  Интегральное исчисление Часть 1. Неопределенный интеграл

Интегральное исчисление
Часть 1. Неопределенный интеграл
§1 Первообразная и
неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении решалась
задача, где по данной функции у  f  x 
находилась ее производная или дифференциал.
В интегральном же исчислении решается
обратная задача: по дифференциалу данной
функции находится сама функция. Этот процесс
называется интегрированием.
Определение 1.
Первообразной от функции
f  x  на отрезке  a; b  называется
функция F  x  , производная которой в
каждой точке отрезка равна f  x  , т.е.
F ' x  f  x
Пример.
f  x   5 x 4  F  x   x5 ;
F  x   x5  10 ; F  x   x5  20 и т.д.
Таким образом, первообразных для данной
функции f  x  может быть бесчисленное
множество.
Теорема. Две различные первообразные одной
 
и той же функции f x , определенные
на некотором промежутке, отличаются
друг от друга на постоянное слагаемое.
Доказательство: Пусть F1  x  и F2  x  две
первообразные одной и той же
функции f  x  . Докажем, что они
отличаются друг от друга на
постоянное слагаемое.
По определению первообразной:
 
F1 '  x   f  x 
 
и F2 ' x  f x
Найдем производную разности первообразных:
 F  x   F  x  '  F '  x   F '  x   f  x   f  x   0
1
2
1

2
 F  x   F  x   '  0 значит
1
2
F1  x   F2  x   c

F1  x   F2  x   С
,
ч.т.д.
Вывод: прибавляя к какой-либо первообразной
F  x  все возможные постоянные значения
С, можно получить все первообразные для
данной функции f  x  , т.е. F  x   C - это
есть совокупность всех первообразных для
функции f  x  .
Определение 2. Общее выражение для всех
первообразных данной непрерывной
f  x
функции
называется
неопределенным интегралом от этой
функции и обозначается
 f  x  dx  F  x   C , где
f  x  - подынтегральная функция;
f  x  dx - подынтегральное выражение;
F  x  - первообразная для f  x  ;
С - постоянная интегрирования;
х – переменная интегрирования;
 - знак интеграла.
Определение 3. Действие
нахождения
первообразной для функции f  x 
называется интегрированием данной
функции.
4
5
9
10
5
x
dx

x

C
;
10
x
dx

x
C ;
Пример. 

 sinxdx  cosx  C
 e dx  e  C
x
x
;
 cosxdx  sinx  C
§2 Основные свойства
неопределенного интеграла
 f  x  dx  F  x   C
F '  x  f  x
1. Производная от неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции:
  f  x  dx  '  f  x 
Доказательство:
 f  x  dx '   F  x   C  '  F '  x   C '  f  x 


Замечание. На этом свойстве основывается
проверка правильности нахождения
неопределенного интеграла.
2. Дифференциал
от
неопределенного
интеграла
равен
подынтегральному
выражению:
d
dy  y ' dx
  f  x  dx   f  x  dx
3. Неопределенный
интеграл
от
дифференциала некоторой функции равен
самой этой функции с точностью до
постоянного слагаемого:
 d  F  x   F  x   C
4. Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:
 А  f  x  dx  А f  x  dx
, А0
5. Неопределенный
интеграл
от
алгебраической суммы конечного числа
функций равен алгебраической сумме
интегралов от каждой функции:
  f  x   f  x   dx   f  x  dx   f  x  dx
1
2
1
2
6. Свойство
инвариантности:
всякая
формула интегрирования сохраняет свой
вид при подстановки вместо х любой
дифференцируемой функции от х.
Если  f  x  dx  F  x   C и u    x  , то
 f  u  du  F  u   C .
На
основан
метод
интегрирования.
этом свойстве
непосредственного
x3
Пример. Так как  x dx  3  C , то
2
sin 3 x
 sin xd  sinx   3  C
x 3
e


x 2
x
 e  d e   3  C
3
ln
x


2
ln
x
d  ln x  
C



3
2
и т.д.
Замечание. Не путать с интегралами:
 sin xdx ;
2
 e

x 2
dx ;
  ln x   dx
2
Таблица основных интегралов
1.  dx  x  C
u n1
n
2.  u du  n  1  C , n  1
du
3.  u  ln u  C
u
a
u
a
4.  du  ln a  C
u
u
e
du

e
C
5. 
6.  cosudu  sinu  C
7.  sinudu  cosu  C
8.  tgudu   ln cosu  C
9.  ctgudu  ln sinu  C
2
sec
udu  tgu  C
10. 
2
11.  cosec udu  ctgu+C
12.
13.
u 
sec
udu

ln
tg
   C

2 4
u
cosec
udu

ln
tg
C

2
du
1
u
14.  u 2  a 2  a arctg a  C
15.
16.
du
1
ua

ln
 u 2  a 2 2a u  a  C

du
a2  u 2
 arcsin
u
C
a
du
1
u

arcsec
C
17. 
2
2
a
a
u u a
du
2
2

ln
u

u

a
C
18.  2 2
u a
Замечания: 1) Все формулы данной таблицы
можно
проверить
путем
дифференцирования,
так
как
интегрирование
есть
действие
обратное дифференцированию.
 сtgudu  ln sinu  C
 sinu  ' cosu
 ln sinu  C  '  sinu  sinu  ctgu
2) Данные интегралы принято
называть табличными и основная
задача интегрирования состоит в
том, чтобы свести данный нам
интеграл
к
табличному
или
нескольким табличным (если это
возможно).
Пример. Найти интегралы по таблице:
dx
1
x  10

