Модуль: мои материалы

ЗАНЯТИЕ 7.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ.
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ.
Необходимые сведения из теории
Абсолютной
величиной
(модулем)
числа
х
(обозначается |х|) называется само это число, если оно
положительно или равно 0, и противоположное ему
число, если это число отрицательно. В формальной
записи:
 х, если х  0;
х 
 х, если х  0.
Геометрически |х| - это расстояние от точки х
координатной прямой до начала координат.
Свойства модуля:
1) х  0 ; 2) х  х ; 3) ху  х у ;
4)
х
х

, если у  0 ; 5)
у
у
х2  х ;
6) х n  х , n  Z ;
n
7) а) х  у  х  у ; б) х  у  х  у  х и у одного
знака;
8) а) х  у  х  у ; б) х  у  х  у  х и у
одного знака.
Стандартный алгоритм решения уравнений и
неравенств с модулем.
Для решения уравнений и неравенств, содержащих
модуль, имеется стандартный алгоритм, вытекающий из
самого определения модуля: «освободиться» от символа
модуля всегда можно, рассмотрев возможные знаки
Авторские материалы Стахановой П.А.
выражения, стоящего под этим символом или все
необходимые комбинации знаков, когда символов
модуля несколько. Главное при этом – не ошибиться
при рассмотрении возможных комбинаций и не забыть
проверить, удовлетворяют ли корни, полученные в
каждом конкретном случае, условиям этого случая.
Нестандартные способы решения уравнений и
неравенств с модулем.
1. Уравнения вида f ( x)  g ( x) .
 g ( x)  0,

f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x).

2. Уравнения вида f ( x)  g ( x) .
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x).
3. Уравнения вида f   f
f   f  f  0.
4. Уравнения вида f  f
f  f  f  0.
5. Уравнения вида f  g  f  g
 f  g,

f  g  f  g   f  0,

 g  0.
6. Уравнения вида f  g  g  f
 f  g,

f  g  g  f   f  0,

 g  0.
Авторские материалы Стахановой П.А.
7. Уравнения вида f  g  f  g
 f  0,
f  g  f g
 g  0.
8. Уравнения вида f  g   f  g
 f  0,
f  g f g 
 g  0.
9. Неравенства вида f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 x
.
10. Неравенства вида
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)  
.
 f ( x)   g ( x)
11. Неравенства вида
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
.
 f ( x)   g ( x)
Графики простейших функций, содержащих знак
абсолютной величины
Под
простейшими
функциями
понимают
алгебраическую сумму модулей линейных выражений.
Сформулируем утверждение, позволяющее строить
графики таких функций, не раскрывая модули ( что
особенно важно, когда модулей достаточно много ):
"Алгебраическая сумма
модулей
n
линейных
выражений представляет собой кусочно - линейную
функцию, график которой состоит из n +1
прямолинейного отрезка. Тогда график может быть
построен по n +2 точкам, n из которых представляют
собой корни внутри модульных выражений, ещё одна
Авторские материалы Стахановой П.А.
произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из
этих корней и последняя
с абсциссой, большей
большего из корней.
Например:
1)f(x)=|x - 1| Вычисляя функции в точках 1, 2 и 0,
получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1)
2) f(x)=|x - 1| + |x – 2| Вычисляя значение функции в
точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график,
состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)
3) f(x)=|x - 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построения графика
вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4
(рис.3)
4) f(x)=|x - 1| - |x – 2| График разности строится
аналогично графику суммы, т.е. по точкам 1, 2, 0 и 3.
(рис.4)
Рис.1
Рис.4
Рис.2
Рис.3
Примеры решения задач.
Авторские материалы Стахановой П.А.
1.Решить уравнение а) х  3  5 .
Решение:
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля:
решением уравнения будут являться точки х такие, что
расстояние от точки х до точки смены знака модуля
(точки х=3) равно 5.
-5
-2
+5
3
8
Ответ: х=-2; х=8.
б) Решить уравнение х  2  3 .
Решение:
Построим графики функций у= х  2 и у=3.
Найдем абсциссы их точек пересечения: х=-1 и
х=5.
Авторские материалы Стахановой П.А.
Ответ: х=-1 и х=5.
2. Решить уравнение 2 х  3  4 .
Решение:
На расстоянии 4 от точки х на координатной прямой
лежат две точки: -1 и 7, а 2х есть одна из них.
-4
-1
+4
7
3
Следовательно, 2х=-1 или 2х=7, так что заданное
уравнение имеет 2 корня: 
1 7
и .
2 2
Также можно было, разделив обе части уравнения на 2,
получить уравнение вида х 
3
 2 . И воспользоваться
2
геометрическим смыслом модуля: решением уравнения
являются точки х такие, что расстояние от точек х до
точки смены знака модуля (точки х=
2
1

