В - DynDNS

Глава II. Волны.
Процесс распространения колебания в пространстве называется волной (т.е.
периодически изменяющиеся во времени чередование максимумов и минимумов).
Вообще говоря, волна – это изменение состояния среды (возмущения),
распространяющееся в этой среде и несущее с собой энергию.
Выход
2.1. Виды волновых процессов.
Волны различаются ориентацией возмущения по отношению и направлению
распространения волны. Если возмущение направлено вдоль распространения волны,
то волна называется продольной. Если возмущение перпендикулярно направлению
распространения – поперечной.
Примером волн в первом случае служат звуковые волны в газах и жидкостях.
Эти волны называются также упругими, так как они возникают только в результате
сжатия и разряжения газов и жидкостей и не возникают при поперечных сдвигах
частиц, образующие эти среды. В атмосфере, кроме упругих звуковых волн,
существуют волны нескольких типов, различных по происхождению и характеру. К
ним относятся волны, образующиеся на границах двух воздушных слоев,
движущихся с различными скоростями и имеющих различные плотности и
температуру. Аналогичные движения происходят при движении воздушных масс
около гор. Реализуемые при этом упругие колебания являются, в частности, причиной
образования облаков различного вида. Примером поперечных волн являются
электромагнитные волны. К ним относятся световые волны, всего спектра,
радиоволны, тепловые волны, гамма излучение и т.п. Надо отметить, что от
физических свойств среды при одном и том же воздействии зависит какой вид волн
возникает. Так в газах и жидкостях упругие волны будут только продольными, а в
твердых телах при возникновении упругих сил при сжатии сдвиге существуют как
продольные, так и поперечные волны.
Необходимо отметить волны де-Бройля, или волны материи, связанные с любой
движущейся микрочастицей. В 1924 году физик де-Бройль выдвинул гипотезу, что
всем, без исключения, материальным частицам (электронам, протонам, атомам и пр.)
помимо корпускулярных свойств, присущи волновые свойства.
Несмотря на разнообразие природы волн, их волновая картина является
универсальной, т.е. они подчиняются практическим одним и тем же законам.
Основные законы, по мере изложения материала, будут нами изучаться.
Отметим здесь одно из важнейших свойств волновых процессов – это свойство
суперпозиции, т.е. независимость распространения разных волн одного вида друг от
друга.
Следует также подчеркнуть, что физические понятия волны дает возможность
рассматривать это явление как самостоятельное, что намного проще, чем изучать
поведение каждой частицы среды при волновом процессе отдельно. Так возможным
оказывается найти "простые" законы распространения волн в различных средах,
отражения от границ раздела сред, преломления, рассеяния от различных препятствий
и т.п.
Выход
2.2. Плоские волны.
Волна, все характеристики которой зависят от времени и одной координаты.
Такие волны называются плоскими. Примером могут служить волны в одномерной
81
среде (в струне, стержне, жидкости, заполняющей узкую трубу, и т. п.), в двухмерных
средах (например, на пластине) и трехмерных средах (плоские электромагнитные
волны в неограниченных изотропных средах).
Рассмотрим некоторую физическую скалярную величину s, характеризующую
волну, зависящую от времени t и одной координаты z декартовой системы координат.
Т.е.:
s  f ( z, t )
(2.1)
Это значит, что величина s в любой момент времени принимает постоянные
значения на системе параллельных плоскостей (z = const.), причем значения s на различных плоскостях, вообще говоря, различны. Следовательно, с течением времени
значения s на каждой из этих плоскостей меняются. Если зависимость s от z
представляет собой функцию с периодически изменяющимися максимумами и
минимумами, расположение которых различно в различные моменты времени, то
процесс, описываемый выражением (2.1), является волновым, а функция s описывает
плоскую волну.
Рассмотрим частный случай плоской волны, когда переменные значения z, t
входят в функцию f(z, t) через линейную комбинацию:
(2.2)
где k – волновое число;
 — круговая частота.
k,  - постоянные.
Выясним некоторые свойства плоской волны (2.2). Рассмотрим графики
функций s(z, t1) и s(z1, t), называемые соответственно пространственным и
временным профилем волны s. В первом случае получим:
(2.3)
s( z ,t1 )  F( kz   t1 )  F k z  t1 ,

где   - скорость распространения,
(2.4)
k
В частности, при t=0
s( z,0)  F (kz) .
(2.5)
Из сравнения выражений (2.З) и
(2.5) видно, что пространственный
профиль волны в момент времени t =
t1 отличается от профиля волны в
момент t=0 только смещением вправо
на расстояние t1 (рис. 2.I).
Рис. 2.1.
Во втором случае:
z 


s( z1 ,t )  F ( kz1   t )  F    t  1 
 


В частности, при z=0
(2.6)
s (0, t )  F ( t ).
(2.7)
Очевидно, что график функции (2.6)
точно воспроизводит график функции (2.7) с
опозданием на время
Рис. 2.2
z1

(рис. 2.2).
Таким образом, волна, описываемая
выражением (2.2), распространяется вдоль
оси z в сторону их положительных значений
со скоростью v. Аналогично можно
82
s  F (kz   t )
убедиться, что выражение
описывает плоскую
волну,
распространяющуюся вдоль оси z в направлении, отрицательных значений z
направлению этой оси, со скоростью v, определяемой выражением (2.4). Такие волны
называются бегущими.
Выход
2.3. Гармонические волны.
В теории волн особо важно представление о гармонической волне, т. е.
бесконечной синусоидальной волне, в которой все изменения состояния среды
происходят по закону синуса или косинуса, т.е.:
s  A cos( kz  t ) .
(2.8)
Величина А называется амплитудой волны. Это значение, которое s принимает
при наибольших отклонениях от положения равновесия. Основными параметрами
гармонической волны являются длина волны  — расстояние между двумя
максимумами или минимумами возмущения — и период Т — время, за которое
частицы среды совершают одно полное колебание. Бесконечная волна, таким
образом, обладает строгой периодичностью в пространстве и времени.
Связь между длиной волны и периодом определяется соотношением:

T
,
(2.9)

где  — скорость распространения волны.
Вместо периода Т часто пользуются частотой колебаний f, равной числу
колебаний в единицу времени:
f 
1
.
T
(2.10)
Из уравнений (2.9) и (2.10) получаем
f   .
(2.11)
Связь между длиной волны  и волновым числом k можно найти следующим

образом. Из выражения для скорости распространения волны   , k имеет
k
следующее значение:

.

Подставляя в (2.12) значение  из (2.11), получаем:

k
.
f
А круговая частота имеет привычное для нас значение
2

 2f .
k
T
(2.12)
(2.13)
Следовательно волновое число имеет следующее конечное выражение:
2f 2
k

.
(2.14)
f

Гармонические волны называются также монохроматическими, поскольку
колебания происходят с вполне определенной частотой. Интерес к гармонической
зависимости волны от времени обусловлен, во-первых, тем, что большинство
источников создают волны, зависимость которых от времени близка к
гармонической; во-вторых, почти любой немонохроматический процесс с
произвольной зависимостью от времени можно разложить в интеграл Фурье, т. е.
Представить как наложение гармонических колебаний; в-третьих, существует
83
удобный математический аппарат, позволяющий из уравнений, описывающих
волновые процессы, исключить время и тем самым существенно их упростить, в чем
мы с вами убедимся позднее, при изучении волнового уравнения для гармонических
волн.
Аргумент косинуса плоской гармонической волны называется фазой колебаний.
Понятие фазы введено для определения положения точки на волне. Фаза колебаний
зависит от выбора начала отсчета времени. Если отсчет ведется от момента, когда s
проходит через максимум, можно считать, что фаза равняется нулю. Если отсчет
вести с момента, когда s проходит, возрастая, через нуль, то фаза равна

. Одно и то
2
же значение фазы может соответствовать различным началам отсчета времени,
отстоящим друг от друга на целое число периодов. При фиксированном отсчете
времени фаза определена с точностью до целого кратного числа 2.
Бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью. В случае
гармонических волн эта скорость называется фазовой. Это скорость распространения
заданной фазы в пространстве, которую легко определить. Зафиксировав момент
времени t = t1 и точку z=z1, отметим, на какое расстояние dz переместится точка с
фазой kz1   t1  через время dt:
или
Отсюда получим выражение для фазовой скорости:
Результат показывает, что входившая в исходные уравнения для плоской волны
скорость распространения v является фазовой. Перемещение фазы не связано с
перемещением каких-либо материальных точек волны. Фаза — понятие
математическое, и поэтому фазовая скорость может принимать любые значения без
нарушения основных законов физики. Картина волны, движущейся вдоль оси z, не
изменится, если мы будем считать, что возмущение перемещается вдоль оси z с
фазовой скоростью vф1 или вдоль некоторой другой оси z' со скоростью vф2.
Выход
2.4. Волновое уравнение.
В теории волн большое значение имеет уравнение в частных производных
второго порядка
(2.15)
называемое волновым уравнением.
Легко убедиться, что функции F (kz   t ) и F (kz   t ) , описывающие
бегущие плоские волны, удовлетворяют уравнению (2.15). Действительно,
продифференцировав функцию F (kz—t) дважды по z и t, получим:
2F
 k 2 F kz   t , ,
2
z
2F
  2 F kz   t  .
t 2
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по аргументу kz — wt.
84
(2.16)
(2.17)
Подставив в уравнение (2.16) значение F" (kz - t), определенное из выражения
(2.17), получим волновое уравнение.
Уравнение (2.15) не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть
представлены функциями F(±kz - wt) или суперпозицией таких функций.
Наиболее общим аналитическим выражением для плоских волн,
распространяющихся вдоль какой-то произвольной оси z', является функция
(2.18)
где  — направляющие косинусы единичного вектора вдоль оси z',
удовлетворяющие условию:
(2.19)
 2  2   2  1
Легко убедиться, что функция (3. 18) является решением волнового уравнения
где  - оператор "набла" или оператор Лапласа.
Отсюда следует, что если какая-нибудь физическая величина s удовлетворяет
уравнению вида:
(2.20)
то можно с уверенностью утверждать, что процесс изменения величины s носит
характер плоской волны, распространяющейся вдоль определенного направления в ту

или другую сторону со скоростью   .
k
Для гармонических волн волновое уравнение можно существенно упростить,
применив метод комплексных амплитуд. Уравнение гармонической волны
s  A cos( kz  t ) можно представить следующим образом:
(2.21)
j z
Здесь Re – обозначение действительной части комплексного числа Ae .
Величина A  Ae jkz называется комплексной амплитудой гармонической волны
s  A cos( kz  t ) . Таким образом, если известна комплексная амплитуда некоторой
величины s, то мгновенное значение ее представляет собой действительную часть
произведения комплексной амплитуды на e  j t . В связи с простотой перехода от
комплексных амплитуд к мгновенным значениям волновое уравнение (2.20) можно
записать не для величины s, а для комплексной амплитуды. Смысл такой записи
состоит в упрощении волнового уравнения, так как в него не входят производные по
времени. Для этого подставим выражение (2.21) в уравнение (2.20) и получим
Взяв производную по t, сократив на е-jt и отбросив знак Re, будем иметь:
 2 A  k 2 A  0
(2.22)
Мы получили уравнение, не зависящее от времени. Оно называется однородным
волновым уравнением Гельмгольца относительно комплексной амплитуды
гармонической волны.
Уравнение (2.22) описывает процесс распространения плоской гармонической
волны в однородной изотропной среде. Процесс распространения волн в присутствии
источников колебаний или каких-либо внешних сил описывается неоднородным
волновым уравнением Гельмгольца:
85
2 A  k 2 A  f z 
(2.23)
где f (z)—функция, характеризующая внешние воздействия.
При описании волн в реальных средах с учетом поглощений или в
диспергирующих средах волновое уравнение дополняется некоторым линейным
членом, зависящим от конкретных условий распространения волны в данной среде. В
неоднородных средах, свойства которых зависят от координат, волновые процессы
описываются волновым уравнением вида (2.23), в котором величина k является
функцией координат. Всевозможные нелинейные эффекты, возникающие при
возбуждении в среде сильных полей, описываются неоднородным волновым
уравнением, правая часть которого представляет собой сумму некоторых линейных
операторов. Итак, любая задача по определению величин, характеризующих волновой
процесс в различных средах, сводится к получению того или иного волнового
уравнения, его решения и анализа полученных результатов.
Выход
2.5. Однородные и неоднородные волны.
Одной из важнейших характеристик волн является вид поверхностей равных
фаз, т. е. поверхностей, у которых в данный момент времени фазы в любой точке
одинаковы. Эти поверхности называют фронтом волны.
Форма фазовой поверхности зависит от условий возникновения и
распространения волн. У плоских волн поверхности равных фаз представляют собой
плоскости. Гармоническая волна, описываемая уравнением
, где , k,
—постоянные, является бегущей волной: во всех точках плоскости z=const значения
амплитуд и фаз одинаковы. Плоские волны, у которых плоскости равных амплитуд и
фаз совпадают, называются однородными плоскими волнами. При некоторых
определенных условиях в плоской гармонической волне плоскости равных амплитуд
и фаз могут не совпадать. Такие волны называются неоднородными плоскими
волнами. Они играют большую роль при полном отражении. Возникают
неоднородные плоские волны при распространении в сложных оптических системах
и неоднородных средах. В настоящее время вопросы, связанные с поведением
неоднородных плоских волн, весьма актуальны в связи с развитием интегральной и
планарной оптики. Не задаваясь пока вопросами возникновения и поведения таких
волн, выясним условия их существования. Для этого рассмотрим одно из частных
решений волнового уравнения
, имеющее вид
A  Ce jk x  y  x 
(2.24)
где С—постоянная; , ,  -коэффициенты, удовлетворяющие соотношению
 2  2   2  1 (2.19). Если  —вещественные числа, удовлетворяющие
соотношению  2  2   2  1 (2.19), то функция (2.24) является однородной плоской
волной. Действительно, в этом случае при введении новой координаты z' с помощью
соотношения z  x   y  z выражение (2.24) принимает вид A  Ce jkz  , и,
следовательно, волна:
.
(2.25)
является однородной плоской волной, распространяющейся вдоль оси z'.
Если среди чисел , ,  удовлетворяющих соотношению  2  2   2  1 (2.19),
есть хотя бы одно комплексное число, то волну (2.24) уже нельзя привести к
однородной плоской волне (2.25). Положим      j ,      j ,      j  ,
86
где  ,  ,   - действительные, а  ,  ,   - мнимые части. Тогда выражение (2.24)
примет вид:
Очевидно, что у такой волны поверхности равных фаз определяются выражением:
(2.26)
а поверхности равных амплитуд – выражением:
(2.27)
Плоскости (2.26) и (2.27) взаимно перпендикулярны, т.к. из условия (2.19) следует,
что             0 .
Выход
2.6. Векторные волны. Поляризация.
Если предположить, что некоторая векторная величина s (напряженность
электрического или магнитного поля, скорость и т. д.) изменяется в пространстве и во
времени по закону:
(2.28)
s  F kz   t  ,
то очевидно, что функция (2.28) описывает плоскую векторную волну. В зависимости
от ориентации вектора s относительно направления распространения волны z
векторные волны могут быть продольными и поперечными. Векторные волны, так же
как и скалярные, описываются волновым уравнением (2.22). Описание продольных
векторных волн ничем не отличается от описания скалярных волн, поскольку вместо
вектора s можно рассматривать его проекцию на ось z. Поперечные векторные
волны отличаются своим описанием от скалярных и продольных векторных волн.
Поговорим о поляризации волны, рассмотрим вопрос об ориентации векторов
поля при заданном направлении распространения волны. Плоскость, проведенная
через вектор s и вектор, совпадающий с направлением распространения, называется
плоскостью поляризации. Если, например, вектор s колленеарен (векторы
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных
прямых) оси х, то плоскость поляризации есть плоскость х0z. При этом говорят, что
волна поляризована в плоскости х0z. Если вектор s, изменяясь по абсолютной
величине, не изменяет своего направления в пространстве, то поляризация называется
линейной.
Запишем векторное волновое уравнение Гельмгольца для комплексной
амплитуды s вектора s:
 2 s  k 2 s  0 .
(2.29)
Для одномерной волны, распространяющейся вдоль оси z, уравнение (2.29)
принимает вид:
d 2 s
 k 2 s  0 .
dz 2
(2.30)
Для случая линейной поляризации, когда векторs не изменяет своего
направления в пространстве (т. е. если в выражении комплексной амплитуды s  a s
единичный вектор а, указывающий направление, постоянен), уравнение (2.30)
является скалярным волновым уравнением Гельмгольца, решение которого
запишется в виде
s  a s1e jkz  se jkz ,
87
где s1  s1e j , s2  s2e j - произвольные комплексные постоянные.
Взяв действительную часть выражения s e  j t , получим
1
2
sa
(2.31)
Формула (2.31) описывает наложение двух плоских однородных гармонических волн
с амплитудами s1 и s2 и начальными фазами 1 и 2 распространяющихся в
противоположных направлениях z и -z. Следовательно, любую плоскую векторную
волну, распространяющуюся вдоль оси z, можно записать в виде:
s  a s1 coskz   t    или s  a s1e jkz .
Рассмотрим две волны, распространяющиеся в одном направлении, но
поляризованные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях х0z и у0z (рис. 2.З).
Пусть
эти
волны
различаются
начальными
амплитудами и фазами. Их
комплексные
амплитуды
запишутся соответственно в
виде:
s1  x0 s1e jkz ; s2  y0 s2 e jkz ,
Рис. 2.3
где s1  s1e j , s2  s2e j .
1
2
При сложении этих волн
образуется поле с комплексной амплитудой:
s  s1  s2  x0 s1  y0 s2 e jkz ,
s  x0 s1 coskz   t  1   y0 s2 coskz   t   2  .
или
(2.32)
Для случая, когда начальные фазы волн совпадают 1  2    , выражение
(2.32) принимает вид:
s  x0 s1  y0 s2 coskz   t     x0sm coskz   t    ,
(2.33)
где x0  x0 cos   y 0 sin ; tg 
s2
; sm  s12  s22 - полная амплитуда волны.
s1
Из выражения (2.33) видно, что суммарный вектор s не изменяет своего
направления в пространстве. Следовательно, суперпозиция двух волн, линейно
поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и совпадающих по фазе
во времени, дает линейно поляризованную волну. Плоскость поляризации суммарной
волны составляет угол  с плоскостью х0z (рис. 2.4). Складывая волны с различными
амплитудами s1 и s2, можно получать волны, поляризованные во всевозможных
плоскостях, проходящих через ось z.
Рассмотрим суперпозицию
поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях волн с равными
амплитудами и фазами, различающимися

j 

на  , т. е. s1  s1e j , s2  s 2 e 2 . Тогда
1
1
2
Рис. 2.4
выражение для суммарной волны (2.32)
можно записать в следующем виде:
s  s1x0 coskz   t  1   y0 sin kz   t  1  .
(2.34)
88
Соотношение компонент sy и sx в этом случае не остается постоянным в пространстве
и времени. Действительно, tg 
sy
sx
 tg kz   t  1  , т. е. угол наклона оси х' к оси х
(см. рис. 2.4)    t  kz  1 . Очевидно, что при фиксированном значении
координаты z вектор s с течением времени будет вращаться с угловой скоростью 
вокруг направления распространения волны. Относительно наблюдателя, смотрящего
в направлении распространения волны, вектор s будет вращаться против часовой
стрелки, так как с течением времени угол линейно уменьшается (рис.2.5).
При фиксированном моменте времени
t=const угол  линейно возрастает по закону
kz с увеличением координаты z, изменяясь
на 2 на расстоянии . Таким образом,
вектор s в момент t=const равномерно
поворачивается с увеличением z в
направлении от x0 к y0 (по часовой стрелке
относительно направления zo) и делает на
расстоянии  один оборот. При этом концы
вектора s, относящиеся к различным
Рис. 2.5
точкам
оси
z,
расположены
на
правовинтовой круговой спирали (рис. 2.6).
Такая волна представляет собой волну круговой поляризации с левым
направлением вращения.
Если рассматривать суперпозицию волн с
равными амплитудами и фазами (рис.2.6),

