ЖЛ YЖЕ
X ЖЕ X ЖЛ  YЖЕ YЖЛ
X : ЖИ

2
2
X ЖИ
 YЖИ
X ЖЕ

2
2
X ЖЕ
 YЖЕ
X ЖИ Y ЖЕ  X ЖЕ Y ЖИ
X ЖИ X ЖЕ  Y ЖИ YЖЕ
X ИЖ
2
2
X ИЖ
 YИЖ
X ИЛ YИЖ  X ИЖ YИЛ
X ИЛ X ИЖ  YИЛ YИЖ


По формуле (2.49) вычисляем свободные члены уравнений
поправок.
По формулам, приведенным в табл.2.4, используя значения X
и Y из табл.2.5, вычисляем численные значения коэффициентов
уравнений поправок.
29
N/N
углов
1
2
3
4
5
6
7
8
Таблица 2.5 Вычисление углов по координатам
Приращения
Направtg выч
ления
Y
Y
ИЕ
ИЛ
ЕЖ
ЕИ
ЕЛ
ЕЖ
ЛИ
ЛЕ
ЛЖ
ЛИ
ЖЕ
ЖЛ
ЖИ
ЖЕ
ИЛ
ИЖ
-3135,547
-2833,104
2988,204
3135,547
302,443
2988,204
2833,104
-302,443
2685,761
2833,104
-2988,204
-2685,761
147,343
-2988,206
-2833,104
-147,343
358,581
-3438,336
-3439,988
-358,581
-3796,917
-3439,988
3438,336
3796,917
356,929
3438,336
3439,988
-356,929
3081,407
3439,988
-3438,336
-3081,407
 выч
1,54200406
57о02’10.75”
0,91621018
42о29’46.43”
0,73795065
36о25’31.78”
0,96710484
44о02’31.03”
0,93063256
42о56’32.11”
1,51602097
56о35’25.07”
0,95620139
43о43’02.58”
0,74673719
36о45’00.23”
Так как X , Y выражены в метрах, коэффициенты a, b, c, e
имеют размерность сек/м. Численные значения коэффициентов в (2.48)
окажутся очень большими, что создает трудности при дальнейшей
обработке и может привести к потере точности вычислений.
Во избежание этих неудобств нужно сделать так, чтобы
коэффициенты имели размерность сек/см. Для этого достаточно
уменьшить постоянную  в 100 раз, т.е. принять   2062,65 .
Из численных значений коэффициентов уравнений формируем
матрицу
 0.074  0.649 0
0
 0.267
 0.198
0.540
a
0
 0.342
0.342
0
0.352
0.254
0.043
0
 0.297
0.297
0
30
0.342
 0.342
0
 0.100
0.442
0.326
0.668
0.297
 0.297
0
.
0.755
 0.458
 0.329
0.032
Транспонируем матрицу a и умножим ее слева на a. В
результате получаем матрицу коэффициентов нормальных уравнений
А  aT a 
0.641
0.130
 0.063
0.130
 0.063
0.788
 0.001
 0.001
0.991
0.023
0.068
 0.204
0.023
0.068
.
 0.204
1.064
Находим матрицу, обратную матрице A
A 1 
1.624
0.267
0.104
0.001
 0.267
0.104
1.320
 0.033
 0.033
1.057
 0.084
.
0.202
0.001
 0.084
0.202
0.983
Вычисляем матрицу-столбец свободных членов нормальных
уравнений
1.876
λ=аТl=
0.797
 1.478
.
 0.587
Определяем вектор-столбец поправок к
координатам. Результаты получаем в сантиметрах
приближенным
 2.68
 0.65
δ=-A-1λ=
.
1.51
0.94
Полученные поправки заносим в табл. 2.1, уменьшив их
предварительно в 100 раз, чтобы размерность была в метрах.
Находим в табл. 2.1 уравненные координаты определяемых
пунктов.
Вычисляем вектор-столбец поправок к измеренным углам
31
0.613
 0.913
0.612
V=aδ+l=
 1.482
.
0.530
 0.990
1.125
 0.966
Полученные результаты записываем в табл. 2.2 и определяем
уравненные углы.
Контроль:
1. a T V  0 ;
2. Сумма поправок должна равняться сумме свободных членов
уравнений поправок.
По формуле (2.29) определяем эмпирическую среднюю
квадратическую погрешность измеренного угла
m  1.34" ,
а по формуле (2.30) оцениваем ее надежность.
Обозначив A 1  Q , из выражений (2.22) находим средние
квадратические погрешности положения определяемых пунктов по
осям координат
Пункт Е
Пункт Ж
m x  m Q11  1.71см,
m x  m Q33  1.38см,
m y  m Q22  1.54 см,
m y  m Q44  1.33см.
По формуле (2.24) находим круговые средние квадратические
погрешности положения определяемых пунктов
m Е  2.3см,
m Ж  1.9см.
Используя элементы матрицы Q  A 1 и выражения (2.26)
и (2.27) находим параметры эллипсов погрешностей положения
определяемых пунктов
32
Пункт Е
Q xx  1.624 ,
Пункт Ж
Q xx  1.057 ,
Q yy  1.320 ,
Q yy  0.983 ,
Q xy  0.267 ,
Q xy  0.202 ,
tg 2  1.7566 ,
  149 50' ,
Quu  1.78 ,
tg 2  5.4594 ,
  39 49' ,
Qvv  1.16 ,
Qvv  0.81,
a  1.8см ,
b  1.4см.
a  1.5см ,
b  1.2см.
Quu  1.22 ,
Строим эллипсы погрешностей на схеме сети.
По формуле (2.31) вычисляем среднюю квадратическую
погрешность уравненного угла
m ур  0,95".
2.9 Уравнивание трилатерации (линейная засечка).
Для
определения
координат
точки
Р
(Рис.
2.5)
светодальномером измерены расстояния d1=457.36, d2=516.63,
d3=462.40 с точки Р до исходных пунктов 1;2;3; координаты которых
приведены в таблице 2.6.
Измерения равноточные m=0.05м. Общее число измерений n=3,
число определяемых неизвестных t=2, число избыточных измерений
r = n – t = 1.
Таблица2.6
номер
координаты
пункта
X
Y
1
5073,25
2385,11
2
4888,90
2721,35
3
5215,63
3121,46
Рис.2.5
33
Уравнивание будем выполнять в такой последовательности:
1. Используя измеренные расстояния d1, d2 от исходных пунктов
1, 2, вычисляем приближенные координаты определяемой точки Р.
Для этой цели служат формулы
X Pо  X 2  pcos 21  hsin 21 ,
YPо  X 2  psin 21  hcos 21 ,
2
d 2  d 21
 d1
, h  d 22  q 2 ,
где q  2
2d 21
(2.50)
(2.51)
 21 , d 21  дирекционный угол и длина линии от исходного
пункта 2 до исходного пункта 1 (Рис. 2.6)
Рис. 2.6
Из решения обратной геодезической задачи находим
d 21  383 .46  21  298  44 .1 .
По формуле (2.51) вычисляем
q  267 .00 h  442 .29.
Подставляя эти значения в (2.50), находим
X P0  5405.09 , YP0  2699.86.
2. Уравнение поправок измеренной линии IK (Рис. 2.7) в общем
виде может быть представлено выражением
(2.52)
ax I  by I  ax K  by K  l IK  VIK ,
где a  cos  IK , b  sin  IK ,
(2.53)
 IK  дирекционный угол линии IK.
34
номер
Рис.2.7
Свободный член уравнения (2.53) вычисляется по формуле
(2.53)
l 0  d выч  d изм .
Дирекционные углы  и длины линий d выч находят из
решения обратной геодезической задачи.
Результаты помещаем в таблицу 2.7
Таблица 2.7
a
b
δx=0,051
δy=-0,133
l
V
dизм
dур
1
2
3
0,726
0,688
0
-0,054
457,36
457,31
0,999
-0,042
0
0,056
516,63
516,69
0,41
-0,912
-0,186
-0,044
462,40
462,36
Так как длины линий d1 и d2 использованы для вычисления
приближенных координат
X Pо , YPо , свободные члены первого и
второго уравнений l1 , l 2
равны 0, свободный член l3 третьего
уравнения получаем из решения обратной геодезической задачи
одновременно с нахождением коэффициентов уравнений поправок a и
b.
3. Вычисляем элементы матрицы А и ее определитель
aaab 1.693 0.084
А

