Lekciya35

Лекция 35
Метод вторичного квантования. Операторы уничтожения и рождения. Коммутационные
соотношения
При вычислении средних значений или вероятностей переходов квантовых систем, состоящих из большого количества частиц, приходится вычислять интегралы вида (квантовомеханические средние или матричные элементы)
 dx dx ...
1
2
*i ( x1 , x2 ,...)Vˆ ( x1 , x2 ,...)  f ( x1 , x2 ,...)
(1)
где Vˆ ( x1 , x2 ,...) - оператор какой-либо физической величины, относящийся к рассматриваемой
многочастичной системе и действующий на функции координат всех частиц системы,
 i , f ( x1 , x2 ,...) - волновые функции стационарных состояний системы, зависящие от координат
всех частиц и обладающие определенными свойствами симметрии относительно перестановок
координат, если частицы тождественные (симметричные для бозонов и антисимметричные для
фермионов). Удобным методом вычисления интегралов типа (1) для систем тождественных частиц является метод вторичного квантования. Название метода связано с тем, что в рамках метода рассматриваются волновые функции («квантовомеханические величины») в представлении
чисел заполнения, которые возникают при квантовании задачи. До сих пор мы рассматривали
волновые функции в представлении «классических величин» - координат, импульсов и др. Отсюда - термин «вторичное квантование» в названии метода. Основная идея метода заключается
в следующем.
Рассмотрим квантовую систему, состоящую из большого числа тождественных невзаимодействующих частиц, движущихся в некотором внешнем поле U ( x) .Гамильтониан такой системы имеет вид
Hˆ ( x1 , x2 ,...)  
2
d2
  U ( xa )  a hˆ( xa )
2m a dxa 2 a
(2)
где индекс a нумерует частицы; гамильтониан hˆ( xa ) принято называть одночастичным. Стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (2) допускает разделение переменных и легко решается, если известны собственные значения Ei и собственные функции  i одночастичного гамильтониана hˆ( xa ) . Собственными функциями гамильтониана (2) являются произведения
собственных функций  k ( x) одночастичного гамильтониана hˆ( xa )
1
k1 ,k2, ... ( x1 , x2 ,...)   k1 ( x1 ) k2 ( x2 )...
(3)
а также функции, отличающиеся от (3) перестановками аргументов и их произвольные линейные комбинации, а собственными значениями – суммы соответствующих собственных значений
 k k ...  Ek  Ek  ...
1 2
1
2
(4)
Здесь индексы k i представляют собой набор квантовых чисел состояний одной частицы. В системах тождественных бозонов допустимыми являются только симметричные линейные комбинации функций вида (3), в системах фермионов - антисимметричные. Для бозонов квантовые
числа k i в выражениях (3), (4) могут повторяться, для фермионов (согласно принципу Паули)
все квантовые числа k i в выражениях (3), (4) различны. Об этой ситуации говорят, что все фермионы находятся в различных одночастичных состояниях.
Очевидно, нужным образом симметризованная (для бозонов или фермионов) линейная
комбинация функций вида (3) определяет такое состояние системы тождественных частиц, в котором одна частица (неизвестно какая благодаря тождественности) находится в состоянии с
квантовыми числами k1 , одна (тоже неизвестно какая) - в состоянии с квантовыми числами k2 и
т.д. Назовем число частиц, которые находятся в одночастичном состоянии k i , числом заполнения этого одночастичного состояния и обозначим nki . Из-за антисимметричности волновых
функций в системах тождественных фермионов введенные числа заполнения могут принимать
только два значения 0 и 1, в системах тождественных бозонов - любые целые неотрицательные