отличающимися на
, то вместо выражения
2
Рис. 2.6
(2.34) будем иметь:
s  s1x0 coskz   t  1   y0 sin kz   t  1  . (2.35)
У этой волны круговой поляризации в плоскости
z=const вектор s равномерно вращается в направлении от x0 к y0 , т. е. по часовой
стрелке относительно наблюдателя, так как с течением времени угол  возрастает, а в
момент времени t=const концы вектора расположены на левовинтовой круговой
спирали. Такая волна называется волной круговой поляризации с правым
направлением вращения.
Рассмотрим случай распространения линейно поляризованных волн с
различными начальными амплитудами и фазами. Пусть вдоль оси z распространяются
две плоские волны:
s1  x 0 s1 coskz   t   1 ; 
(2.36)
.
s 2  y 0 s 2 coskz   t   2 
Из выражений (2.36) видно, что вектор поля s  s1  s2 суммарной волны имеет
две проекции sx и sy, причем в плоскости z=0
(2.37)
Рассмотрим величины sx и sy как координаты точки на плоскости х0у. Плотность
потока мощности такой волны пропорциональна сумме s12  s22 .
Исключив из выражений (2.37) время с помощью соотношений
1   t   ; и 2  1   , после элементарных преобразований получим:
89
Это равенство представляет собой уравнение эллипса, повернутого относительно
координат х и у на некоторый угол. Таким образом, в общем случае годографом
вектора поля плоской монохроматической волны является эллипс, называемый
поляризационным эллипсом. Внутри этого эллипса вектор s вращается с
периодически изменяющейся скоростью, причем полный оборот происходит за
период несущей частоты. Волна такого типа называется волной эллиптической
поляризации.
Частным случаем волн эллиптической поляризации являются волны
круговой и линейной поляризации. Поляризационный эллипс этих волн вырождается
в окружность или прямую линию. Для количественной характеристики поляризации
волны пользуются геометрическими параметрами
эллипса (ориентацией и
направлением вращения вектора s).
Форму эллипса характеризуют величиной,
называемой
коэффициентом эллиптичности (r),
величина которого определяется по формуле r 
b
,
a
где b, а – соответственно малая и большая полуоси
эллипса. Величина r считается положительной, если
волна правополяризованная, т. е. конец вектора s
обходит эллипс по часовой стрелке при наблюдении
вдоль направления распространения, и отрицательной
при левополяризованной волне. Поскольку r  1 ,

 
удобно
ввести
угол   arctg r    a   ,

4
4
называемый углом эллиптичности, абсолютная
величина которого однозначно определяет форму эллипса, а знак указывает направление вращения вектора поля.
Ориентация поляризационного эллипса определяется углом  между большой
осью эллипса и осью абсцисс выбранной прямоугольной системы координат.
Очевидно, что значения угла  ограничиваются пределами 0     (см. рис. 2.7).
Параметры поляризационного эллипса являются важными характеристиками
эллиптически поляризованной волны, поскольку мощность принимаемого сигнала
сильно зависит от параметров и ориентации относительно друг друга
поляризационных эллипсов принимаемой волны и принимающего устройства.
Рис. 2.7
Выход
2.7. Цилиндрические и сферические волны.
Волновому уравнению могут удовлетворять волны различных типов. Широкое
практическое применение находят цилиндрические и сферические волны.
Рассмотрение большого количества радиофизических задач сводится к изучению
поля, описываемого одной составляющей вектора s. Это соответствует случаю
линейных токов или постоянного в пространстве направления вектора поляризации,
случаю анизотропии, создаваемой магнитным полем, направленным по одной из
координатных осей, и т. д. Такие явления хорошо описываются цилиндрическими
волнами.
90
В теории распространения волн, как правило, надо учитывать конечную
удаленность источника волн как от приемника, так и от всевозможных препятствий.
Классической и простейшей задачей такого рода является задача о поле точечного
излучателя, расположенного на конечном расстоянии от препятствия, иными словами
— задача о распространении сферической волны.
Для описания цилиндрических волн удобно пользоваться цилиндрической
системой координат. Т.е. координатные поверхности: круговые цилиндры с осью
вращения 0z, плоскости, перпендикулярные оси 0z и полуплоскости, проходящие
через 0z рис. 2.8.
,, z
Цилиндрические координаты
связанны с
декартовыми
координатами
х,
у,
z
формулами
преобразования: х   cos  , y  sin , z  z , где 0     ,
0    2,
Уравнения
координатных
  z  .
поверхностей
соответственно
в
прямоугольной
и
цилиндрической системах имеют вид:
x2  y 2  z 2   2 ,
  const
Рис. 2.8
y
 tg ,
x
z  const ,
  const
z  const
Волновое уравнение
для функции s(x, у, t), не зависящей от z,
в цилиндрической системе координат принимает вид:
(2.38)
Для частного случая, наиболее часто встречающегося в практике, когда функция
s не зависит от азимутального угла , уравнение (2.38) запишем в виде:
2
2
2s     1  
s    2 s     2 s
   
  
 
 0.
(2.39)
t 2  k         t 2  k   2
Одним из частных решений уравнения (2.39) является:
F  
s ,t  
t   ,
 
где  — скорость распространения волны вдоль направления, перпендикулярного к
оси z. В данном случае поверхность равной фазы удовлетворяет уравнению

t   const  t0 или    t  t0  и представляет собой поверхность с круговым

сечением, ось которой совпадает с осью z, т. е. с координатной поверхностью
коаксиальных цилиндров. В отличие от плоской волны в цилиндрической волне
амплитуда обратно пропорциональна корню квадратному от расстояния .
Для описания сферических волн пользуются сферической системой координат.
Координатные поверхности: сферы с центром 0 и радиусом , круговые конусы с
вершиной 0, образующие которых составляют с осью вращения 0z угол , и
полуплоскости, проходящие через 0z под углом  к плоскости х0z. Сферические
координаты  ,  ,  связанны с декартовой следующими соотношениями:
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos , где 0  r  , 0     , 0    2 рис 2.9.
Координаты часто называют долготой и дополнением широты (зенитным
расстоянием).
91
Уравнение
координатных
поверхностей
соответственно в прямоугольной и сферической системах
имеют вид:
x2  y 2  z 2   2  0,
  const
y
 tg ,
  const
x
х 2  у 2  z 2tg 2  0 ,
  const
Волновое уравнение:
Рис. 2.9
в сферической системе координат для функции, зависящей
от всех координат s(x, у, z, t) будет следующим:
В частном случае, когда функция s не зависит от угловых координат, волновое
уравнение будет:
2s   
 
t 2  k 
2
 1   2 s    2 s     2 s
 2  r
0
   2   
2
 k  r
 r r  r   t
2
(2.40)
частное решение которого имеет вид:
s r ,t  
F
r
t  
r  
(2.41)
где  — скорость распространения волны вдоль направления, определяемого
единичным вектором, коллинеарным радиусу - вектору.
Уравнение волнового фронта r   t  t0  есть уравнение сферической
поверхности, радиус которой увеличивается пропорционально времени. Таким
образом,
функция
s(z,t)
представляет
собой
сферическую
волну,
распространяющуюся со скоростью и. Значение функции s в сферической волне
уменьшается обратно пропорционально расстоянию r.
Выход
Вопросы для самопроверки.
1. Что такое волна?
2. Чем характеризуются волновые процессы?
3. Что такое плоская волна и ее выражение?
4. Гармоническая волна.
5. Перечислите характеристики гармонической волны и дайте им определения.
6. Чем хороши гармонические волны?
7. Фазовая скорость гармонической волны.
8. Чем отличается колебание от волны (каким параметром)?
9. Волновое уравнение (выражение).
10. Волновое уравнение для волны, которая характеризуется тремя координатами.
11. Волновое уравнение Гельмгольца.
12. Что такое однородные и неоднородные волны?
13. Уравнения однородной и неоднородной волны.
14. Поляризация и ее виды.
15. Выражение и пояснения линейной и круговой поляризации.
16. Цилиндрические и сферические волны.
Выход
92
2.8. Упругие волны.
Упругие волны – упругие возмущения, распространяющиеся в твердой, жидкой и
газообразной средах.
При распространении упругих волн происходит перенос энергии упругой
деформации в отсутствии потока вещества, который имеет место только в особых
случаях, например при акустическом ветре. Всякая гармоническая упругая волна
характеризуется амплитудой и частотой колебания частиц среды, длиной волны,
фазовой и групповой скоростями, а также законом распределения смещения и
напряжений по фронту волны. Особенность упругих волн состоит в том, что их
фазовая и групповая скорости не зависят от амплитуды и геометрии волны (плоская,
сферическая и цилиндрическая волны).
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в
поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений
равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к
направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и
поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль
направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются
в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие
поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением
сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только
продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и
поперечных волн.
На рис. 2.10 показано движение частиц
при распространении в среде поперечной
волны.
Номерами 1, 2 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на
расстояние, равное
1
T , т. е. на расстояние,
4
проходимое волной за четверть периода
колебании, совершаемых частицами. В
момент времени, принятый за нулевой,
волна, распространяясь вдоль оси слева
направо, достигла частицы 1, вследствие
Рис. 2.10
чего частица начала смещаться из
положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть
периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает
смещаться из положения равновесия
частица 2. По прошествии еще четверти
периода
первая
частица
будет
проходить
положение
равновесия,
двигаясь в направлении
сверху вниз, вторая частица
достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться
вверх из положения равновесия. В
момент времени, равный Т, первая
Рис. 2.11
частица
закончит
полный
цикл
93
колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный
момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь Т, достигнет частицы 5.
На рис. 2.11 показано движение частиц при распространении в среде
продольной волны.
Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть
отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо
и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде
создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц
обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения
волны со скоростью .
В зависимости от упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) волны,
распространяющиеся в этих средах, имеют свои типы волн.
В жидкостях и газах, которые обладают упругость объема, но не обладают
упругостью формы, могут распространяться лишь продольные волны разряжения –
сжатия, где колебания частиц среды происходят в направлении ее распространения.
В однородной изотропной бесконечно протяженной твердой среде могут
распространяться упругие волны только двух типов – продольные и сдвиговые
(поперечные). В продольных движение частиц параллельно направлению
распространения волны, а деформация представляет собой комбинацию
всестороннего сжатия (растяжения) и чистого сдвига. В сдвиговых (поперечных)
волнах движение частиц перпендикулярно направлению распространения волны, а
деформация является чистым сдвигом.
В ограниченных твердых телах (пластина, стержень), представляющих собой
твердые волноводы акустические, распространяются нормальные волны. Каждая из
них является комбинацией нескольких продольных и сдвиговых волн, которые
распространяются под острыми углами к оси волновода и удовлетворяют (в
совокупности) граничным условиям: отсутствию механических напряжений на
поверхности волновода.
В бесконечной пластине существуют два типа нормальных волн: волны Лэмба и
сдвиговые нормальные волны. Плоская волна Лэмба характеризуется двумя
составляющими смещений, одна из которых параллельна направлению
распространения волны, другая перпендикулярна граням пластины. По характеру
распределения смещений средней плоскости пластины волны Лэмба делятся на
симметричные и антисимметричные волны. В плоской сдвиговой нормальной волне
смещения параллельны граням пластины и одновременно перпендикулярны
направлению распространения волны.
В цилиндрических стержнях могут распространяться нормальные волны
продольного, изгибного и крутильного типа.
В анизотропных средах (кристаллах) свойства упругих волн и возможность ее
существования зависят от класса кристалла и направления распространения.
Выход
2.8.1. Волновое уравнение.
Волновое уравнение для упругих волн имеет вид как и в случае плоских волн
рассмотренных в пункте 2.3.
Выход
94
2.8.2. Скорость распространения волн в упругой среде.
2.8.2.1. Волны в упругой среде.
При распространении волны в упругом теле смещения соседних колеблющихся
точек этого тела в один и тот же момент времени будут различными. Колеблющееся
тело непрерывно изменяет свою форму — деформируется. В продольных волнах
имеет место деформация попеременного растяжения и сжатия. При поперечных
волнах в среде распространяется периодически колеблющаяся деформация сдвига.
Если деформировать (сжать, растянуть или сдвинуть друг относительно друга)
крайние точки упругого тела, то эта деформация будет распространяться в теле с
некоторой скоростью . Для теоретического вычисления величины  рассмотрим
сначала схематически простейший случай передачи деформации через упругий
стержень.
Пусть в течение короткого промежутка времени t ударом молотка мы сообщили этому
стержню некоторый импульс (рис. 2.12). За это
время точки торца стержня сместятся на некоторое
расстояние  . Возникшая деформация будет
перемещаться от точки к точке, и по стержню
Рис. 2.12
побежит волна сжатия.
К концу промежутка t сжатие охватит участок стержня длиной . Отношение 
  представляет собой скорость распространения волны сжатия по стержню.
t
К концу промежутка t все частицы участка стержня длины  будут двигаться

со скоростью u 
, вправо. Поскольку в начале этого промежутка частицы были
t
неподвижны, то приращение количества движения стержня будет равно mu  0 , где т
— масса участка . Обозначив площадь поперечного сечения стержня через S, а
плотность материала стержня через , мы получим m  S . По законам динамики
приращение количества движения равно импульсу внешней силы F, действовавшей
при ударе на стержень т. е.
Ft  Su .
(2.42)
С другой стороны, сила, сжимавшая стержень, связана с деформацией 
сжатого участка  по закону Гука соотношением
F  ES

,

(2.43)
где Е — модуль упругости (модуль Юнга);
S – площадь поперечного сечения;

- относительная удельная стержня.

Исключая из уравнений (2.42) и (2.43) силу F, мы получим:
ES


t  S

t
и, после сокращений,
95
2
  
    2 .
  t 
E
Отсюда скорость распространения волны сжатия в упругом тонком стержне равна:

E

.
(2.44)
Для стали E  2  106 кГ / см2  1,96  1011 кг / м  сек 2 , плотность
  7,8 г / сек 3  7,8  103 кг / м3 и  
1,96 4
10 м / сек  5  103 м / сек  5км / сек .
7,8
Если первоначально стержень растягивать, а не сжимать, то величины F,  и u
изменят свой знак на обратный, а величина  останется той же самой. Таким образом,
выражение (2.44) дает скорость распространения волн растяжения и сжатия в упругом
стержне. Очевидно, с такой же скоростью по стержню будут распространяться и
более сложные импульсы попеременного растяжения и сжатия. Величина  есть
скорость распространен любых продольных волн в стержне, в частности
синусоидальных волн.
В случае поперечных волн приведенная схема расчета и уравнение (2.2)
остаются в силе, стой разницей, что величины F,  и и будут перпендикулярны к
направлению распространения (оси стержня), как это изображено на рис. 2.13.
Кроме того, в этом случае мы имеем другой вид
деформации стержня — деформацию сдвига. Поэтому
уравнение (2.43) следует заменить аналогичным
уравнением
Рис. 2.13
F  GS


(2.45)
где G — так называемый модуль сдвига.
Скорость распространения поперечных волн  попер получится равной
(2.46)
В упругих твердых телах деформации растяжения и сжатия сопровождаются
небольшим изменением поперечных размеров тел. У тонких стержней эти изменения
поперечных размеров происходят беспрепятственно и скорость распространения
продольных волн  прод определяется уравнением (2.51). В телах больших поперечных
размеров поперечные деформации затруднены и скорость распространения
продольных волн равна
(2.47)
где Е' — модуль сжатия слоя, близкий по величине к модулю Е.
Изучая скорость распространения продольных и поперечных волн, можно
сделать заключения о природе веществ, через которые проходят упругие волны. На
этом основаны сейсмические методы геологической разведки. При сильном взрыве от
места взрыва через землю бегут волны деформации, скорость которых согласно (2.47)
и (2.46) зависит от механических свойств пород. Поэтому, измеряя скорость
распространения волн на различных расстояниях от точки взрыва, можно оценить
характер залеганий.
Такие же волны деформации бегут по земной коре и от места землетрясения.
Поскольку модуль сдвига G в твердых телах примерно в два раза меньше модуля
упругости Е, то продольные волны от места, где произошло землетрясение, бегут в
96
1,4 раза быстрее поперечных. Поэтому приборы, расположенные на сейсмической
станции, регистрируют толчок от происшедшего на расстоянии L от станции
землетрясения дважды, через промежуток времени
(2.48)
Измеряя этот промежуток времени между приходом продольных и поперечных
волн, можно оценить расстояние от сейсмической станции до очага землетрясения
или места подземного атомного взрыва.
Выход
2.8.2.1. Волны в жидкости и газе.
В жидкостях и газах, как было упомянуто выше, которые обладают упругостью
объема, но не обладают упругостью формы, могут распространяться только
продольные волны — волны расширения и сжатия. Скорость этих волн в жидкости
равна:
(2.49)
где К — модуль сжатия и  — плотность жидкости.
Скорость распространения продольных волн в газах вычисляется аналогичным
образом.
Упругие свойства и плотность твердых тел и жидкостей зависят от их
химического состава и мало изменяются при разных давлениях и температурах.
Следовательно в первом приближении можно считать, что скорость распространения
упругих волн в каждой их этих сред постоянна. Иная картина наблюдается в случае
идеального газа.
Газообразное тело беспрепятственно изменяет свою форму в соответствии с
формой занимаемого им сосуда – газ не обладает упругостью формы (как это было
сказано выше), но газу присуща объемная упругость, т.е. способность сопротивляться
изменению его объема. Это свойство газа обусловлено тепловым движением его
молекул и проявляется в изменении давления р газа при изменении его объема V. По
закону Гука для объемной деформации, изменение dp давления газа при малом
изменении dV его объема прямо пропорционально относительной объемной
деформации:
dp   K
dV
dp
, т.е. K   V .
V
dV
Где К – модуль объемной упругости газа.
Подставляя значение К в (2.49), а как нам известно скорость распространения
продольных волн в газе будет иметь точно такое же выражение, мы получим
выражение для скорости распространения волны в идеализированном газе:
г 
К
 
dp V
dp 2
 
V ,
dV 
dV
(2.50)

поскольку плотность газа  обратная его удельному объему V.
Скорость упругих волн в идеальном газе не зависит от их частоты, а зависит от
вида термодинамического процесса его объемной деформации, это явление
называется дисперсией волн.
Если колебания плотности газа в продольных волнах происходят очень
медленно (с малой частотой), то температура соседних участков, попеременно
растянутых и сжатых, быстро выравнивается, и деформации разряжения и сжатия
97
происходят изотермически. Тогда по уравнению Менделеева — Клапейрона для
одного моля газа
где R — универсальная газовая постоянная;
 — молекулярный вес;
Т — абсолютная температура газа.
В случае изменения объема газа изотермически
dpV  dVp  0 . Откуда:
pV  const ,
так
p
RT
 dp 
 
.