,
abbb 0.084 1.307
D  aabb  ab2  2.206 .
Так как sin 2  cos 2  1 , сумма aa  bb должна равняться 3
(по числу уравнений поправок) 1,693 + 1,307 = 3
35
4. Вычисляем элементы обратной матрицы А 1 , элементы
вектора-столбца свободных членов Λ и поправки к приближенным
координатам  x, y , которые записываем в табл. 2.8
А 1  Q 
1 bb  ab 0.592  0.038

,
2  ab aa  0.038 0.767
Λ
δ
(2.54)
al   0.076
,

bl  0.170
x
0.592  0.038 0.076
0.051
  A1 Λ  


.
y
0.038 0.767 0.170
0.133
5. Вычисляем уравненные координаты точки Р и оцениваем их
точность
X P  X Po  x  5405.09  0.05  5405.14 ,
YP  YPo  y  2699.86  0.13  2699.73 .
6. По формулам (2.7) вычисляем поправки в длину измеренных
сторон, которые записываем в таблицу 2.7 . Здесь же вычисляем
уравненные значения сторон d ур .
Заключительный
контроль
уравнительных
вычислений
осуществляем по формуле (2.15). Полученные значения
aV   0.001 , bV   0.001
находятся в пределах точности вычислений.
7. Вычисляем эмпирическую среднюю квадратическую
погрешность измерений длины линии по формуле (2.24)
m
V 2 
 0.09 м ,
nt
и ее среднюю квадратическую погрешность по формуле (2.25)
mm 
m
 0.06 м .
2n  t 
Значительное отклонение вычисленное значения m=0.09 от
априорной средней квадратической погрешности m=0.05 обусловлено
тем, что мы имеем всего лишь одно избыточное измерение.
8. На основании матрицы (2.54) оцениваем точность положения
определяемого пункта Р. Угол  определяющий ориентировку
эллипса погрешностей находим из выражения
36
2Q12
1
arctg
 11 44 .
2
Q11  Q22
Для определения полуосей эллипса искажений сначала находим
элементы
QVV  0.584 ,
QUU  0.775 ,
а затем вычисляем размеры полуосей

a  0.05 0.775  0.044м b  0.05 0.584  0.038м .
Эллипс погрешностей наносим на схему сети.
2.10 Уравнивание системы нивелирных ходов.
На рис. 2.8 представлена схема нивелирных ходов с двумя
узловыми точками, опирающихся на четыре марки нивелирования
высшего класса.
Рис. 2.8
Здесь же приведены все необходимые данные:
- высоты исходных марок H A , H B , H C , H D ;
- суммы измеренных превышений h1 , h2 , h3 , h4 , h5 (числитель);
- длины ходов L1 , L2 , L3 , L4 , L5 в км (знаменатель).
Общее число измерений (ходов) n  5 , число необходимых
неизвестных t  2 (высоты узловых точек), число избыточных
измерений r  n  t  3
Запишем уравнения поправок (2.2) в развернутом виде:
37
H 1о  H 1  H A  h1  V1 ,
H 1о  H 1  H B  h2  V 2 ,
H 2о  H 2  H 1о  H 1  h3  V3 ,
H 2о
H 2о
(2.55)
 H 2  H C  h4  V 4 ,
 H 2  H D  h5  V5 ,
где H 1о , H 2о - приближенные высоты узловых точек 1, 2.
В связи с тем, что приведенные выше уравнения линейны,
отпадает необходимость в преобразованиях (2.4).
Уравнивание будем выполнять в такой последовательности:
1. От марки А по ходу 1 и от марки С по ходу 4, вычисляем
приближенные высоты узловых точек
H 1о  247 .069  2.116  249 .185 ,
H 2о  249 .071  1.107  247 .964 .
№ ходов
2. Так как измерения неравноточные, вычисляем веса ходов
10
, помещая их в таблицу 2.8.
pi 
Li
Таблица 2.8 Уравнивание систем нивелирных ходов.
a
b
h
h
Веса Р H 1  H 2  l, мм V, мм PV2
измер.,
уравн.,
 1.4
 5.0
м
м
1
2
3
4
5
2,86
1,75
2,70
2,38
1,89
1
1
-1
0
0
0
0
1
1
1
0 5,0
-11 -6,0
5 1,4
0 1,4
-5 -3,6
71,5
63,0
5,3
4,7
24,5
2,116
0,683
-1,226
-1,107
-2,642
2,121
0,677
-1,2246
-1,1056
-2,6456
pV   169
2
3. Определяем коэффициенты a, b и свободные члены l i
уравнений поправок.
38
l1  0;
l 2  H 1о  H B  h2  249 .185  248 .513  0.683  11 мм ;
l 3  H 2о  H 1о  h3  247 ,964  249 ,185  ( 1,226 )  5 мм ;
l 4  0;
l 5  H 2о  H D  h5  247 .964  250 .611  ( 2.642 )  5 мм
и помещаем их в соответствующие колонки табл. 2.1.
4. Вычисляем элементы матрицы А и ее определитель:
 paa  pab 7.31  2.70
A

,
 pab  pbb  2.70 6.97
D  43.661 .
5. Вычисляем элементы обратной матрицы А 1 , элементы
столбца свободных членов и поправок H1 ,H 2 к приближенным
высотам узловых точек
δ=A-1  = 0.160 0.062   32.75  5.0 .
0.062 0.167 4.05
1.4
6. Вычисляем уравненные высоты узловых точек
H 1  249 .185  0.005  249 .190 ;
H 2  247 .964  0.0014  247 .965 4 .
7. В таблице 2.8 по формулам (2.7) вычисляем поправки V к
измеренным превышениям и производим заключительный контроль
вычислений, перемножая значения в колонках p , a ,V и p ,b,V , а затем,
суммируя полученные произведения  paV   0.02 ,  pbV   0.31 , что
находится в пределах точности вычислений.
8. Вычисляем эмпирическую среднюю квадратическую
погрешность единицы веса:
 pV 2 
169


 7.5 мм ;
nt
52
Среднюю квадратическую погрешность на 1 км хода:

 2,4 мм
;
км
10
Средние квадратические погрешности высот узловых точек:
m1   Q11  7.5 0.160  3.1 мм ;
 км 
m 2   Q22  7.5 0.167  3.2 мм .
39
3 Уравнивание измеренных величин, связанных условиями.
3.1 Постановка задачи. Условные уравнения.
В 1.2 было отмечено, что существует два подхода к решению
задачи уравнивания систем измеренных величин.
Один из них – параметрический способ рассмотрен в гл. 2.
Рассмотрим теперь другой. Пусть равноточно измерены n величин
X1 , X 2 ,... X n , связанных независимыми математическими условиями
1  X 1 , X 2 ,... X n   0,
 2  X 1 , X 2 ,... X n   0,
.......... .......... .......... ..,
 r  X 1 , X 2 ,... X n   0,
(3.1)
здесь X i - истинные значения измеренных величин.
Общее число таких условий равно числу избыточных
измерений.
Вследствие неизбежных погрешностей результаты равноточных
измерений l1 ,l 2 ,...l n не будут точно удовлетворять условиям (3.1). В
результате в правой части (3.1) мы будем иметь не нули, а некоторые
величины, которые принято называть невязками, т.е.
1 l1 ,l 2 ,...l n   W1 ,
 2 l1 ,l 2 ,...l n   W 2 ,
.......... .......... ........,
 r l1 ,l 2 ,...l n   W r .
(3.2)
Задача состоит в том, чтобы найти такие поправки V1 ,V2 ,....Vn к
измеренным величинам l1 ,l 2 ,...l n , которые обеспечили бы выполнение
условий (3.1) т.е.
1 ( l1  V1 ,l 2  V2 ,...l n  Vn )  0,
 2 ( l1  V1 ,l 2  V2 ,...l n  Vn )  0 ,
(3.3)
.......... .......... .......... .......... ........,
 r ( l1  V1 ,l 2  V2 ,...l n  Vn )  0.
Так как n > r система условных уравнений является
неопределенной, т.е. не имеет однозначного решения.
Чтобы найти поправки Vi , необходимо решить систему (3.3)
под условием
V  min. .
2
40
Для этого следует прежде всего привести условные уравнения к
линейному виду. Разлагая функции (3.3) в ряд Тейлора и
ограничиваясь ввиду малости поправок Vi первыми степенями,
получим



1 l1 ,l 2 ,...l n   1 V1  1 V2  ...  1 Vn  0,
l1
l 2
l n
 2 l1 ,l 2 ,...l n  
 2
 2
 2
V1 
V2  ... 
Vn  0 ,
l1
l 2
l n
(3.4)
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ,



 r l1 ,l 2 ,...l n   r V1  r V2  ...  r Vn  0.
l1
l 2
l n
Введем обозначения
1


 ai , 2  bi ,..., r  ri ( i  1,2,...n ) .
(3.5)
li
li
li
С учетом (3.5), принимая во внимание (3.2), представим
условные уравнения в линейном виде
a1V1  a 2V2  ...  a nVn  W1  0,
b1V1  b2V2  ...  bnVn  W2  0,
................................................,
r1V1  r2V2  ...  rnVn  Wr  0,
или в матричной записи
a1 a 2 ....a n
V1
b1 b2 ....bn