значения (не превосходящие, конечно, числа частиц в системе). Поскольку набор всех чисел заполнения однозначно определяет собственную функцию k1 ,k2, ... ( x1 , x2 ,...) , в качестве индексов у
собственных функций гамильтониана (2) можно указывать не квантовые числа состояний k i , в
которых находятся частицы, а числа заполнения всех одночастичных состояний
k1 ,k2 ,... ( x1 , x2 ,...)  nk1 ,nk2 ,... ( x1 , x2 ,...)
(5)
При этом сумма всех чисел заполнения nk1  nk2  ... равна полному числу частиц в системе. По
своему построению волновые функции (5) описывают такие состояния системы тождественных
частиц, в которых числа заполнения одночастичных состояний имеют определенные значения.
При этом, если взять суперпозицию состояний с разными числами заполнения, то согласно постулатам квантовой механики такая функция будет описывать состояние, в котором с определенными вероятностями могут быть обнаружены числа заполнения, отвечающие состояниямслагаемым. Перебирая все возможные значения чисел заполнения в (5) (при фиксированной их
2
сумме, которая равна числу частиц в системе), мы перечислим все собственные функции оператора Гамильтона для этой системы частиц, то есть построим полную систему функций в пространстве состояний данной системы тождественных частиц.
Рассмотрим теперь волновую функцию ( x1 , x2 ,...) произвольного состояния (не обязательно стационарного) рассматриваемой системы тождественных частиц. Так как функции (5)
для всех возможных значений чисел заполнения n1 , n2 ,..., ni ,... образуют полную систему, то
функция ( x1 , x2 ,...) может быть разложена в ряд по этой системе
( x1 , x2 ,...) 
 C(n , n ,...)
1
2
n1 , n2 ,...
( x1 , x2 ,...)
(6)
n1 , n2 ,...
где C(n1 , n2 ,...) - коэффициенты разложения, суммирование проводится по всем возможным
значениям чисел заполнения всех одночастичных состояний. Поскольку собственные функции
 n1 ,n2 ,... ( x1 , x2 ,...) описывают состояния с определенными значениями чисел заполнения, то со-
гласно постулатам квантовой механики квадрат модуля коэффициента C(n1 , n2 ,...) определяет
вероятность того, что в состоянии ( x1 , x2 ,...) числа заполнения состояний 1, 2, ... равны соответственно n1 , n2 ,... Поэтому согласно логике определения волновой функции в различных
представлениях функция чисел заполнения C(n1 , n2 ,...) представляет собой волновую функцию
квантовой системы в представлении чисел заполнения или вторичноквантованную волновую
функцию (ср. с определением волновой функции в импульсном представлении). Аргументами
функции являются целые неотрицательные целые числа: первым аргументом - число заполнения
одночастичного состояния 1, которое может принимать значения n1  0,1, 2,... , вторым – число
заполнения одночастичного состояния 2, которое может принимать значения n2  0,1, 2,... и т.д.
Другими словами, аргументами вторичноквантованных волновых функций являются дискретные переменные n1 , n2 ,... ). Если функция ( x1 , x2 ,...) совпадает с одной из собственных функций гамильтониана, то есть описывает состояние с определенными значениями чисел заполнения, то в сумме (6) представлено только одно слагаемое с единичным коэффициентом, и, следовательно, в пространстве чисел заполнения такому состоянию отвечает функция C(n1 , n2 ,...) ,
равная единице только для одного набора аргументов n1 , n2 ,... , и равная нулю для всех остальных значений аргументов.
3
Из условия нормировки функции ( x1 , x2 ,...) (6) и ортонормированности функций с
определенными значениями чисел заполнения следует условие нормировки вторичноквантованных волновых функций