V
V 2
 dV изотерм
что
(2.51)
Для быстрых колебаний сравнительно высокой частоты сжатие и разрежение
происходят адиабатически. По уравнению адиабаты (или коэффициента Пуассона)
где  
Сp
СV
— отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении Ср и
постоянном объеме СV:
RT
р
 dp 
 
 


2
V
V
 dV  адиабат
(2.52)
Соответственно этому изотермические волны в газах будут распространяться со
скоростью
(2.53)
а скорость распространения адиабатических волн равна
(2.54)
Выход
2.8. 3. Энергия упругой волны.
Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская
продольная волна
s  A cos t  kх    .
(2.55)
Выделим в среде элементарный цилиндрический объем V, настолько малый,
чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было
считать одинаковыми и равными, соответственно,
s s
и
.
t  x
Выделенный нами объем обладает кинетической энергией
2
  s 
Wk    V ,
2  t 
здесь V — масса объема;
s
— его скорость.
t
98
(2.56)
Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой
деформации:
2
E 2
E  s 
W p 
V    V
2  x 
2
где  
s
— относительное удлинение цилиндра;
x
Е — модуль Юнга среды.
Заменим в соответствии с  
E
(2.44) модуль Юнга через p2 (р — плотность

среды,  — фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии
объема V примет вид:
2
 2  s 
W р 
(2.57)
  V .
2  х 
Выражения (2.55) и (2.57) в сумме дают полную энергию
2
2

1  s 
2  s 
W  Wk  Wp          V .
2  t 
 x  
(2.58)
Разделив эту энергию на объем V, в котором она содержится, получим
плотность энергии:
2
2

1  s 
2  s 
          .
2  t 
 x  
(2.59)
Дифференцирование уравнения (2.55) один раз по t, другой раз по х дает:
s
  A sin t  kx   ,
t
s
 Ak sin t  kx    .
x
Подставив эти выражения в формулу (2.59) и приняв во внимание, что k 2 2   2 ,
получим:
(2.60)
  A2 2 sin 2 t  kx    .
В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же
выражение.
Из (2.60) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных
точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется
со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно
1
.
2
Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке
среды равно
 
1 2 2
A  .
2
(2.61)
Плотность энергии (2.60) и ее среднее значение (2.61) пропорциональны
плотности среды , квадрату частоты  и квадрату амплитуды волны А. Подобная
зависимость имеет место не только для плоской незатухающей волны, но и для
других видов волн (плоской затухающей, сферической и т. д.).
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным
запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные
точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию.
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу
99
времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную
поверхность переносится за время dt энергия dW, то поток энергии Ф равен:
(2.62)
Поток энергии — скалярная величина, размерность которой равна размерности
энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности.
В соответствии с этим Ф измеряется в ваттах, эрг/с и т. п.
Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивностью.
Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится
векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно
равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке
перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление
вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.
Пусть через площадку S , перпендикулярную к направлению распространения
волны, переносится за время t энергия W. Тогда плотность потока энергии равна:
(2.63)
Через площадку S (рис.2.14) будет перенесена за время t энергия W,
заключенная в объеме цилиндра с основанием S и высотой t (—фазовая
скорость волны).
Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет
малости S и t ) для того, чтобы плотность энергии во
всех точках цилиндра можно было считать одинаковой,
то W можно найти как произведение плотности
энергии  на объем цилиндра, равный St :
W  St
Подставив это выражение в формулу (2.63),
Рис. 2.14
получим для плотноси потока энергии:
(2.64)
j   .
Если мы введем вектор v , модуль которого равен фазовой скорости волны, а
направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии),
можно написать
(2.65)
j  v .
Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии. Этот вектор
был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и
называется вектором Умова. Вектор (2.65), как и плотность энергии , различен в
разных точках пространства, а в данной точке изменяется со временем по закону
квадрата синуса. Его среднее значение равно:
j   v
Рис. 2.15
1 2 2
A  v .
2
(2.66)
Выражение (2.66), так же как и (2.61),
справедливо для волны любого вида (сферической,
затухающей и т. д.).
Отметим, что, когда говорят об интенсивности
волны в данной точке, то имеют в виду среднее по
времени значение плотности потока энергии,
переносимой волной.
Зная j во всех точках произвольной поверхности
100
S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разобьем
поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет
энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 2.15 косом цилиндре.
Объем этого цилиндра равен dV  dtdS cos  . В нем содержится энергия
dW  dV  dtdS cos  ( — мгновенное значение плотности энергии в том месте,
где расположена площадка dS). Приняв во внимание, что
 dS cos   jdS cos   jdS
( dS  ndS ; см. рис. 2.15), можно написать: dW  jdS dt . Отсюда для потока энергии
dФ через площадку dS получается формула
dФ 
dW
 jdS .
dt
(2.67)
Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков
(2.67):
Ф   jdS .
(2.68)
S
Можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S.
Заменив в формуле (2.68) вектор j его средним по времени значением, получим
среднее значение Ф:
Ф   j dS .
(2.69)
S
Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую
поверхность незатухающей сферической волны. В каждой точке этой поверхности
векторы j и dS совпадают по направлению. Кроме того, модуль вектора j для всех
точек поверхности одинаков. Следовательно,
Здесь r—радиус волновой поверхности.
Согласно (2.66) j 
1 2 2
A  v . Таким образом,
2
Ф  2Ar2 2r 2 ,
где Ar2 — амплитуда волны на расстоянии r от источника.
Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии через
сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться
условие
Ar2 r 2  const .
Отсюда следует, что амплитуда Ar незатухающей сферической волны обратно
пропорциональна расстоянию r от источника волны. Соответственно средняя
плотность потока энергии j обратно пропорциональна квадрату расстояния от
источника.
В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с расстоянием по
A  A0 e x . Соответственно средняя плотность потока энергии (т. е.
закону
интенсивность волны) убывает по закону
j  j0 e  x .
(2.70)
101
Здесь   2 - величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она
имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина,
обратная , равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз.
Выход
2.8.4. Интерференция волн.
Если через данную область пространства распространяется одновременно
несколько волн, то колебания любой точки среды, вызванные каждой волной в
отдельности, будут складываться друг с другом по правилам сложения колебаний.
Это обстоятельство отнюдь не является очевидным и в ряде случаев может не
иметь места. Здесь речь идет о непрерывной упругой среде, все точки которой
взаимосвязаны.
Напомним механизм возникновения колебаний любой частицы упругой среды.
Эта частица приходит в движение в результате возникающих напряжений, вызванных
деформацией среды (сжатием при продольной волне, сдвигом — при поперечной).
Если складывающиеся колебания обладают малой амплитудой, то согласно закону
Гука напряжения будут пропорциональны деформациям. Результирующее
напряжение в этом случае будет равно сумме составляющих его, а результирующее
колебание частицы среды будет равно сумме колебаний, вызванных отдельными
волнами.
При больших амплитудах колебаний закон Гука уже не выполняется.
Результирующее напряжение приводит к колебаниям, которые отличны от суммы
колебаний, вызванных отдельными волнами. Подобные колебания имеют место при
распространении так называемых ударных волн, возникающих при взрывах. Скорость
ударных волн превышает скорость обычных волн и тем больше, чем больше их
амплитуда.
Мы ограничимся здесь рассмотрением волн малой амплитуды. В этом случае
колебание каждой точки среды, является суммой независимых колебаний, вызванных
каждой из проходящих через данную точку волн в
отдельности. Другими словами, независимые волны,
которые в процессе своего распространения
одновременно проходят через одну и ту же точку
среды, складываются, но друг друга не искажают.
Перекрещивающиеся волны, разойдясь, не несут на
себе никаких следов происшедшего наложения.
Если это имеет место, то принято говорить, что
при наложении волн удовлетворяется принцип
суперпозиции.
Рис. 2.16
Принцип суперпозиции фактически впервые был
сформулирован известным итальянским ученым эпохи Возрождения Леонардо да
Винчи. Простейшей иллюстрацией его является независимое распространение волн
по поверхности воды от двух брошенных камешков, изображенное на рис. 2.16. Обе
волны в результате наложения не изменились (что не имело бы места в случае
ударных волн).
Принцип суперпозиции и вычисленные нами в предыдущем параграфе
выражения для скоростей распространения волн выполняются в точности лишь для
волн бесконечно малой амплитуды. Для волн конечной амплитуды все эти
102
соотношения являются лишь некоторым приближением к действительности, тем
лучшим, чем меньше их амплитуда.
Ниже мы будем рассматривать только
простейший случай синусоидальных волн очень
малой амплитуды, подчиняющихся принципу
суперпозиции.
Если частоты колебаний двух волн одинаковы и
разность фаз не меняется со временем, то такие
волны называются когерентными. В результате
суперпозиции (наложения) когерентных волн
наблюдается явление, носящее название интерференции волн. Для простоты рассмотрим
Рис. 2.17
суперпозицию когерентных волн на поверхности
воды.
Когерентные волны можно получить, если источники волн связаны и совершают
колебания совместно, например, если волны вызываются двумя стерженьками,
погруженными в воду в точках O1 и О2 и прикрепленными к одной из ножек
камертона (рис. 2.17).
Рассмотрим результирующее колебание
в фиксированной точке М (рис.2.18).
Обозначим расстояние O1 M через х1 и О2 М
— через х2. В рассматриваемом случае не
только частоты, но и начальные фазы обоих
источников волн совпадают; мы положим
начальные фазы равными нулю.
Колебание у1, вызванное первой волной
Рис. 2.18
в точке М, будет равно
(2.71)
и, аналогично, колебание у2, вызванное в этой же точке второй волной, составит:
(2.72)
где через А1 и А2 обозначены амплитуды обеих волн в точке М. Рассмотрим важный
для дальнейших разделов нашего курса случай, когда источники O1 и О2 имеют
одинаковую мощность. В этом случае амплитуды обеих волн будут практически
одинаковы, если х1 и х2 не очень отличаются друг от друга:
(2.73)
Результирующее колебание у в точке М будет равно сумме двух колебаний,
вызванных обеими волнами (так как оба колебания направлены одинаково). Как
следует из (2.71), (2.72), (2.73), эти колебания будут отличаться лишь фазами 1 и 2
приходящих в точку М волн, поскольку эти фазы зависят от расстояний х1 и х2:
Следовательно, смещение у в точке М будет равно
Вынося общий множитель А и используя формулу для суммы двух синусов,
находим:
103
(2.74)
где амплитуда результирующего колебания В имеет вид
(2.75)
В выражении (2.74) множитель, зависящий от времени, показывает, что у будет
гармоническим колебанием с тем же периодом Т, что и для источников (начальная
фаза у для нас интереса сейчас не представляет).
Весьма существенно, что амплитуда В суммарного колебания у зависит от
разности расстояний точки М от источников.
Рассмотрим два предельных случая.
1) Пусть разность хода от источников до М равна целому числу длин волн:
(2.76)
где через п обозначено любое целое (положительное или отрицательное) число:
(2.77)
Во всех точках, в которых имеет место (2.76), для В получим:
(2.78)
— амплитуда результирующего колебания удвоилась по сравнению с
амплитудой каждой из волн, следовательно, волны взаимно усилились. Формула
(2.78) дает максимальное возможное значение амплитуды, поскольку косинус не
может принимать значения, большего единицы.
2) Пусть разность хода равна целому числу волн с половиной, или, что то же,
нечетному числу полуволн:
(2.79)
В этом случае
(2.80)
— волны взаимно уничтожили друг друга.
Физически понять этот результат нетрудно. Если разность хода от источников
волн одинаковой амплитуды до М равна целому числу длин волн [условие (2.76)], то
в точке М обе волны одновременно вызовут одинаковое смещение—вверх либо вниз.
Если разность хода отличается на целое число волн с половиной (нечетное число
полуволн), то смещения, вызываемые волнами, одинаковы по величине, но
противоположны по направлению. В таких точках волны гасят друг друга.
Геометрическое место точек, разность расстоянии от которых до O1 и О2 равна
постоянной величине, х1  х2  const , есть, как это доказывается методами
аналитической геометрии, гипербола.

Меняя значение п в выражениях х1  х2  n и х1  х2  2 n  1 , получаем
2
семейства гипербол, показанные на рис. 2.18.
Вдоль гипербол, показанных сплошными линиями, колебания происходят с
максимальной амплитудой (здесь х1  х2  n ).
Вдоль гипербол, показанных пунктиром, амплитуда равна нулю, так как
104

х1  х2  2 n  1 . При переходе от одной гиперболы к соседней амплитуда плавно
2
меняется в пределах от нуля и до 2А.
В случае, если амплитуды волн A1 и А2 различны, то в точках (гипербол),
удовлетворяющих условию (2.76), результирующая амплитуда равна
В точках, удовлетворяющих условию (2.76), полного погашения произойти не
может, но амплитуда достигает наименьшего возможного значения, равного модулю
разности амплитуд А1  А2 . В остальных точках пространства в зависимости от
разности фаз складывающихся колебаний, т. е. от разности хода волн, амплитуда
принимает различные значения, непрерывно меняясь в пределах
(2.81)
Это явление взаимного усиления или ослабления волн (в зависимости от
значения х1  х2 ), идущих от когерентных источников, и называется интерференцией
волн. Аналогично можно рассмотреть интерференцию от многих точечных или
непрерывно распределенных источников.
Энергия колебания Е пропорциональна квадрату амплитуды, что справедливо
для любой точки волнового поля. В простейшем случае равенства амплитуд
интерферирующих волн находим, что энергия колебания в данной точке волнового
поля пропорциональна В2 и согласно (2.75)
Рис. 2.19
(2.82)
В области максимума амплитуд энергия
возрастает, в 4 раза (по сравнению с энергией
колебаний, возбуждаемых одним источником) в
области минимума — равна нулю.
Интерференцию волн можно использовать
для определения длины волны . Покажем, как
можно определить длину волны с помощью
интерференции от двух щелей. Пусть поток волн с
длиной , которую нужно определить, падает
нормально на экран Э1 (рис. 2.19) с двумя щелями,
находящимися на расстоянии h одна от другой
(ширину щелей примем, ради простоты,
пренебрежимо малой по сравнению с длиной вол-
ны).
Рассмотрим распределение интенсивности колебаний на экране Э2, помещенном
параллельно экрану со щелями на расстоянии R от последнего.
Щели 1 и 2 на Э1 будут являться точечными источниками волн справа от Э1,
причем фазы обоих источников будут совпадать. В точке О' на экране Э2, лежащей на
равном расстоянии от обоих источников, мы получим, следовательно, максимум
колебаний. Найдем теперь расстояние от О до симметрично расположенных точек а и
а', в которых будут ближайшие к О' максимумы. Согласно (2.76) разность хода от
источников 1 и 2 должна быть равна одной длине волны. Обозначая расстояния от 1 и
2 до а через х1а и х2а соответственно, имеем:
(2.83)
105
(для точки а мы имели бы х2 а  х1а   , и вычисление было бы тождественным с
проведенным для точки а). Обозначим расстояние между максимумами 0'а через d.
Из чертежа видно, что х1а есть гипотенуза прямоугольного треугольника ll'a с
h
, а х2а —гипотенуза прямоугольного треугольника 22'а,
2
h
где катет 2'2= R, а катет 2a  d  . Имеем, следовательно:
2
катетами 1 1  R и 1a  d 
(2.84)
Воспользуемся тем, что в выражении
величина весьма мало отличается от 2R (так как и А, и и много меньше R). Полагая
приближенно
(2.85)
и
[согласно (2.83)], имеем:
Внося сюда значения х12а и х22а из (2.84) и производя сокращения, находим:
откуда
(2.86)
Предоставляем читателю показать (таким же путем), что не только расстояние
О'а' будет также равно d, но и для других, ближайших к центральному, максимумов
расстояние между максимумами оказывается одинаковым и равным той же величине
d.
Таким образом, зная характерное для используемого прибора отношение
h
и
R
определяя на опыте d, можно найти длину волны  падающего (нормально) на экран
потока волн.
Выход
2.8.5. Отражение волн. Стоячие волны.
Волна, приходящая на границу раздела двух сред, частично проходит через нее,
а частично отражается. При этом в зависимости от отношений плотностей этих сред
процесс происходит по разному. Начнем рассмотрение с двух предельных случаев:
а) вторая среда является менее плотной, а в пределе вообще отсутствует, т. е.
упругое тело имеет свободную границу;
б) вторая среда более плотная, что отвечает в пределе неподвижно
закрепленному концу упругого тела.
Рассмотрим распространение упругой, для определенности — продольной,
волны в стержне для случая а). Пусть левый конец стержня связан с источником
колебаний, а правый—свободен. Изучим отдельную деформацию, вызванную
источником волны. Пусть, например, в результате движения источника у левого конца стержня возникла деформация сжатия. Эта деформация будет перемещаться вдоль
стержня слева направо. Когда деформация достигнет правого, незакрепленного конца
106
стержня, он в результате возникшего слева сжатия получит ускорение вправо. При
этом в силу отсутствия упругой среды справа это движение не вызовет никакого
дальнейшего сжатия. Деформация слева будет все уменьшаться, а скорость движения
— расти. К моменту исчезновения деформации конец стержня будет двигаться с
наибольшей скоростью. В силу инерции конца стержня движение в этот момент (в
момент исчезновения деформации) не прекратится. Оно будет продолжаться с
замедлением, вызывая слева деформацию, но теперь уже — растяжения. Последняя
деформация будет перемещаться теперь справа налево.
Аналогично, созданная источником и перемещающаяся вправо деформация
растяжения, отразившись от свободного конца стержня, будет перемещаться обратно
в виде деформации сжатия.
Когда
источник
совершает
гармоническое колебание, он вызывает в
стержне попеременно деформации сжатия и
растяжения.
Эти
деформации
будут
отражаться от свободного конца стержня
соответственно
в
виде
деформаций
Рис. 2.20
растяжения и сжатия. Поэтому в точке
отражения за приходящим сжатием следует
уходящее растяжение, и обратно, сжатие и растяжение чередуются в том же порядке,
как и в свободно распространяющейся волне. Это значит, что на свободном конце
стержня волна отражается, меняя свое направление на обратное, причем никакого
изменения фазы волны в точке отражения не происходит. Сказанное иллюстрируется
рис. 2.20,а. К стержню длины  в точке О присоединен источник гармонического
колебания И. Сплошной кривой показана волна, распространяющаяся в стержне от
источника направо. Тонкий пунктир показывает вид волны, если стержень не обрывался бы в точке . Жирный пунктир соответствует волне, отраженной от свободного
конца стержня . Последняя имеет такой вид, как если бы волна, показанная тонким
пунктиром, была повернута на 180°, т. е. отразилась от «зеркала» АА'.
Во втором предельном случае, когда правый конец упругого стержня закреплен
неподвижно, дошедшая до него деформация сжатия не может привести этот конец в
движение. Возникшее здесь сжатие начнет распространяться влево. Аналогично и
деформация растяжения будет отражаться от неподвижно закрепленного конца
стержня в виде такой же деформации растяжения. При гармоническом колебании
источника за деформациями сжатия будут следовать деформации растяжения. Но при
отражении от закрепленного конца за сжатием в приходящей волне будет следовать
не растяжение, а сжатие в отраженной волне. За растяжением в приходящей волне
будет следовать опять-таки растяжение в отраженной волне. Следовательно, процесс
происходит так, как если бы в точке отражения терялась половина волны. Другими
словами, фаза волны при отражении меняется на л или, как говорят, меняется на
противоположную. Сказанное иллюстрируется рис. 2.20, б.
Волна, отраженная от закрепленного конца стержня, отличается в точке
отражения от волны, отраженной от свободного конца стержня, обратной фазой —
все смещения имеют ту же величину, но обратное направление.
Из чертежа можно непосредственно видеть, каким будет смещение концов
стержня в обоих случаях. В случае свободного конца стержня смещения, вызванные
пришедшей и отраженной волнами, складываются, так что конец стержня колеблется
с удвоенной амплитудой. В случае закрепленного конца стержня приходящая и
отраженная волны дают на конце равные по величине, но противоположные по
107
направлению смещения, так что конец стержня остается неподвижным, чего и
следовало ожидать, поскольку этот конец закреплен.
Рассмотренные примеры являются предельными случаями следующих
реальных. Распространяющаяся от источника в среде I упругая волна приходит на
границу раздела этой и менее плотной среды II. Волна, падающая на границу раздела
двух сред, частично отразится, а частично пройдет во вторую среду. Отраженная волна, как и в предельном случае отсутствия второй среды (бесконечно малой плотности
среды II), также не меняет фазы. Отличие от рассмотренного выше предельного
случая будет состоять лишь в том, что амплитуда отраженной волны будет меньше:
часть энергии падающей волны в этом случае тратится на возбуждение волн во
второй среде.
Пример закрепленного конца является предельным для случая, когда вторая
среда более плотная, чем первая. Очевидно, что и здесь проходящая волна не
испытывает на границе раздела сред изменения фазы. Отраженная волна меняет фазу
на обратную (т. е. на ). Амплитуда отраженной волны будет меньше, чем падающей,
так как последняя расходует часть своей энергии на возбуждение волн во второй
среде. Следует иметь в виду, что во второй среде скорость распространения волны υ II
будет, вообще говоря, отличаться от скорости распространения волны υI в первой
среде. А так как частота волны сохраняется — она равна частоте колебаний на границе раздела двух сред, т. е. равна частоте источника волн ,— то меняется длина
волны  II 
 II