2
Ответ: х= 
3
2
3
) равно 2.
2
+
2
7
2
1
7
, х= .
2
2
3. Решить неравенство 3х  5  4 .
Решение:
Авторские материалы Стахановой П.А.
Разделим обе части неравенства на 3 и перейдем к
равносильному
х
неравенству
5 4
 ,
3 3
геометрический смысл которого состоит в нахождении
точек х, расстояния от которых до точки 
5
больше
3
4
3
чем
.

4
3

5
3
3
 1

Ответ: х   ;  3    ;    .
 3


4
3

1
3
4. Решить уравнение х  6  х  2 .
Решение:
На равном расстоянии от точек -6 и 2 лежит
единственная точка- середина отрезка  6; 2 , т.е. х=-2.
Это и есть единственный корень данного уравнения.
Ответ: х=-2.
5. Решить уравнение
.
Решение:
Авторские материалы Стахановой П.А.

2x  1  0

(2 x  1) x  3x  4  0
 
2x  1  0

 (2 x  1) x  3x  4  0


1
 x   2

 x  2
  x  1  x  2 .

  x   1

2
  х  R
Ответ: х=2.
6. Решить уравнение 5x  3  7 x  4  2 x  1 .
Решение:
1. Вычислим нули подмодульных выражений:
3
4
x ;
x
5x  3 = 0 ;
7x  4 = 0 ;
5
7


5x  3

7x  4

4
7

3
5

Авторские материалы Стахановой П.А.

4
 x  7

 5 x  3  7 x  4  2 x  1

 4  x  3
 7
5
3  5 x  7 x  4  2 x  1


3
 x 
5


5 x  3  7 x  4  2 x  1


4
 x 
7

0  0

 4  x  3
 7
5

 x  4

7

 x  3
5


1
 x  
2

4

x    ; 
7

4

Ответ: x    ;  .
7

7. Решите уравнение х 2  4 х  3  3 х  7 , выбрав
наиболее рациональную схему для решения :
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x),
1. f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x).
 g ( x)  0,

2. f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x).

Решение:
Авторские материалы Стахановой П.А.
Вторая схема проще т. к. предполагает решение
линейного неравенства, в отличие от первой, где
пришлось бы решить два квадратных неравенства.
 х  3  0,

2) х 2  4 х  3  х  3   х 2  4 х  3  х  3, 
 2
 х  4 х  3   х  3
 х  3,
 х  3,
 х  3,

 2
 х  0,
  х  2,
 х  3 х  0,  

 2
 х  3,
 х  0.
 х  5 х  6  0
 х  2,

Ответ: -3;-2;0.
8. Решите уравнение:
x  3  2x  1
Решение:
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x).
 x  4,
 x  3  2 x  1, 
x  3  2x  1  
2
 x  3  1  2 x,  x   .
3

2
Ответ:  ;4 .
3
9. Решите уравнение
x 2  2 x  63  x 2  13x  12  15 x  75
Решение:
Авторские материалы Стахановой П.А.
 f  g,

f  g  g  f   f  0,

 g  0.
 x 2  13x  12  x 2  2 x  63
 2

 x  2 x  63  0

2
 x  13x  12  0

x   7;1
 x  5

x   7;9


 x   12;1
Ответ: х   7;  1 .
10.
1  cos( x)  x 2  15 x  44  15 x  x 2  cos( x)  45
Решение:
 f  0,
f  g f g 
 g  0.