ln
 15
1)  x 2  100 20 x  10  C
dx
1
x
 arcsec  C
 17 
2) 
2
9
x x  81 9
dx
x

arcsin
C
 16 
3) 
2
2
4 x
Геометрический смысл
неопределенного интеграла
С
геометрической
точки
зрения
неопределенный интеграл представляет собой
семейство
интегральных
кривых
вида
у  F  x   C , где F  x  - одна из первообразных
f  x .
функции
Интегральные
кривые
получаются друг из друга, путем параллельного
переноса вдоль оси ОУ.
Пример.
y
семейство
интегральных
кривых
x
2
3
3x
dx

x
C

f  x   3x 2
;
F  x   x3
y  x3  C , если
c0
c 1
c  1
y  x3
y  x3  1
y  x3  1
и т.д.
Правило: чтобы из семейства интегральных
кривых у  F  x   C выделить одну
определенную кривую, нужно задать
некоторые дополнительные условия для
того, чтобы данная кривая, например,
проходила
через
некоторую
точку
М  х0 ; у0  . Эти условия называются
начальными, т.е. при х  х0 ; у  у0 .
С помощью этих условий можно найти
постоянную величину С:
у0  F  x0   C  C  y0  F  x0 
Пример. Выделить из предыдущего семейства
кривую, проходящую через точку А  1;3 .
y  x3  C . Подставим в это уравнение
координаты точки А.
3   1  C
3
C  3 1
C4

y  x3  4
§3 Оснновные методы интегрирования
3.1 Непосредственное интегрирование
1. Интегрирование по таблице.
Заключается
в
прямом
использовании
табличных интегралов.
Пример.
x3
2
1)  x dx  3  C
2)

dx
x2  4
 ln x  x 2  4  C
2. Интегрирование
разложением
подынтегральной функции на сумму
функций.
Этот метод основан на пятом свойстве
интегралов: интеграл алгебраической суммы
функций
равен
алгебраической
сумме
интегралов от этих функций.
Пример.
  3x
 5 x 2  x  2  dx   3x3 dx   5 x 2 dx   xdx   2dx 
x4
x3 x 2
3 5 
 2x  C
4
3
2
1)
3
 x2
x2  x  1
x
1 
 x 2 dx    x 2  x 2  x 2 dx 
dx
1
2)
2
  dx     x dx  x  ln x   C
x
x
3. Непосредственное интегрирование.
3.1. Интегрирование путем подведения
функции под знак дифференциала.
Основан на свойстве инвариантности формулы
неопределенного интеграла.
 f  x  dx  F  x   C , если u   x  , то
 f  u  du  F  u   C
Пример.
1)
sin 2 x
x2
 cosx  sinx  dx   sinxd sinx   2  C , т.к.  xdx  2  C
tg x
2
tg x
tg x
e

sec
xdx

e
d
tg
x

e
C


2) 

 dy  y ' dx 
d  ln x 
dx

3)  x 1  ln 2 x  1  ln 2 x  arctg  ln x   C


3.2. Добавление постоянного слагаемого под
знак дифференциала.
При любой постоянной а будет выполняться
равенство:
d  x  a   dx . Значит, и наоборот
dx  d  x  a  и поэтому
 f  x  dx   f  x  d  x  a  ,
т.е. под знак дифференциала можно ввести
любое постоянное слагаемое.
Пример.
d  x  5
dx

1)  x  5  x  5  ln x  5  C
2)   x  7 
5
dx    x  7  d  x  7 
5
 x  7

6
6
C
3.3. Введение под дифференциал постоянного
множителя.
Если a  const , то d  ax   adx . Отсюда при
a0 -
dx 
1
d  ax  . Следовательно,
a
1
f  x  d  ax  ,


a
т.е. под знак дифференциала можно ввести
любой постоянный множитель, разделив на него
интеграл.
Пример.
f  x  dx 
1
1
sin7
xdx

sin7
xd
7
x


cos7 x  C
 
1) 

7
7
1 2x
1 2x
2)  e dx  2  e d  2 x   2 e  C
2x
x
x  x
x
cos
dx

3
cos
d

3sin
C
 

3) 
3
3 3
3
Замечание. Возможно одновременно применять
оба только что указанных приема.
Пример.
dx
1 d  4x  7 1
 4 x  7  4  4 x  7  4 ln 4 x  7  C
3.4. Интеграл от дроби, числитель которой
является производной знаменателя, равен
логарифму знаменателя.
d    x 
 ' x
   x  dx     x   ln   x   C
Пример.
1)
x 2  3x  7  ' dx
d  x 2  3x  7 

2x  3
2
 x2  3x  7 dx   x2  3x  7   x2  3x  7  ln x  3x  7  C
x
1
2x
1
2
dx


ln
x
9 C
2)  x 2  9
2

2 x 9 2
3.2 Метод подстановки
Пусть  f  x  dx не является табличным.
Следует
упростить
подынтегральное
выражение, введя новую переменную так,
чтобы интеграл стал табличным.
x   t 
dx   '  t  dt , т.е.
 f  x  dx   f   t    ' t  dt   f   t   d  t   F  t   C
После нахождения интеграла необходимо
вернуться к первоначальной переменной х.
Пример.