 I  I .
v
v
При непрерывной работе источника волн волна, идущая от него, будет
складываться с отраженной волной. Ограничимся, для простоты, случаем, когда
отраженная волна имеет практически ту же амплитуду, что и падающая. Это будет
иметь место, если прошедшая во вторую среду волна обладает весьма малой
интенсивностью по сравнению с падающей волной (среда II очень разрежена либо
же очень плотна) и когда можно пренебречь потерями на трение. Таким образом,
результирующее колебание любой точки среды будет получаться в результате
сложения двух когерентных волн равной амплитуды, распространяющихся в
противоположных направлениях, вправо и влево вдоль оси X. Будем называть волну,
идущую вправо, «прямой», противоположную—«обратной». Эти волны отличаются
лишь знаком скорости. Что касается фаз, то, поскольку положения точки, где
происходит отражение, и условия отражения не указаны, мы можем распорядиться
начальными фазами, как нам удобно. Это не лишит результаты общности.
Положим, что смещения, вызванные прямой и обратной волнами, задаются
формулами:
(2.87)
В результате интерференции прямой и обратной волн колебание в точке х будет
происходить по закону:
(2.88)
108
(2.89)
Таким образом, амплитуды колебании В(х) различных точек результирующей
волны различны. Получившаяся волна носит название стоячей волны.
Рассмотрим точки оси X, удовлетворяющие условию:
(2.90)
В этих точках
т. е.
(2.91)
Эти точки волны все время остаются неподвижными. Они носят название узлов
стоячей волны.
Промежуточные между узлами точки с координатами, отличными на величину

,
4
(2.92)
в силу того, что
обладают наибольшей возможной амплитудой, равной 2А. Эти точки носят название
пучностей стоячей волны.
Точки с промежуточными координатами, т. е. значениями х, не совпадающими с
ху и хп, обладают промежуточными амплитудами в соответствии с формулой (2.88).
Сравним характер колебаний в стоячей и обычной бегущей волне при
отсутствии затухания.
В бегущей волне каждая точка совершает колебания, амплитуда которых не
отличается от амплитуды колебания других точек. Но колебания различных точек
происходят с различными фазами. В любой момент времени одни точки волны
достигают наибольшего отклонения, в то время как другие проходят через нуль. Картина поперечной бегущей волны может быть представлена синусоидой, движущейся
со скоростью υ.
В стоячей же волне все точки оси Х одновременно проходят через положения
равновесия:
так что
(2.93)
для всех значений х.
В
моменты
времени
tn
T T

2 4
одновременно
достигают
наибольших
отклонений. На рис. 2.21 приведены серии «мгновенных фотографий» бегущей а) и
стоячей б) волн, показанные через промежутки времени, равные Т/8.
109
Стрелками указаны величины и
направления скоростей отдельных
точек волны. Для бегущей волны это
сделано только на одной «фотографии»,
так как картина на других подобных
«фотографиях»
просто
сдвинута
относительно данной. В моменты
t2
T
T
и t 6
все частицы стоячей
8
8
волны на мгновение останавливаются:
вся энергия волны переходит в форму
потенциальной энергии.
Рис. 2.20
Легче всего можно получить
стоячую волну, прикрепив один конец
струны к стене (рис. 2.22).
Прямая волна, бегущая справа
налево, показанная тонкой линией,
отразится от нее. Обратная волна,
показанная пунктирной линией, будет
обладать такой же амплитудой, как и
прямая, поскольку потеря энергии,
связанная с прохождением волны в
Рис. 2.21
стену и с трением, ничтожна. В данном
случае мы имеем отражение волны в
точке  от «бесконечно плотной среды». Следовательно, точка закрепления струны 
неподвижна и совпадает с
одним из узлов струны.
Результирующая стоячая
волна изображена жирной
линией.
Совместим
начало отсчета по оси Х с
точкой  и определим
фазу в выражении для
Рис. 2.22
амплитуды стоячей волны
[см. (2.89)]:
(2.94)
Значение 0 находится из условия, чтобы амплитуда В (х) обращалась в нуль в
точке х = 0:
откуда
Следовательно, для рассматриваемого примера:
(2.95)
Будем двигаться вдоль оси X, следя за изменением амплитуды стоячей волны.
Координаты узлов найдем из условия
110
(2.96)
где п — целое число; при значениях аргумента косинуса, равных (2.96), амплитуда
(2.95) будет обращаться в нуль.
Отсюда значение координаты хуп n-го узла
При п = 0 получаем координату узла в точке закрепления x у 0  0 . Следующий
узел имеет координату
xу1  1 

, затем
2
x у1  2 

и т. д. Таким образом, узлы
2

друг от друга. Очевидно и без расчета, что пучности
2


располагаются между узлами также на расстоянии друг от друга и на расстоянии
2
2
расположены на расстоянии
от узлов (см. рис. 2.22).
Заметим теперь, что, называя В(х) амплитудой стоячей волны, мы допустили
некоторую неточность: величина В(х) меняет знак, и
амплитудой волны является модультой величины Вх  .
Изменение знака В(х) при прохождении через точку ху (узел)
обязано тому, что в стоячей волне колебания по разные
стороны от узла происходят в разных направлениях
(см.рис.2.21,6).
Если присоединить конец упругого стержня или верхний
конец свободно висящей струны к источнику гармонических
колебаний, то на свободном, незакрепленном конце образуется
Рис. 2.23
пучность (рис. 2.23).
Расстояние между узлами и пучностями здесь будет таким
же, как и в рассмотренном случае с закрепленным концом.
До сих пор мы рассматривали образование стоячих волн при отражении
одномерной волны. Аналогично можно получить двумерные стоячие волны,
например, при отражении волн, бегущих по поверхности воды, от плотины. В этом
случае узлы и пучности образуются вдоль линий, параллельных линии берега.
Выход
2.8.6. Эффект Допплера.
Источник колебаний возбуждает волны в окружающей среде, которые
распространяются в ней со скоростью, зависящей только от свойств этой среды, но
не зависящей от скорости движения источника по отношению к среде. Однако
частота (длина волны) наблюдаемых волн зависит и от скорости источника волн, и от
скорости наблюдателя по отношению к среде.
Рассмотрим простейшие случаи, когда источник волн и наблюдатель движутся
относительно среды вдоль одной прямой. Координатные оси будем считать
неподвижными относительно среды; скорость распространения волн в среде примем
равной . Скорости источника волн и наблюдателя, движущихся вдоль оси X, обозначим через uи и uн, соответственно.
Пусть наблюдатель неподвижен, а источник волн S движется вдоль оси Х вправо
со скоростью uи   . Частота колебаний источника равна  0 . Выберем в качестве
111
начала координат точку, в которой источник начал испускать волны в момент времени t = 0 (рис. 2.24).
Колебания, возникшие в точке
х = 0 в момент t = 0, будут
распространяться вправо и влево, и
через секунду фронт волны будет
находиться от точки 0 на расстоянии
 (справа и слева, как это показано
Рис. 2.24
на рис. 2.24), дойдя до точек А' и А".
Источник S испустит за секунду
волн, которые справа расположатся в интервале SA", а слева — SA'. Длину волны
справа '' и слева ' легко получить, разделив длины интервалов на число
разместившихся в них волн:
(2.97)

— длина волны, распространяющейся в среде в случае неподвижного
0
по отношению к ней источника колебаний частоты  0 .
Таким образом, длина волны, распространяющейся в направлении движения
источника, уменьшается, в противоположном — возрастает.
Физически этот результат совершенно очевиден. Волна, испускаемая
источником в направлении движения, нагоняется самим источником. Испустив
гребень волны, источник испустит следующий не на расстоянии 0 , от него, а пройдя
где 0 
за это время вслед за ним путь uиТ 
uи
0
, т. е. расстояние между гребнями будет

. От волн, испускаемых в обратном направлении, источник уходит,
0
«растягивая» тем самым длину волны.
Наблюдатели в точках А' и А" определят соответственно частоты волн:
1) в точке А'
0 
(2.98)
На рис. 2.25 показаны волны на поверхности, расходящиеся от источника,
движущегося вдоль оси Х со скоростью uи   .
Полученные
формулы
верны
для
наблюдателей, неподвижных относительно среды
и расположенных на оси X, вдоль которой движется источник волн. Изменение частоты в других
направлениях (мгновенное, так как для всех
остальных точек, кроме расположенных на оси X,
оно меняется со временем) мы вычислять не
будем. При желании с помощью рис. 2.25 сможет
вычислить
"'
для
любого
мгновенного
Рис. 2.25
112
направления SA"', образующего угол  с направлением движения источника.
Пусть теперь источник неподвижен относительно среды, а наблюдатель
движется по отношению к источнику со скоростью uи (рис. 2.26).
Частота
источника
попрежнему равна 0. Если бы
наблюдатель был неподвижен, то
за секунду мимо него прошло бы
0
волн.
Приближаясь
к
Рис. 2.26
источнику со скоростью uн, он
встречает на своем пути за
секунду столько добавочных волн, сколько их укладывается на отрезке длины uн, т. е.
Следовательно, наблюдаемая им частота равна
(2.99)
Подставляя вместо 0 его значение
получаем:
(2.100)
Аналогично, при удалении от источника, когда наблюдатель догоняет волны,
частота прохождения волн уменьшается. Эту частоту 1 легко получить, заменяя в
(2.100) величину uн на —uн:
(2.100а)
Выражение для частоты v при движении и источника волн и наблюдателя мы
легко получим, комбинируя (2.98) и (2.100), (2.100,а). Для этого нужно либо в (2.98)
вместо 0 подставить 1, 2 из (2.100), (2.100,а), либо в (2.100), (2.100,а) вместо 0
подставить v', v" из (2.98). Тогда мы найдем:
(2.101)
Верхний знак берется, если при движении источника или наблюдателя
происходит их сближение; нижний знак — в случае их взаимного удаления.
Изменение частоты волны, воспринимаемой наблюдателем, в зависимости от его
скорости по отношению к среде, в которой распространяются волны, а также от
скорости источника волн по отношению к среде, носит название эффекта Допплера.
Математическое выражение этого эффекта в случае движения вдоль одной прямой
дается формулой (2.101).
Заметим, что хотя явление Допплера наблюдается и в оптике, но там оно имеет
совершенно иную природу. В случае световых волн среда — носитель колебаний —
отсутствует, световые волны материальны сами по себе. В этом случае нельзя,
следовательно, вводить скорость источника и скорость наблюдателя (по отношению к
среде) — эффект зависит только от их относительной скорости.
Выход
113
2.8.7. Звук.
2.8.7.1. Природа звука
Звук представляет собой колебания упругой среды, воспринимаемые нашими
органами слуха.
Физиологическое восприятие звука является отражением соответствующих
физических его характеристик. Так, гармоническое колебание определенной частоты
воспринимается нами как определенный музыкальный тон. Физической характеристике — частоте колебаний — соответствует физиологическое понятие — высота
звука. Малые частоты колебаний вызывают ощущение так называемого низкого тона
(бас, баритон). Большие частоты колебаний вызывают ощущение звука высокого тона
(сопрано, дискант). Чем больше частота колебаний, тем больше высота тона
воспринимаемого звука.
Следует отметить, что благодаря своему устройству нормальное человеческое
ухо способно воспринимать не любые колебания, а лишь такие, частота которых
лежит в пределах от 16 до 20000 колебаний в секунду. Этот интервал частот носит
название собственно звуковых колебаний. Колебания с частотами, бо́льшими 20 000
герц, носят название ультразвуков и могут быть восприняты специальными
приборами. Колебания с частотами, меньшими 16 герц, носят название инфразвуков,
и для их восприятия также сконструированы специальные приборы, расширяющие
возможности наших органов чувств.
Несколько одновременно приходящих звуковых колебаний, частоты которых
находятся в определенном соответствии, создают впечатление созвучия, приятного
(консонанс) или неприятного (диссонанс). Большое число одновременных звуковых
колебаний с самыми различными частотами создает впечатление шума.
Интенсивность звука может быть охарактеризована различными величинами. В
звуковом поле периодически колеблются частицы среды, периодически меняются их
скорости и силы давления (в жидкости или газе) или нормальные и касательные
напряжения (в твердых телах). Интенсивность звука может характеризовать
амплитуду колебаний любой из этих величин. Однако, поскольку все эти величины,
связаны между собой определенными соотношениями, то целесообразно ввести единую энергетическую характеристику. Такая характеристика для волн любого типа
была предложена в 1877 г. И. А. Умовым. Смотри раздел 2.8.3.
Величина j измеряется в вт/м2 и для звукового поля называется силой звука.
Сила звука является физической характеристикой интенсивности звуковых
колебаний. Мы оцениваем ее субъективно как громкость звука. Нормальное
человеческое ухо способно воспринимать звуки, сила которых превышает некоторое
минимальное значение, различное для различных частот,
j мин  f (v) .
(2.102)
Величина j м ин называется порогом слышимости звука и для средних
частот v  10 3 гц, лучше всего воспринимаемых ухом, составляет около 10-12 вт/м2.
При очень большой силе звука порядка 10 вт/м2 звук начинает восприниматься,
кроме уха, органами осязания, а в ушах вызывает болевое ощущение.
Поскольку наше ухо способно воспринимать звуки, отличающиеся по силе в 1013
раз, то оно нечувствительно к малым изменениям силы звука и замечает прирост
громкости звука при увеличении силы последнего не менее, чем на 10—20%.
Поэтому в качестве характеристики интенсивности звука выбирают обычно не силу
звука j, а десятичный логарифм последней, точнее,
114
  lg
j
j0
(2.103)
где j0—условно выбранный нулевой уровень j0=10-12 дж/м2сек =10-12 вт/м2.
Величина  называется уровнем силы звука и измеряется в б е л а х. Из (2.103)
следует, что уровень силы звука в 1 бел соответствует силе звука, равной j == 10j0.
Наряду с этой единицей пользуются в 10 раз более мелкой единицей называемой
децибелом (дб):
  10 lg
j
дб .
j0
(2.104)
Для человеческих ощущений приближенно справедлив психофизиологический
закон— интенсивность ощущения пропорциональна логарифму степени
раздражения. Это означает, что уровень громкости звука пропорционален .
Скорость распространения звука (волны), которую мы рассматривали в 2.8.2, в
разных средах различна.
Выход
2.8.7.2. Распространение звука. Источники и приемники звука
Если размеры источника малы по сравнению с длиной волны, то от него
распространяется во все стороны сферическая звуковая волна (рис. 2.27). Если же
размеры источника велики по сравнению с длиной волны, то вследствие
интерференции и дифракции он излучает направленную звуковую волну (рис. 2.28). В
воздухе при   331 м / сек
и
соответственно длина волны
vмин  16 гц
331 м / сек
 20,7 м . При vмакс  20000 гц соответствующая длина волны в воздухе
16 сек 1
331 м / сек