.......... .....
r1 r2 .... rn
rn
W1
V2

...
Vn
n1
W2
...
Wr
 bV  W  0.
(3.6)
r1
 
3.2 Условный минимум V 2  min . Нормальные уравнения
коррелат и их решение.
Система уравнений (3.6) так же, как и система (3.3) –
неопределенна (n > r). Её необходимо решить под условием [V2]=min.
В курсе математического анализа доказано, что если имеется
функция
n
переменных
связанных
r
u  F x1 ,x2 ,... xn  ,
дополнительными условиями
1 x1 ,x2 ,... xn ,  2 x1 ,x2 ,... xn ,.... r x1 ,x2 ,... xn ,
41
причем r < n, условный экстремум функции u может быть
найден методом, который предложил Ж.Л.Лагранж.
Для этого рассматривают функцию
Ф  F x1 ,x 2 ,... x n   k11 x1 ,x 2 ,... x n  
(3.7)
 k 2 2 x1 ,x 2 ,... x n   ...  k r  r x1 ,x 2 ,... x n ,
где k1 ,k 2 ,...k r - неопределённые множители – коррелаты.
Функция Ф дает систему n+r уравнений с n+r неизвестными
1  0,  2  0, ...  r  0, Ф1  0, Ф2  0, ...Фn  0 .

 

r
n
Для составления функции Лагранжа умножим (3.6) на
неопределенные множители 2k1 , 2k 2 , … 2k r . Полученные
выражения просуммируем и прибавим к функции
F  V 2   V12  V22  ...  Vn2 .
После преобразований получим
Ф  V12  2V1 a1k1  b1k 2  ....  r1k r  
 V22  2V2 a 2 k1  b2 k 2  ....  r2 k r  
 .......... .......... .......... .......... ..... 
 Vn2  2Vn a n k1  bn k 2  ....  rn k r  
 2W1k1  W2 k 2  ....  Wr k r .
Чтобы найти минимум этой функции, возьмем частные
производные по переменным V1 ,V2 ,....Vn и приравняем их к нулю
Ф
 2V1  2a1k1  b1k 2  ....  r1k r   0 ,
V1
Ф
 2V2  2a 2 k1  b2 k 2  ....  r2 k r   0 ,
V2
.......... .......... .......... .......... .......... .......... ....,
Ф
 2Vn  2a n k1  bn k 2  ....  rn k r   0.
Vn
Откуда находим поправки Vi
V1  a1k1  b1k 2  ...  r1k r ,
V2  a 2 k1  b2 k 2  ...  r2 k r ,
.......... .......... .......... .......... ..,
Vn  a n k1  bn k 2  ...  rn k r .
42
То же в матричной записи
V1
a1 b1 ... r1
V2
k1
a b ...r
 2 2 2
.......... ....
k
 2 или V  b T k .
(3.8)
...
...
Vn n1 a n bn ... rn nr k r r1
Таким образом, как это следует из (3.8), для вычисления
поправок Vi к измеренным величинам необходимо сначала определить
коррелаты k1 ,k 2 ,...k r .
Подставим V из (3.8) в (3.6)
bbT k  W  0 .
Введем обозначение
B  bbT 
aaab ... ar 
abbb ... br 
.......... .......... ...
(3.9)
.
(3.10)
ar br  ... rr 
На основании (3.9) и (3.10) можем записать
Bk  W  0 .
(3.11)
Выражение (3.11) представляет собой систему нормальных
уравнений, где число уравнений r равно числу определяемых
неизвестных ki (i=1, 2, …r).
Умножив (3.10) слева на обратную матрицу B 1 , находим
столбец коррелат
k   B 1W .
(3.12)
Подставив k в (3.8), находим столбец поправок V .
Контроль вычислений.
Умножим выражение (3.8) слева на матрицу строку поправок
VT .
 
 
T
V T V  bT k bT k  bT k V .
Выполнив необходимые преобразования, найдем
VV   k T bV ,
но  bV   W , откуда V 2   kW ,
что и даст нам контроль вычислений.
Подведем итог. Уравнивание измеренных величин, связанных
условиями, осуществляется в такой последовательности:
43
1. Определяем число и вид условных уравнений в данной
системе.
2. Составляем условные уравнения (3.2) и вычисляем их
свободные члены (невязки) Wi (i=1, 2, …r). Нелинейные условные
уравнения приводим к линейному виду (3.6).
3. Составляем матрицу коэффициентов нормальных уравнений
коррелат (3.10).
4. Из решения уравнения (3.11) вычисляем коррелаты
ki (i=1, 2, …r).
5. Подставляя коррелаты в уравнение (3.8), находим поправки Vi
(i=1, 2, …n).
6. Осуществляем контроль вычислений.
3.3 Оценка точности функций уравненных величин.
В 3.2 мы определили поправки, позволяющие получить
уравненные значения измеренных величин, которые удовлетворяли бы
условиям (3.3).
Однако на практике в большинстве случаев интерес
представляют не сами уравненные значения измеренных величин
(горизонтальных углов и направлений, длин линий, превышений и
т.д.), а их функции (координаты или высоты точек, площади участков
и др.)
Отсюда возникает задача оценки точности функций уравненных
значений измеренных величин.
Пусть имеется некоторая функция
(3.13)
u  ul1  V1 , l 2 V 2, ... l n  Vn  .
Необходимо найти её среднюю квадратическую погрешность
mu. Так как поправки Vi получены из совместного уравнивания, (3.13) –
функция зависимых величин. Как и в 2.4 решение данной задачи имеет
свои особенности.
Для разделения поправок Vi и непосредственно измеренных
величин l i разложим (3.13) в ряд Тэйлора, ограничившись в виду
малости поправок первыми степенями
u
u
u
(3.14)
u  ul1 , l 2 ,... l n  
V1 
V2  .... 
Vn .
l1
l 2
l n
Введем обозначения
u
(3.15)
 fi
li
и представим с учетом этих обозначений (3.14) в матричной
записи
44
V1
u  u l1 , l 2 , ... l n   f1 f 2 ... f n
V2
...
Vn
.
(3.16)
На основании (3.6), (3.8), (3.10) и (3.12) столбец поправок V
можно выразить через матрицу невязок условных уравнений
V1
a1 b1 ... r1
W1
V2
a b ... r
W
  2 2 2 B 1 2  b T B 1W .
...
.......... ....
...
Vn
a n bn ... rn
Wr
(3.17)
После подстановки в (3.16) получим
u  u  l1 ,l2 ,...ln   f bT B -1W .
Выражение (3.17) представляет u как функцию независимых
равноточных измерений, средние квадратические погрешности
которых
Для
нахождения
средней
m1  m2  ...  mn  m .
квадратической погрешности этой функции можно применить
основную теорему теории погрешностей


u
W

mu2  m 2 
 f b T B 1 
l1 , l 2 ,...l n 
 l1 , l 2 ,...l n
(3.18)
Т


u

W
 .
 
 f b T B 1 
l1 , l 2 ,...l n 
 l1 , l 2 ,...l n
Принимая во внимание (3.15), можем записать
u
(3.19)
 f1 , f 2 ,... f n  f .
l1 , l 2 ,...l n
На основании (3.2) и (3.6)с учетом обозначений (3.5) получим
1
l1 ,l2 ,...ln
a1 a2 ...an
 2
b b ...b
W
 l1 ,l2 ,...ln  1 2 n  b .
l1 ,l2 ,...ln
..............
..................
r1 r2 ... rn
 r
l1 ,l2 ,...ln
45
(3.20)
Подставляя (3.19), (3.20) в (3.18), имеем
mu2  m2
 f  f b B
T
1
b
 f  f b
T
B 1b

Т
(3.21)
Левую скобку в (3.21) можно представить в виде


f E  bT B 1b ,
где E  единичная матрица размером n  n , а правую скобку,
учитывая симметричность матриц B 1 и E , в виде

T 1 T 
T 1 T T
f E b B b  E b B b f ,


т.е. мы имеем дело с симметричной матрицей. Это дает
возможность представить (3.21) следующим образом

mu2  m2 f




 E  b B b E  b B b   f
T
1
T
1
T
T


m2 f E  2bT B 1b  bT B 1bbT B 1b f T .
Но, так как согласно (3.8)
bb T  B , а BB 1  E ,
после приведения подобных получим

