C:\Documents and Settings\V.Shepelev\Desktop\Кин.гарм.кол

Document1
Кинематика гармонических колебаний.
Среди многообразия механических колебаний можно выделить движение материальной
точки, которое является прямолинейным (т.е. происходит вдоль прямой линии ),
периодическим, и для которого зависимость координаты положения от времени x(t)
выражается аналитически через простейшие периодические функции, а именно
x(t )  M  Sin( B  t )  L  Cos( B  t ),
где М, L, и В – постоянные величины (числа). Можно показать, что эта же зависимость
может быть записана по-другому:
x(t )  A  Sin( B  t  C )
или
x(t )  A  Cos( B  t  D) ,
причем A, C и D – тоже постоянные величины, которые связаны с величинами М и L
соотношениями
M  A  CosC
,
L  A  SinC
для первой и
M   A  SinD
,
L  A  CosD
для второй зависимостей. В этом рекомендуется убедиться в качестве задания. В физике
механическое движение материальной точки, для которого зависимость координаты от
времени
описывается
одним
из
трех
приведенных
соотношений
называется
гармоническим колебательным движением, или просто гармоническим колебанием.
Анализ гармонического колебания с целью выяснения физического смысла величин А ,В
и С лучше всего проводить, используя зависимость
x(t )  A  Sin( B  t  C ) .
Х Из вида зависимости сразу же следует, что наибольшее
значение координаты равно ( +А ), наименьшее – (-А ), т.е.
Z
М
А
длиною 2А, в середине которого находится начало системы
О
Y
-А
материальная точка М движется вдоль отрезка прямой
отсчета, а координатная ось ОХ направлена вдоль этого
отрезка (рис. 1 ).
Рис. 1.
Таким образом, величина А характеризует размах колебаний или наибольшее отклонение
материальной точки от среднего положения при колебаниях. Эту величину обозначают
через Хm и называют амплитудой колебаний или амплитудным значением координаты.
Выяснение физического смысла постоянных В и С
нужно было бы проводить на
конкретном примере гармонического колебания, однако здесь мы сталкиваемся с двумя
большими трудностями. Первая связана с тем, что при наблюдении различных
1
Document1
колебательных процессов у нас пока нет оснований утверждать, что колебания являются
гармоническими. Это можно предполагать, но очень трудно доказать. Вторая трудность
связана с уровнем освоения математики. Дело в том , что первое знакомство и
последующее освоение тригонометрических функций по школьной программе приводит к
достаточно
устойчивому
представлению
о
том,
что
в
качестве
аргумента
тригонометрической зависимости всегда используется величина некоторого угла.
В связи с этим необходимо сделать несколько замечаний. Принято считать, что о
функциональной зависимости между двумя переменными величинами ξ (кси) и ζ (дзета)
можно говорить только тогда, когда известно правило или закон, по которому каждому
значению аргумента ξ (допустимому) ставится в соответствие определенное значение
функции ζ.. Это означает, что одному числу ставится в соответствие другое число.
Другими словами, ответ на вопрос, что такое ξ, или что такое Sinξ (или что такое ζ ),
может быть только один – это числа.. И сразу же встает проблема – как устанавливается
это соответствие между двумя числами в случае, когда эта зависимость синусоидальная.
Вот тут существует несколько вариантов. Соответствие может быть задано алгебраически
(в виде формулы). Для функции Sinξ в математических справочниках можно встретить
формулу
Sin   
3
5

7


1 2  3 1 2  3  4  5 1 2  3  4  5  6  7
 ...   (1) n 
n 0
 ( 2 n 1)
1  2  3  ...  2n  1 .
Ничего страшного в ней нет кроме того, что непонятно , когда в этой сумме из бесконечно
большого числа слагаемых можно остановиться. И уж совершенно не ясно, откуда эта
формула взялась. График этой зависимости представить себе может только человек с
очень богатым воображением.
Поэтому в школьном курсе математики поступают иначе. Вначале совершенно
естественным образом тригонометрические
А
c
В
b
Рис. 2.
a
с
Sin A =
Sin B =
а
С
0
А
?
2
b
с
функции
вводятся
через
соотношения
сторон
прямоугольного треугольника. При этом
величину ξ приходится наделять свойствами
угла. Именно поэтому появляются понятия
о прилежащих и противолежащих катетах (рис.2 ). Однако в треугольнике достаточно
просто найти значения тригонометрических функций только для углов 300 = π/6,
450 = π/4, и 600 = π/3. А если углы больше, чем 900=π/2 ? Что делать тогда? Выход есть!
2
Document1
Вводится ещё один способ, который дает возможность определить тригонометрические
функции не только для острых , но и для тупых углов. (рис. 3 ).
ξ
c
a
c
a
c
c
c
a
a
a
c
ξ
π
ξ
0
ai
Sin ξ = с
i
a
( i = 1,2,3,... )
Рис. 3.