 0,0165 м .
20000 сек 1
 м акс 
м ин
Рис. 2.27.
Рис. 2.28.
Поэтому для получения направленного звукового пучка на обычных речевых
частотах (300—2000 гц) необходимо применять рупоры диаметром порядка 1 м. Для
получения же направленных ультразвуковых пучков (уз< 0,0165 м) применяются
излучающие пластинки диаметром в несколько сантиметров. При указанных выше
длинах волн звука можно наблюдать дифракционные явления, в частности огибание
звуком препятствий даже большой протяженности (стена, дом).
115
При встрече с препятствием больших размеров звуковые волны отражаются и
возвращаются обратно. Это явление называется эхо. В гористой местности благодаря
многократному отражению звука наблюдается длительное эхо, иногда до 5—10 сек.
Человек обладает довольно сложным аппаратом для восприятия звуков.
Звуковые колебания собираются ушной раковиной и через слуховой канал
воздействуют на барабанную перепонку. Колебания последней через систему
маленьких косточек передаются второй упругой мембране, так называемому
овальному окну, закрывающему небольшую полость улитки, заполненной жидкостью
(лимфои). Внутри улитки расположено большое число специальных волокон,
имеющих различную длину и натяжение, а следовательно, различные собственные
частоты колебаний. При действии сложного звука каждое из этих волокон резонирует
на тот составляющий тон, частота которого совпадает с собственной частотой
волокна, и раздражает соответствующее окончание слухового нерва. Набор
резонансных частот в слуховом аппарате и определяет область воспринимаемых нами
звуковых колебаний (16—20 000 гц).
Наличие у человека двух ушей позволяет определять направление приходящего
звука (бинауральный эффект). Как видно из рис. 2.29, разность хода двух звуковых
лучей при угле между направлением на источник звука и плоскостью симметрии человеческого тела, равном , составляет l  a sin  , где a  20 см — среднее расстояние между ушами. При =30 разность хода l  1 см, а разность времен
достижения сигналом обоих ушей t 
l
 зв
 3  10 5 сек.
При периоде колебания Т = 10-4 сек сдвиг
фазы между обоими звуковыми ощущениями
достигает 0,3 от периода и вполне ощутим. Для
высоких частот и малых длин волн голова
создает уже значительную акустическую
«тень», что вызывает заметную разность
амплитуд сигналов в обоих ушах.
Если от источника малых размеров звук
Рис. 2.29
распространяется одинаково во все стороны, то
сила звука будет убывать с ростом расстояния
от источника. Считая источник практически точечным, опишем из него сферу
произвольного радиуса r м. Пусть мощность источника равна П дж/сек. Тогда сила
звука j на расстоянии r от источника, очевидно, равна
j
П
вт / м 2 ,
2
4r
(2.105)
т. е. убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. В
противоположность этому, для направленного звукового пучка площадь поперечного
сечения пучка, а следовательно, и сила звука должны практически не зависеть от
расстояния до источника.
Однако и в этом случае наблюдается затухание звука, связанное с различными
необратимыми процессами, происходящими в звуковой волне. При колебательных
движениях частиц упругой среды между ними возникают силы внутреннего трения
(вязкость), и за счет работы последних часть звуковой энергии непрерывно переходит
в тепло. Кроме того, как уже указывалось выше, в звуковой волне в каждый данный
момент в соседстве находятся разогретые области сжатия и охлажденные области
разрежения. Вследствие теплопроводности среды разность температур между этими
областями выравнивается, что снижает максимальное давление и максимальное
116
разрежение, т. е. амплитуду звуковой волны. Это в свою очередь связано с
уменьшением энергии колебаний, переходящей в тепло. Таким образом, внутреннее
трение (вязкость) и теплопроводность среды приводят к поглощению звуковой
энергии и непрерывному уменьшению интенсивности распространяющейся звуковой
волны. Если вначале сила звука составляла j9, то после прохождения им участка
длины х сила звука j(x) будет равна
j ( x)  j0e x ,
(2.106)
где  — так называемый коэффициент поглощения звука. Величина  возрастает
примерно пропорционально квадрату частоты звука, поэтому низкие звуки
распространяются дальше высоких. Особенно сильно поглощаются ультразвуки. Так,
при частоте 1 Мгц = 106 гц ультразвук распространяется в воздухе на 5 см.
Коэффициент поглощения звука в воде примерно в 700 раз меньше, чем в воздухе.
Соответственно во столько же раз больше дальность распространения звука. Так, при
частоте 0,1Мгц=105гц она равна в воде 3км. Это обстоятельство позволяет осуществлять связь и гидролокацию в воде на ультразвуковых частотах, при которых
легче создать направленные пучки и избежать уменьшения интенсивности с
расстоянием по закону (2.106). При частотах v  10е гц в газах длина волны
 3  102
 3  10 7 м, т. е. становится сравнимой с длиной свободного
ультразвука   
9
v
10
пробега молекул при атмосферном давлении. Поскольку механическая связь между
соседними объемами газа осуществляется обменом молекул и взаимными
столкновениями последних (см. теорию явлений переноса), то при столь коротких
волнах газ уже нельзя рассматривать как сплошную упругую среду. Практически в
этом случае вся энергия ультразвука будет поглощаться на протяжении одной длины
волны.
В пористых материалах (войлок, бархат, штукатурка и т. п.) воздух заключен в
огромном числе канальцев неправильной формы. При звуковых колебаниях эти
отдельные объемы воздуха
испытывают сильное трение о стенки канальцев, поэтому подобные материалы
интенсивно поглощают падающие на них звуковые волны.
В архитектурной акустике для больших помещений (залы, аудитории) играет
существенную роль так называемая гулкость, или реверберация этих помещений.
Звуки испытывают многократное отражение (эхо) от ограждающих поверхностей и
воспринимаются слушателем в течение некоторого довольно длительного
промежутка времени. Подобная гулкость помещения увеличивает силу доходящего
до нас звука, однако при слишком длительной реверберации отдельные звуки речи
начинают накладываться один на другой и речь перестает восприниматься членораздельно. Поэтому стены залов и аудиторий покрывают специальными
звукопоглощающими материалами для уменьшения гулкости.
Источником звуковых колебаний может служить любое колеблющееся тело:
язычок звонка, камертон, струна скрипки или рояля, столб воздуха в духовых
инструментах и т. п. Те же самые тела могут служить и приемниками звука, когда они
приходят в движение под действием колебаний окружающей их упругой среды. Когда источником или приемником звука служит протяженное тело, обладающее
множеством степеней свободы, то характер его колебаний отличается от
рассмотренного выше идеализированного случая колебаний материальной точки с
одной степенью свободы.
117
Для выяснения возникающих в этом случае качественно новых явлений
рассмотрим пример колебаний струны длины l, закрепленной по краям и
натягиваемой с силой S ньютонов (рис. 2.30,6).
Из условий закрепления струны
вытекает, что концы струны должны
оставаться неподвижными, т. е. на краях
струны всегда должны быть узлы
колебаний. Если других узловых точек на
всей длине струны нет, то струна будет
колебаться как целое (рис.2.30, а) и длина
стоячей волны будет равна удвоенной
длине cтруны:
Рис. 2.30
(2.107)
По аналогии с формулами (2.46) и
(2.47)
скорость
распространения
колебаний вдоль натянутой струны будет
равна:
(2.108)
где ’ — масса единицы длины струны (кг/м). Следовательно, частота колебаний
возникающего звука, так называемого основного тона струны, равна
(2.109)
и зависит от длины струны l, ее массы ' и натяжения S.
По условиям возбуждения струна может начать колебаться и так, как это
изображено на рис. 230, б, т. е. с одним дополнительным узлом посредине. Тогда на

расстоянии l будет укладываться уже одна стоячая волна длиной 1  0 , а
2
соответствующая частота колебаний v1  2v0 . Если по длине струны возникнут два
дополнительных узла, как показано на рис. 2.30, в, то соответствующая длина стоячей

волны 2  0 частота колебаний струны v2  3v0 и т. д. Таким образом,
3
колеблющаяся струна наряду с основным тоном частоты v0 издает еще целый ряд так
называемых обертонов, или высших гармоник с частотами
(2.110)
Примесь этих гармоник к основному тону создает «окраску», или тембр звука.
Различные тела, издающие один и тот же основной тон, или различные люди,
поющие одну и ту же музыкальную ноту, по-разному окрашивают ее примесью
свойственных им гармоник, т. е. их звуки обладают различным тембром. Тембр звука
характеризуется так называемым спектром частот, изображенным на рис.2.31. По оси
абсцисс на этом рисунке отложены частоты, а по оси ординат — амплитуды
отдельных составляющих гармонических колебаний.
Рис. 2.31.
За последние десятилетия широко развилась область технических применений
электроакустики, т. е. преобразования электрических колебаний в звуковые,
118
ультразвуковые и обратного их превращения в электрические колебания. Сейчас же
укажем лишь на некоторые технические применения ультразвука.
Малая длина волны ультразвука обусловливает легкость получения
направленных ультразвуковых пучков. Пропуская пучек
ультразвуковых лучей через металлическую деталь,
можно обнаружить в ней раковины и другие внутренние
дефекты по характерному рассеянию пучка от границ
дефекта и появлению ультразвуковой тени. На этом
принципе основана так называемая ультразвуковая
дефектоскопия, созданная С. Я. Соколовым.
Для определения глубины моря под кораблем
применяют так называемый эхолот. Источник ультразвука
Рис. 2.31
в днище корабля периодически посылает сигналы.
Отражаясь от поверхности дна моря, звук возвращается к
кораблю и попадает в соответствующий приемник. По времени прохождения сигнала
до дна и обратно t определяется глубина моря
(2.111)
Применение обычных звуковых частот может привести к ошибкам в случае
неровного дна, так как волна, отраженная от боковых выступов дна, может вернуться
раньше, чем от точек, расположенных непосредственно под кораблем. Поэтому в
эхолоте существенно применение направленных ультразвуковых пучков. Таким же
образом может быть обнаружено присутствие под водой посторонних тел, например
подводной лодки или рыбного косяка. Эти методы ультразвуковой гидролокации
были изобретены П. Ланжевеном.
Ультразвуковые волны большой амплитуды широко применяются в настоящее
время в технике для механической обработки твердых материалов и т. п.
Как указывалось выше, ультразвуковые волны в воздухе сильно затухают. Это
обстоятельство несколько затрудняет осуществление связи с помощью
ультразвуковых сигналов и передачи их на большие расстояния.
В природе ультразвуковой локацией пользуются летучие мыши. Как показали
наблюдения, слепые летучие мыши охотятся за насекомыми, легко минуя преграды
— ветки деревьев, натянутые провода и т. д. Оказалось, что летучие мыши в полете
периодически испускают свист в диапазоне не улавливаемых человеческим ухом
ультразвуковых частот. В отличие от обычных звуковых волн сравнительно большой
длины короткие ультразвуковые волны хорошо рассеиваются на самых
незначительных преградах. Прослушивая в паузы между испускаемыми сигналами
отраженные и возвращающиеся к ней ультразвуки, летучая мышь легко ориентируется в пространстве.
Колебания с частотами меньше 16 гц — инфразвуки — также могут найти
практическое применение. Укажем лишь на пример так называемого «голоса моря»,
обнаруженного В. В. Шулейкиным. Шторм на море создает длинные звуковые волны,
имеющие низкую частоту (8—13 гц). Скорость ветра и передвижение шторма порядка
20—30 м/сек, скорость же звука и в воздухе и в воде значительно больше. Поэтому
инфразвуковой, очень низкий «голос моря» опережает шторм и сигнализирует о его
приближении. Некоторые морские животные способны воспринимать столь низкие
звуки и прячутся задолго до приближения бури, когда даже барометр еще не
предсказывает шторма. С. В. Доброклонским были
сконструированы
соответствующие приборы, сигнализирующие о приближении шторма.
119
Выход
2.8.8. Отражение волны от границы раздела.
В действительности плоские волны распространяются не в бесконечном
пространстве с неизменными физическими свойствами. На пути волн встречаются
всевозможные препятствия, простейшим из которых является плоская (жесткая
стенка), граница раздела сред с различными параметрами. Препятствия вызывают в
среде появления отраженной и прошедшей волны. Свойства этих препятствий
налагают определенные требования на давление
и скорость частиц акустических волн у границы
препятствия. Эти требования сводятся к
удовлетворению суммарным полем граничных
условий, согласно которым давления и
нормальные
компоненты
колебательной
скорости
полного
поля
должны
быть
непрерывны на границе раздела сред.
Рассмотрим падение плоской звуковой
волны на плоскую границу раздела (z=0) двух
сред (жидких или газообразных) под углом  в
Рис. 2.32
плоскости x0z (рис. 2.32).
Плотности сред обозначим через 1 , 2 , а
скорости звука в них – через С1 и С2. Запишем выражение для падающей, отраженной
и преломленной волн, на основании формулы:
j k x  k y  k z 
р  р1е
.
Учитывая, что в нашем случае k x  k sin  , k y  0 , z  k cos  , эти выражения
принимают следующий вид:
x
y
z
p п  р о п е jk 1  x sin  z cos  ;


p отр  р о отр е jk 1  x sin  z cos   ;

p пр  р о пр е jk 2  x sin  z cos   . 
(2.112)
Здесь индекс n, отр и пр относятся к падающей, отраженной и преломленной волнам
соответственно.
п  р
 отр  р
 пр (при
Применив к выражениям (2.112) граничное условие р
z  0 ), получим:
(2.113)
p о п е jk sin  p о отре jk sin  p о пр е jk sin .
Это равенство должно выполняться для любых значений х, поэтому
k1 sin   k1 sin   k 2 sin  . Отсюда следуют законы Снелля:
(2.114)
   и k1 sin   k 2 sin  .
Соотношения (2.114) свидетельствуют о равенстве фазовых скоростей волн,
распространяющихся вдоль границы в первой и второй средах. Его можно записать в
k
C
sin 
 n , где n  2  1 - показатель преломления. Обозначим коэффициенты
виде
sin 
k 1 C2
1
отражения и прохождения волн в виде: V 
1
p o отр
р о п
(2.113) с учетом (2.114). Тогда:
120
2
, W 
p o пр
р о п
и запишем соотношение
1V  W .
(2.115)
Второе граничное условие, согласно которому нормальные составляющие
колебательных скоростей непрерывны, запишем в виде:
(2.116)
v zп  v zотр  v zпр (при z  0 ).
Поскольку для гармонических волн из уравнения Эйлера 
что v 
дv
 p  0 , следует,
дt
p
1 др
, а следовательно, v z 
, то условие (2.116) преобразуется к виду:
j 
j дz
k1 cos 
k cos 
 p o п  р о отр   2
p o пр ,


 1
 2
Откуда с учетом введенных выше коэффициентов отражения и прохождения
получим, что:
cos  C1  1
1 V 
W.
cos  C 2  2
Решив это уравнение совместно с уравнением (2.115) и введя обозначение

m  2 , получим:
1
m cos   n cos 
2m cos 
.
V
; W
m cos   n cos 
m cos   n cos 
Из этих формул пользуясь законом Снелля, можно исключить угол преломления :
m cos   n 2  sin 2 
2m cos 
V
; W
.
(2.117)
m cos   n 2  sin 2 
m cos   n 2  sin 2 
Разделив числитель и знаменатель уравнения (2.124) на cos , получим:
m cos   n 2  n 2  1tg 2
2m cos 
. (2.118)
V
; W
m cos   n 2  n 2  1tg 2
m cos   n 2  n 2  1tg 2
Рассмотрим разные формы представления коэффициентов V и W, удобные при
решении различных частных задач.
При нормальном падении волны на границу раздела (=0):
m  n  2 C 2   1 C1
2m
.
V

; W
m  n  2 C 2   1 C1
mn


При скользящем падении    получим V  1; W  0 .

2
Анализ выражений (2.117) показывает, что при некоторых условиях звуковая
энергия целиком переходит во вторую среду. Угол полной прозрачности границы
можно определить, приравняв нулю коэффициент отражения. Тогда из первой
n2  1
. Отсюда следует, что коэффициент
m2  n2
n2  1
 0 , т.е. при выполнении
отражения может обращаться в нуль при условии 2
m  n2
соотношений m  n  1 и m  n  1 . При равенстве скоростей звука в обеих средах
n  1 коэффициенты отражения и преломления не зависят от угла падения:
m 1
2m
V 
; W
.
m1
m1
формулы (2.118) получаем ctg 2  
121
Зависимость коэффициентов отражения и
прохождения от величины угла  видна из
формул (2.118). Так, при n  1 коэффициент
отражения монотонно убывает при увеличении
угла  от
m1
m1
до –1. График зависимости
коэффициента отражения V от угла  при
различных соотношениях между m и n показаны
на рис.2.33.
При n  1 V растет от
Рис. 2.33
m1
m1
до 1 при
некотором критическом угле падения (рис.2.34).
Если угол падения больше критического,
рассмотрение коэффициентов отражения и
прохождения
невозможно
поскольку
n 2  sin 2  - мнимое число. При угле падения

   кр  arcsin n угол преломления равен
,
2
волна распространяется параллельно границе
сред, т.е. происходит полное внутреннее
отражение. В этом случае первое из выражений
(2.117) можно записать как:
V 
Рис. 2.34
m cos   j sin 2   n 2
m cos   j sin 2   n 2
.
(2.119)
Отражение является полным, т.к. V  1 . Поскольку V  V e j , где  - фаза
коэффициентов отражения, то из уравнения (2.119) получим:
sin 2   n 2
.
(2.120)
  2arctg
m cos 
Фаза коэффициента отражения  изменяется от 0 до  при возрастании угла

падения  от  до .
2
Коэффициент отражения при этом уменьшается от +1 до –1. Фазу коэффициента
отражения можно интерпретировать как уменьшение длины пробега отраженной

волны на величину , разную для волн с различными частотами, поскольку  не
k
зависит от частоты. Поэтому при падении на границу раздела сред негармонической
плоской волны под углом    кр форма ее в результате отражения изменится.

Например, для границы воздух-вода  кр  .
14
Определим поля при полном внутреннем отражении в первой и второй средах. В
первой среде:
122
р 1  р п  р отр  р п  р n е
j
 p o п е



j  k 1 x sin  
2



 j  k1 z cos   2 
 j  k 1 z cos    
2 



е
е






  j  k1 x sin  2 

 2 p o п cos  k 1 z cos   е 
.
2

Поскольку
p1  Re p 1e  j t , то результирующее поле характеризуется
поверхностями постоянной фазой k1 x cos   t  const и постоянной амплитуды

k 1 z cos  

2

 const , из которых следует, что формула (2.120) описывает плоские
волны, волновые поверхности которых определяются уравнением z  const . При
полном внутреннем отражении в первой среде возникает неоднородная плоская
волна, поверхности равных фаз которой перпендикулярны к поверхностям равных
амплитуд и с увеличением времени t распространяются в направлении оси х, т.е.


 v1  .
вдоль поверхности раздела сред, с фазовой скоростью vф 
k 1 sin 
k
Подставив в выражение (2.112) для прошедшей волны значение cos 
соответствующее полному внутреннему отражению, определяемое на основании
k 
sin 2   n 2
закона Снелля как cos    1  sin 2    j sin 2   1   j
  j 1 , (где
n
  sin 2   n 2
 k1 z jk1  sin
.
р пр  p o пр е
e
вещественная
положительная
k2
величина),
получим
Таким образом, во второй среде также образуется неоднородная плоская волна,
распространяющаяся вдоль границы раздела с той же фазовой скоростью