 
(3.22)
mu2  m 2 f E  bT B 1b f T ,
которая представляет среднюю квадратическую погрешность
функции уравненных значений непосредственно измеренных величин.
Проанализируем выражение (3.22). Матрица-строка f T имеет
размерность 1  n . Матрица, представляющая разность в круглых
скобках - размерность n  n и, наконец, матрица – столбец f T размерность n  1 . Выполнив умножение
1 n n  n n 1 ,
мы получаем матрицу размерности 1 1 , т.е. число, что и
должно быть по смыслу поставленной задачи.
Если в системе выполнены только необходимые измерения,
задача уравнивания не возникает. Тогда выражение в круглых скобках
(3.22) будет равно E и формула принимает вид
mu2  m 2 ff T  m 2  ff  ,
что соответствует средней квадратической погрешности
функции непосредственно и равноточно измеренных независимых
величин в теории погрешностей.
Таким образом разность
46
E  b T B 1b
представляет количественную меру уменьшения средней
квадратической погрешности уравненного значения функций по
сравнению с вычисленным по необходимым измерениям.
Формула (3.22) позволяет оценить точность одной единственной
функции уравненных величин.
Если же потребуется одновременно оценить точность Z
функций
U 1  U 1 l1  V1 , l 2  V2 , ...l n  Vn ,
U 2  U 2 l1  V1 , l 2  V2 , ...l n  Vn ,
(3.23)
.......... .......... .......... .......... .......... ..,
U z  U z l1  V1 , l 2  V2 , ...l n  Vn ,
поступаем аналогично.
Разложив каждую из функций (3.23) в ряд Тэйлора и обозначив
U i
 f ij , будем иметь
l j
U 1 l1 , l 2 , ... l n 
f11 f12 ... f1n
U 2 l1 , l 2 , ... l n 
V1
f f ... f
V
U
 21 22 2n  2  U  FV .
...
.......... ..........
.......... ........
U z l1 , l 2 , ... l n  f z1 f z 2 ... f zn Vn
Выразив в (3.24) матрицу – строку поправок
(3.24)
V через
1
T
произведение матриц b B W , как это сделали ранее и выполнив
аналогично все остальные преобразования, будем иметь

 .
MU2  m 2 F E  bT B 1b F T
(3.25)
Выражение в фигурных скобках (3.25) – квадратная
симметричная матрица размером z  z . Это дает возможность ввести
обозначение
S11 S12 ... S1z


F E  bT B 1b F T  S 2 
причем Sij  S ji .
47
S21 S22 ... S 2 z
....................
S z1 S z 2 ... S zz
,
(3.26)
С учетом обозначения (3.26) формула (3.25) принимает
окончательный вид
S11 S12 ... S1z
S S ... S 2 z
.
M U2  m 2 S 2  m 2 21 22
.......... ..........
S z1 S z 2 ... S zz
(3.27)
Как и в параметрическом способе уравнивания, диагональные
элементы матрицы S - весовые коэффициенты S11 , S 22 , ... S zz ,
которые всегда положительные, они служат для оценки точности
совокупности функций (3.23). Средние квадратические погрешности
этих функций будут соответственно равны
mU1  m S11 , mU2  m S 22 ,... mU Z  m S zz .
(3.28)
Элементы Sij i  j  , расположенные по обе стороны главной
диагонали, могут быть как положительными, так и отрицательными.
Они представляют корреляционные моменты, обусловленные
зависимостью функций (3.23).
3.4 Вычисление эмпирической средней квадратической
погрешности по поправкам и средней квадратической
погрешности уравненных величин.
Поправки, полученные из уравнивания, могут быть
использованы для вычисления эмпирической средней квадратической
погрешности. Так как число избыточных измерений равно числу
условных уравнений r , на основании (2.29) можем записать
m
V  .
2
(3.29)
r
Поскольку число условных уравнений, как правило, невелико,
надежность величины m определяет средняя квадратическая
погрешность
m
.
(3.30)
mm 
2r
Уравнивание измеренных величин, связанных условиями, так
же как и уравнивание параметрическим способом повышает точность
результатов измерений, среднюю квадратическую погрешность
уравненных равноточно измеренных величин, принимая во внимание
(2.35), представляет формула
48
m ур  m 1 
r
.
n
(3.31)
3.5 Уравнивание и оценка точности неравноточных
измерений.
При неравноточных измерениях в соответствии с (1.3) поправки
находят под условием
pV   min .
2
В этом случае функция Лагранжа (см. 3.2) принимает вид
Ф  p1V12  2V1 a1 k1  b1 k 2  ...  r1 k r  
 p 2V 22  2V 2 a 2 k1  b2 k 2  ...  r2 k r  
 .......... .......... .......... .......... .......... .... 
 p nV n2  2V n a n k1  bn k 2  ...  rn k r .
Найдем частные производные от этой функции по переменным
V1 ,V2 , ... Vn и приравняем их к нулю
Ф
 2 p1V1  2a1 k1  b1 k 2  ...  r1 k r   0 ,
V1
Ф
 2 p 2V 2  2a 2 k1  b2 k 2  ...  r2 k r   0 ,
V 2
.......... .......... .......... .......... .......... .......... ........,
Ф
 2 p nV n  2a n k1  bn k 2  ...  rn k r   0.
V n
Откуда найдем искомые поправки.
a
b
r
V1  1 k1  1 k 2  ...  1 k r ,
p1
p1
p1
a
b
r
V 2  2 k1  2 k 2  ...  2 k r ,
p2
p2
p2
(3.32)
.......... .......... .......... .......... .......... ,
a
b
r
V n  n k1  n k 2  ...  n k r .
pn
pn
pn
Уравнения (3.32) отличаются от аналогичных им уравнений
(3.8) для равноточных измерений делителями – весами p1 , p 2 , ... p n - в
правой части.
49
Чтобы упростить дальнейшие рассуждения, уравнения (3.32)
можно путем несложных преобразований привести к равноточному
виду. Для этого умножим их почленно на
Vi pi  Vi,
ai
 ai ,
bi
pi . Введем обозначения
 bi ,...
ri
 ri .
pi
pi
pi
С учетом этих обозначений, система уравнений (3.6) в
матричной записи принимает вид
a1 a 2 ... a n V1 W1
b1 b2 ... bn V 2 W 2
1
.......... ....  ...  ...  b pV p  W  b
V p  W  0 , (3.33)
p
.......... ....
...
...
r1 r2 ... rn
V n W n
а система (3.32) – вид
V1
V2
a1 b1 ...r1
a 2 b2 ...r2
k1
k2
...  .......... ...  ...
...
.......... ...
...
Vn a n bn ...rn k r
или
V p  b Tp k .
Подставляя V p из (3.34) в (3.33) и обозначив
(3.34)
a a a b...a r 
a bbb...br 
B p  b p b Tp  .......... .......... ....... ,
.......... .......... .......
a r br ...r r 
получаем систему нормальных уравнений коррелат
Bpk  W  0 ,
(3.35)
которая решается умножением (3.35) слева на обратную
матрицу B p1
k   B p1W .
50
(3.36)
Подставляя k в (3.34), находим столбец преобразованных
поправок V p . Для получения поправок V необходимо V p умножить
слева на диагональную матрицу q , элементы которой равны
1
, i  1,2,...n и при i  1 , qij  0 .
qii 
pi
1
0
p1
0
V  q pV p 
... ...
1
...
...
p2
...
...
0
0
0
... ...
0
V1
V 2
... ...
... ...
...
...
1
 ... .
...
V n
... ...
(3.37)
pn
Эмпирическая средняя квадратическая погрешность единицы
веса вычисляется по формуле
2 
pV  
2
V V  .
(3.38)
r
r
Перейдем к оценке точности.
Согласно формуле (4.17) см часть 1, вытекающей из основной
теоремы теории погрешностей, обратный вес совокупности функций
(3.23) при неравноточных измерениях будет равен
 
V p

1
U
W
 
 qF 

PU   l1 , l 2 ,...l n W l1 , l 2 ,...l n 
(3.39)
T
 
V p


U

W
 .
 qF 

  l1 , l 2 ,...l n W l1 , l 2 ,...l n 
Подставим в (3.39), аналогично тому, как это было сделано в
(3.18), значения частных производных (3.19), (3.20), учтем принятые
для неравноточных измерений обозначения Vi, ai , bi , ... ri , а также
примем во внимание выражения (3.33), (3.34), (3.35), (3.37). Выполним
преобразование и умножение матриц, а также другие преобразования,
как это было сделано в 3.3. В результате получим обратный вес
совокупности функций U1 ,U 2 ,..U z
неравноточно измеренных
величин l1 , l 2 , ... l n .
51


