Банк заданий 10 клас…

10 класс задания
1. Докажите, что уравнение xy = 2009 (x + y) имеет решения в целых числах. (6 баллов)
2. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника, как на
диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Определить углы треугольника. ( 6
баллов)
3. (an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S2009 - наименьшая
среди всех Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n).
Какие значения может принимать первый член прогрессии? (8 баллов)
4. Имеется три кучи камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20 камней. За
ход разрешается разбить любую кучу на две меньшие. Проигрывает тот, кто не
сможет сделать ход. Кто победит – начинающий или его партнер? (10 баллов)
5. Графики функций у = х2 + ах + bи у = х2 + сх + d пересекаются в точке с
координатами (1; 1). Сравните a5 + d6 и c6- b5.(6 баллов)
6. Какое наибольшее число ребер шестиугольной призмы может пересечь плоскость,
не проходящая через вершины призмы? (8 баллов)
7. Решите уравнение
: (8 баллов)
8. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию,
то их высоты тоже образуют геометрическую прогрессию. (10 баллов)
9. В клетки квадрата 3 × 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так,
чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и
каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно? (9 баллов)
10. Вычислите
. (8 баллов)
11. Постройте график функции y =|x - 3| + |1 - x| - 4. (8 баллов)
12. Докажите, что x4 + y 4 + z 2 + 1 > 2x (xy 2 – x + z + 1). (9 баллов)
13. Пирамида Хеопса имеет в основании квадрат, а ее боковые грани – равные
равнобедренные треугольники. Может ли угол грани при вершине пирамиды быть
равным 95 Ответ обоснуйте(10 баллов)
14. Докажите, что уравнение x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0 не имеет решений. (6 баллов)
15. Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда
одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить. (8
баллов)
16. Хорда удалена от центра окружности на расстояние h. В каждый из двух
сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его
соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на
соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов. (10
баллов)
17. Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого
является число √2 +√3. (6 баллов)
18. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих
равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2005-й член
этой последовательности?(10 баллов)
19. Решите уравнение (x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = 1320.( 8 баллов)
20. На плоскости дан отрезок АВ. Где может быть расположена точка С, чтобы ∆АВС
был остроугольным? ( 8 баллов)
21. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006, которые после
зачеркивания последних четырех цифр уменьшаются в целое число раз. (9
баллов)
22. Вычислить сумму a2006 + 1/a2006, если a2– a + 1 = 0. (10 баллов)
23. Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5
частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка
бумаги? (10 баллов)
 x  1
24. Решите уравнение
x  5  0 . (4 балла)
y  x 2  4ax  5a равна 4 . Найдите ординату
25. Абсцисса вершины параболы
вершины. ( 8 баллов)
26. Число x увеличили на 44%. На сколько процентов увеличилось число
баллов)
27. Найдите значения параметра
x
? (8
3
a , при которых сумма квадратов корней уравнения
x  ax  2  0 равна 13.(4балла)
2
28. При каких значениях
a
числа 3  a ,
a
9
a , 3a  9 являются последовательными
2
членами арифметической прогрессии? (8 баллов)
1
 1

 3x   9 x 2   9 x 2  . (8 баллов)
 3x

29. Найдите f  5  , если f 
30. Найдите cos
2

2
, если sin
2

 3,5  cos  1,5 . (6 балла)
2
31. При каких значениях параметра
из отрезков с длинами 1, a  3,
a
a
 5 можно
2
составить треугольник? (4 баллов)
32. Найдите значение 2 x  3 , если x  6 x  13x  12 x 
4
3
2
15
 0 .(6 баллов)
4
 xy 3  x3 y  1080
33. Решите систему уравнений 
. (8 баллов)
x