Vф 
 V2  , амплитуда которой экспоненциально затухает при удалении от
k1 sin 
k2
границы.
Отражение волн от границы раздела сред не может быть полным, если в
нижней среде имеется поглощение звуковой энергии, как это часто бывает в
действительности. Поглощение можно формально учесть, полагая величину k2 или п
комплексной, т. е. k2 = k' + jk". Тогда из закона Снелля следует, что sin будет комплексным.
Рассмотрим поле во второй среде. Для этого необходимо, как видно из (2.119),
определить k2 sin  и k2 cos  . Так как k2 sin   k1 sin  —вещественная величина, введем
следующее обозначение:
Величина
k2 cos 
следовательно:
Рис. 2.35
Для
поля
во
является
второй
(2.121)
комплексной,
среде
(2.122)
получим
выражение
которое
при
положительном значении  определяет затухающую вдоль оси z волну. Плоскости
постоянной амплитуды и постоянной фазы этой волны описываются уравнениями:
(2.123)
123
Рис. 2.36
Очевидно, что плоскости равных амплитуд и
фаз не совпадают друг с другом (рис.2.35), т.е. в
поглощающей среде возникает неоднородная
плоская волна, направление распространения
которой определяется нормалью к плоскости
постоянной фазы.
Определим истинный угол преломления ,
записав уравнение плоскости фронта волны (рис.
2.36) в виде
(2.124)
Сопоставив уравнения (2.123) и (2.124),
получим:
На основании (2.121) и (2.122), получим:
поэтому ctg  Re ctg .
Выход
Вопросы для самопроверки.
1. Упругие волны.
2. Какие возмущения бывают в упругом теле, жидкости и газе.
3. Скорость распространения упругих волн в твердом теле, газе и 4. жидкости.
4. Энергия упругой волны (общее выражение).
5. Плотность энергии.
6. Что такое поток энергии?
7. Вектор Умова и что он определяет?
8. Возникновение стоячих волн.
9. Что такое эффект Допплера.
10. Звук. Источники, приемники звука. Распространение звука. Какие звуки
бывают.
Выход
124
2.9. Электромагнитные волны.
Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного
поля (т.е. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве.
c
v
В зависимости от частоты v (или длины волны в вакууме   ), а также способа
излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн:
радиоволны, оптическое излучение (или свет), рентгеновское излучение и гаммаизлучение.
Радиоволнами называются электромагнитные волны, длина  которых в
вакууме больше 5  10 5 м ( v  6  10 12 Гц). В связи с особенностями распространения и
генерации весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (табл. 2.1.)
Таблица 2.1.
Название поддиапазона
Длина волны, м
Частота, Гц
радиоволн
Сверхдлинные
Более 104
Менее 3  10 4
Длинные
104-103
3  10 4  3  10 5
Средние
Короткие
Метровые
Дециметровые
Сантиметровые
Миллиметровые
Субмиллиметровые
3  10 5  3  10 6
3  10 6  3  10 7
3  10 7  3  10 8
3  10 8  3  10 9
3  10 9  3  1010
3  1010  3  1011
3  1011  6  1012
103-102
102-10
10-1
1-,01
0,1-0,01
10-2-10-3
10-3-5*10-5
Оптическим излучением или светом называются электромагнитные волны
(электромагнитное излучение), длины которых в вакууме лежат в диапазоне от 10 нм
до 1 мм (границы условны).
К
оптическому
излучению
относятся
инфракрасное,
видимое
и
ультрафиолетовое излучение.
Инфракрасным излучением (ИК) называется электромагнитное излучение,
испускаемое нагретыми телами, длины волн которого в вакууме лежат в пределах от
1мм до 770 нм (1нм = 10-9 м).
Видимым излучением, или видимым светом, называется электромагнитное
излучение с длинами волн в вакууме от 770 до 380 нм, которое способно
непосредственно вызывать зрительное ощущение в человеческом глазе.
Ультрафиолетовым излучением (УФ) называется электромагнитное излучение
с длинами волн в вакууме от 380 до 10 нм.
Рентгеновским излучением, или рентгеновскими лучами, называется
электромагнитное излучение, которое возникает при взаимодействии заряженных
частиц и фотонов с атомами вещества и характеризуется длинами волн в вакууме,
лежащих в широком диапазоне с условными границами от 10-100 нм до 0,01-1 пм.
Гамма-излучением, или гамма-лучами, называется электромагнитное
излучение с длинами волн в вакууме менее 0,1 нм, которое испускается
возбужденными атомами ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных
реакциях, а также возникает при распаде частиц, аннигиляции пар "частицаантичастица" и других процессах.
Выход
125
2.9.1. Свойства электромагнитных волн.
2.9.1.1. Волновое уравнение.
Переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, в свою очередь,
тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает
электрическое и т.д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся
зарядов переменное электромагнитное поле, в окружающем заряды пространстве
возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного
полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во
времени и в пространстве и, следовательно представляет собой волну.
Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений
Максвелла. Для области электромагнитного поля, не содержащей свободных
электрических зарядов и макроскопических токов, уравнения Максвелла имеют
следующий вид:
B
D
, rotH 
,
t
t
divD  0 , divB  0 ,
rotE  
(2.125)
где Е - напряженность электрического поля;
Н - напряженность магнитного поля;
D - электрическая индукция;
B - магнитная индукция.
Если среда – однородный и изотропный диэлектрик, не обладающий
сегнетоэлектрическими или ферромагнитными свойствами, то
D  0 Е и B  0 Н ,
где  и  - постоянные электрическая и магнитная проницаемости, не зависящие
ни от координат, ни от времени;
0 и 0 – электрическая и магнитная постоянные.
В этом случае уравнения Максвелла (2.125) можно переписать в форме
Н
Е
, rotH  0
,
t
t
divЕ  0 , divН  0 ,
rotE   0
(2.126)
или в проекциях на оси декартовых координат:
H y
Е y Еx
Еz Е у
H x Ех Еz
H z

  0
,

  0
,

  0
,
у
z
t
z
x
t
x
y
t
Ex E y Ez


 0,
x
y
z
Е y
Н y Н x
Н z Н у
Е
Н х Н z
Е

 0 x ,

 0
,

 0 z
у
z
t
z
x
t
x
y
t
H x H y H z


 0.
x
y
z
Из (2.127) следует, что
126
(2.127)
H y    H z    H z 
 2 Ex
  H
1    Ex E y 

  z

 

 
 
2
t
t  y
z  y  t  z  t  0  y  y
x 
  E E 
1   2 Ex  2 Ex   E y Ez 
1   2 Ex  2 Ex  2 Ex 

.


  x  z  








z  z
x  0  y 2
z 2 x  y
z  0  y 2
z 2
x 2 
0
Таким образом, Ех удовлетворяет волновому уравнению
 2 Ех
0.
t 2
 2 Е х  0  0
:
(2.128)
Аналогично можно сказать, что
2 Еy
 2 Еz
 0,
t 2
t 2
2 H y
2 H x
2H z
2
2
2
 H x  0 0

0

H




0
,

H



 0.
y
0
0
z
0
0
t 2
t 2
t 2
 Е y  0 0
2
 0 ,  2 Е z  0 0
т.е.
2Е
 0.
t 2
2H
 2 H  0 0 2  0.
t
 2 Е  0 0
(2.129)
Уравнения (2.123) описывают собой типичные волновые уравнения. Всякая
функция, удовлетворяющая таким уравнениям, описывает некоторую волну, фазовая
скорость которой

где с 
1
 0 0
с

,
(2.130)
- скорость электромагнитных волн в вакууме.
Оказалось, что с  3  10 8 м / с , т.е. совпадает со скоростью света в вакууме.
Поэтому Максвелл еще задолго до экспериментального подтверждения
существования электромагнитных волн (впервые экспериментально доказал
существование электромагнитных волн Г. Герц в 1888 г., спустя 9 лет после смерти
Максвелла) высказал гипотезу о том, что свет – это электромагнитные волны.
Выход
2.9.1.2. Плоская электромагнитная волна.
Исследуем плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в
нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями  и  (=0 –
плотность заряда, j  const - плотность тока,   const ,   const ). Направим ось х
перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н , а значит и компоненты
по координатным осям, не будут зависеть от координат у и z. (2.127) примут
127
следующий вид:
0  0
E y
H y
Ex H z
Е
,
 0
,
 0 z ,
t
x
t
x
t
(2.131)
Ех Ех

0,
х
t
0  0
(2.132)
H y Е y
H x Еz
H z
,
,
 0
,
  0
t
x
t
x
t
(2.133)
H х H х

 0.
х
t
(2.134)
Уравнение (2.132) и первое уравнение (2.131) показывают, что Ех не может
зависеть ни от х, ни от t. Уравнение (2.134) и первое уравнение (2.133) дают такой же
результат для Нх. Следовательно, отличные от нуля Ех и Нх могут быть обусловлены
лишь постоянными ординатами поля, накладывающимися на электромагнитное поле
волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси х. Отсюда вытекает, что
векторы Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны, т.е. что
электромагнитные волны поперечные. В дальнейшем мы будем предполагать
постоянные поля отсутствующими и полагать Ех  Н х  0 .
Два последних уравнения (2.131) и (2.133) можно объединить в две независимые
группы:
Е y
x
  0
E y
H z
H z
,
 0
,
t
x
t
(2.135)
H y H y
Еz
H z
 0
,
 0
.
x
t
x
t
(2.136)
Первая группа уравнений связывает компоненты Еу и Нz, вторая – компоненты Еz
и Ну. Допустим, что сначала было создано переменное электрическое поле Еу,
направленное вдоль оси у. Согласно второму из уравнений (2.135) это поле создает
магнитное поле Нz, направленное вдоль оси z. В соответствии с первым уравнением
(2.135) поле Нz создает электрическое поле Еу, и т.д. Ни поле Еz, ни поле Ну при этом
не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле Еz, то согласно
уравнениям (2.136) появится поле Ну, которое возбудит поле Еz, и т.д. В этом случае
не возникают поля Еу и Нz. Таким образом для описания плоской электромагнитной
волны достаточно взять одну из систем уравнений (2.135) или (2.136), положив
компоненты, фигурирующие в другой системе равными нулю.
Возьмем для описания волны уравнение (2.135), положив
Продифференцируем первое уравнение по х и произведем замену:
Подставим затем
Е z Н y  0 .
 H z
 H z

.
x t
t x
H z
из второго уравнения, получим волновое уравнение для Еу:
x
2 Еy
x 2
 0
2 Ey
t 2
.
(2.137)
Продифференцировав по х второе уравнение (2.135), найдем после аналогичных
преобразований волновое уравнение для Нz:
128
2Н z
2H z
.


0
x 2
t 2
(2.138)
Полученные уравнения представляют собой частный случай уравнений (2.129).
Напомним, что Е z  Н y  0 и Ех  Н х  0 , так что Е у  Е и Н z  H . Мы
сохранили в (2.137) и (2.138) индексы у и z при Е и Н, чтобы подчеркнуть то
обстоятельство, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных
осей у и z.
Простейшим решением уравнения (2.137) является функция
Е у  Еm cos t  kz   1  .
(2.139)
Решение (2.138) имеет аналогичный вид:
H z  H m cost  kz   2  .
(2.140)
В этих формулах  - частота волны, k – волновое число, 1, 2 – начальные фазы
колебаний в точках с координатой х=0.
Подставим функции (2.139) и (2.140) в уравнения (2.135):
kЕm sin t  kz  1   0H m sin t  kz   2  ,
kHm sin t  kz   2   0Em sin t  kz  1  .
Для того, чтобы уравнения удовлетворялись, необходимо равенство начальных
фаз 1 и 2. Кроме того, должны выполняться соотношения
kEm  0H m , 0Em  kHm .
Перемножив эти два равенства, найдем, что:
0 Em2   0 H m2 .
(2.141)
Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в
электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой, а амплитуда этих векторов
связаны соотношением:
Еm 0  H m 0 .
(2.142)
Для волны распространяющейся в вакууме:
W0 
Em

Hm
0
 4  10 7  4  9  10 9  120  377 ,Ом
0
(2.143)
где W0 – называется волновым сопротивлением.
Выход
2.9.2. Энергия электромагнитных волн.
Электромагнитные волны переносят энергию. Согласно формуле j   (2.64)
плотность потока энергии можно получить, умножив плотность энергии на скорость
волны.
Рассмотрим случай, когда электромагнитная волна распространяется в вакууме.
В этом случае скорость волны равна с. Плотность энергии электромагнитного поля 
129
слагается из плотности электрического и магнитного полей.
  Е Н 
(в соответствии с формулами  
0 Е 2
и 
2
0 Е 2

2
0 Н 2
2
0 Н 2
2
(2.144)
; для вакуума     1 ).
В данной точке пространства векторы Е и Н изменяются в одинаковой фазе
(это справедливо только для вакуума и непроводящей среде, в проводящей среде
фазы Е и Н не совпадают). Поэтому соотношение Еm 0  H m 0 (2.142) между
амплитудными значениями Е и Н справедливо и для их мгновенных значений.
Положив в (2.142)     1 , придем к соотношению
Еm  0  H m 0 .
(2.145)
Отсюда следует, что плотности энергии электрического и магнитного полей волны в
каждый момент времени одинаковы:  Е   Н .
С учетом (2.145) выражению (2.144) можно придать вид:
 


 


1
1
1
Е  0 Е  0  Н 0 Н 0   0 0 ЕН  ЕН .
2
2
с
Умножив найденное выражение для  на скорость волны с, получим модуль
плотности потока энергии
П  с  ЕН .
(2.146)
Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением
распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора Е Н 
совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН.
Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно
представить как векторное произведение Е и Н :
 
П  ЕН .
(2.147)
Вектор П - называется вектором Умова-Пойнтинга (вектором Пойнтинга).
В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны,
распространяющейся вдоль оси положительного направления оси Х0, напряженность
поля Е  А sint  kx . Соответственно объемная плотность энергии этой волны
  0 А 2 sin 2 t  kx .
(2.148)

в

пределах от 0 до  max   0 А 2 . Среднее за период значение  пропорционально
квадрату амплитуды напряженности поля:
Значение  в каждой точке поля периодически колеблется с частотой
 



1
 dt  0 A 2 .

 0
2
(2.148 ')
Следовательно, вектор П равен
П
0 2 2
А sin t  kx .
0
130
(2.149)
Если плоска монохроматическая волна, имеет произвольную (эллиптическую)
поляризацию, то Е 2  Е у2  Е z2 и в соответствии с
E y  A1 sin t  kx, H y  
0
Ez ,
 0
E z  A2 sin t  kx   , H z  
 0
Ey ,
 0
тогда плотность и среднее значение плотности энергии этой волны, имеют
следующий вид:
  0 A12 sin 2 t  kx  A22 sin 2 t  kx   ,
(2.150)
  0 A12  A22 .
1
2
В этом случае вектор П равен:
П
0 2 2

А1 sin t  kx  А22 sin 2 t  kx   .
0
(2.151)
Выход
2.9.3. Излучение электрического диполя.
Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающем пространстве называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей системой. Поле электромагнитных волн называется полем излучения.
Согласно представлениям классической электродинамики электромагнитные
волны возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением (в
частности, электрической цепью, ток в которой изменяется).
Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент pe
которого изменяется с течением времени.
Электрический диполь представляет собой – элементарный вибратор (рис.2.37),
т.е. два шарика, несущих заряды  q , синусоидально
меняющиеся со временем, причем расстояние l между
центрами шариков (абсолютная величина вектора l ,
направленная от центра шарика с зарядом –q к центу
шарика с зарядом +q) мало по сравнению с длинной волны
 в окружающей среде.
Такой «колеблющийся» диполь называется осРис. 2.37
циллятором,
или
элементарным
вибратором.
Осцилляторами широко пользуются в физике для
моделирования и расчета полей излучения реальных систем. Если излучающая
система электронейтральна, а ее размеры малы по сравнению с длиной  излучаемых
волн, то в волновой зоне системы, т. е. в точках, отстоящих от системы на расстояниях
r>>, поле излучения близко к нолю излучения осциллятора, имеющего такой же
электрический момент, как и вся излучающая система.
131
Рассмотрим некоторые закономерности излучения линейного гармонического
осциллятора—электрического диполя, электрический момент
которого
pe
изменяется во времени но гармоническому закону:
pe  p0 sin  t .
где p 0 — амплитудное значение pe .
Электрический момент диполя p e  ql , где l — вектор, соединяющий
отрицательный и положительный заряды диполя (плечо диполя), а q - абсолютное
значение этих зарядов. Изменение pe во времени может быть обусловлено тем, что
либо q, либо l является функцией времени.
Мгновенная мощность излучения диполя, как показывает теория, равна
2
 d 2 pe
.
N 0
6 c dt 2
Для линейного гармонического осциллятора
(2.152)
d 2 pe
  2 p e   2 p 0 sin  t ,
2
dt
  4 p 04 sin 2  t
N 0
.
6 c
Средняя мощность излучения диполя за промежуток времени, равный периоду Т
колебаний,
T
1
 0  4 p02
(1.153)
N   N dt 
T0
12 c
Диполь излучает не одинаково в различных направлениях. Интенсивность
излучения диполя в волновой зоне
sin 2 
I
,
r2
(1.154)
где  - угол между осью диполя и направлением излучения.
Зависимость I   при фиксированном r
Рис. 2.38
(рис.2.38) называют полярной диаграммой
направленности излучения диполя.
Из этой диаграммы видно, что диполь всего сильнее излучает в направлениях

  , т. е. в плоскости, проходящей через середину диполя перпендикулярно его
2
оси. Вдоль своей оси (   0; ) диполь не излучает совсем.
Формула (2.152) справедлива также для излучения произвольной системы точечных электрических зарядов q1, q2, ... , qn движущихся с малыми скоростями (  i  c ).
Если положение i-го заряда определяется радиусом-вектором ri , то электрический
(дипольный) момент системы зарядов
n
pe   qi ri ,
i 1
n
d 2 pe

qi ai ,

dt 2
i 1
132
где ai 
d 2 ri
—ускорение 1-го заряда.
dt 2
В частности, для одного заряда q мощность излучения пропорциональна произведению квадрата модуля его ускорения а на q2:
0 q 2 a 2
.
(2.155)
6 c
Рассмотренные выше результаты были использованы в приближенной классической теории излучения атомов, согласно которой это излучение обусловлено колебаниями электронов около их положений равновесия в атомах. Если электрон
колеблется с циклической частотой  и амплитудой l0, то, по формуле (2.153),
средняя мощность излучения атома
  4 e2l02
,
(2.156)
N  0
12 c
где е — абсолютное значение заряда электрона.
В действительности свободные колебания электрона являются не гармоническими, а затухающими, так как энергия колебаний расходуется на излучение. За время dt
энергия электрона уменьшается на
  4 e2l02 dt
.
(2.157)
dW  N dt  0
12 c
N
1
2
Механическая энергия электрона, масса которого me, W  me 2 l 02 , причем
амплитуда затухающих колебаний по формуле А  А0 е  dt равна
l 0  l 00 e
 dt
 l 00 e

t
T
,
где l00— амплитуда в начальный момент времени t=0;
d — коэффициент затухания;
2d
  dT 
— логарифмический декремент затухания.