1
T .
1
 S p  qF  E  bT
p B p b p qF 
PU
(3.40)
Соответственно (3.27) запишется в виде
MU2   2 S p .
Элементы матрицы
Sp
имеют тот же смысл, что и
соответствующие им элементы матрицы S в (3.27) и (3.38).
3.6 Уравнивание триангуляции.
Для определения координат X, Y одного пункта в сети
триангуляции необходимо измерить два горизонтальных угла.
Следовательно число необходимых измерений
t  2p ,
где р – количество определяемых пунктов.
Таким образом число независимых условий в сети, где измерено
n углов, определится из выражения
r  n  2p ,
В свободной сети при отсутствии исходных пунктов число
независимых условий будет
r  n  2p  4 .
При уравнивании сетей триангуляции возникает несколько
видов геометрических и тригонометрических условий. Рассмотрим их
на примерах различных типовых систем триангуляции
3.6.1 Геодезический четырехугольникх) (Рис 3.1).
Рис. 3.1
х)
Уравнивание геодезического четырехугольника в этом разделе выполнила
О.В.Постоенко
52
Координаты исходных пунктов Ф, Э приведены в табл. 3.1.
Горизонтальные углы измерены равноточно. Их значения
приведены в табл. 3.2.
Определяем число избыточных измерений
r  nt  84  4 ,
где n – число всех измерений, t – число неизвестных
Таблица 3.1 – Координаты исходных пунктов и определяемых
пунктов, вычисленные по уравненным углам
Координаты
Наименование
пунктов
х
у
Ф
600449,146
7239628,382
Э
602815,386
7239915,593
Я
602847,421
7243135,237
Д
600141,020
7243569,854
Таблица 3.2 Измеренные и уравненные углы. Коэффициенты
условных уравнений
/№
угл
ов
№
Измеренные
углы
k=
Коэффициенты условных
уравнений
a
b
c
d
0.111 -0.621 0.341 0.402
Поправки,
Уравненные углы
сек
1
484242,83
1
1
0
0.878
-0.16
484242,67
2
604320,49
1
1
0
-0.561
-0.74
604319,75
3
364605,75
1
0
1
1.338
0.99
364606,74
4
334750,98
1
0
1
-1.494
-0.15
334750,83
5
644519,35
1
-1
0
0.472
0.92
644520,27
6
444041,83
1
-1
0
-1.011
0.33
444042,16
7
314342,02
1
0
-1
1.617
0.42
314342,44
8
385015,86
1
0
-1
-1.242
-0.73
385015,13
W=
-0.89
2.14
-1.15
-3.513
0.89
3600000,00
Составляем условные уравнения. На первый взгляд может
показаться, что в данной системе – пять геометрических условий
фигур: треугольники ФЭЯ, ФЯД, ФЭД, ДЭЯ и четырехугольник
53
ФЭЯД. На самом деле независимыми здесь будут только три условия,
остальные – линейные комбинации первых трех.
На основании (3.6) вместо трех условий фигур в данном случае
будет удобно иметь одно условие фигуры - четырехугольника
(3.41)
V1  V2  V3  V4  V5  V6  V7  V8  WI  0 ,
где WI  1   2   3   4   5   6   7   8  360  ,
и два условных уравнения сумм и разностей
V1  V2  V5  V6  W II  0,
V3  V4  V7  V8  W III  0,
(3.42)
где WII  1   2   5   6 ,
WIII   3   4   7   8 .
Как это видно на схеме сети (Рис. 3.1), применив теорему
синусов, будем иметь отношение
sinˆ 1 sinˆ 3 sinˆ 5 sinˆ 7
(3.43)
 1,
sinˆ sinˆ sinˆ sinˆ
2
4
6
8
где ̂ i - истинные значения углов.
На основании (3.3), принимая во внимание отношение (3.43),
получим еще одно уравнение – условное уравнение полюса
sin 1  V1 sin 3  V3 sin  5  V5 sin  7  V7 
 1  0 . (3.44)
sin  2  V2 sin 4  V4 sin  6  V6 sin  8  V8 
Таким образом мы имеем четыре условных уравнения. Три из
них (3.41), (3.42) представлены в линейном виде. Четвертое (3.44)
необходимо привести к линейному виду.
Как это было изложено в п. 3.1, разложим (3.44) в ряд Тейлора,
ограничившись первыми числами разложения. Для этого найдем
частные производные по переменным  i в числителе
d1 
 cos1sin 3 sin 5 sin 7

.
1 sin 2 sin 4 sin 6 sin 8
Умножим в этом выражении числитель и знаменатель на sin1 .
После преобразований с учетом (3.43) получим
cos1sin1sin 3sin 5sin 7

d1 

 ctg1 .
1 sin1sin 2 sin 4 sin 6 sin 8
Аналогично



d3 
 ctg 3 , d 5 
 ctg 3 , d 7 
 ctg 7 .
 3
 5
 3
54
Переходим к знаменателю
cos 2 sin1sin 3sin 5sin 7

d2 

 ctg 2 .
 2
sin 2 sin 2 sin 4 sin 6 sin 8
Аналогично



d4 
 ctg 4 , d 6 
 ctg 6 , d 8 
 ctg 8 .
 4
 6
 8
Теперь можно записать уравнение (3.44) в линейном виде
ctg 1V1  ctg 2V 2  ctg 3V3  ctg 4V 4  ctg 5V5 
(3.45)
 ctg 6V6  ctg 7V7  ctg 8V8  W IV  0 ,
 sin1sin 3sin 5sin 7

где WIV  
 1   ,
 sin 2 sin 4 sin 6 sin 8

множитель   необходим для перехода от радианной меры к
угловой.
По формулам (3.41), (3.42), (3.45) определяем коэффициенты
условных уравнений и заносим их в соответствующие колонки табл.
3.2.
Вычисляем свободные члены (невязки) W условных уравнений,
которые помещаем в нижней части табл. 3.2.
Численные значения коэффициентов условных уравнений,
представленные в табл. 3.2, - элементы матрицы
1 1 0
0.878
bT
1 1 0
1 0 1
1 0 1

1 1 0
1 1 0
1 0 1
1 0 1
Транспонируем матрицу b T
1
1
1
1
b
1
0
0.878
1
0
0
1
 0.561 1.338
 0.561
1.338
 1.494
.
0.472
 1.011
1.617
 1.242
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
 1.494
0.472
55
 1.011 1.617
 1.242
.
Умножив слева матрицу b на матрицу b T , получим матрицу
коэффициентов нормальных уравнений коррелат
8
0
0
 0.083
B  bb T 
0
0
4
0
 0.003 0.857
0
4
 0.531
0.857
.
 0.531
10 .512
Определяем матрицу B 1 , обратную матрице B
0.125
0
0
0
0
0.254  0.003  0.021
B 1 
.
0
 0.003 0.252
0.013
0
 0.021 0.013
0.097
Контроль BB 1  E .
Вычисляем по формуле (3.12) коррелаты
0.111
 0.621
k   B 1W 
.
0.341
0.402
Записываем их в табл. 3.2.
Подставляем коррелаты в (3.8), находим поправки
 0.16
 0.74
0.99

0.15
V  bT k 
.
0.92
0.33
0.42
 0.73
Осуществляем контроль уравнительных вычислений. Для этой
цели служит формула
V T V  kW .
В результате имеем
V T V  3.24 ,  kW  3.23 ,
что лежит в пределах точности вычислений.
56
Поправки записываем в соответствующую колонку таблицы 3.2
и вычисляем уравненные углы.
Если подставить уравненные значения углов в выражения для
вычисления свободных членов формул (3.41), (3.42), (3.45) мы
получим нули.
По формуле (3.29) вычисляем эмпирическую среднюю
квадратическую погрешность измеренного угла
m
VV   0.90 ,
r
по формуле (3.30) оцениваем ее надежность
m
mm 
 0.32 
2r
и по формуле (3.31) находим среднюю квадратическую
погрешность уравненного угла
r
 0.64  .
n
Используя уравненные углы по формулам Юнга, вычисляем
координаты определяемых пунктов (табл. 3.3).
Теперь необходимо произвести оценку точности, т.е.
определить совокупную среднюю квадратическую погрешность
положения определяемых пунктов относительно исходных.
m ур  m 1 
Таблица 3.3 Вычисление координат определяемых пунктов по
уравненным углам
Наим.
пунктов
Э
Ф
Д
Э
Уравненные
углы
604319,75
873257,80
314342,45
1800000,00
Координаты
Х
Y
602815,386
7239915,593
600449,146
7239628,382
600141,021
7243569,854
602815,386
7239915,593
Э
Ф
Я
Э
972926,49
484242,67
334750,84
1800000,00
602815,386
600449,146
602847,421
602815,386
7239915,593
7239628,382
7243135,237
7239915,593
Для упрощения задачи примем пункт Ф за начало условной
системы координат, а ось Х направим вдоль линии ФЭ.
57
Координаты определяемых пунктов в этой системе будут
соответственно равны
b sin  2   3 
ХЯ 
cos1  2803 .357 ,
sin 4
YЯ 
b sin  2   3 
sin1  3192 .326 ,
sin 4
ХД 
YД 
где b 
b sin 2
cos 1   8   169 ,044 ,
sin 7
b sin 2
cos1   8   3949 ,882 ,
sin 7
 X Ф  X Э 2  YФ  YЭ 2
 2383 ,607 .
Теперь на основании (3.24) необходимо найти элементы
матрицы F T - частные производные координат определяемых пунктов
по измеренным углам. Их значения в буквенном виде приведены в
табл. 3.4.
Таблица 3.4 Частные производные координат определяемых
пунктов по измеренным углам
х,у
Х Д
Y Д
Х Я
Y Я
 i
1