C (n1 , n2 ,...)  1
2
(7)
n1 , n2 ,...
которое отражает тот факт, что сумма вероятностей различных значений чисел заполнения равна единице. В (7) суммирование проводится по всем возможным значениям чисел заполнения
всех одночастичных состояний. Отсюда следует, что скалярное произведение вторичноквантованных волновых функций нужно определить так
 C , C    C (n , n ,...)C (n , n ,...)
*
1
2
1
2
(8)
n1 , n2 ,...
Поскольку вторичноквантованная волновая функция определяет вероятности различных значений чисел заполнения, с ее помощью можно найти средние значения любых функций чисел заполнения, например, среднее число заполнения некоторого одночастичного состояния i в состоянии системы частиц, которое описывается вторичноквантованной волновой функцией
C(n1 , n2 ,...) :
ni 

ni C (n1 , n2 ,...)
2
(8)
n1 , n2 ,...
Очевидно, скалярное произведение двух волновых функций любых состояний системы тождественных частиц   ,   можно вычислять, используя как координатные, так и вторичноквантованные волновые функции этих состояний

 ,      C (n , n ,...)
 n1 ,n2 ,...


*
1
2
n1 , n2 ,...

( x1 , x2 ,...),
C (n1 , n2 ,...)C (n1 , n2 ,...)  C , C
*


C ( n1, n2 ,...)  n1 ,n2 ,... ( x1 , x2 ,...)  
n1 , n2 ,...


(9)
n1 , n2 ,...
где C и C - вторичноквантованные волновые функции состояний  и  . (В (9) использована
ортонормированность функций  n1 ,n2 ,... ( x1 , x2 ,...) ). Поэтому и матричные элементы любого опе-