1  cos( x)  0  cos( x)  1
 2

 x  15 x  44  0
 x  (1  2k ) 2 , k  

 x  4;11
x=9
Авторские материалы Стахановой П.А.
4  x  11;
4  (1  2k ) 2  11
2  1  2k  11
x  (1  2  1) 2  9
1  2k  11  1
1
11  1
k
2
2
k 1
Ответ: x=9
11. Решите уравнение
x 3  64  x 2  8 x  33  x 3  x 2  8 x  97 .
Решение:
 f  0,
f  g  f g
 g  0.
 x 3  64  0
x  4

 2
 x  8 x  33  0  x   ;11  3;  
x  4; 
Ответ: x  4; .
12. Решите неравенство
х 2  5х  9  х  6 .
Решение:
х 2  5 х  9  х  6  (х 2 -5х+9) 2 <(х-6) 2  (х 2 5х+9) 2 -( х-6) 2 <0 
 (х 2 -6х+15)( х 2 -4х+3)<0  х 2 -4х+3<0 
1<x<3.
Ответ: (1;3).
12. Решить неравенство:
х3  х  3  5  х3  х  8 .
Решение:
Авторские материалы Стахановой П.А.
х3  х  3  5  х3  х  8
3
3

 х  х3 5 х  х8
 3
3

 х  х  3  5   х  х  8.
3
3

 х  х  3  х  х  13
 3
3

 х  х  3  х  х  3
 х 3  х  3  х 3  х  13
 х  5
 3

3
 х  2
 х  х  3   х  х  13


 3

3
 х  х  3  х  х  3
х  0
  х 3  х  3  х 3  х  3
  х  3

2  х  5
 x  2; 5 .

 хR
Ответ: x  2; 5
Задачи для работы в аудитории
Уравнения и неравенства с модулем.
Устно: раскройте модули:
а)
5  2 ; б) 1 2 ; в) 3   ;
г) 3 40  4 30 ;
д) x 2  6 x  10 .
1.Упростите выражение:
а)
x  32
4   2
, если x  3  0 ; б)
4  2 5 
2
; в)
;
Авторские материалы Стахановой П.А.
г)
2  7 
2
 7  2 ; д)
4  2 3 
2

3  2 3 
2
;
x 2  4 x  4  x 2  6 x  9 , если  7  x  4 .
2.Решить простейшие уравнения и неравенства с
помощью геометрической интерпретации модуля:
а) х  2  3 ; б) 2 х  3  5 ; в) 2  х  5 ; г) х  5  3
.
3. Отметить на координатной прямой множество
всех точек х, удовлетворяющих данному условию,
и записать его с помощью уравнения и неравенства
с модулем:
а) расстояние от точки х до точки -3 больше 4;
б) сумма расстояний от точки х до точек 3 и 8
больше 4;
в) расстояния от точки х до точек с координатами 8
и 12 равны.
Способ раскрытия модуля.
 х, если х  0;
х 
 х, если х  0.
е)
4. Решить уравнения способом раскрытия модуля.
а) х 2  4 х  1  41  0; б)
;
в) у  4  у  6  8 ;
г) у  3  у  2  5 .
Уравнения вида
 g ( x)  0,

f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x).