dx

2tdt
t 11
1 
dt
 t 1
 2
dt  2 


 dt  2 dt  2
t 1
t 1
t

1
t

1
t

1


x 1 1
x 1  t
d  t  1
x  1  t 2  2t  2
 2t  2 ln t  1  C  2 x  1  2 ln
t 1
dx  2tdt
x 1 1  C
3.3 Интегрирование по частям
Нет формулы, позволяющей находить интеграл
от
произведения
функций
(производная
произведения есть). Метод интегрирования по
частям основан на формуле дифференциала
произведения функций:
 u  v  '  u ' v  uv '
d  u  v   du  v  u  dv
Проинтегрируем
равенства:
обе
 d  u  v    v  du   u  dv
uv   v  du   u  dv
части
последнего
 u  dv  uv   v  du
- формула
интегрирования по частям
Сущность
метода:
подынтегральное
выражение f  x  dx представляют
в
виде
произведения
2-х
множителей u и dv. Причем dv
должно содержать dx. Затем
находят v и du. Первое находят как
интеграл от dv, а du, как
дифференциал от u. После этого
пользуются
правой
частью
формулы.
Практика показала, что по частям берутся
следующие интегралы:
Вид
u
dv
интеграла
ln x
p  x  dx
I  p  x   lnxdx
II
 p  x  arcsinxdx
arcsinx
p  x  dx
 p  x  arctgxdx
arctgx
p  x  dx
 p  x  sinax  dx
 p  x  cosbx  dx
x
p
x

e
dx



p x
sinax  dx
p x
cosbx  dx
p x
ex dx
III  ex  sinax  dx

x
e  cosbx  dx
e x
sinaxdx
sinax
ex dx
e x
cosbxdx
ex dx
cosbx
 sin  ln x  dx
sin  ln x 
dx
Р  х  - многочлен или одночлен.
Замечания:
1. Под знаком интегралов 1-го типа стоят
функции: arcsinx , arccosx , arctgx , ln x , от
которых интеграл не существует.
2. Интегралы 2-го типа берутся n-кратным
интегрированием, если Р  х  - многочлен nй степени.
3. Интегралы 3-го типа берутся по частям
дважды, в результате чего получается
исходный
интеграл.
Интегрирование
прекращается, и из полученного выражения
находят искомый интеграл, выражая его
через все остальные члены.
Пример.

1)
ln xdx 
ln x  u
dx
 du

x
xv
dx  dv
dx
 x  ln x   x   x  ln x   dx 
x
 x  ln x  x  C  x  ln x  1  C
2)

x2  u
cosxdx  dv 2
2
 x  cosxdx  2 xdx  du sinx  v  x  sinx   sinx  2 xdx  x  sinx  2 x  sinxdx 
2
xu
sinxdx  dv
dx  du v  cosx


 x 2  sinx  2  x  cosx    cosx  dx  x 2  sinx  2 x  cosx  2sinx  C
ex  u
sinxdx  dv
x
x
 e  sinxdx  e x dx  du cosx  v  e cosx   (cosx)  e dx 
x
3)
 e x  cosx   e x  cosxdx 
ex  u
сosxdx  dv
 e x  cosx  e x  sinx   e x  sinxdx;
x
e dx  du
sinx  v
2 e x  sinxdx  e x  sinx  cosx 
x
e
x
e
  sinxdx  2  sinx  cosx   C
§4 Рациональные функции.
Разложение правильной
рациональной дроби на простейшие
дроби
Определение 1. Рациональной
функцией
называется
функция,
равная
отношению
двух
многочленов.
Рациональные
функции
иначе
называются рациональными дробями.
R  x 
x  3x  7
R
x

Пример. 1   x 4  9 x3  8
2
P  x
Q  x
x2  9
R2  x  
x 1
3x 2  5 x  8
R3  x   2
x  2x  3
Определение 2. Рациональная
дробь
называется правильной, если степень
числителя
меньше
степени
знаменателя.
R1  x  - правильная рациональная
дробь.
Определение 3. Рациональная
дробь
называется
неправильной,
если
степень числителя больше или равна
степени знаменателя.
R2  x  ,
R3  x 
- неправильные
рациональные дроби.
Если дробь правильная, то можно начинать
интегрирование.
Если дробь неправильная, то ее представляют в
виде суммы многочлена и правильной
рациональной
дроби,
а
правильную
рациональную дробь, в свою очередь,
представляют в виде суммы простейших
(элементарных) дробей.
Теорема. Всякую неправильную рациональную
дробь можно представить в виде суммы
многочлена и правильной рациональной
дроби, используя алгоритм Евклида
деления многочлена на многочлен.
P  x
r  x
 M  x 
Q  x
Q  x
Пример.
x3  3x 2  x  1
4
 x2  4 x  5 
x 1
x 1
x 1
x3  3x 2  x  1
3
2
x x
x2  4 x  5
2
4
x
 2  x 1
4x  4x
 5x  1
5x  5
4  неделимый остаток
Всякую
правильную
дробь
можно
единственным
образом
разложить
на
простейшие (элементарные) дроби. Существует
3 типа элементарных дробей:
А
1. х  а - I тип
А
2. х  а п - II тип


Ах  В
3. х 2  px  q - III тип
Разложение правильной рациональной
дроби на простейшие.
1) Если знаменатель содержит различные
линейные множители, т.е.
P  x
Q  x

P  x
 x  a  x  b  x  c 

A
B
C


x a x b x c
A?
B?
C ?
2)
Если
знаменатель
содержит
повторяющиеся линейные множители,
т.е.
P x
Q x