ратора , Aˆ  , действующего на функции координат системы, можно вычислять с использованием вторичноквантованных волновых функций, если найти этот оператор в представлении
чисел заполнения. Этот оператор - обозначим его Aˆ (n1 , n2 ,...) - должен действовать на вторичноквантованные волновые функции состояний C(n1 , n2 ,...) .
4
Для построения операторов физических величин в представлении чисел заполнения вводятся специальные операторы aˆi и aˆi , действующие на вторичноквантованные волновые функции. Для бозонов оператор aˆi определяется следующим образом: действуя на функцию с определенным значением числа заполнения ni одночастичного состояния i , оператор aˆi уменьшает
число заполнения этого состояния на единицу ni  ni  1 и умножает эту функцию на
aˆi  n1 ,n2 ,...,ni ,...  ni  n1 ,n2 ,...,ni 1,...
ni
(10)
Другими словами, что при действии оператора aˆi на волновую функцию состояния с определенными значениями чисел заполнения получается также состояние с определенными значениями чисел заполнения, в котором, однако, число заполнения i -го одночастичного состояния
меньше на единицу; числа заполнения других одночастичных состояний не меняются. Поэтому
оператор aˆi называется оператором уничтожения частицы в i -ом одночастичном состоянии и
связывает волновые функции состояний с разным числом частиц (которые, отметим, в координатном представлении имеют разное число аргументов).
Введенные операторы aˆi (10) не являются эрмитовыми. Легко проверить (вычисляя матричные элементы оператора aˆi ), что оператор aˆi , эрмитово сопряженный оператору aˆi , должен
на состояния с определенными значениями чисел заполнения одночастичных состояний действовать так
aˆi  n1 ,n2 ,...,ni ,...  ni  1 n1 ,n2 ,...,ni 1,...
(11)
Это значит, что оператор aˆi увеличивает число заполнения одночастичного состояния i на
единицу. Поэтому оператор aˆi называется оператором рождения частицы в одночастичном состоянии i . Из определений бозонных операторов рождения и уничтожения можно получить
следующие коммутационные соотношения для операторов aˆi и aˆ j
 aˆi , aˆ j   0
 aˆi , aˆ j   0
 aˆi , aˆ j    ij
5
(12)
то есть операторы aˆi и aˆ j (а также aˆi и aˆ j ) коммутируют для любых значений индексов; операторы aˆi и aˆ j коммутируют, если i  j , и не коммутируют, если i  j , причем их коммутатор
равен единице.
Для фермионов операторы рождения и уничтожения определяются формулами, аналогичными (10), (11), в которые вводятся определенные фазовые множители (с помощью этих
множителей учитывается антисимметрия волновой функции системы тождественных фермионов). При этом фермионные операторы рождения и уничтожения удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям
aˆi aˆ j  aˆ j aˆi  0
aˆi aˆ j  aˆ j aˆi  0
(13)
aˆi aˆ j  aˆ j aˆi   ij
То есть для фермионных операторов перестановочные соотношения – антикоммутационные.
Операторы физических величин в представлении чисел заполнения могут быть выражены через операторы рождения и уничтожения частиц. Эти выражения таковы. Если оператор
некоторой физической величины представляет собой сумму одинаковых операторов, каждый из
которых действует на координату только одной частицы Vˆ ( x1 , x2 ,...)   Vˆ ( xa ) (индекс a нумеa
рует частицы системы), например, оператор импульса системы частиц, момента импульса системы, кинетической энергии системы и др., то в представлении чисел заполнения этот оператор
имеет вид
Vˆ (n1 , n2 ,...)  Vij aˆi a j
(14)
ij
где Vij - матричный элемент оператора Vˆ ( xa ) с одночастичными волновыми функциями, суммирование проводится по всем одночастичным состояниям. Выражение (14) имеет место как
для систем тождественных бозонов, так и фермионов. Только для бозонов справедливы перестановочные соотношения (12), для фермионных операторов справедливы перестановочные соотношения (13).
Из формулы (13) легко найти, например, выражение оператора Гамильтона системы
невзаимодействующих частиц. Поскольку волновые функции одночастичных состояний являются собственными функциями одночастичного гамильтониана, его матричные элементы с этими функциями диагональны и равны одночастичным энергиям Ei . Поэтому
6
Hˆ (n1 , n2 ,...)   Ei aˆi ai
i
Для операторов, представляющих собой сумму слагаемых, каждое из которых действует
на координаты сразу двух частиц (например, для оператора потенциальной энергии взаимодействия частиц)
1
Vˆ ( x1 , x2 ,...)   Vˆ ( xa  xb )
2 a ,b
(15)
в представлении чисел заполнения имеют место следующие соотношения
1
Vˆ (n1 , n2 ,...)   Vij , kl aˆi aˆ j aˆk aˆl
2 ijkl
(16)
где Vij ,kl - матричный элемент оператора Vˆ ( xa  xb ) с одночастичными волновыми функциями,
суммирование проводится по всем одночастичным состояниям.
С помощью операторов рождения и уничтожения можно определить операторы чисел
заполнения одночастичных состояний и числа частиц в системе. Легко проверить, что волновые
функции любых состояний с определенным числом заполнения одночастичного состояния i (и
только они) являются собственными функциями оператора aˆi aˆi , отвечающими собственному
значению ni :
aˆi aˆi n1 ,n2 ,...,ni ,...  ni n1 ,n2 ,...,ni ,...
(17)
Поэтому оператор aˆi aˆi является оператором числа заполнения одночастичного состояния i .
Аналогично доказывается, что оператор
Nˆ   aˆi aˆi
(18)
i
где сумма распространяется на все одночастичные состояния, является оператором числа частиц
в системе.
Важно подчеркнуть, что использование метода вторичного квантования для вычисления
матричных элементов и средних в нерелятивистской квантовой механике существенно упрощает вычисления, поскольку позволяет не следить за симметрией волновых функций – она автоматически учитывается перестановочными соотношениями (12) для систем тождественных бозонов и (13) для тождественных фермионов. Тем не менее вычисления матричных элементов и
средних могут быть выполнены и в координатном представлении. Важным теоретическим достоинством метода вторичного квантования является то обстоятельство, что вторичноквантованная волновая функция не содержит нефизических индексов, отмечающих координаты прин7
ципиально неразличимых частиц. В релятивистской квантовой теории, в которой рассматриваются процессы с изменением числа частиц, метод вторичного квантования является, по существу, единственным методом вычисления матричных элементов, поскольку в рамках этого метода могут быть вычислены матричные элементы от волновых функций, зависящих (в координатном представлении) от разного числа переменных.
8