y

4

xy

12

34. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в
остатке 7. Если из суммы квадратов цифр этого числа вычесть произведение его
цифр, то в результате получится данное двузначное число. Найти это число.( 6
баллов)
35. Найдите множество значений функции y  8 x  6  4  x . (6 баллов)
2
36. Какой остаток при делении на 5 дает число 310033100333100  810088100888100 ? (8 баллов)
37. Какое наименьшее значение может принять выражение 3a 2  4ab  4b 2  4a  3 ?(6
баллов)
x 1 1
38. Решите уравнение
x 1 1
2
.( 10 баллов)
39. При каких значениях параметра a функция f(x) =
(a  1) x 2  (a 2  2) x  (a  1)
определена для всех x > 0? (10 баллов)
40. В параллелограмме ABCD проведена средняя линия MN (M – середина AB, N –
середина CD). Точка P делит отрезок BC в отношении 1:3 (считая от точки B), Q
делит отрезок AD в отношении 2:3 (считая от точка А), O – пересечение PQ и MN.
Найдите отношение MO к ON.(10 баллов)
41. Сколько существует значений k, при которых квадратный трехчлен x 2  2006 x  k
имеет два различных целых положительных корня?( 6 баллов)
42. У Василия было много яблок, и он решил отдать их своим друзьям. Когда друзья
пришли, он распределил яблоки между ними, причем всем досталось поровну.
Неожиданно подошел еще один друг, яблоки пришлось перераспределить, и опять
всем досталось поровну, но теперь на 15 штук меньше, чем в прошлый раз. Когда
подошел еще один друг, яблоки снова перераспределили, опять всем досталось
поровну, но в этот раз еще на 9 штуки меньше. Сколько яблок было у Василия и
сколько в конце концов к нему пришло друзей? (10 баллов)
43. Строительную компанию наняли построить дорогу из города N в город M, и за
первый восьмичасовой рабочий день она построила 2 км дороги. Ночью прошел
дождь и смыл всю разметку, которая была нарисована на построенном участке
дороги. На следующий день разметка была восстановлена, и на это ушла часть
рабочего времени. Скорость восстановления разметки – 6 км/ч. В результате на
второй день был построен более короткий участок дороги. Следующей ночью вся
разметка опять была смыта дождем, и ее восстановление снова потребовало части
рабочего времени. На каком максимальном расстоянии могли находиться города
N и М, если известно, что дорога между ними в результате была построена, и во
время строительства каждую ночь шел дождь?(10 баллов)
44. В трапеции ABCD длина основания AD равна 2 2 , а длина основания BC равна 2
. Угол A = 15°, угол D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB.(8 баллов)
45. Решить уравнение x2 - y2 = 93 в целых числах. (6 баллов)
46. Решить уравнение xy + 3x - 5y = -3 в целых числах. (6 баллов)
47. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.(7 баллов)
48. Известно, что L, M, N - соотвественно l-й, m-й, n-й члены геометрической
прогрессии. Доказать, что L m-nM n-lN l-m = 1.(7 баллов)
49. Три числа, третье из которых равно 12, составляют геометрическую прогрессию.
Если вместо 12 взять 9, то эти три числа будут составлять арифметическую
прогрессию. Найти эти числа.(7 баллов)
50.
Ответы
1. Преобразуем уравнение к следующему виду: (x - 2009)(y - 2009) = 20092.
Уравнение имеет решения, например, x = y = 4018.
2. Ответ: A = 30°, В = 60° или A = 60°, В = 30°. Необходимо рассмотреть два случая.
3. Ответ: a €(-2009; -2008). Так как разность прогрессии положительна, то прогрессия
– возрастающая. Следовательно, описанная ситуация возможна тогда и только
тогда, когда члены прогрессии с первого по 2009-ый – отрицательны, а начиная с
2010-го – положительны. Таким образом, S2009 будет наименьшей, тогда и только
тогда, когда а2009 <0, a2010 > 0. Отсюда получаем систему неравенств
4. После каждого хода количество кучек увеличивается на 1. Сначала их было 3, в
конце – 45. Всего будет сделано 42 хода, последний ход сделает второй игрок и
выиграет.
5. Ответ: a5 + d6 = c6 – b5.
Так как графики функций проходят через точку (1; 1), то выполняются равенства: 1
= 1 + а + b и 1 = 1 + с + d, то есть, a = -b и с = -d. Следовательно, а5 = -b5 и d6 = c6.
Складывая эти неравенства почленно, получим, что а5 + d6 = c6 – b5.
6. Ответ: 8.
Горизонтальной плоскостью можно пересечь все 6 боковых ребер. Наклоним эту