P x
 x  a  x  b   x  c 
2
3

C3
B1
B2
C1
C2
A






x  a  x  b   x  b  2 x  c  x  c  2  x  c 3
;
A  ? B1  ? B2  ?
C1  ? C2  ? C3  ?
3) Если
знаменатель
правильной
рациональной
дроби
содержит
неразложимые квадратные трехчлены (с
отрицательным дискриминантом), т.е.
P x
P x
 2

2
Q x
x  p1 x  q1 x  p2 x  q2
Ax  B
Cx  Д
 2
2
x  p1 x  q1 x  p2 x  q2



§5 Интегрирование простейших
дробей
Интеграл от простейшей дроби:
1) I типа:
А
1
 x  a dx  A x  a dx  A ln x  a  C
2)
II типа
A
  x  a
3)
dx  A  x  a  d  x  a 
n
n
 x  a
A
 n 1
C
n  1
III типа (Д < 0)
В знаменателе выделим полный квадрат:
2
2


p
p
p
x 2  px  q   x 2  2 x 
q

2
4  4

p 
p  
p 
p 

  x    q 

   x     q 
2 
4  
2 
4 

2
2
2
2
2
Подставим полученное выражение в интеграл
3го типа:
x
2
Ax  B
x
dx
1  2x  p   p
dx  A 2
dx  B 2
 A
dx 
 px  q
x  px  q
x  px  q 2  x 2  px  q
B
dx
p 
p2 


 x     q 
2 
4 

2
2
1
2x  p
p 
dx

 A 2
dx   B  A  

2
2
2
x  px  q
2 

p 
p2 


 x     q 
2 
4 

1
p 

 A ln x 2  px  q   B  A  
2
2 

p
2
arctg
C
p2
p2
q
q
4
4
1
x
§6 Метод неопределенных
коэффициентов
(для нахождения значений А, В, С…..)
Это один из наиболее распространенных
методов определения коэффициентов А, В,
С….
в
разложении
правильной
рациональной дроби на простейшие.
Сущность метода
состоит в сравнении
коэффициентов при одинаковых
степенях переменной х числителей
дробей.
Для определения числителя правой части
простейшие дроби приводят к общему
знаменателю и числитель полученной новой
дроби
приравнивают
к
числителю
подынтегральной дроби. Получится система «n»
уравнений с «n» неизвестными А, В, С…,
которая имеет единственное решение, так как
разложение правильной рациональной дроби на
простейшие всегда возможно и единственно.
x2  5x  9
Пример.
  x  1  x
2
2
 2x  2
dx 
Выпишем подынтегральную функцию и
представим ее в виде суммы простейших
дробей:
x2  5x  9
 x  1
2
 x2  2 x  2
 x 1 x 2  2 x  2 

A
x 1

 x 2 x2
 x 12
2

B
 x  1
2

Cx  Д
x2  2x  2

x 2  5 x  9  A x 3  x 2  2 x 2  2 x  2x  2  B  x 2  2 x  2  
  Cx  Д   x 2  2 x  1  Ax3  Ax 2  2 A  Bx 2  2 Bx  2 B  Cx 3 
2Cx 2  Cx  Дx 2  2 Дx  Д  x3  A  C   x 2  A  B  2C  Д  
x  2 B  C  2 Д    2 A  2 B  Д 
x3  0  A  C

x 2 1  A  B  2C  Д
1 
x  5  2 B  C  2 Д
x 0  9  2 A  2 B  Д
 A  C
C  B  2C  Д  1


 2 B  C  2 Д  5
 2C  2 B  Д  9
 A  C
 B  3C  Д  1
(2)


 2 B  C  2 Д  5
 2 B  2C  Д  9
A
 B  3C  Д  1

 7C  4 Д  7
 8C  Д  7  4 

 B  3C  Д  1

 8C  Д  7
 25C
 35

B 1
21
Д
5
7
C
5
Возвращаемся к исходному интегралу:
7
7
21
x
x  5x  9
1
5
5
5
  x  12  x 2  2 x  2  dx   x  1 dx    x  12 dx   x 2  2 x  2 dx 
2

7
1
7
xdx
21
dx
  ln x  1 
  2
 

5
x  1 5  x  2 x  2  5  x  12  1
7
1
1 7  2x  2  2
21
dx
  ln x  1 
   2
dx  

5
x  1 2 5 x  2x  2
5  x  12  1
7
1
7
2x  2
7
dx
21
dx
  ln x  1 
  2
dx  
 

5
x  1 10 x  2 x  2
5  x  2 x  1  1  2 5  x  12  1
7
1
7
14
  ln x  1 
 ln x 2  2 x  2  arctg  x  1  C
5
x  1 10
5
Замечания: 1) Если знаменатель правильной
рациональной дроби разлагается только
на
линейные
множители
вида
 x  a  x  b  x  c  ,
7
5
то
можно
применять метод частных значений
для нахождения коэффициентов А, В,
С…,
придавая
x  a; x  b; x  c
Пример.
х
значения
2 x 2  10 x  18
A
B
C