Таким образом.
W
1

2  2 dt
2  2 dt
me 2 l 00
e , dW  dme 2 l 00
e dt  2dWdt  
Wdt .
2

Подставляя это выражение для dW в (1.157), находим коэффициент и логарифмический декремент затухания:
 0  4 e 2l02
 0 e 2 2
d

,
12 c 2W
12 c me
(1.158)
 0 e 2 2
 
.
6 c me
Промежуток времени
уменьшается в е раз, равен
,
за
который

амплитуда
колебаний
1 12 cme
.

d  0 2 e 2
электрона
(2.159)
Зa это время электрон совершает п полных колебаний, причем
n
1


6 cme
.
 0 e 2
133
(2.160)
В классической теории излучения время  называют средним временем жизни
излучающегося атома, а так же временем высвечивания.
Выход
2.9.4. Отражение и преломление плоской волны на границе двух
диэлектриков.
Пусть плоская электромагнитная волна падает на плоскую границу раздела двух
однородных и изотропных диэлектриков. Диэлектрик, в котором распространяется
падающая волна, характеризуется проницаемостью 1, второй диэлектрик—проницаемостью 2. Магнитные проницаемости полагаем равными единице. Опыт показывает,
что в этом случае, кроме распространяющейся во втором диэлектрике плоской
преломленной волны, возникает плоская отраженная волна, распространяющаяся в
первом диэлектрике.
Определим направление распространения падающей волны с помощью
волнового вектора k , отраженной волны — с помощью вектора k ' и, наконец,
преломленной волны — с помощью вектора k ' ' . Найдем, как связаны направления k '
и k ' ' с направлением k . Это можно сделать, воспользовавшись тем, что на границе
двух диэлектриков должно выполняться условие
(2.161)
E1  E2
Здесь E1 и E2 — тангенциальные составляющие напряженности
электрического поля в первой и второй среде соответственно.
Соотношение (2.161) справедливо для электростатических полей, однако его
легко распространить и на поля, изменяющиеся со
временем.
Согласно
уравнению
E    Bt
E   0, D  
определяемая
выражением
циркуляция E в случае переменных полей должна
быть равна не нулю, а интегралу   B dS , взятому по площади контура,
Рис. 2.39
 
изображенного на рис. 2.39:
 E dl  E
l
1x
a  E2 x a  Eb 2b  

 B dS ,
S  a b
где Еb - среднее значение El на перпендикулярных границе участках контура.
Поскольку B конечно, при предельном переходе b  0
интеграл в правой части обращается в нуль, и мы приходим к
условию E1x  E2 x , из которого следует E1  E2 .
k,
Пусть
вектор
определяющий
направление
распространение падающей волны, лежит в плоскости
чертежа (рис. 2.40).
Направление нормали к поверхности раздела
охарактеризуем вектором n . Плоскость, в которой лежат
Рис. 2.40
векторы k и n , называется плоскостью падения волны.
Возьмем линию пересечения плоскости падения с границей раздела диэлектриков в
качестве оси х. Ось у направим перпендикулярно к плоскости раздела диэлектриков.
Тогда ось z будет перпендикулярна к плоскости падения, а вектор  окажется
134
направленным вдоль оси х (см. рис. 2.40). Углы  , ' и ' ' называются углом
падения, углом отражения и углом преломления.
Выделим из естественного падающего луча плоскополяризованную
составляющую, в которой направление колебаний вектора E образует с плоскостью
падения произвольный угол. Колебания вектора E в плоской электромагнитной
волне, распространяющейся в направлении вектора k , описываются функцией
j t  k x  k y 
E  E e j t  kr   E e
x
m
y
m
(при сделанном нами выборе осей координат проекция вектора k на ось z равна
нулю, поэтому в показателе экспоненты отсутствует слагаемое — kz z ). За счет выбора
начала отсчета t мы сделали начальную фазу волны равной нулю.
Напряженности в отраженной и преломленной волнах определяются
аналогичными выражениями:
E '  E 'm e

j  't  k ' x x  k ' y y  a '

, E ' '  E ' 'm e

j  ' 't  k ' ' x x  k ' ' y y  a ' '
( a' и a' ' — начальные фазы соответствующих волн).
Результирующее поле в первой среде равно
E1  E  E '  Em e

j t k x x k y y

 E 'm e

j  't k ' x x k ' y y  a '

.

(2.162)
Во второй среде
E2  E ' '  E ' ' m e

j  ''t k '' x x k '' y y  a ''

.
(2.163)
Согласно E1  E2 (2.161) тангенциальные составляющие выражений (2.162) и
(2.163) на поверхности раздела, т. е. при у = 0, должны быть одинаковыми.
Следовательно, мы приходим к соотношению
(2.164)
Для того чтобы условие (2.164) выполнялось при любом t, необходимо
равенство всех частот:
(2.165)
Чтобы убедиться в этом, напишем равенство (2.164) в виде
(2.166)
где коэффициенты а, b и с не зависят от t. Написанное нами равенство эквивалентно
следующим двум:
Сумма двух гармонических функций будет также гармонической функцией
только в том случае, если складываемые функции имеют одинаковые частоты.
Получающаяся в результате сложения гармоническая функция имеет ту же частоту,
что и складываемые функции. Отсюда следует соотношение (2.165). Таким образом,
мы пришли к выводу, что частоты отраженной и преломленной волн совпадают с
частотой падающей волны.
Для того чтобы условие (2.164) выполнялось при любом х, необходимо
равенство проекций волновых векторов на ось х:
(2.167)
Из рисунка видно, что k x  k sin  , k' x  k' sin ' , k' ' x  k' ' sin ' ' . Поэтому
соотношение (2.167) можно написать в виде:
135
Векторы k и k ' имеют одинаковый модуль, равный
равен

; модуль вектора k ' '
1

. Следовательно,
2
Отсюда вытекает, что
(2.168)
(2.169)
Полученные нами соотношения выполняются для любой плоскополяризованной
составляющей естественного луча. Следовательно, они справедливы и для
естественного луча в целом.
Соотношение (2.168) выражает закон отражения света, согласно которому
отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью,
восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.
Соотношение (2.169) образом: преломленный луч лежит в одной плоскости с
падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса
угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных
веществ.
Фигурирующая в формуле (2.169) величина n12 называется относительным
показателем преломления второго вещества по отношению к первому. Представим
эту величину в виде
(2.170)
Таким образом, относительный показатель преломления двух веществ равен
отношению их абсолютных показателей преломления. Заменив в формуле (2.169) n12
отношением
n2
, можно представить закон преломления в виде:
n1
(2.171)
Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной
среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела
сред. Увеличение угла падения  сопровождается более быстрым ростом угла
преломления ' ' , и по достижении углом  значения
(2.172)

угол ' ' становится равным . Угол, определяемый формулой (2.171), называется
2
предельным углом.
Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между
отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения
интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча
убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в

пределах от  пред пред до , световая волна проникает во вторую среду на расстояние
2
порядка длины волны  , и затем возвращается в первую среду. Это явление
называется полным внутренним отражением. Угол падения Бр , при котором
отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны, называется углом
Брюстера.
136
Найдем соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и
преломленной волн. Для простоты ограничимся случаем нормального падения
плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с
показателями преломления n1 и n 2 . Обозначим электрическую составляющую в
падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через E , E ' и E ' ' , а
магнитную составляющую через H , H ' и H ' ' . Из соображений симметрии следует,
что колебания векторов E ' и E ' ' происходят вдоль того же направления, что и
колебания вектора E . Аналогично колебания векторов H ' и H ' ' происходят вдоль
направления вектора H .
В данном случае нормальные составляющие векторов E и H равны нулю.
Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими
векторами. На рис. 2.41 изображены мгновенные значения векторов E и H в падающей, отраженной и преломленной волнах.
На рисунке показаны также орты e , e ' и e ' '
направлений, вдоль которых распространяются
соответствующие волны. Рисунок выполнен в
предположении, что направления векторов E и E ' '
одинаковы, а векторов E и E ' противоположны (в
этом случае векторы H , H ' и H ' ' направлены за чертеж).
Действительные
соотношения
между
направлениями векторов определятся расчетом.
Модули векторов E и H связаны соотношением

H  nE 0 . Тройка вектора E , H , e образует
Рис. 2.41
0
правовинтовую систему. С учетом сказанного можно написать, что

(2.173)
H  n1 0 e E  .
0
Аналогичные соотношения имеют место и для векторов в отраженной и
преломленной волнах.
Напишем условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов E и
H (на основании формул E1  E2 и H 1  H 2 ):
(2.174)
E  E ' E '' ,
(2.175)
H  H ' H '' .
Напомним, что значения векторов берутся в непосредственной близости к
границе раздела.
Заменив в (2.175) векторы H векторами E в соответствии с формулой (2.173),
0
получим (после сокращения на
)
0
n1 e E   n1 e ' E '  n2 e ' ' E ' '.
Учтя, что e  e ' '  e ' преобразуем последнее соотношение следующим образом:
n1 e E   n1 e ' E '  n2 e ' ' E ' ' .
Отсюда
e , n1 E   e , n1 E 'n2 E ' '.
Поскольку векторы e и E взаимно перпендикулярны, из полученного равенства
вытекает, что
137
n1 E  n1 E 'n2 E ' ' .
(2.176)
Решив совместно уравнения (2.174) и (2.176), получим соотношения
n1  n2
(2.177)
E.
n1  n2
2n1
(2.178)
E ''
E.
n1  n2
Из формулы (2.178) вытекает, что векторы E и E' ' имеют в каждый момент
E'
времени одинаковое направление. Отсюда заключаем, что колебания в падающей и в
прошедшей во вторую среду волнах происходят на границе раздела в одинаковой
фазе — при прохождении волны через эту границу фаза не претерпевает скачка.
Из формулы (2.177) вытекает, что при n2  n1 направление вектора E ' совпадает
с направлением вектора E . Это означает, что колебания в падающей и отраженной
волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе — фаза волны при
отражении не изменяется. Если же n2  n1 , то направление вектора E ' противоположно направлению E . Это означает, что колебания в падающей и отраженной
волнах происходят на границе раздела в противофазе — фаза волны при отражении
изменяется скачком на . Полученный результат справедлив и при наклонном
падении волны на границу раздела двух прозрачных сред. Отметим, что показанное
на рис. 2.36 направление векторов E , E ' и E' ' согласуется с результатом вычислений
для случая n2  n1 .
Итак, при отражении световой волны от границы раздела среды, оптически
менее плотной со средой оптически более плотной (при n2  n1 ) фаза колебаний
светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела
среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной (при n2  n1 )
такого изменения фазы не происходит.
Подставив в выражение n1 E ' 2 n2 E ' ' 2 значения (2.177) и (2.178) для E ' и E ' ' ,
придем после несложных преобразований к соотношению
Это соотношение получено для мгновенных значений Е. Аналогичное
соотношение имеет место и для амплитудных значений светового вектора:
(2.179)
Согласно ( I  nE  nA ) выражение n1 E можно трактовать как величину,
пропорциональную интенсивности I падающей волны, n1 E'm2 — как величину,
пропорциональную интенсивности I ' отраженной волны, n2 E' 'm2 — как величину,
пропорциональную интенсивности I ' ' преломленной волны. Таким образом,
соотношение (2.170) выражает закон сохранения энергии.
Полученные соотношения позволяют найти коэффициент отражения  и
коэффициент пропускания  световой волны (для случая нормального падения на
границу раздела-двух прозрачных сред). Действительно, по определению:
2
m
2
Подставив в это выражение отношение
2
m
E' m
n n
, полученное из E '  1 2 E (2.177),
n1  n2
Em
придем к формуле
138
(2.180)
где n12 
n2
— показатель преломления второй среды по отношению к первой.
n1
Для коэффициента пропускания получается выражение
(2.181)
Легко убедиться в том, что сумма    , как и должно быть, равна единице.
Отметим, что замена в формуле (2.181) n12 на обратную ему величину n 21 
1
n12
не изменяет значения . Следовательно, коэффициент отражения поверхности
раздела двух данных сред для обоих направлений распространения света имеет
одинаковое значение.
Показатель преломления стекол близок к 1,5. Подстановка в формулу (2.180)
n12  1,5 дает   0,04 . Таким образом, каждая поверхность стеклянной пластинки
отражает (при падении, близком к нормальному) около 4% упавшей на нее световой
энергии.
Выход
2.9.5. Показатели преломления и поглощения. Глубина
проникновения.
В природе нет идеальных диэлектриков и всякая среда обладает некоторой
проводимостью, поэтому большое значение имеет решение задач, связанных с
распространением электромагнитных волн в полупроводниковых средах (морская
среда, толща земной коры, ионизированные слои атмосферы и т.д.). Проходя через
полупроводниковую среду, волна отдает часть энергии на возбуждение
вынужденных колебаний электронов, которые затем рассеивают приобретенную
энергию в виде энергии излучения. При этом в среде наводятся токи, что вызывает
тепловые потери энергии волны. Таким образом, по мере распространения волн в
полупроводниковой среде происходит поглощение части их энергии.
Целесообразно исследовать поведение плоских однородных гармонических волн
при учете поглощения. Поглощение энергии в веществе характеризует мнимая
составляющая волнового числа k", являющаяся функцией " и ". Для поглощающих
сред " и " неотрицательны, причем хотя бы одна из этих величин отлична от нуля.
Будем рассматривать среды, у которых      j  , а    . Подставим в решение
уравнение Гельмгольца E  a E1e jkz  E 2e jkz 
определяемое выражением:
комплексное


 


k  k   jk           j     0 0  r   r  j

 0 




v0

  
  n  j 
 r   r  j

v0
0 

При этом получим выражение:




z  j nz 
  z j nz
E  a E1e v0 e v0  E 2e v0 e v0  ,




139
волновое
число,
(2.182)
представляющее собой сумму двух бегущих навстречу друг другу волн, амплитуда
которых убывает по мере распространения. Величина , характеризующая убывание
амплитуды волны, называется показателем поглощения, величина n   r  r 
v0
v
определяет фазовую скорость волны и называется показателем преломления. Чтобы
записать
окончательное
выражение
для
плоской
однородной
волны,
распространяющейся
в
поглощающей
среде,
рассмотрим
волну,
распространяющуюся вдоль оси z, в которой вектор Е ориентирован вдоль оси х.
Тогда
E  x0 E1e  k z e jk z .
E
E  x0 E 1 e jkz ; H  y0 1 e jkz
W
При этом выражения
будут
следующими:
E 

E  x0 E1e jkz ; H  y0 1 e jkz ,
W
(2.183)
где W — комплексное волновое сопротивление, определяемое отношением
комплексных амплитуд E x и H y :
Из выражения (2.183) получим:
E  x0 E1e  k z cosk z   t   ;
H  y0
E1  k z
e cosk z   t  W .
W
Видно, что векторы Е и Н в затухающей волне сдвинуты по фазе на угол W.
На рис.2.42 показано распределение Е (z) и Н (z) в фиксированный момент времени.
Выясним
зависимость
показателей
преломления и поглощения от частоты. Для этого
  
введем величину
, называемую
tg 

  
тангенсом
угла
потерь.
Диэлектрическая
проницаемость и тангенс угла потерь являются
важнейшими
характеристиками
диэлектриков.
Возведем в квадрат комплексное волновое число:
Рис. 2.42
k   jk 2   2     j  .
Приравняв вещественную и мнимую части
этого равенства, получим:
k 2  k 2   2  ; 2k k    2  tg .
Отсюда следует
Показатели
выражениями:





1
 1 
2

k     
1
1
1  1  tg 2   k
1  1  tg 2  ;
2
2
k     
1
 1  1  tg  k
2
преломления
n  k
v0

и

поглощения
r r
2
140

1  tg 2  .
определяются
 1  tg   1 ;
2
(2.184,а)
(2.184,б)
соответственно
(2.185)
  k 
v0


r r
2
 1  tg   1 .
Из выражений (2.185) следует,
распространяется со скоростью:
2
что
в
поглощающей
(2.186)
среде
волна
где v — скорость распространения в непоглощающей среде, т. е. в идеальном
диэлектрике. Связь между длиной волны ' в поглощающей среде и  в
непоглощающей определяется соотношением:
Таким образом, распространение электромагнитных волн в полупроводящих
средах характеризуется не только убыванием амплитуды волны по
экспоненциальному закону, но и зависимостью скорости распространения волны и
длины волны как от диэлектрической проницаемости ,', так и от проводимости  и
частоты .
Выясним особенности распространения волн в двух случаях: когда среда
является диэлектриком ( tg  1 ) и проводником ( tg  1 ). Используя разложение
для случая диэлектрика имеем:
Скорость распространения волны: v 

k

v
v,
tg 2 
1
8
волновое сопротивление:
Откуда:
Таким образом, приближенный расчет величин k', v' и W дает те же результаты,
что и в среде без потерь. Коэффициент затухания такой волны k", пропорциональный
тангенсу угла потерь, будет мал вследствие малости tg. Если tg  1 , то
т.е.
141

 


2
2 






1  j 

2

j


k   k   k tg
W 
Фазовая скорость будет: v 

k

2

(2.187)
.
Из-за большой проводимости в металле фазовая скорость уменьшается по
сравнению со скоростью электромагнитных волн в вакууме v0 . Длина волны в
металле:  
2v
 2
2
. Таким образом видно, что с ростом частоты возрастают


величины k' и k"; фазовая скорость и волновое сопротивление при этом малы. Длина
волны весьма мала, и волна, проходя расстояние порядка , практически полностью
затухает в связи со значительным ростом величины k". Электромагнитное поле при
этом проникает лишь в тонкий слой металла. Расстояние, на котором поле ослабевает
в e  2,718... раз, называют глубиной проникновения и обозначают d.
Поскольку закон затухания имеет вид функции e  k d , то определяемая из условия
2
e  k 2d  e 1 глубина проникновения: d 
В проводящей среде d 
1
(2.188).
k2
2
.