Действительно, если построить заданный угол, затем провести перпендикуляр к одной из
сторон до пересечения с другой стороной или с её продолжением, то получится
прямоугольный треугольник. Если теперь определить отношение длин противолежащего
катета к гипотенузе то, получим число, величина которого не зависит от способа
построения перпендикуляра.
Однако, если необходимо найти значение синуса для чисел, превышающих π (т.е. для
углов больших 3,14 рад или 180О ) и этот метод не подходит.
Для решения проблемы используются длины
отрезков, связанных с окружностью
единичного радиуса .
tg
ξ
Sin
ξ
∞
ξ = ξ 0 + 2n
0
0
∞
ξ
π
( n = 0, 1, 2, 3, ... )
ξ0
2π
ξ0
ctg
ξ
Sin ξ = Sin ( ξ 0 + 2n
π ) = Sin ξ 0
R=1
Cos
ξ
Рис. 4.
Действительно, если принять, что величина аргумента синуса ξ совпадает с величиной
центрального угла в радианах, отсчитываемого от горизонтального диаметра окружности
единичного радиуса против часовой стрелки, как показано на рис. 4 (в этом случае угол
считается положительным). Тогда для угла ξо в пределах от 0 до 2π значения
3
Document1
соответствующих тригонометрических функций будут представлены отрезками прямых
вдоль горизонтального и вертикального диаметров. Длины отрезков отсчитываются от
центра окружности до указанных на рисунке точек. Если учесть, что произвольный угол ξ
всегда может быть представлен в виде
, где n = 0, 1, 2, … ,
то предложенным методом можно находить значение синуса для любых числовых
аргументов, причем как положительных, так и отрицательных. При использовании
единичной окружности становится очевидным, что гармонические функции синус и
косинус являются периодическими с периодом 2π.
После всех сделанных замечаний из области математики можно вернуться к анализу
зависимости координаты от времени в случае гармонического колебания с физической
точки зрения. Необходим пример движения, которое с достаточной очевидностью
является
экран
гармоническим
решения
проблемы
называемой
двигатель
колебанием.
Для
воспользуемся
так
кинематической
моделью
гармонического колебания. Представьте себе
вращающийся на оси электродвигателя диск, на
стойка котором укреплена стойка (рис.5). Сильный
световой поток от удаленного источника создает
свет
Рис. 5.
на экране тень от устройства. На экране видно
перемещающуюся вверх и вниз тень стойки в то время, как остальная часть тени
неподвижна.
Проследим за движением стойки на диске и ее тени на экране. Если считать, что диск
вращается равномерно с угловой скоростью ω, то стойка движется по окружности радиуса
R с постоянной по величине линейной скоростью v = ωR и центростремительным
ускорением
стойки
на
В то же время тень
экране
совершает
колебания
X
X
вертикальном направлении. Очевидно ( см.
R
рис. 6), что движение точки по окружности и
колебательное
движение
проекции
этой
2Xm = 2R
0
0
0
точки на вертикальный диаметр окружности
связаны между собой.
Рис. 6.
4
Document1
Через время t после начала движения угловая координата материальной точки,
движущейся по окружности, будет равна
где
- начальная угловая
координата. Если рассмотреть движение другой точки, которая является проекцией этой
первой на вертикальный диаметр, причем
вдоль вертикального диаметра направить
координатную ось OX, то зависимость координаты от x времени х(t) для обеих точек
будет иметь вид
R – радиус окружности, а ω – угловая скорость движения первой точки..
. Во-первых, зависимость является гармонической. Во-вторых, материальная точка,
движущаяся по вертикальному диаметру будет совершать гармонические колебания с
амплитудой Хm = R, а зависимость координаты от времени для неё имеет вид
.
Сравнение двух последних формул позволяет заключить, что численно В = ω, а С = φо. И
если для точки движущейся по окружности величины ω и φо имеют четкий физический
смысл, то по отношению к колеблющейся точке говорить о каких-то углах и угловых
скоростях не имеет никакого смысла.
Ситуацию можно прояснить, если вспомнить, что такие величины, как период процесса T
и частота процесса ν, для обеих точек
имеют
абсолютно одинаковый и понятный
смысл,
причем имеют место соотношения ,
.
Следовательно, если В = ω=2π, причем ν показывает число полных циклов колебаний за
одну секунду, то величина в 2π раз большая покажет число полных циклов колебаний за
2π (или за 6,28 ) секунд. Поэтому, анализируя колебания, эту величину называют круговой
частотой гармонических колебаний и обозначают через ω.
Теперь зависимость координаты от времени для точки, совершающей гармонические
колебания, в принятых (и, главное, понятных ) обозначениях, имеет вид
.
Остались величины
5
Document1
Чтобы
X
колебаний
X
v
понять,
какие
они
стороны
характеризуют,
процесса
нужно
проследить, как меняются в зависимости от
vx
времени координата, скорость и ускорение
vy
0
колеблющейся материальной точки. Для этого
y
0
0
есть две возможности.
Можно вернуться к
движению
точек,
двух
которые
рассматривались ранее. Из рис.7 следует, что
проекции векторов скоростей этих двух точек
Рис. 7.
на ось ОХ одинаковы, т.е.