 x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3
2 x 2  10 x  18  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3 
C  x  1 x  2 
x 1
6  A  3(2)
A 1
x  2 30  B(3)(5) B  2
x3
30  C  2  5
C 3
2) Во многих примерах удобно применять
комбинированный
метод:
вместе
использовать метод частных значений и
метод неопределенных коэффициентов.
Выводы: Если под знаком интеграла стоит
рациональная дробь, то:
1. Если подынтегральное выражение неправильная рациональная дробь, то ее
надо
представить
в
виде
суммы
многочлена и правильной рациональной
дроби.
2. Правильную
рациональную
дробь
разложить на сумму простейших дробей,
для
чего
определить
значения
коэффициентов А, В, С…
3. Подынтегральное выражение представить
в виде суммы легко интегрируемых
функций.
§7 Интегрирование
тригонометрических функций
7.1
Универсальная
подстановка
тригонометрическая
Рассмотрим интегралы вида:  R  sinx,cosx  dx
(R- рациональная функция)
Такие интегралы могут быть сведены к
интегралам от рациональной функции
заменой
переменной
при
помощи
универсальной
тригонометрической
подстановки:
x
t
2
- универсальная тригонометрическая
подстановка.
Выведем формулы для sinx , cosx и dx :
tg
1)
x
x
2sin  cos
x
x
2
2
sinx  2sin  cos 
2
2 sin 2 x  cos 2 x
2
2
x
x
sin  cos
2
2
2
x
x
cos 2
2 tg
2
2


x
x
x
sin 2
cos 2
1  tg 2
2 
2
2
x
x
cos 2
cos 2
2
2


2 x
:
cos

0


2



2t
sinx 
1  t2
2)
x
x
 sin 2
x
x
2
2
cosx  cos 2  sin 2 
2
2 sin 2 x  cos 2 x
2
2
cos 2
x
x
sin 2
2 
2
x
x
cos 2
cos 2
1  tg 2
2
2 

x
x
sin 2
cos 2
1  tg 2
2 
2
x
x
cos 2
cos 2
2
2
cos 2
x
2
x
2



2 x
:
cos
 0 

2


1  t2
cosx 
1  t2
3)
x
x
tg  t ;
 arctg t ; x  2arctg t
2
2
2t '
Продифференцируем: dx  1  t 2  dt 
2dt
dx 
1 t2
Пример.
dx
 9  8cosx  sinx  
sinx 
cosx 
dx 
2t
1 t2 

1 t2
1 t2
2dt
1 t2
t  tg
2dt

2
1 t
2t 
2 
1

t
9

8


 
2
2 
1

t
1

t


2dt
2dt
dt


2
 t 2  2t  17   t 2  2t  1  1  17 
2
2
2  9  9t  8  8t  2t 
1  t  

1 t2


x
tg  1
dt
1
t 1
1
 2

2

arctg

C

arctg 2
C
2
2
4
4
2
4
 t  1  4
x
2
n
sin
xdx ;
7.2 Интегралы вида: 
n
cos
 xdx
Выведем
рекуррентную
(возвращающуюся)
n
sin
xdx . Представим
формулу для функции 
подынтегральную
функцию
в
виде
произведения:
n
n 1
sin
xdx

sin
x  sinxdx ,и далее используем


формулу
интегрирования
по
частям:
 u  dv  u  v   v  du .
Пусть
u  sin n1 x
dv  sin xdx
du  (n  1)  sin n2 x  cos xdx v   cos x
Тогда:
 sin
n 1
x  sin xdx   cos x  sin n1 x   (n  1)  cos x  cos x  sin n2 xdx 
  cos x  sin n1 x  (n  1)  cos 2 x  sin n2 xdx   cos x  sin n1 x 
(n  1)  (1  sin 2 x)  sin n2 xdx   cos x  sin n1 x  (n  1)  sin n2 xdx 
(n  1)  sin n xdx;
 sin
n
xdx   n  1  sin n xdx  cosx  sin n1 x   n  1  sin n2 xdx ;
n  sin n xdx  cosx  sin n1 x   n  1  sin n2 xdx ;
n 1
1
n2
n 1
sin
xdx

sin
xdx

cos
x

sin
x


n
n
n
Пример.
4
 sin xdx 
4 1
1
3
1
4 2
41
2
sin
xdx

cos
x

sin
x

sin
xdx

cosx  sin 3 x 


4
4
4
4
3 1
1
3
3
1
 1
   sin 0 x  dx  cosx  sinx   cosx  sin 3 x  x  sinx  cosx  sin 3 x  cosx  C
4 2
2
8
8
4
 4
Аналогично можно вывести рекуррентную
формулу и для cosx :
Пусть
u  cos n1 x
du  (n  1) cos n2 x  ( s )dx
Тогда:
 cos xdx   cos
n
n 1
dv  cos xdx
v  sin x
x  cosxdx sinx  cos n1 x   sinx  sinx   n  1  cos n2 xdx 
 sinx  cos n1 x  (n  1)  sin 2 x  cos n2 xdx 
 sinx  cos n1 x  (n  1)  (1  cos 2 x)  cos n2 xdx 
 sinx  cos n1 x  (n  1)  cos n2 xdx  (n  1)  cos n xdx;
 cos
n
xdx  (n  1)  cos n xdx sinx  cos n1 x  (n  1)  cos n2 xdx;
n
 cos x  dx 
n 1
1
n2
cos
x

dx

sinx  cos n1 x

n
n
n
m
sin
x

cos
x  dx , где
7.3 Интегралы вида: 
n и m- целые числа, причем одно из них
нечетное.
Интегралы берутся с помощью формул:
1. cos x  dx  d (sin x)
2. sin x  dx  d (cos x)
2
2
sin
x