плоскость так, чтобы она пересекла верхнее основание около одной из вершин.
Ясно, что при этом она станет пересекать два ребра в верхнем основании, но
перестанет пересекать одно из боковых ребер. Таким образом, мы увеличим число
пересеченных ребер на 1.
Точно также можно увеличить это число еще на 1 за счет ребер нижнего
основания. Так мы получили плоскость, пересекающую 8 ребер призмы.
Почему больше пересечений получить невозможно? Во-первых, никакое сечение
не может пересекать более двух ребер одного основания (иначе сечение просто
совпадает с плоскостью этого основания). Но пересечение двух ребер в одном
основании исключает пересечение хотя бы одного из боковых ребер, а
пересечение двух ребер в другом основании – другого бокового ребра.
7. Ответ: 251000. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное
знаменателю:
8. Пусть стороны треугольника равны b, bq, bq2, площадь треугольника S, тогда
высоты треугольника соответственно равны: 2S/b, 2S/bq, 2S/db 2, то есть тоже
образуют геометрическую прогрессию.
9. Покажем, что n = 14 слишком мало. Среди чисел 1, 2, …, 14 только 2 делятся на 5 (5
и 10), поэтому их нельзя использовать (не во всех строках произведение будет
делиться на 5). По тем же соображениям нельзя использовать числа 7 и 14. Тем
более, нельзя использовать числа 11 и 13. Итак, 6 чисел уже отпадают. Остается
всего 8 чисел, а их не хватит для заполнения клеток квадрата! На рисунке
изображен квадрат с n = 15.
5
12
2
3
10
4
8
1
15
10. Ответ: 4 016 011. Пусть n = 2004, тогда
получим
. Преобразовав,
.
11. Ответ:
12. Доказательство.
13. Ответ: нет. Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равнобедренных и
равных треугольников. Разрежем боковую поверхность пирамиды по боковым
ребрам и развернем на плоскости. Тогда получим фигуру, изображенную на
рисунке. При этом общая точка треугольников – вершина пирамиды. Если бы угол
грани вершины пирамиды был 95°, то сумма четырех углов была бы равна 380°. А
это невозможно, так как сумма углов пи вершине пирамиды меньше 360°.
14. Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0 преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 +
6 = 0, которое не имеет решений.
15. Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов. Сумма числа
голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент
она будет равна m. Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при
этом число голов, уже забитых второй командой, равно разности m и числа голов,
уже забитой первой командой, т. е. числу голов, которое еще предстоит забить
первой команде. Аналогично можно рассуждать и с первой командой.
16. Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у
соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра
окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают
выражения (2 – h)2 + x2 = R2, (2y + h)2 + y2 = R2. Отсюда получим x - y = (4/5)h.
Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.
17. Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24,
которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем
многочлена x4 – 10x2 + 1.
18.
19. Ответ: -8; 6.
20. Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые,
перпендикулярные отрезку АВ. Точка С может находится между этими прямыми
вне круга.
21. Пусть натуральные числа имеют вид x∙10000 + 2006, где x € N. После вычеркивания
последних цифр получим число x. По условию , где n € N. Отсюда имеем, что
должно быть натуральным числом, т. е. x - делитель числа 2006. Число 2006 имеет
делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006. Следовательно, имеются числа, отвечающие
условию задачи: 12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 20062006.
22. Так как a<>0, то, разделив обе части исходного уравнения на a, получим a + 1/a = 1.
Заметим, что a3 + 1 = 0, т. к. a3 + 1 = (a + 1)(a2 – a + 1). Таким образом, a3 = -1. Тогда
a2006 + 1/a2006 = (a3)6682 = a2 +1/a2 = - 1.
23. Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число
листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться
число листков вида 1 + 4n, где n € N, т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1.
Но 2006 = 4∙501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.
24.
 x  1
  x  1  0,