Для многих металлов величина  весьма значительна. Так, например, для меди
при частоте f =100 кГц d  0,2 мм, а при f =104 мГц d=6,6 10-4 м. На глубине l0d поле
ослабевает в e10=22026 раз. Если размеры проводника толщина значительно больше
d, то можно считать, что поле в нем сосредоточено вблизи поверхности. Это явление
называют поверхностным эффектом или скин-эффектом. Его используют для
создания металлических экранов, защищающих от ненужного воздействия
переменного электромагнитного поля на различные устройства и электрические
схемы. Если замкнутый экран имеет толщину в несколько d, то внешние или
внутренние по отношению к экрану поля не проникают сквозь него.
Выход
2.9.6. Дисперсия, разные оценки скорости.
Общее представление о дисперсии сред и распространении сигналов. Свойства
сред, в которых распространяются реальные электромагнитные процессы, всегда
являются в тон или иной степени частотно-зависимыми. Поэтому должна зависеть от
частоты п фазовая скорость электромагнитной волны

c
.
(2.189)
 
k ' Re 
Это называется дисперсией. Заметим, что даже при не зависящих от частоты
вещественных проницаемостях  и  , дисперсия должна существовать в силу
142
присущей средам электропроводности (   0 ) . Это видно при подстановке в (2.189)

комплексной диэлектрической проницаемости вида     j
.
 0
Природа дисперсии многообразна. Существование дисперсии необходимо
учитывать, оценивая распространение электромагнитных сигналов — волновых
процессов, переносящих информацию. Плоская однородная гармоническая волна не
может рассматриваться как сигнал. Но такой процесс на самом деле и не может
существовать, поскольку, строго говоря, его существование мыслится па
бесконечном временном интервале во всем пространстве. Если же он имеет начало и
конец, то это — импульс, характеризуемый спектром частот. Сигналы, как известно,
всегда обладают некоторым спектром. Поэтому дисперсия влияет на их
распространение. Действительно, представляя сигнал в виде разложения Фурье
(необходим интеграл, а не ряд Фурье), мы должны рассматривать распространение
гармонических волн, соответствующих всем частотным компонентам. Скорости их
распространения различны, так что, преодолев некоторое расстояние, эти гармонические составляющие приобретут различные фазовые запаздывания. Но
сложение с новыми фазовыми сдвигами обязательно приведет к деформации,
искажению сигнала. Дисперсия может быть мала, тогда она почти не сказывается на
распространении сигналов, пока невелики расстояния. Чем они больше, тем более
важно учитывать дисперсию.
Рассмотрим напряженность электрического поля сигнала, взяв следующее
представление:



0
E   E  e j t k  z d  Re  E  e j t k  z d .
(2.190)
Как видно, при любом z  const компоненты вектора E выражаются интегралами

Фурье вида u( t )   ue jt d , u   

1
2

 u( t )e
 jt
dt , а при распространении каждая

частотная составляющая приобретает фазовое запаздывание k  z , свойственное
плоской однородной волне при этой частоте. Пусть спектр заключен в полосе частот
(  0   ,  0   ). Каждой частоте со можно сопоставить k   и, следовательно, можно
говорить, что сигнал характеризуется спектром волновых чисел ( k 0  k , k 0  k ), где
k 0  k  0  . Поэтому
E  Re
 0  

 
E  e j t k  z d  Re
0
k0  k
  

 E k e
j
k t  kz 
dk ,
(2.191)
k0  k
где произведена замена переменных   k .
Разложим частоту как функцию волнового числа в ряд Тейлора и ограничимся
членом с первой производной:
(2.192)
Это представление можно считать оправданным, если дисперсия относительно
слаба, а полосы частот и соответствующих им волновых чисел являются узкими.
Такой волновой процесс называют группой волн. Внося (4.61) в (4.60), получаем

  d
E  Re e j 0t k0 z   E k exp j 

  dk



t  z k  k 0 dk


k  k0

143
(2.184)
(вне интеграла (2.190) записан дополнительный e  jk z , а под интегралом —
компенсирующий его множитель e jk z ).
Пусть E ( k )  E   может считаться постоянной величиной (спектральные
компоненты имеют одинаковые амплитуды). Тогда этот множитель выносится за знак
интеграла, после чего интеграл легко взять (удобно при этом сделать замену
переменных k  k  k 0 ). В результате получаем
0
0
E  2 Re E k 0 e j 0t k0 z 
 d
sin 

 dk
d
dk
 
t  z  k 

k k0
 
.
(2.194)
tz
k k0
Полагая E k 0   Em e j , окончательно имеем
E  2 E m S z ,t k cos t  kz   
(2.195)
(    0 ), где
(2.196)
есть огибающая
гармонической волны,
которая, можно сказать, оказалась модулированной.
Чтобы понять характер
распространения изучаемой
группы волн, обратимся к ее
мгновенному
снимку
(рис.2.43).
Находящаяся
внутри
огибающей модулированная
косинусоида перемещается
вдоль оси z с обычной

фазовой скоростью   .
k
Что касается огибающей, то
условием локализации ее
максимума является равенство нулю аргумента:
Для разных моментов
времени
t
условие
выполняется при различных
z, т. е. огибающая смещается.
Очевидно,
что скорость
смещения есть
Рис. 2.43
(2.197)
Она называется групповой скоростью.
144
Во всех случаях, когда дисперсия еще не приводит к существенному искажению
сигнала, групповая скорость рассматривается как скорость переноса сигнала.
Внося в (2.197)   k , получаем
Соотношение связывает групповую скорость  гр
также следует
В зависимости от знака производной
d
dk
(2.198)
и фазовую скорость  . Отсюда
(2.199)
(или
d
) групповая скорость может
d
быть как больше, так и меньше фазовой. Скорость  гр , однако, не может превышать
скорости света с.
Выход
2.9.7. Отражение электромагнитных волн от металла.
Когда электромагнитная полна, проникает в металл, электрическое поле волны
Е вызывает появление в толще металла электрического тока, плотность которого j
связана E соотношением.
j  E .
Вследствие этого металл нагревается, в нем происходит поглощение энергии, по
мере продвижения в глубь металла амплитуда электрического и магнитного полей
убывает по экспоненциальному закону. Подсчет, основанный на уравнениях
Максвелла, показывает, что толщина слоя, в котором происходит убывание
амплитуды в данное число раз (скажем в е раз), тем меньше, чем больше с и чем выше
частота. Например, в алюминии при частоте 3  10 9 герц уже на глубине около 10-4 см
амплитуда Е и H в е раз меньше, чем па поверхности.
На основании этой оценки естественно идеализировать металл, на границу
которого падает электромагнитная волна высокой частоты, считая его средой, в
которую поле не проникает вовсе, т. е. внутри которой E  0 , H  0 . После
некоторых рассуждений мы прейдем к следующим условиям, которым должно
удовлетворять поле в диэлектрике па границе с металлом (плоскости z = 0):
(2.200)
Пусть на границу диэлектрик — металл падает со стороны диэлектрика
электромагнитная волна
Напишем для отраженной волны
откуда
На основании (2.200) имеем:
(2.201)
Таким образом, при сделанной идеализации коэффициент отражения  на
границе с металлом равен единице, поглощенная энергия равна нулю. Опыт дает для
145
коэффициента отражения радиоволн от меди пли алюминия значения, весьма близкие
к единице.
На основании (2.201) результирующая волна в диэлектрике имеет вид
Это — стоячая электромагнитная волна, для которой плоскость z  0 является
узлом электрического поля и пучностью магнитного поля (рис. 2.44. Моментальные

5
снимки в момент, когда6 а)  t  , б)  t 
.).
4
4
Циркуляция вектора H по прямоугольнику
4
M1 N1 N2 M2 равна
, умноженному на ток,
с
текущий сквозь этот прямоугольник.
То обстоятельство, что па границе
диэлектрик — металл величина Ну (при нашей
идеализации) меняется скачком, не должно нас
смущать. Это связано с тем, что вдоль
поверхности
металла
под
действием
электромагнитных волн течет ток, имеющий то
же направление, что Е близ границы. При
сделанной нами идеализации он течет в
бесконечно тонкой пленке около поверхности
(«поверхностный ток»). Скачок Ну при переходе
Рис. 2.44
через границу диэлектрик — металл обеспечивает
4 
D 
выполнение уравнения  H l dl 
 jn  n  dS

c 
4 
для прямоугольника M1 N1 N2 M2 в пределе, когда M1M2=N1N2=0.
Выход
2.9.8. Электромагнитные волны в анизотропной среде.
2.9.8.1. Связь между D и E .
Рассматривая электромагнитные волны, мы считали до сих пор, что векторы D
и E коллинеарны и отношение их величин но зависит от направления. Среды,
обладающие этим свойством, называют электрически (или, если речь идет о видимом
свете, оптически) изотропными. Но для многих сред дело обстоит сложнее. В них D
и E имеют, вообще говоря, в данной точке различные направления; угол между
.этими векторами и отношение их величин зависят от направления вектора E . Такие
среды называют электрически (оптически) анизотропными. Большинство кристаллов
(например, слюда, исландский шпат) оптически анизотропно (естественная
анизотропия). Изотропные в отсутствие внешних воздействий прозрачные тела
(например, стекло, пластмассы) становятся оптически анизотропными под действием
механических напряжений (искусственная анизотропия).. Мы здесь будем говорить
для определенности только о видимом свете и ограничимся при этом однородными
анизотропными телами—такими, свойства которых в различных точках одинаковы.
Исследование оптических явлений в анизотропных телах приводит к выводу, что
в них: а) имеет место свойство суперпозиции (если поле E1 создает индукцию D1 , а
поле E2 — индукцию D2 , то поле E1  E2 создает индукцию D1  D2 ); б) всегда можно
146
найти три взаимно перпендикулярных направления х, у, z, обладающих следующими
свойствами:
D   x E , если E коллинеарен оси х ,
D   у E , если E коллинеарен оси у ,
D   z E , если E коллинеарен оси z .
где  x ,  y ,  z — постоянные.
Направления х, у, z мы будем называть главными направлениями, величины
 x ,  y ,  z — главными диэлектрическими проницаемостями. Главные направления
характеризуются тем, что, если вектор E направлен по одному из главных
направлений, вектор D ему коллинеарен и пропорционален. Ясно, что это свойство
не может иметь места для любого направления. Пусть
E  E x  E y  Ez ,
причем Ex  0, Ey  0 , Ez  0 . Тогда (па основании свойства суперпозиции)
D   x Ex   y Ey   z Ez
и D не коллинеарен E (рис. 2.45. Построение векторов E и D для случая,
Ex  E y  Ez ,  x  2 ,  y  1,5 ,  z  2 ,5. ), за
исключением случая,  x   y   z т. е.
случая изотропной среды.
Интерес представляет случай, когда
две
главные
диэлектрические
проницаемости
равны
друг
другу,
например
(2.202)
Среды (например, исландский шпат,
однородно сжатое или растянутое стекло),
Рис. 2.45
для которых имеет место (2.202), называют
одноосными. Направление оси х называется
направлением оптической оси.
 x  0 ,  y   z   П .
(2.202, а)
В случае одноосной среды, если вектор Е произвольным
образом ориентирован в плоскости П, перпендикулярной к
оптической оси, имеем:.
D  ПЕ ,
коллинеарен и пропорционален Е . Здесь только одно
из главных направлений (х) однозначно определено, за
главные направления у, z можно взять любые взаимно
перпендикулярные
направления,
перпендикулярные
к
D
Рис. 2.46
147
направлению х. На рис.2.47 показано построение
вектора D при заданном векторе E для некоторой
точки одноосной среды.
Выход
2.9.8.2. Распространение вдоль одной нз
главных осей.
Рис. 2.47
Представим себе параллелепипед, грани
которого перпендикулярны к главным осям (рис. 2.48. Ребра параллелепипеда
параллельны главным направлениям: а, б – нормальные волны (линейнополяризованные во взаимно перпендикулярных направлениях); в – волна, отличная от
нормальной, изменение типа поляризации с глубиной проникновения в кристалл.).
а) Пусть на грань z  0 падает нормально линейно-поляризованная
электромагнитная волна, в которой E коллинеарно оси х:
E  Ex  A1 cos t  kz .
Ясно из симметрии, что она породит в пластинке электромагнитную волну, в
которой векторы D , E будут также коллинеарны оси х, причем D   x E . Эта волна
ничем не будет отличаться от волны в изотропном диэлектрике с диэлектрической
c
проницаемостью  x . Она будет распространяться со скоростью
x
E  Ex  A2 cos t  k x z , k x  k  x .
и запишется так:
(2.203)
б) Пусть на грань z  0 падает
нормально
электромагнитная
волна, в которой E коллинеарно
оси у.
E  Eу  В1 cos t  kz .
Она порождает в пластинке волну,
в
которой
D   уE ,
распространяющуюся
со
скоростью
c
у
E  E у  В2 cos  t  k у z , k у  k  у .
(2.204)
Волны, распространяющиеся
так, что тип поляризации в них
Рис. 2.48
всюду один и тот же, мы будем
называть нормальными. Волны
(2.203), (2.204) - нормальны, так как при всех z они являются линейнополяризованными волнами с E , коллинеарным одной из главных осей,
перпендикулярных к направлению распространения.
в) Пусть теперь нормально на грань z  0 падает волна
E  С1 cos t  kz ,
148
причем направление вектора С1 образует углы  ,

2
  (оба отличные от нуля)
с осями х и у. На первый взгляд может показаться, что в кристалле при этом будет
распространяться волна со скоростью, имеющей некоторое значение, промежуточное
между
c
x
и
c
у
. Но это не верно. Разложим Е на составляющие волны
где
Каждая из этих волн порождает волну типа (2.203), (2.204), и в результате в
кристалле возникает волна с компонентами
(2.205)
где А2, В2 пропорциональны соответственно А1 , В1.
Сдвиг фаз между компонентами


  k y  k x  z  k  у   х z
(мы считаем для определенности, что  x   y ) растет по море продвижения в глубь

кристалла. На глубине z  z1 , такой, что   , т. е.
2


 у   х z1 

4
,
где  — длина волны в пустоте, конец вектора дописывает эллипс, главные оси
которого коллинеарны осям х, у. На глубине z  z2 такой, что    , т. е.

 у   х z2  ,


4
колебание—липойно-поляризованное, причем вектор E колеблется под углом (- ) с
осью х п т. д.
Таким образом, из пластинки будет выходить (вообще говоря) эллиптическиполяризованный свет. Форма эллипса, описываемого в нем концом вектора E ,
определяется (при данном веществе) толщиной пластинки и ориентацией вектора E
падающего света.
Пластинка, толщина которой 
такова, что

у  х   ,


4
называется пластинкой в четверть

волны (пластинка ). Ясно, что если
4
Рис. 2.49
па такую пластинку падает линейнополяризованный свет, в котором

вектор E образует угол  с осью х,
4
из нее будет выходить свет, поляризованный по кругу (рис. 2.49).
149
Пластинка в четверть волны обычно изготовляется из слюды. На рис. 2.50
показана схема опыта, демонстрирующего превращение линейно-поляргтзовапного
света в поляризованный по кругу с

помощью пластинки .
4

4
входит свет, поляризованный по кругу,
выходящий из нее свет будет линейнополяризован:
пластинка добавляет

сдвиг фаз
к уже имевшемуся сдвигу
Ясно, что если в пластинку
фаз 
Рис. 2.50

2
2
.
Выход
2.9.8.3. Двойное преломление.
Пусть пластинка (рис. 2.51) вырезана в одноосном кристалле в виде
параллелепипеда, имеющего грани, параллельные оптической оси.
Пусть на одну из этих граней падает косо линейно-поляризованный свет,
причем
его
плоскость
падения
перпендикулярна, а направление вектора
коллинеарно
оптической
оси
Е
кристалла. Ясно из симметрии, что
направление
распространения
преломленного света будет оставаться в
плоскости падения, а вектор Е в нем
также будет коллинеарен оптической оси
кристалла. Поэтому независимо от угла
падения  1 и угла преломления  2 для
света, прошедшего в кристалл, имеем:
D  0 E .
Поэтому преломление происходит
(как
и
па границе изотропной среды) по
Рис. 2.51
закону отражения, причем
sin  1
 0
sin  2
Пусть теперь направление распространения падающего спета - прежнее, но
вектор Е в нем расположен в плоскости падения. Здесь из симметрии ясно, что
направление распространения преломленного света будет оставаться в плоскости
падения, а вектор Е в нем будет перпендикулярен к оптической оси кристалла. При
этом независимо от угла падения  1 и угла преломления '2 имеем для
преломленного света
D  ПE .
Преломление происходит и в этом случае по закону Снеллиуса причем
150
sin  1
 П .
sin  2
Таким образом, при одном и том же угле падения  1 углы преломления  2 и '2
различны. Для исландского шпата  П   0 , а следовательно, 2  2 .
Пусть, наконец, направление распространения прежнее, но падающий свет
поляризован эллиптически или линейно и притом так, что вектор Е в нем колеблется
не в плоскости падения и не перпендикулярно к ней. Разложим мысленно падающую
волну на О-волну (линейно-поляризованную волну с вектором Е , коллинеарным
оптической оси) и П-волну (линейно-поляризованную волну с вектором Е ,
параллельным плоскости П. Для каждой составляющей справедливо сказанное выше.
О-компонента порождает преломленную линейно-поляризованную волну с Е , параллельным оптической оси, п углом преломления  2 , П-компонента—преломленную
линейно-поляризованную волну с Е , параллельным плоскости П, и углом
преломления '2 . Это явление носит название двойного преломления. На опыте легко
наблюдать связанное с ним явление двойного преломления ограниченных световых
пучков (лучей). Если пластинка достаточно толстая, а фронт па дающей волны
достаточно мал (свет выходит из достаточно малого отверстия), из кристалла выйдут
два раздельных линейно-поляризованных световых пучка со взаимно
перпендикулярным направлением колебаний вектора Е
(рис. 2.52).
Аналогичное расщепление происходит при падении на
рассматриваемую пластинку естественного света.
Мы рассмотрели только простейший случай двойного
преломления в одноосном кристалле. При условиях опыта,
отличных от описанного здесь (например, если плоскость
падения перпендикулярна к плоскости П), закон Снеллиуса
уже не имеет места, отношение синуса угла падения к
синусу угла преломления зависит от направления
падающего света. В самом общем случае направление
распространения одного из преломленных пучков не лежит
Рис. 2.52
в плоскости падения. Эти более сложные случаи подробно
разбираются в курсах оптики.
Выход
2.9.8.4. Дихроизм.
Некоторые тела обладают различным коэффициентом поглощения для липейноноляризованпого света, в котором Е  Е x , и для линейно-поляризованного света, в
котором Е  Е у , где х, у—два взаимно перпендикулярных направления. Это свойство
называется дихроизмом. Им обладают в сильной степени кристаллы турмалина, а
также поляроида. Поляроид состоит из очень мелких дихроичных кристалликов,
ориентированных так, что направления максимального пропускания в них
параллельны. Если на поляроид или турмалин падает свет произвольной
поляризации, его х-компонента пропускается, а у-компонента практически полностью
задерживается.
Выход
151
2.9.8.5. Вращение плоскости поляризации.
В некоторых средах (например, в водном растворе сахара, в кристаллах кварца
при распространении света в определенном направлении) нормальными волнами
являются только волны, поляризованные по кругу (рис. 2.53), как влево
(2.206)
так и вправо
(2.207)
причем k л  k П (т. е. скорости
распространения волны с правой
и лесой поляризацией различны).
Пусть на границу z  0
такой среды падает линейнополяризованная полна
E1  E1 x  A cos t  kz .
Представим ее в виде
суперпозиции
двух
составляющих
волн,
поляризованных
по
кругу
в
противоположных направлениях:
Рис. 2.53
Первая порождает в рассматриваемой среде волну типа (2.206), вторая—волну
типа (2.207). На глубине z суммарное колебание имеет составляющие
(2.208)
Здесь величина а пропорциональна А (вследствие отражения а 
А
). Колебание
2
(2.208) представляет собой линейно-поляризованное колебание амплитуды 2а и фазы
k л  k П  z направление которого образует с осью z угол
2

kЛ  kП
z.
2
Таким образом, по мере продвижения в глубь среды направление вектора Е
поворачивается на все больший угол по отношению к направлению вектора Е на
границе раздела. Это явление легко наблюдать па опыте. Оно называется вращением
плоскости поляризации.
152


 0 , k П  k Л вращение называется правым, если
 0 , k П  k Л ~ левым.
z
z

Величина
зависит от длины волны (обычно растет с уменьшением ). В кварце
z
для желтого света  равно приблизительно 22° при z = 1 мм.
Если
Выход
Вопросы для самопроверки.
1. Электромагнитные волны (определение).
2. На какие волны делятся электромагнитные волны.
3. Волновое уравнение электромагнитных волн.
4. Волновое сопротивление.
5. Энергия электромагнитной волны.
6. Что такое вектор Пойтинга и его выражение?
7. Что такое диэлектрик?
8. Что такое изотропная среда?
9. Что такое анизотропная среда?
10. Закон отражение света (определение и выражение).
11. Закон преломление света (определение и выражение).
12. Определение и выражение для относительного показателя преломления.
13. В чем заключается полное внутреннее отражение?
14. Закон сохранения энергии.
15. Выражение для коэффициента отражения.
16. Выражение для коэффициента пропускания.
17. Показатель поглощения.
18. Показатель преломления.
19. Основные две характеристики диэлектрика.
20. Глубина проникновения (определение и выражение).
21. Глубина проникновения в проводящей среде.
22. Что такое дисперсия.
23. Когда возникает групповая скорость?
24. Связь между фазовой и групповой скоростями.
25. Особенности распространения электромагнитных волн в анизотропных средах.
26. Дихроизм.
27. В чем заключается двойное преломление (пояснить)?
Выход
153