.
Точно также (на рисунке этого не показано) можно убедиться, что одинаковы и проекции
векторов ускорения
Второй способ доступен только тем, кто знаком с понятием производная функции и
элементарными приемами дифференцирования. Действительно,
, и
6
Document1
В таблице 1 приводятся значения координат и проекций векторов скорости и ускорения
Таблица 1.
t
φ=ω·t
x(t)
vх(t)
0
0
0
Vm =ω·xm
0 < t < T/4
0< φ < π/2
0 < x(t) < Xm
T/4
π/2
Xm
0
T/4 < t < T/2
π/2 < φ < π
Xm > x(t) > 0
0 > vх(t) > -Vm
T/2
π
0
-Vm
T/2 < T < 3T/4
π < φ < 3π/2
0 > x(t) > -Xm
-Vm < vх (t) < 0
3T/4
3π/2
-Xm
0
3T/4 < t < T
3π/2 < φ < 2π -Xm < x(t) < 0
0
Vm > vх (t) > 0 0 > a x (t) > -a m
0 < vх (t) < Vm
T
2π
0
Vm
T < t < 5T/4
0< φ < π/2
0 < x(t) < Xm
Vm > vх (t) > 0
5T/4
π/2
5T/4 < t < 3T/2
π/2 < φ < π
3T/2
π
3T/2 < T < 7T/4 π < φ < 3π/2
7T/4
3π/2
7T/4 < t < 2T
3π/2 < φ < 2π
2T
2π
ах(t)
-a m =- ω2 ·xm
-a m < a x (t) < 0
0
0 < a x (t) < a m
am
a m > a x (t) > 0
0
0 > a x (t) > -a m
-a m =- ω2 ·xm
Xm > x(t) > 0 0 > vх(t) > -Vm -a m < a x (t) < 0
0
-Vm
0
0 > x(t) > -Xm -Vm < vх (t) < 0 0 < a x (t) < a m
am
0
-Xm
-Xm < x(t) < 0 0 < vх (t) < Vm a m > a x (t) > 0
Vm
0
0
Xm
0
для материальной точки, совершающей гармонические колебания.
7
Document1
для определенных моментов времени и о характере их изменения за некоторые
промежутки времени. Данные таблицы получены при условии, что
(такое
упрощение абсолютно не отражается на общности анализа). Это означает, что в
начальный момент времени колеблющаяся точка проходит среднее положение, двигаясь в
положительном направлении координатной оси
ОХ. На рис.8 показаны положения материальной
точки в разные промежутки времени и через
каждые четверть периода, считая от начального
момента. Однако, если проследить, как меняются
указанные величины не в зависимости от
времени, а в зависимости от величины
(т.е.
от значения аргумента синуса), то окажется, что
для любого колебательного процесса независимо
от значения момента времени и величины
Рис. 8.
периода,
одинаковым
значениям
соответствуют
величины
абсолютно
одинаковые состояния колебания.
Более того, в определенном смысле можно говорить о фазах процесса, причем для каждой
фазы характер изменения всех кинематических величин сохраняется (уместно вспомнить
о фазах Луны). Очень хорошо это показано на рис. 9. Приведенные на рисунке значения
,
0
4.71
когда точка находится в среднем положении и при
0
1.57
амплитудных отклонениях из среднего положения.
3.14
1.57
Из вышеизложенного с очевидностью следует, что
даже не зная
3.14
Рис. 9.
4.71
соответствуют моментам времени,
6.28
ни амплитуды, ни частоты, ни
периода колебаний (эти величины постоянны), мы
тем не менее, можем охарактеризовать состояние
движения,
если
известно
значение
величины
Название этой величины – фаза колебаний говорит само за себя. Знаем
фазу, значит знаем,
что происходит. Теперь ясно, что
- это начальная фаза
колебаний. Наш анализ гармонических колебаний успешно завершен. Таким образом,
особенностью движения, которое называется гармоническим колебанием, является то, что
8
Document1
все кинематические характеристики , т.е. координата положения, скорость и ускорение
зависят от времени по гармоническому закону
Здесь
Xm – амплитуда колебаний,
- фаза колебаний,
- круговая частота колебаний,
)
- начальная фаза колебаний. Нельзя не заметить, что фаза
гармонических изменений проекции скорости всегда на 1,57 =π /2 больше, чем фаза
изменения координаты, и на 1,57 =π /2 меньше, чем фаза изменений проекции ускорения.
Нельзя не заметить, что величина проекции ускорения прямопрпорциональна смещению
с обратным знаком
Это очень существенный момент нашего анализа. Это означает во-первых, что вектор
ускорения
направлен
всегда
в
среднее
положение,
а
во-вторых,
что
вектор
равнодействующей силы направлен так же, а ее величина пропорциональна смещению.
1,5
1
0,5
x(t)
0
v(t)
0
2
4
6
8
10
12
a(t)
-0,5
-1
-1,5
Рис.10.
На рис. 10 представлены примеры зависимостей координаты, скорости и ускорения для
гармонического колебания.
9