1

cos
x
3.
2
2
4. cos x  1  sin x
Пример.
5
4
4
4
4
4
 sin x  cos x  dx   sin x  cos x  sin x  dx    sin x  cos x  d (cos x) 
2
   (1  cos 2 x)  cos 4 x  d (cos x)    (1  2cos 2 x  cos 4 x)  cos 4 x  d (cos x ) 
   cos 4 x  d (cos x)  2  cos 6 x  d (cos x )   cos8 x  d (cos x ) 
cos5 x
cos7 x cos9 x

2

c
5
7
9
n
m
sin
x

cos
xdx , где
7.4 Интегралы вида: 
n и m – целые числа, но оба четные
Применяются формулы понижения степени:
sin 2 x 
1  cos 2 x
1
1  cos2 x
2
sin
x

cos
x

sin 2 x
cos
x

;
;
2
2
2
Пример.
1  cos 2 x 1  cos 2 x
1
 sin x  cos xdx   2  2 dx  4  (1  cos
2

2
2
2 x)dx 
1
sin 2 2 xdx 

4
1 1  cos 4 x
1
1
1
1
1 1
dx   (1  cos 4 x)dx   dx   cos 4 xdx  x   sin 4 x  c 

4
2
8
8
8
8
8 4
1
1
 x
 sin 4 x  c
8
32
n
n
sin
x

cos
xdx , где
7.5 Интегралы вида: 
n и m – целые числа, но отрицательные.
Используется подстановка: tg x  t
Выведем формулы для sin 2 x ; cos 2 x ; dx
2
1. 1  tg x 
1
1
2

cos
x

cos2 x
1  tg 2 x
cos 2 x 
1
1  t2
sin 2 x  cos2 x
1
t2
2
2
2
2. sin x  cos2 x  tg x  cos x  t  1  t 2  1  t 2
2
2
t
sin 2 x 
1  t2
3. tg x  t  x  arctg t  dx 
t dt
1  t2
dx 
dt
1  t2
Пример.
dx
 sin 2 x  6sin x  cos x  16cos2 x .
t2
sin x 
1  t2
sinx 
1
1  t2
cosx 
2
cos 2 x 
Пусть:
dx 
 sin


2
dt
1  t2
t
1  t2
1
1  t2
t  tg x
dx

x  6sin x  cos x  16cos 2 x 
dt
 t2
t
1
1 
1

t

 16 
   2  6

1  t2 
1  t2 1  t2
1 t
2
dt
dt
dt
1
t 35
 2


ln
C 
2
t  6t  16
2

5
t

3

5
t

6
t

9

9

16
t

3

25


 
2
1
tg x  2
ln
C
10 tg x  8
При помощи этой же подстановки берутся
интегралы вида
7.6
 R  tg x  dx .
Интегралы
вида:
 sinnx  cosmxdx ;
 cosnx  cosmxdx ;  sinnx  sinmxdx .
При интегрировании функций такого вида
используются следующие формулы:

1. sin  cos  2 sin      sin      
1
1
 сos      сos    
2
1
sin


sin


cos       cos      

3.
2
2. сos  сos 
Пример.
 sinx  sin11xdx  2   cos  x  11x   cos  x  11x   dx  2   cos10 x  cos12 x  dx 
1

1
1
1
sin10 x  sin12 x  C
20
24
n
2m
tg
x

sec
xdx , где
7.7 Интегралы вида: 
n и m - целые числа
При решении используются формулы:
2
1. sec xdx  d  tg x 
2
cosec
xdx  d  ctg x 
2.
3. 1  tg x  sec x
4. 1  ctg 2 x  cosec2 x
Пример.
2
2
3
2
2
2
tg
xdx

tg
x

tg
xdx

tg
x
sec
x

1
dx

tg
x

sec
xdx   tg xdx 






tg 2 x
  tg xd  tg x    tg xdx 
 ln cosx  C
2
2 m 1
m
tg
x

sec
xdx
7.8 Интегралы вида: 
Используются формулы:
1. secx  tg xdx  d  secx 
2. cosecx  ctg xdx  d  cosecx 
2
2
1

tg
x

sec
x
3.
2
2
1

ctg
x

cosec
x
4.
§8 Интегрирование некоторых
иррациональных выражений
8.1 Тригонометрические подстановки
1)


2
2
R
x
;
a

x
dx применяется подстановка:

dt
x  a  tg t ; dx  a 
cos 2t
2)


2
2
R
x
;
a

x
dx


;

x  a  sin t ; dx  acostdt ;
3)
x
x
 tg t ; t  arctg
a
a
x
x
 sin t ; t  arcsin
a
a

2
2
R
x
;
x

a
dx

x  a  sec t ; dx  asect  tg t  d  t ;
x
x
 sec t ; t  arcsec
a
a
Замечание: эти подстановки не единственные.
В случае (1) можно было обозначить
x  a  ctg t ; во (2) - x  a  cost
Примеры.
1)
x  2 tg t
x

dx
4  x2
2dt
2 dt
dt  cos t



2
2
2
2
2
cos t
2 tdt  4  4 tg t  cos t
sin t  cos t  2 1  tg t
x
t  arctg
2
 dx 
1
dt
1
1
t
1

co
sec
t

dt

ln
tg

C

ln tg
2  sin t  cost  sect 2 
2
2
2
arctg
2
x
2 C
2)
x  3sin t
x
2
 9  x 2 dx  dx  3costdt   9sin 2t  9  9sin 2t  3costdt  81 sin 2t  cos 2tdt 
x
t  arcsin
3