ХЯ
tg1
 
YЯ
ctg1
 
ХЯ
ctg 2   3 
 
YЯ
ctg 2   3 
 
ХЯ
ctg 2   3 
 
Х
 Я ctg 4
 
YЯ
ctg 2   3 
 
5
6
2
3

ХД
 
Х
tg1   8 
Д
сtg 2
 
YД
 
ctg1   8 
YД
 
сtg 2
----------
----------
YЯ
ctg 4
 
----------
----------
-------------------
-------------------
-------------------
-------------------
7
----------
----------
8
----------
----------
4



ХД
 
ХД
 
сtg 7
tg1   8 

YД
 
YД
 
сtg 7
ctg1   8 
По формулам, приведенным в табл. 3.4, вычисляем элементы
матрицы F T
58
 1.548
 0.179
 0.179
 2.030

0
0
0
0
FT
1.359
 0.204
 0.204
 2.312
0
0
0
0
Транспонируем матрицу F T
-1.548  0.179  0.179
1.359  0.204  0.204
F
 1.915 0.046
0
0.082
1.074
0
.
 1.915
0.046
0
0
0
0
 0.133
 1.915
0.082
1.074
0
0
.
0
0
 3.097
0.082
 2.030
0 0
 2.312
0
0 0
0
0 0  0.133
0
 1.915
0
0 0  3.097
0.082
0
0
Подставив матрицы F , F T , b , b T , B 1 в выражение (3.26),
получим матрицу S 2 , умножив которую на квадрат эмпирической
средней квадратической погрешности m , найдем на основании (3.25)
совокупную погрешность положения определяемых пунктов.
2.428 0.491
1.176
1.792
0.491 3.640  1.880 3.230
S2 
,
1.176  1.880 3.391  1.164
1.792 3.230  1.164 4.782
1.962
0.397
0.950
0.397
M U2 
0.950
2.942
 1.519
 1.519
2.741
1.449
2.611
 0.941
M U2
1.449
2.611
.
 0.941
3.865
2
По элементам
и S определяем:
1. Из выражения (2.22) – средние квадратические погрешности
определяемых пунктов по осям координат
пункт Я
пункт Д
m x  1.962  1.4 см ,
m x  2.741  1.7 см ,
m y  2.942  1.7 см ,
m y  3.865  2.0 см .
59
2. По формуле (2.24) – круговые средние квадратические
погрешности
m Я  1,962  2,942  2,2 см ,
m Д  2,741  3,865  2,6 см
3. Заменив в выражениях (2.26) и (2.27) Qi j на S i j - элементы
эллипсов погрешностей положения определяемых пунктов
пункт Я
пункт Д
S xx  2.428 ;
S xx  3.391;
S yy  3.640 ;
S yy  4.782 ;
S xy  0.491;
S xy  1.164 ;
2  0.491
0.982

 0.81;
2.428  3.640
1.212
  160 30 ;
2 1.164
2.328

 1.67 ;
3.391  4.782
1.391
  29 34 ;
tg 2 
SUU VV  

tg 2 
1
2.428  3.640  
2
SUU VV  
2.428  3.640 2  4  0.491 2 ;


1
3.391  4.782  
2
3.391  4.782 2  4 1.164 2 ;

S UU  3.81;
S UU  5.44 ;
a  0.90 3.81  1.8 см;
a  0.90 5.44  2.1 см;
S VV  2.25 ;
S VV  2.73;
b  0.90 2.25  1.4см;
b  0.90 2.73  1.5см.
По вычисленным параметрам строим эллипсы погрешностей
на схеме сети.
3.6.2 Центральная система.
На рис. 3.2 представлена
центральная система.
60
сеть,
получившая
название
Рис. 3.2
Измерено 15 углов. Определяемых пунктов 4.
Число условных уравнений
15  4  2  7 .
Как это следует из чертежа (рис. 3.2), имеем 5 условных
уравнений фигур
V1  V2  V3  W I  0,
V4  V5  V6  W II  0,
V7  V8  V9  W III  0,
(3.46)
V10  V11  V12  W IV  0,
V13  V14  V15  WV  0.
На пункте В измеренные углы замыкают горизонт, т.е. их сумма
теоретически должна быть равна 360  . Отсюда возникает еще одно
геометрическое условие – условие горизонта.
 3  V3    6  V6    9  V9   12  V12   15  V15   360  0,
которому соответствует условное уравнение
V3  V6  V9  V12  V15  WVI  0,
(3.47)
где WVI   3   6   9  12  15  360  .
И, наконец, как и в случае геодезического четырехугольника, на
основании теоремы синусов может быть записано условие полюса
вида (3.45)
61
ctg1V1  ctg 2V 2  ctg 4V 4 - ctg 5V5  ctg 7V7 - ctg 8V8  ctg10V10 - ctg11V11  ctg13V13 - ctg14V14  WVII  0 ,
(3.48)
 sin 1sin 4 sin 7 sin 10 sin13 
где WVII  
 1  .
 sin 2 sin 5 sin 8 sin 11sin 14

Дальнейший
порядок
уравнительных
вычислений
принципиально не отличается от рассмотренного нами в п. 3.6.1.
3.6.3 Вставка в жесткий угол. Рис. 3.3.
Рис. 3.3
Измерено 9 углов. Определяемых пунктов 2.
Число условных уравнений
9 ( 2 2)  5
Как это следует из чертежа (рис. 3.3), имеем 3 условия фигур
V1  V2  V3  W I  0,
(3.49)
V4  V5  V6  W II  0,
V7  V8  V9  W III  0.
В данной сети угол AOВ – жесткий, так как он равен разности
исходных дирекционных углов
AOB   OB   OA ,
где  OB ,  OA - дирекционные углы линий OA и OB.
Отсюда возникает условие дирекционных углов
(  3  V3 )  (  6  V6 )  (  9  V9 )  (  OB   OA, )  0 ,
62
которому соответствует условное уравнение
V3  V6  V9  WIV  0 ,
где W IV   3   6   9  (  OB   OA, ).
(3.50)
В данной сети стороны OA и OB – жесткие. Как это видно на
рис. 3.3, на основании теоремы синусов можно записать уравнение
сторон
a sin( 1  V1 )sin( 4  V4 )sin( 7  V7 )
1
sin( 2  V2 )sin( 5  V5 )sin( 8  V8 )b
Дифференцируя
это
уравнение
по
переменным
1 ,  2 ,  4 ,  5 ,  7 ,  8 , запишем условное уравнение
ctg1V1  ctg2V2  ctg4V4  ctg5V5  ctg7V7  ctg8V8  WV  0,
(3.51)
 asin1sin 4 sin 7

