Тема 1. Матрицы, операции над матрицами Лекция 1 Аннотация: В данной теме вводится понятие матрицы, изучаются виды матриц и операции на ними. Ключевые слова: матрица, размерности, квадратная матрица, единичная матрица, сумма матриц, произведение матриц, транспонирование, обратная матрица. Методические рекомендации по изучению темы. Изучить лекционный материал Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным файлом и отправить на проверку преподавателю. Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным файлом и отправить на проверку преподавателю. Источники информации: 1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. 6-е изд., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 10-19. 2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208 с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 12-25. 3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М. Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. : ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) , С. 2-10. 4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. СПб.: Лань, 2009. – 512 С. 20-31// http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493 5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Физматлит, 2008. – С 32-39. Глоссарий Матрица — прямоугольная таблица чисел. Верхне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, суть нули. Вырожденная матрица — матрица, определитель которой равен нулю. Главная диагональ матрицы — элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Диагональная матрица — матрица, являющаяся одновременно и нижнеи верхне-треугольной. Единичная матрица — квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, а прочие элементы суть нули. Квадратная матрица — матрица, у которой число строк и столбцов совпадает. Матрица-столбец — матрица, состоящая из одного столбца. Матрица-строка — матрица, состоящая из одной строки. Нижне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы, стоящие выше главной диагонали, суть нули. Нуль-матрица — матрица, все элементы которой суть нули. Обратимая матрица — матрица, у которой существует обратная матрица. Обратная матрица для некоторой матрицы — матрица, которая при перемножении с исходной матрицей дает единичную матрицу. Симметричная матрица — матрица, совпадающая со своей транспонированной. Вопросы для изучения 1) Понятие матрицы, элементов, порядков. 2) Виды матриц: квадратная, симметричная, треугольная, диагональная, единичная, нулевая. Главная и побочная диагонали квадратной матрицы. 3) Операции над матрицами (сложение, умножение, умножение на число, транспонирование) и их свойства. Матрицы. Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей. Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы. Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m. Примеры: — квадратная матрица порядка 2, — прямоугольная матрица, —матрица-столбец, — матрица-строка. Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки [ ] или две вертикальные черты . Чаще используют круглые скобки. Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же строчной буквой с двумя нижними индексами (первый индекс — номер строки, второй — номер столбца), столбцы матрицы — той же заглавной буквой с верхним индексом (номер столбца), а сторки — заглавной буквой с нижним индексом (номер строки). В сокращенной записи будем заключать элементы матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы. Например, , , , , , , , . Некоторые часто встречающиеся виды матриц имеют собственные названия: квадратная матрица, одинаковое число строк и столбцов; , матрица, у которой матрица-строка, , , матрица, у которой одна строка; матрица-столбец, , матрица, у которой один столбец; диагональная матрица, квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы раны нулю; единичная матрица, диагональная матрица, у которой все диагональные элементы — единицы нулю; — называется символом Кронекера; нулевая матрица, , матрица, все элементы которой — нули; верхняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже диагонали — нули; нижняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше диагонали — нули; ступенчатая матрица, и др. Ступенчатые матрицы, ступенчатые формы матрицы в дальнейшем будут играть важную роль. Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и равные соответсвенные элементы: 1.1.2. Линейные операции с матрицами Линейными операциями называются операции сложения и умножения на число. Определение. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых: . Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента на число: . Для операций сложения и умножения матрицы на число справедливо: 1. 1·A=A, 2. 0·A= , 3. ( A) = ( )A, 4. A+(B+C) = (A+B)+C, 5. A+B = B+A, 6. ( + )A= A+ A, 7. (A+B) = A+ B. где A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности, — нулевая матрица той же размерности (читается “тэта”), и — произвольные числа. 1.1.3. Умножение матриц Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом. Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если то произведением матриц A и B называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле , ; произведение матриц A и B обозначается AB: C=AB. Пример. . Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо: 1. A·B B·A, 2. (A + B) · C = A·C + B·C, 3. C·(A + B) = C·A + C·B, 4. (A·B) = ( A) ·B, 5. (A·B) ·C = A·(B·C). Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными. Для квадратных матриц определена единичная матрица — квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные — нули: Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или En , где n — порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы AE=EA=A. 1.1.4. Обратная матрица Определение. Квадратная матрица A называется обратимой, если существует квадратная матрица X той же размерности, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E. Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1, т.е. A·A-1= A-1·A=E. Пример. 1.1.5. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Обозначим: , , , A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных. Тогда: и рассмотренная система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в том смысле, что если числа являются решением рассмотренной системы, то соответсвующая матрица-столбец X является решением матричного уравнения; и наоборот, если матрица-столбец X является решением матричного уравнения, то ее элементы решением рассмотренной системы. 1.1.6. Матричные уравнения Рассмотрим матричное уравнение A·X = B. Если m=n и матрица A обратима, то являются , т.е. получили выражение для решения системы линейных алгебраических уравнений в матричной форме. Аналогично, если соответствующие матрицы обратимы, имеем: X·A = B, X = B·A-1, A·X·B = C, X = A-1·C· B-1, A·X+B = 0, A·X = - B, X = - A-1·B. 1.1.7. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матриц Помимо операций с матрицами определены операции с элементами матриц, операции со столбцами и строками матрицы — так называемые элементарные преобразования матриц. Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции: 1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы; 2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число; 3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число. Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Определение. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицуA. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрицеA и обозначается AT: Для операции транспонирования справедливо: 1. ( A + B)T = A T + B T, 2. (AB)T = B TA T . Существуют матрицы, для которых операции умножения, возведения в степень, обращения и транспонирования имеют дополнительные свойства. Квадратная матрица A, для которой AT = A называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. Квадратная матрица U, для которой U -1 = U T называется ортогональной матрицей.