x  5  0    x  5  0,  x  5.
 x5

25. Выделим в задании функции полный квадрат:
y   x  2a   4a 2  5a .
2
Тогда координаты вершины параболы определим из соотношений
 x0  2a,
 4  2a,
 a  2,





2
2
 y0  4a  5a
 y0  6.
 y0  4a  5a
Ответ: -6.
26. Увеличенное число составит 1,44x , тогда из пропорции
определим y 
1,2 
x
3
 100%
1,44 x
3

y%
x
 100
3
 120% , а, значит, разность будет равна 20%.
x
3
Ответ: 20%.
27. По теореме Виета корни уравнения x1 и x2 удовлетворяют системе
 x1  x2  a,
. Возведем первое уравнение в квадрат и воспользуемся вторым

 x1  x2  2
уравнением, тогда получим:
x12  2 x1x2  x22  a 2  x12  x22  a 2  4  a 2  4  13  a  3.
Ответ: a  3.
28. Воспользуемся свойством арифметической прогрессии и найдем:
 a  1,
9
3a  a  3a  9
a
 3a  a  1  9  a  1  0   a  1  3a  9   0  
2
2
 a  2.
Ответ:-1;2.
1
 3x  5 , тогда, возведя это соотношение в квадрат,
3x
1
1
2
найдем:

2

9
x

25

 9 x 2  27.
2
2
9x
9x
29. По условию задачи
Ответ: 27.
30. Воспользуемся соотношениями cos   2cos
2

2
 1, sin 2

2
 1  cos 2

2
. Тогда
получим:
1  cos 2

2
 7cos 2

2
 3,5  1,5  8cos 2

2
 3  cos 2

3
 .
2 8
3
8
Ответ: .
31. Заметим, что длины сторон треугольника положительны, тогда
a  3  0,

 a  3. Так как сумма длин двух сторон треугольника больше длины
a

5

0
 2
третьей стороны, то составим систему неравенств

1  a  3  0,5a  5,  a  14,


1  0,5a  5  a  3,   a  18,  14  a  18.
 a  3  0,5a  5  1

2

a  
3

Ответ: 14;18  .
32. Перегруппируем в уравнении слагаемые и получим:
x
4
 6 x3  9 x 2    4 x 2  12 x  
2
15
15
 0   x 2  3x   4  x 2  3x    0.
4
4
Решив квадратное уравнение, найдем, что
x 

 x 2  3 x  2,5,

 2
3  3  2 x  3   3.

x

3
x


1,5
x


 1,2
2
Ответ:  3 .
 x  0,
 x  0,
или 
. Перепишем систему в виде
y0
y0
33. ОДЗ системы: xy  0  
 y xy  x xy  1080,
 y  x  xy  1080,
 x  0,
.
Если
,
то
. Из первого



y

0
x

y

4
xy

12
y

x


12

4
xy



уравнения следует, что y  x  0 , а из второго, что y  x  0 . Значит, решений в
системе нет.
 x  0,
, то
y

0

Если 
 x  y  xy  1080,
 x  y  a,
.
Обозначим
, тогда


xy

b
,
b

0

 x  y  12  4 xy
a  12  4b,

 2
4b  12b  1080  0 

b0

 xy  225,
 x  y  72,
a  72
 x  3,

.
 


b

15
x

0,
y


75



 y  0
Ответ:  3; 75.
34. Пусть a  цифра десятков, b  цифра единиц в числе, тогда число запишем как
10a  b . Составим по условиям задачи систему уравнений
10a  b  3  a  b   7,
.
 2
2
 a  b  ab  10a  b
2
b . Так как a  цифра, то b делится на 7
7
без остатка и может принимать два значения: 0 или 7. В первом случае a  1 , а число
10 делится на 1 без остатка. Во втором случае a  3 , а число 37 является решением
Из первого уравнения следует, что a  1 
второго уравнения, то есть является и решением задачи.
Ответ: 37.
35. ОДЗ функции: 4  x  0   2  x  2 . Очевидно, что наибольшее значение
2
функция принимает на промежутке  2;0  , тогда здесь y  0 , поэтому функция
2
достигает наибольшего значения при тех же x , что и y . Найдем