где WV  
 1 " .
 sin 2 sin 5 sin 8 b 
Последовательность дальнейшей обработки изложена в п.3.6.1.
3.6.4 Цепь треугольников между двумя сторонами, длины и
дирекционные углы которых известны.
Рис. 3.4
В сети измерено 15 углов. Так как сеть свободна, количество
определяемых пунктов p  6 , имея в виду, что координаты одного из
пунктов либо известны, либо принимаются условно. Следовательно
число независимых условий будет
r  n  2 p  4  15  2  6  4  7
Как это следует из рис.3.4 в данной сети имеем:
1. Пять условных уравнений фигур
63
V1  V2  V3  W I  0,
V4  V5  V6  W II  0,
V7  V8  V9  W III  0,
V10  V11  V12  W IV  0,
(3.52)
V13  V14  V15  WV  0.
Условие дирекционных углов
1  (  3  V3 )  (  6  V6 )  (  9  V9 )  ( 12  V12 )  ( 15  V15 )   2  0
2.
,
которому соответствует условное уравнение
(3.53)
V3  V6  V9  V12  V15  WVI  0,
где WVI  1   3   6   9  12  15   2. .
3. На основании теоремы синусов можем записать условие
сторон
b1sin(  2  V2 )sin(  4  V4 )sin(  8  V8 )sin( 10  V10 )sin( 14  V14 )
 1.
sin( 1  V1 )sin(  5  V5 )sin(  7  V7 )sin( 11  V11 )sin( 13  V13 )b2
Дифференцируя это выражение по переменным  i , получим
условное уравнение
ctg1V1  ctg 2V 2  ctg 4V 4  ctg 5V5  ctg 7V7  ctg 8V8 
 ctg10V10  ctg11V11  ctg13V13  ctg14V14  WVII  0,
(3.54)
 b sin 2 sin 4 sin 8 sin 10 sin 14

где WVII   1
 1  .
 sin 1sin 5 sin 7 sin 11sin 13b2

Дальнейшая обработка осуществляется, как это изложено в
п.3.6.1.
3.7 Уравнивание систем нивелирных ходов.
Прежде всего, необходимо подсчитать число независимых
условий в сети.
Для определения высоты одной точки необходимо измерить
одно превышение. Далее, в нивелирной сети любой конфигурации
должен быть, или условно принят за таковой, хотя бы один исходный
репер или марка.
Таким образом, если принять число измеренных превышений в
сети равным n , а число определяемых узловых точек равным t ,
количество условных уравнений определится как их разность
64
r  nt
Возможен и другой подход. Одиночный разомкнутый ход,
опирающийся на два исходных пункта, дает одно избыточное
измерение. Одно избыточное измерение дает также каждый замкнутый
полигон. Следовательно, число избыточных измерений может быть
определено по формуле
r  I  Z 1 ,
где I - количество исходных пунктов в сети, Z - количество
замкнутых полигонов.
Определив число условных уравнений, приступим к их
составлению и решению.
Пример. Уравнять нивелирную сеть, представленную на рис.
3.5.
Рис. 3.5
В сети для определения высот 2 узловых точек измерено 5
превышений. Следовательно, количество условных уравнений
r  5 2  3.
Измерения неравноточные. Так как вес нивелирного хода (см.
1
1
ч.1 п.6.3) p  , где L - длина хода, обратный вес
будет равен
p
L
длине соответствующего хода.
Условия, возникающие в сети на основании (3.3) можно
представить так
65
H A  ( h1  V1 )  ( h2  V2 )  H B  0,
H C  ( h4  V4 )  ( h5  V5 )  H D  0,
(3.55)
H A  ( h1  V1 )  ( h3  V3 )  ( h5  V5 )  H D  0.
На основании (3.55) можем записать условные уравнения
V1  V2  W I  0,
V4  V5  W II  0,
V1  V3  V5  W III  0,
где WI  H A  h1  h2  H B ,
(3.56)
WII  H C  h4  h5  H D ,
WIII  H A  h1  h3  h5  H D .
Коэффициенты и свободные члены условных уравнений
представлены в таблице 3.5
Таблица 3.5
№
ход 1/P=L 1/√P a
ов
1
2
3
4
5
3,5
5,7
3,7
4,2
5,3
1,87
2,39
1,42
2,05
2,30
b
1
-1
коэффициенты
b΄
c΄
c a΄
V΄ h измер V
k1= k2=
k3=
1,055 0,321 0,369
1 1,87
1,87 2,66 2,116
5,0
-2,39
-2,52 0,683
-6,0
1
1,92 0,71 -1,226
1,4
1
2,05
0,66 -1,107
1,3
-1 -1
-2,30 -2,30 -1,59 -2,642
-3,7
W
-11
-5
-10 V V   16.89 μ=2,37
h уравн.
2,121
0,677
-1,2246
-1,1057
-2,6457
Преобразованные коэффициенты a’, b’, c’ в соответствии с
(3.32) и (3.33) получаем умножением матрицы непреобразованных
коэффициентов b на диагональную матрицу обратных весов q
b p  bq 
1.87
0
0
0
0
1 1 0 0 0
0
2.39
0
0
0
 0 0 0 1 1  0
0 1.92
0
0 
1 0 1 0 1
0
0
0
2.05
0
0
0
0
0
2.30
1.87  2.39
0
0
0
 0
0
0 2.05  2.30 .
1.87
0
1.92
0
 2.30
Вычисляем матрицу коэффициентов нормальных уравнений
66
B p  b p bTp 
1.87
1.87  2.39 0
0
0
 2.39
 0
0
0 2.05  2.30  0
1.87
0
1.92 0  2.30
0
0
0
1.87
9.21 0
3.50
0
0
0
1.92  0 9.49 5.29
3.50 5.29 12 .47
2.05
0
 2.30  2.30
.
Вычисляем обратную матрицу B p1 и столбец коррелат
k   B p1W 
0.1263 0.0258  0.0463  11 1.055
  0.0258 0.1432  0.0679   5  0.321 ,
 0.0463  0.0679 0.1218  10 0.369
которые записываем в таблицу 3.5.
По формулам (33.5) и (3.38) в таблице 3.5 вычисляем поправки
Vi и Vi и уравненные превышения h ур.
Вычисляем
эмпирическую
среднюю
квадратическую
погрешность единицы веса
V V   16.89  2.4 мм / км.

r
3
Чтобы оценить точность уравненных значений высот узловых
точек 1 и 2, представим эти высоты как функции высот исходных
марок, принимаемых за безошибочные, и уравненных превышений
H 1  H A  h1( ур ) ,
H 2  H C  h4( ур ) .
Матрица F в соответствии с (3.24) и (3.25) имеет вид
1 0 0 0 0
F
.
0 0 0 1 0
В соответствии с (3.41) вычисляем симметричную матрицу
C  E  bTp B p1b p 
67
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0 1.87
0
1.87
0.1263
0  2.39
0
0


0
.0258
0
0
0
1.92
 0.0463
0
0
2.05
0
1
0
 2.30  2.30
0.456
1.87  2.39
0
0
0
0.358
 0
0
0
2.05  2.30   0.217
1.87
0
1.92
0
 2.30
0.161
0.144
0.358
0.278
 0.212
0.126
0.113
0.0258
0.1432
 0.0679
 0.271
 0.213
0.551
0.267
0.238
 0.0463
 0.0679 
0.1218
0.161
0.126
0.267
0.398
0.355
0.144
0.113
0.238 ,
0.355
0.316
вычисляем матрицу
1.87
0
1 0 0 0 0 1.87 0 0
0
0
qF 


0
2.05 0 0 0 1 0
0
0 0 2.05 0
и находим обратный вес
1.87
0
0
0
1.87 0 0
0
0
1.60 0.62
1
.
 Sp 
C  0
0 
0 0 0 2.05 0
0.62 1.67
Pu
0
2.05
0
0
Средние квадратические погрешности высот узловых точек 1 и
2 будут соответственно равны
m1   S11  2.4 1.60  3.0 мм ,
m 2   S 22  2.4 1.67  3.1мм .
Сравним полученные результаты с результатами уравнивания
этой же системы ходов параметрическим способом в 2.10. Как видим
поправки к измеренным превышениям в таблицах 3.5 и 2.8 совпадают
в пределах точности вычислений. Практически совпали в пределах
точности вычислений и точностные характеристики  , m1 , m2 .
Это лишний раз подтверждает тот факт, что при уравнивании по
способу наименьших квадратов применение как параметрического
способа, так и способа измерений, связанных условиями, приводит к
одним и тем же результатам.
68
Возникает
вопрос,
какой
из
способов
является
предпочтительным?
Это зависит от конкретных условий. При уравнивании на
ПЭВМ предпочтение отдают способу, который требует меньших
затрат времени на подготовку исходной информации для ввода в ОЗУ.
При уравнивании с помощью микрокалькулятора наиболее
трудоемкой работой является вычисление обратной матрицы A 1 или
B 1 .Вот почему здесь предпочтительным будет тот способ, у
которого меньший размер матриц A или B , т.е. меньшее число
нормальных уравнений.
Так в рассмотренном примере уравнивания системы
нивелирных ходов с двумя узловыми точками предпочтительнее
параметрический способ, имеющий всего два нормальных уравнения
вместо трех в способе измерений, связанных условиями.
4 Уравнивание систем измеренных величин, связанных
условиями, с дополнительными неизвестными.
Рассмотрим этот способ применительно к уравниванию сетей
полигонометрии. Сеть полигонометрии включает исходные и
определяемые пункты. Среди определяемых пунктов следует особо
выделить узловые точки.
Хода полигонометрии могут быть трех видов
1.
Ход между двумя исходными пунктами
2.
Рис. 4.1
Ход между исходным пунктом и узловой точкой
3.
Рис. 4.2
Ход между двумя узловыми точками
Рис. 4.3
В каждом ходе измеряется n сторон и n'  n  1 углов. Общее
число измерений составляет 2n  1 . С другой стороны ход из n сторон
69
включает n  1 определяемых точек, т.е. необходимо определить
2n  1 координат.
Таким образом число избыточных измерений будет равно
r  2n  1  2n  1  3.
Следовательно, в любом ходе независимо от числа
определяемых точек возникает только три условных уравнения.
Будем полагать, углы  i i  1,2,...n'  измерены независимо и
равноточно. Стороны d i i  1,2,...n также измерены независимо и
равноточно, что практически имеет место, если линии измерены
светодальномером, а стороны имеют примерно одинаковую длину.
Так как углы и длины сторон – объекты разного рода, измерения
в полигонометрии в общем случае – неравноточные. Отсюда возникает
необходимость установления относительных весов угловых и
линейных измерений.
Приняв веса измеренных углов равными единице, т.е. p   1 , в
соответствии с формулами (6.1) и (6.2) из 1 части курса веса
измеренных сторон будут
pd 
 2
 d2
,