5.Решить уравнения
а) х 2  3 х  4  3 х ;
б) 2 х 2  5 х  10  5  2 х .
Авторские материалы Стахановой П.А.
Уравнения вида
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x).
6.Найти корни уравнения
а) 2 х 2  3х  1  х 2  х  2 ; б)
11х 2  10 х  2  х 2  х .
7*. Решите уравнения
а) x 2  4  x 2  4;
б) x 2  9  9  x 2 ;
в ) x 2  x  2  x 2  x  2;
г ) x 3  4 x  4 x 2  1  x 3  4 x 2  4 x  1.
8*. Решите уравнения
а ) x 2  5 x  4  x 2  8 x  15  3 x  11;
б ) x 3  3 x 2  x  3  x 2  4 x  5   x 3  4 x 2  3 x  8;
в ) 3 x 2  4 x  4  x 2  7 x  6  2 x 2  11x  10;
г )  1  cos( x)  x 2  16 x  55  16 x  x 2  cos( x)  56;
д) x 2  10 x  21  x 2  6 x  5  2 x 2  4 x  26.
9. Используя график функции решите уравнения :
а) х  3  х  3  5 ; б) х  3  х  3  6 ;в)
х  3  х  3  8.
10*. Постройте график функции у  х  5 и
решите уравнение:
Авторские материалы Стахановой П.А.
а) у  х  5 =6; б) у  х  5 =5; в) у  х  5 =2; г)
у  х  5 =0.
Неравенства с модулем
Неравенства вида
f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 x
11.Решить неравенство:
а) x 2  x  2  x  2 ; б) x 2  5 x  4  x 2  x  4 .
Неравенства вида
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)  
.
f
(
x
)


g
(
x
)

12. Решить неравенство:
а) 2 х  3  5 ; б) x 2  3x  x  4 ; в) 4 x 2  1  x  2 .
Неравенства вида
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
.
 f ( x)   g ( x)
13. Решить неравенства:
а) 2 х  1  1 ;
б) х 2  4  2 x  1 ;
в) x 2  4 x  3  x  2 .
14*. Решить неравенство х 3  х  3  5  х 3  х  8 .
15. Решить неравенства способом раскрытия
модуля.
а) х 2  2 х  1  6  0; ;
Авторские материалы Стахановой П.А.
б) х 2  х  3  9  0;
в) х  1  х  2  5 ;
г) x  3  х  4  11.
Ответы к задачам для работы в аудитории
1.а) х-3; б) 2 5  4 ; в) 4-  ; г) 2 7 ; д) 1; е) -1.
2. а)  5;1; б)  1; 4; в)  ;3  7; ; г) 2;8 .
3. а) х  3  4 , х   ;  7  1;   ;
б) х  3  х  8  4 , х  R ; в) x  8  x  12 , х=10.

 

4. а) 9;  2  41 ; б) 4  2 2 ;  2  2 3 ; в) 1; 9 ;
г)  3;   ;
1

5. а) 2; б) -5; 1,5; -2,5; 1. 6. а) 1; 3;   ; б)
3

11  41
.
20
7. а) х   ;  2  2;  ; б)  3; 3; в)
 ;  1  2;   ;
г)  2;  0,5  2;   .
8. а) 2; 4 ; б)  1 1; 3 указание:
a  0
а  b  a  b  
или а  b 9.а) нет решений;
b  0
б)  3; 3; в)  4; 4.
10. а)  11 ; б) 0;  10 ; в)  3;  7 ; г)  5 .
11. а)  ;2   2;0  2; ; б)  ;0  2;3 .
 3 
12.а)  1; 4 ; б)  1  5 ;1  5 ; в)  ;1 .
 4 


Авторские материалы Стахановой П.А.


14.  3 5 ; 8 . 15. а)  4; 4 ; б)  2; 3; в)  2; 3; г)
 2; 9 .
Задачи для самостоятельных занятий
1.Найти значение выражения