81
81
81 1  cos4t
81
2
2
2
4sin
t

cos
tdt

sin
2
tdt

dt

1  cos4t  dt 
4
4
4
2
8

81
81 1
81 81
dt    cos4td  4t   t  sin4t  C 

8
8 4
8
32

81
x
81 
x
arcsin   sin  4arcsin   C
8
3
32 
3
3)
x  4sect
x
x 2  16dx  dx  4sect  tg t  dt   4sect  16sec 2t  16  4sect  tg t  dt 
t  arc sec
x
4
tg 3 t
64 3 
x
 64 sec t  tg tdt 64  tg td  tg t  64
C 
 tg  arc sec   C
3
3
4

2
2
2
8.2 Интегрирование функций, содержащих
дробные степени одного и того же аргумента



R
x
;
x
;
x
;...
x
 dx
 
,
где
α,
β,
γ-
рациональные дроби
Такие интегралы берутся подстановкой:
x  tn ; t  n x
, где n - наименьший общий
dx  n  t n1  dt
знаменатель дробей α, β, γ.
Пример.

3
3
xdx
x  x
2

3
t 6  6t 5 dt
3 12
t
t 2  t 5 dt
t 7 dt
t 4 dt
 6 4 3  6 3
 6

6
t t
t  t  1
t 1
 t
t 1
1
2
1 t4
 ;  ;   4 3
t3  t2  t  1
3
3
2 t t
t3
n6
 3 2
6
t t
xt
t2
5
 2
dx  6t dt
t t
6
t x
t

t 1
1
 t4 t3 t2

1 
 3 2
 6  t  t  t  1 
dt

6



t

ln
t

1

C 

t

1
4
3
2





36 4
x  2  6 x3  3  6 x 2  6 6 x  6ln
2

33 2
x  2 x  3 3 x  6 6 x  6ln
2
6
6
x 1  C 
x 1  C
8.3 Интегрирование функций, содержащих
дробные степени линейных функций
аргумента
  ax  b   ax  b   ax  b   
 R  x;  cx  d  ;  cx  d  ;  cx  d  dx


Используется подстановка:
 ax  b  n

t ;
 cx  d 
 ax  b 
n 1
'
dx

n

t
 dt


;
 cx  d 
t
n
ax  b
cx  d ,
где n- наименьший общий знаменатель дробей α,
β, γ.
Пример.

dx
x2  x2
3

6t 5 dt
t 5 dt
t 5 dt
t 3 dt
 6 3 2  6 2
 6

6
3 6
t

1
t

t
t
t

1
 
t  t
1
1
3
 ; 
t
t 1
2
3 
2
3
2
t
 t 1
t

t
n6
t 2
6
x2t
 2
t  t
dx  6t 5 dt
t

t 6 x2
t 1
1
 t3 t2

1 
 2
 6  t  t  1 
 dt  6    t  kn t  1   C 
t

1


3 2

 2 6  x  2   3 6  x  2   6 6 x  2  6ln
3
2
 2 x  2  3 3 x  2  66 x  2  6ln
6
6
x  2 1  C 
x  2 1  C
§9 Интегрирование функций,
зависящих от показательной
функции
x
R
a
   dx ;
x
R
e

 dx

Интегралы такого вида берутся подстановкой:
a x  t ; прологарифмируем
ln a x  ln t
x  ln a  ln t
ln t
ln a
Пример
x
dt
;
t  ln a
3x dx
t  dt
1 dt
1
 1  9x   t  ln 31  t 2   ln 3  1  t 2  ln 3  arctgt  C 
dx 
3x  t
ln t
1

 arctg 3x  C
ln 3
ln 3
dt
dx 
t  ln 3
x
§10 Заключительные замечания
1. Нахождение неопределенного интеграла
основывается на сведении его к табличному.
Существует специальный справочник по
неопределенному интегралу.
2. Если интеграл найден различными
способами форма ответов будет разной, но
как ранее было доказано, эти ответы
отличаются друг от друга лишь на
постоянное слагаемое.
Например
sinxdx
cos 2 x
1
3


cos
xd
cosx



C

 C1


 cos3 x 
2
2cos 2 x
sinxdx
sinx
1
tg 2 x
2
 cos3 x   cosx  cos2 x  dx   tg x  sec xdx   tg xd  tg x   2  C2
Итак
1
tg 2 x
F1  x  
 C1 , а F2  x  
 C2
2
2cos x
2
1
tg 2 x
1
sin 2 x
F1  x   F2  x  
 C1 
 C2 
 C1 
 C2 
2
2
2
cos x
2
cos x
2cos x
2
1  sin x

 C1  C2 
2
2cos
x
2
cos x
1


C

C

 C1  C2  C
1
2
2
2cos x
2
3. Изложенные методы интегрирования не
всегда позволяют находить неопределенный
интеграл. Такие интегралы называются
неберущимися и их можно вычислить
только приближенными методами.
sinx
 x dx - интегральный синус
cosx
 x dx - интегральный косинус
e