y 2  36  4  x 2   96 4  x 2  64 x 2  4 4 4  x 2  3x
Тогда наибольшее значение y 
  400  400 .
2
400  20 при 4 4  x 2  3x  0  x  1,6 .
Наименьшее значение функция принимает на  0;2 при x  2 . Оно составляет y  16.
Ответ:  16;20.
36. Остаток числа при делении на 5 зависит от его последней цифры, следовательно,
достаточно определить последнюю цифру 310033100333100  810088100888100 . Последняя
цифра 3100 совпадает с последней цифрой 33100 , а также с последней цифрой 333100
. То же можно сказать про 8100 , 88100 , 888100 . Будем, следовательно, определять
последнюю цифру у 3100331003331000  810088100888100  3300  8300 .
Нарисуем таблицу
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
3n
3
9
27
81
243
729
2187
6561
…
Последняя цифра 3n
3
9
7
1
3
9
7
1
…
Как видно из таблицы, последние цифры 3n повторяются с периодом 4, причина
этого в том, что 3n  3n1  3 , следовательно, последняя цифра 3n однозначно определяется
последней цифрой 3n 1 . Так, если 3n 1 оканчивается на 1, то 3n оканчивается на 3, если
3n 1 оканчивается на 3, то 3n оканчивается на 9 и т.д.
Раз последние цифры чередуются с периодом 4, 3300 должно иметь ту же
последнюю цифру, что и, например, 34 . Следовательно, 3300 оканчивается на 1.
Аналогично определяется последняя цифра 8300 . Последние цифры степеней
восьмерки чередуются следующим образом: 8, 6, 8, 6, … В результате делаем вывод, что
8300 оканчивается на 6.
Итого, последняя цифра 3300  8300 равна 1 + 6 = 7. Окончательный ответ – остаток
при делении на 5 числа 310033100333100  810088100888100 равен двум.
Ответ: 2
37. Преобразуем выражение, выделив в нем полные квадраты:
3a 2  4ab  4b 2  4a  3 
 4b 2  4ab  a 2  2a 2  4a  2  1 
 (2b  a ) 2  2(a  1) 2  1
Выражение не может оказаться меньше 1, т.к. первые два слагаемых являются
точными квадратами и, следовательно, оба неотрицательны. При a = –1, b = 1/2 значение
выражение равно как раз 1, в результате мы получаем ответ: наименьшее значение
выражения равно 1.
Ответ: 1
38. Перенесем знаменатель в правую часть. Следует не забыть проследить, чтобы в
ответе не оказалось корней, при которых знаменатель равен нулю. Итак:
x 1 1  2 x 1 1 .
В зависимости от возможных расположений x относительно точек 1 и –1 раскрываем
внутренние модули:
x  1
( x  1)  1  2 (1  x)  1 
1  x  1
( x  1)  1  2 (1  x)  1 
1 x
( x  1)  1  2 ( x  1)  1 
 x 2  2 x
x  2 x 
x  2x2
x  2x 
Правый модуль в текущем
интервале  ;1 всегда
раскрывается одинаково.
Левый модуль раскрывается
по-разному в зависимости от
двух случаев:
0 x
Полученное уравнение,
очевидно, имеет
единственно решение: x = 0.
Решение находится как раз в
интервале [–1; 1]
x  2:
 x  2  2( x)  x  2
ответ не лежит в интервале
 ;2
2  x:
x  2  2( x)  x   2 3
ответ не лежит в интервале
[–2, –1]
Левый модуль в текущем
интервале 1; всегда
раскрывается одинаково.
Правый модуль
раскрывается по-разному в
зависимости от двух
случаев.
x  2:
x  2(2  x)  x  4 3
ответ как раз лежит в
интервале [1; 2]
2  x:
x  2( x  2)  x  4
ответ как раз лежит в
интервале 2;
Итого после разбора случаев нашлось три ответа: 0, 4/3, 4. Ответ 0 отпадает, т.к.
при x = 0 знаменатель x  1  1  0 .
Ответ: 4/3, 4
Ответ: 4, 4/3
39. Утверждение, что функция f(x) определена при всех x > 0, можно
переформулировать иначе: подкоренное выражение неотрицательно при всех x >
0.
Подкоренное выражение является квадратным трехчленом относительно x во всех
случаях кроме a = –1. При a = –1 коэффициент при x 2 оказывается равным 0, и этот случай
следует рассмотреть отдельно. Если a = –1, то f ( x)  x  2 , отсюда видно, что f(x)
определена при всех x > 0, следовательно, a = –1 входит в ответ.
Пусть теперь a  1 , тогда подкоренное выражение является квадратным
трехчленом, и мы можем перечислить обязательные условия его положительности при
x > 0:
1) старший коэффициент больше 0 (эквивалентно тому, что ветви параболы
направлены вверх)
2) значение в нуле неотрицательно (если бы значение в нуле было отрицательно,
то значение при некотором достаточно малом x > 0 тоже было бы
отрицательно)
Условие 1) равносильно тому, что старший коэффициент (a  1)  0  a  1 . Условие 2)
равносильно тому, что при подстановке x = 0 подкоренное выражение неотрицательно,
т.е.  (a  1)  0  a  1 .
Оба условия вместе дают результат, что 1  a  1. Итак, никакие другие a не могут
подходить в качестве ответа. Проверим, что при любом 1  a  1 функция f(x)
определена для x > 0.
Найдем местоположение вершины параболы – графика квадратного трехчлена.
 (a 2  2)
a2  2
x0  