х

 6 х  9
а) х  3,8  4 х 2  2 х  1 при  3,5  x  0,5 ;
б) х  3,2  10
в)
г)
2
2
5
при  2,7  x  2,5 ;
4  5    5  2 ;
1  2    2  2 .
2
2
2
2
2. Решить простейшие уравнения и неравенства с
помощью геометрической интерпретации модуля:
а) х  2  4 ; б) 3х  2  7 ; в) 3  х  1 ; г) х  5  9 .
3. Отметить на координатной прямой множество
всех точек х, удовлетворяющих данному условию,
и записать его с помощью уравнения и неравенства
с модулем:
а) расстояние от точки х до точки 10 не больше 2;
б) сумма расстояний от точки х до точек 2 и 5
больше 4;
в) точка х равноудалена от точек с координатами -6
и 4.
4.Решить уравнения способом раскрытия модуля.
а) 3х 2  5 х  2  12  0 ;
б) 5х  13  6  5х  5.
5. Решить уравнения
а) х 2  х  3  х  2 ;
Авторские материалы Стахановой П.А.
б) х  1  6 х 2  2 х  2 .
6. Найти корни уравнения
а) х 2  3х  3  х 2  7 х  13 ;
б) 2 х 2  3х  2  2 х 2  3х  2 .
7. Используя график функции решите уравнения :
а) х  2  х  2  6 ; б) х  2  х  2  4 ; в)
х  2  х  2  1.
8*. Постройте график функции у  х  4 и решите
уравнение:
а) у  х  4 =4; б) у  х  4 =5; в) у  х  4 =2; г)
у  х  4 =0.
9*. Найти корни уравнения
x 3  64  x 2  8 x  33  x 3  x 2  8 x  97 .
10. Решить неравенства
а) 2 х  5  7  x ;
б) 3x  2  x  5 ;
в) 7 x  5  2 x  11 ;
г) 3x  2  3  x .
11. Решить неравенства
а) х  1  х  2  3;
б) 3х  2  2 х  3  11 ;
в) 5  2 х  х  1  х  3 .
12*. Решить неравенство
2х 2  х  3  2х 2  х  5 .
13*. Решить неравенство
Авторские материалы Стахановой П.А.
а) х 3  4 х 2  11х  12  x 3  3x 2  10 x  x 2  x  12 ;
б) x 3  2 x 2  3x  x 2  3x  4  x 3  x 2  4 .
Ответы к задачам для самостоятельных занятий
1. а) 4, 8; б) 6,2; в) 6  2 5 ; г)  3  2 2 .
 2 1
2. а)  2; 6; б)  2 ; 3  ; в)  ;2  4;; г)
 3 3
 14;4.
3. а) x  10  2 , х  8;12; б) х  2  х  5  4 ,
x   ;1,5  5,5;   ; в) x  6  x  4 , х=-1.
7
2

4. а) 2;  3  ; б) х= . 5.а) 1; б) корней нет.
5
3

 1

6. а) 1,2,4; б)  ;2;4 .9*. x  4; 
 4

2
3


10. а)   12;  ; б)   ;  ; в)
3
2


16   6


  ;    ;    ;
9  5


 1

г)   ;    .
 2

2

4

11.а)  2;1 ; б)  2; 2  ; в)  ;0   ;    .
5

5

12.  4;   . 13.а)  4;  2  0; 3  5;   .
Указание a  b  a  b  ab  0 . б)
 ;  4   1; 0  (1; 3) .
Авторские материалы Стахановой П.А.
7 Задача для аттестационной работы 7 вариантов.
Решить неравенство
1. а) х  4  3 ; б) х  3  2 х  1 .
2. а) х  4  2 ; б) х  5  2 х  3 .
3. а) х  1  5 ; б) 2 х  1  х  3 .
4. а) х  3  4 ; б) 2 х  3  х  2 .
5. а) х  5  1 ; б) 3  4 х  2 х  1 .
6. а) х  4  5 ; б) 2  4 х  3  2 х .
7. а) х  3  7 ; б) 2 х  1  х  3 .
Ответы к 7 задаче аттестационной работы.
3

1. а)  ;1  7; ;б)   ;  .
4

2.а)  6;2 ; б) 8;  .
2

3.а)  ;4  6; ; б)   ;    4;    .
3

1 
4. а)  7; 1; б)  ; 5 .
3 
2

5. а)  6;  4; б)   ;   1;   
3

 1 5
6. а)  ;1  9; ; б)   ;  .
 2 6
2

7. а)  10; 4 ; б)   ;    4;    .
3

Авторские материалы Стахановой П.А.
Авторские материалы Стахановой П.А.
Авторские материалы Стахановой П.А.