и  d - стандарты, характеризующие точность
измерения углов и длин сторон соответственно. Эти величины для
соответствующего класса (разряда) полигонометрии устанавливаются
нормативными документами. Применительно к нормативам
разрабатывается методика выполнения угловых и линейных
измерений.
где
2
Веса p d имеют размерность сек
.
см 2
Уравнивание полигонометрического хода рассмотрим на
наиболее общем примере хода между двумя узловыми точками, имея в
виду, что остальные два вида – частные случаи от общего.
Итак, в ходе возникает три условных уравнения:
1.
Уравнение углов
n'
V   нач   кон  W  0,
1
70
(4.1)
где V  - поправки в измеренные углы,  нач , кон - поправки
в приближенные дирекционные углы начальной и конечной сторон
хода соответственно,
o
o
W   нач
  кон

n'
  i  180 0 n' ,
1
o
o
 нач , кон
- угловая невязка хода,
дирекционных углов начальной
соответственно.
2.
Условие абсцисс
n
 VX
- приближенные значения
конечной сторон хода
i
 x нач x кон  W x  0 .
i
 y нач y кон  W y  0 .
1
3.
и
Условие ординат
n
 VY
1
В этих выражениях приняты следующие обозначения:
поправки
в
приращения
координат,
VX i ,VYi
x нач ,x кон ,y нач ,y кон - поправки к приближенным координатам
начальной и конечной точки хода,
o
W x  X нач

n
o
,
 X i  X кон
o
W y  Yнач

1
n
 Yi  Yконo
1
- невязки в приращениях координат, X i , Yi - приращения
o
o
o
o
координат,
- приближенные координаты
X нач
,Yнач
, X кон
,Yкон
начальной и конечной точек хода.
Приращения координат X i , Yi - функции измеренных сторон
и углов X  dcos , Y  dsin , а потому величины зависимые.
Вот почему второе и третье условное уравнение необходимо
преобразовать, выразив поправки в приращения координат через
поправки измеренных углов и сторон.
Опуская преобразования, запишем эти уравнения
2’.
71
n
n
1
 Vd cos i    Yi p V
1
i
1
  x нач  x кон 
1

o
Yкон
W
1

i

1 p
p
Yнач
 нач  Yкон
 кон 

(4.2)
 W x  0,
3’.
n

1
V d i sin i 
1

n
 X io V
1
  y нач   y кон 
1

i
o
X кон
W

1

o
X нач
 нач 
1

o
X кон
 кон 
(4.3)
 W y  0.
Условные уравнения (4.1), (4.2), (4.3) помимо поправок к
непосредственно измеренным углам и длинам сторон содержат также
поправки к приближенным дирекционным углам  нач , кон и
поправки к приближенным координатам x нач ,x кон ,y нач ,y кон , т.е.
к функциям измеренных величин, как это имеет место в
параметрическом способе.
Таким образом мы имеем дело с
сочетанием
способа
измерений,
связанных
условиями,
и
параметрического способа.
Уравнивание такого рода систем получило название способ
условий с дополнительными неизвестными.
Рассмотрим его более подробно в общем виде. Пусть имеется
система r уравнений, включающая n поправок и t дополнительных
неизвестных
a1V1  a 2V 2  .......  a nV n  A1x  B1y  .....T1t  W1  0,

b1V1  b2V 2  .......  bnV n  A2 x  B 2 y  .....T2 t  W 2  0 ,
(4.4)
r .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...,

r V 2  .......  rnV n  Ar x  B r y  .....Tr t  W r  0
1V
1
r
2
 

t
n
или в матричной записи
brnVn1  Art δ
t1  W r1  0 r1 .
Так как
r  n  t,
где r – число условных уравнений, n – число измерений, t –
число дополнительных неизвестных, система не имеет единственного
решения.
72
 
Для решения под условием V 2  min запишем по аналогии с
(3.7) функцию Лагранжа
 
 V1, ,V 2 ,...Vn , x , y ,... t   V 2 
2k1 a1V1  a 2V2  ...  a nVn  A1 x  B1 y  ...T1 t  W1  
2k 2 b1V1  b2V2  ...  bnVn  A2 x  B2 y  ...T2 t  W2  
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......
2k r r1V1  r2V2  ...  rnVn  Ar  x  Br  y  ...Tr  t  Wr .
Взяв частные производные по переменным
V1 ,V2 ,..., Vn
получим систему уравнений вида (3.8)
V1  a1 k1  b1 k 2  ...  r1 k r ,
V 2  a 2 k1  b2 k 2  ...  r2 k r ,
T
или Vn1  bnr
(4.5)
k r1
.......... .......... .......... .......... .,
V n  a n k1  bn k 2  ...  rn k r
Дифференцируя ту же систему по переменным  x, y ,... t и
приравняв частные производные нулю, получим систему уравнений
 A1 k1  A2 k 2  ...  Ar k r  0

 B1 k1  B 2 k 2  ...  B r k r  0
или AtrT k r1  0t1
(4.6)
t .......... .......... .......... .......... ...

 T2 k 2  ...  Tr k r  0
1 k
1
T




r
Подставим V из (4.5) в (4.4), присоединим к ней систему (4.6),
получим матричное уравнение (4.7)
GK  Z  0 ,
(4.7)
состоящее из следующих блоков
B rr
Art
W
k
G
, Brr  b  b T , K r t ,1  r1 , Z r  t ,1  r1 . (4.8)
0 t1
δ
Atr
0 tt
t1
r  t ,r  t
Решив систему(4.7)
K  G 1 Z ,
k и поправки
находим коррелаты
к дополнительным
неизвестным  .
Так как матрица G включает нулевой блок, диагональные
элементы матрицы G 1 , соответствующие этому блоку получаются
отрицательными.
73
Подставив коррелаты в (4.5), получим поправки к измеренным
величинам – углам и длинам сторон. Контроль вычислений
осуществляется путем подстановки уравненных значений измеренных
величин и дополнительных неизвестных в выражения для вычисления
свободных членов (невязок) условных уравнений. В результате
должны получаться нули.
Средняя квадратическая погрешность единицы веса в этом
способе уравнивания вычисляется по формуле

 pV 2 
,
3 R  T 
а ее надежность – по формуле
m 

6R T 
,
где R – число ходов, T – количество узловых точек.
Список литературы
1. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Городская полигонометрия
(уравнивание и основы проектирования). – М.: Недра, 1979. – 303 с.
2. Бурмистров Г.А. Основы способа наименьших квадратов. –
М.: Госгеолтехиздат, 1963. – 392 с.
3. Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической
обработки геодезических измерений. – М.: Недра, 1969. – 400 с.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.; Наука, 1967. – 576 с.
5. Гордеев Ю.А. Обобщение приемов оценки точности
положения пунктов плановых опорных геодезических сетей. – Ученые
записки ЛВИМУ. Вып.XV. – Л.: Морской транспорт, 1959. – 134 с.
6. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами
теории вероятностей. – М.: Геодезиздат, 1958. – 606 с.
7. Hausbrandt St. Rachunek wyrownawczy i obliczenia geodezyjne.
Tom I – II. – Warszawa: PPWK, 1970-71. 1182 s.
74