 0 при 1  a  1.
2(a  1)
2(a  1)
Следовательно, при 1  a  1 парабола выглядит примерно так, как показано на
рисунке:
Из рисунка видно, что все значения квадратного трехчлена при x > 0
положительны. Следовательно, для всех значений параметра a на интервале (–1; 1]
функция f(x) определена при x > 0. В ответ следует включить случай a = –1, рассмотренный
отдельно в самом начале.
Ответ: [-1..1]
Примечание. Коэффициенты квадратного трехчлена подобраны таким образом, что его
дискриминант имеет простое выражение: D  a 4 . Заметив это, можно решить задачу
другим способом.
40.
Условие задачи изображено на рисунке:
Обозначим длину отрезка BC за a. Т.к. ABCD параллелограмм, то AD = a. Найдем
длины BP и PC.
1) BP + PC = a
2) BP / PC = 1/3
Решаем эту систему и находим, что BP = 1/4 a, PC = 3/4 a. Аналогично находим длины AQ и
QD: AQ = 2/5 a, QD = 3/5 a.
В трапеции ABPQ точка M лежит на середине боковой стороны AB, при этом
MO||AQ, т.к. MN – средняя линия в параллелограмме ABCD. Следовательно, MO –
средняя линия в трапеции ABPQ и ее длина может быть вычислена по формуле:
MO = (BP + AQ) / 2 = (1/4 a + 2/5 a) / 2 = 13/40 a.
Аналогично, ON – средняя линия трапеции QPCD и ее длина вычисляется по
формуле ON = (PC + QD) / 2 = (3/4 a + 3/5 a) / 2 = 27/40 a.
Итак. MO / ON = 13 / 27.
Ответ: 13/27
41. Квадратный трехчлен из условия задачи имеет корни x1 и x2 в том и только в том
случае, когда x1 x2  k , x1  x2  2006 (см. теорема Виета). Различные целые
положительные x1 и x2 с суммой 2006 перечислены в списке:
1)
2)
3)
…
x1 = 1,
x1 = 2,
x1 = 3,
x2 = 2005
x2 = 2004
x2 = 2003
1002)
x1 = 1002,
x2 = 1004
следующая пара в списке x1 = 1003, x2 = 1003 не подходит, потому что в ней x1 = x2 , а все
последующие начиная с x1 = 1004, x2 = 1002 не подходят, потому что в них не получается
новых произведений k  x1 x2 .
Итого, найдено всего 1002 пары корней x1 , x2 дающих в общей сложности 1002
значения k  x1 x2 .
Ответ: 1002
42. Обозначим через N количество яблок у Василия, через f – количество друзей
Василия, которое пришло к нему вначале, через p – количество яблок, которое
досталось каждому другу вначале. Мы можем написать три уравнения:
1) N = fp
пока не подошли два последних друга
2) N = (f + 1) (p – 15)
до того как подошел последний друг
3) N = (f + 2) (p – 15 – 9)
после того как подошли все друзья
Преобразуем все три уравнения, раскрыв скобки:
1) N = fp
2) N = fp – 15f + p – 15
3) N = fp – 24f + 2p – 48
Внимательный взгляд на полученное позволяет сделать вывод:
1) – 15f + p – 15 = 0
2) – 24f + 2p – 48 = 0
Из первого уравнения удается найти p = 15f + 15, подставляем это во второе уравнение,
– 24f + 2 (15f + 15) – 48 = 0  6f – 18 = 0  f = 3. Итак, вначале к Василию пришло 3
друга, т.е. всего у него в конце было 5 друзей.
Найдем количество яблок N у Василия: p = 15f + 15 = 60, окончательно N = fp = 60 3
=180
Ответ: 180, 5
43. Скорость восстановления разметки равна 6 км/ч, за восьмичасовой рабочий день
можно восстановить 6  8  48 км дорожной разметки. Пусть города находятся на
некотором меньшем расстоянии, например 48 – x км. Начало рабочего дня всегда
начинается с восстановления разметки, по времени восстановление никогда не
будет занимать больше (48 – x) / 6 часов = 8 – x/6 часов. Значит, после
восстановления разметки у рабочих есть еще минимум x/6 часов для строительства
нового участка дороги. Если скорость строительства дороги u (не будем ее
вычислять, хотя это возможно, раз нам дано, что за первый рабочий день
построено 2 км), то каждый день строится минимум ux/6 километров. Ну а раз
каждый день строится как минимум некоторое определенное количество
километров, в конце концов, дорога будет построена.
Результат. Если расстояние между городами меньше 48 км, то между ними будет
построена дорога. Если расстояние между ними больше 48 км, дорога никогда не будет
построена, потому что рабочего дня не хватает даже на то, чтобы восстановить разметку
на участке дороги между городами.
Ответ: 48
44.
Условие задачи изображено на рисунке:
Проведем BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD
параллелограмм и KD = BC = 2 . AD – секущая параллельных прямых BK и CD,
следовательно  AKB =  ADC = 30°. Далее найдем длину отрезка AK = AD –
KD = 2 2  2  2 .
Боковую сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника



ABK:
. При этом  ABK = 180° –  AKB –  BKA = 180° – 30° – 15° =
sin  sin 
135°. И sin 135° =
2 2 . Теперь можно найти AB, оно получается равным 1.
Ответ: 1
45. Для решения данной задачи необходимо найти все пары целых чисел (x; y), которые
удовлетворяют условию или показать, что таких пар не существует.
Так как левая часть равенства можно разложить на множители, то резонно это сделать:
(x - y)(x + y) = 93;
Правая часть имеет восемь делителей: 1, 3, 31, 93, -1, -3, -31, -93, а потому может быть
разложено на два целых множителя лишь восемью способами. А значит и уравнение
имеет решения в восьми случаях:
Решив каждую из систем, получаем восемь пар решений исходного уравнения (47; 46),
(47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).
Ответ: пары чисел (x; y) равны (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (17; 14), (-17; -14).
46. В данном уравнение левая часть явно на множители не разлагается. Однако, мы можем
к обоим частям добавить целые числа, чтобы разложить левую часть на множители:
x(y + 3) - 5y = -3;
x(y + 3) - 5y -15 = -18;
(x - 5)(y + 3) = 18.
Получаем следующие системы:
Решая их, получаем следующие ответы (x; y) - (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (4; -1), (3; 6), (14; -5), (8; -9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).
Ответ: пары (x; y) равны (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (-4; -1), (3; 6), (14; -5), (8;
-9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).
47. Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на
7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a1 = 105, am = 994.
Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство
прогрессии и получаем:
994 = 105 + 7(m - 1).
Откуда m = 128.
А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S128 =
(105 + 994) · 128 / 2 = 70336.
Ответ: 70336.
48. Выразим L, M, N через первый член геометрической прогрессии A и знаменатель q:
L = Aql - 1.
M = Aqm - 1.
N = Aqn - 1.
Тогда L m-nM n-lN l-m =
= Amq(l - 1) m / Anq(l - 1) n · Anq(m - 1) n / Alq(m - 1) l · Alq(n - 1) l / Amq(n - 1) m =
qlm / qln · qmn / qml · qnl / qnm = 1.
Что и требовалось доказать.
49. Согласно условию, запишем первые два числа как a и aq. Т.к. эти два числа и 12
составляют геометрическую прогрессию, то a2q2 = 12a.
Откуда a = 12 / q2.
Т.к. числа a, aq, 9 составляют арифметическую прогрессию, то 2aq = a + 9.
Или a(2q - 1) = 9.
Подставляем a из предыдущего суждения и получаем:
12(2q - 1) = 9q2.
3q2 - 8q + 4 = 0.
Решения данного квадратного уравнения q1 = 2, q2 = 2/3.
Зная знаменатель находим тройки чисел. При q = 2 это числа 3, 6, 12. При q = 2/3 это числа
27, 18, 12.
Ответ: 3, 6, 12 и 27, 18, 12.