x2
2
dx - интеграл Пуассона и т.д.
Часть 2. Определённый интеграл
§1 Задача, приводящая к понятию
определенного интеграла (задача о
площади криволинейной трапеции)
Пусть требуется вычислить площадь
области
S,
ограниченной
некоторой
замкнутой кривой.
Определение 1. Криволинейной трапецией
называется фигура, ограниченная частью
кривой у = f (х), отрезком [а; b] оси ОХ и
двумя прямыми: x = а и х = b
параллельными оси ОУ.
Решим задачу о нахождении площади этой
криволинейной трапеции.
Разобьем отрезок [а; b] на «n» частей
точками
Через каждую точку разбиения проведем
прямые параллельные оси ОУ до пересечения
с кривой.
Тогда площадь трапеции может быть
представлена в виде суммы получившихся в
результате указанного разбиения «малых»
криволинейных трапеций:
Внутри каждого отрезка разбиения
произвольным образом выберем точку. Для
отрезка
эту точку обозначим
. Из
этих точек проведем прямые параллельные
оси ОУ до пересечения с кривой у = f(х).
Ординаты
точек
пересечения
равны
соответственно f =( ). Каждую малую
трапецию заменим прямоугольником с
основанием Δ и высотой
Полученную в результате указанных
действий
ступенчатую
фигуру
можно
рассматривать как приближенное значение
искомой площади криволинейной трапеции.
Площади
прямоугольников,
составляющих
ступенчатую
фигуру,
вычисляются соответственно по формулам:
Следовательно,
Отметим, что
тем точнее дает
приближенное
значение
площади
криволинейной трапеции, чем больше « n ».
Определенный интеграл зависит от
пределов интегрирования а, b и от вида
подынтегральной функции f (х) и не зависит
от обозначения переменной интегрирования,
т.е.
С
геометрической
точки
зрения
определенный интеграл представляет собой
площадь криволинейной трапеции.
С физической точки зрения определенный
интеграл равен работе силы, параллельной
перемещению.
§2 Свойства определённого
интеграла
1.
Постоянный
множитель
можно
выносить за знак определенного интеграла:
Доказательство:
2. Интеграл алгебраической
конечного
числа
слагаемых
соответствующей
алгебраической
интегралов слагаемых, т.е.
суммы
равен
сумме
3. Если отрезок [а; b] разбит на два
отрезка [а; с] и
[с; b], то интеграл по всему отрезку равен
сумме интегралов по его частям, т.е.
4. Если в определенном интеграле
поменять местами пределы интегрирования,
то
знак
интеграла
изменится
на
противоположный:
5. Если пределы интегрирования равны,
то определенный интеграл равен нулю:
6. Если f(х)
на отрезке [а; b] , то
7. Если f(x)≥φ (x) на отрезке [а; b], то
8. Теорема о среднем:
Теорема. Если функция f (x) непрерывна
на [а; b], то существует точка ξ ∊ [а; b]
такая, что
С геометрической точки зрения теорема о
среднем
означает,
что
площадь
криволинейной
трапеции
равновелика
площади
прямоугольника,
основание
которого совпадает с основанием трапеции
([а; b] ∊ ОХ), а высота равна значению
функции f(x) в некоторой точке ξ отрезка [а;
b].
Определение 1.
Величина:
называется средним значением функции
f(х) на отрезке [а;b].
§3 Формула Ньютона - Лейбница
Эта формула позволяет вычислять
определенный интеграл, не прибегая к
интегральным суммам.
Пусть F(х) - не которая первообразная
функции
f(х).
Известно,
что
две
первообразные одной и той же функции
отличаются друг от друга на постоянное
число, поэтому:
Для определения величины С положим в
последнем равенстве x = а, тогда
следовательно,
Поэтому:
и следовательно
В частности: при x = b , получим
или, в
имеем:
силу
инвариантности
интеграла,
Определение 1. Определенный интеграл
равен приращению первообразной для
подынтегральной
функции
на
отрезке
интегрирования [а;b], т.е.
Пример:
Замечания:
1. Формула Ньютона - Лейбница была
выведена только для непрерывных функций.
2. Подходы к интегрированию у Ньютона
и Лейбница были различные. Лейбниц
развивал
чистый
анализ,
исходя
из
абстрактных понятий. Ньютон рассматривал
математику
только
как
способ
для
физических исследований. Название этой
формулы до некоторой степени условно,
поскольку ни у Ньютона, ни у Лейбница
именно такой формулы не было. Но они
независимо друг от друга установили связь
между
дифференцированием
и
интегрированием. Лейбниц ввел обозначения:
§4 Способы вычисления
определённого интеграла
1. Метод подстановки в определенном
интеграле:
Пусть требуется вычислить интеграл
Перейдем к новой переменной t, положив
Вычислим пределы интегрирования для
новой функции:
Пример:
Замечания:
Для
осуществления
такой
замены
необходимо, чтобы φ(t) и φ’(t) были
непрерывны на [α;β ].
2.
Интегрирование
по
частям
в
определенном интеграле.
Пусть функции u = u(х) и v = v(х)
непрерывны вместе со своими производными
на отрезке [а; b].
Рассмотрим дифференциал произведения
этих функций:
d (u ⦁ v) = u ⦁ dv +vdu (1), где
dv = v’(x) dx; du = u’ (x)
Проинтегрируем выражение (1) на отрезке
[a;b]
Пример:
Замечание. В этой формуле следует
помнить, что а и b – пределы изменения для
независимой переменной x.
3.
Определённый
симметричном отрезке.
-а 0
a
Используя
записать:
интеграл
на
x
свойства
интеграла
можно
В
силу
инвариантности интеграла получим:
Подставим
выражение (1):
полученное
а) для четных функций:
значение
в
б) для нечетных функций:
С
геометрической
точки
зрения
определенный интеграл представляет собой
площадь
криволинейной
трапеции,
следовательно, графически эта формула
может быть изображена следующим образом:
а) четная
б) нечетная