( 1, a, -a ), = (

реклама
Тесты на векторы и координаты в пространстве
Тест 1. Равенство векторов.
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 .


1. Есть такая точка X на диагонали DB1, что AX = BC1 .



2. Нет вектора PQ такого, что он коллинеарен векторам AK и C1 B , где точка K –
середина ребра СС1.


3. Есть такая точка X на отрезке AD1 и такая точка Y на отрезке DC1, что XY ││ AC .


4. Если AX = BD1 , то точка X лежит на прямой C1D1 .
5. Для любой точки X в треугольнике CB1D1 найдётся точка Y в треугольнике BDA1


такая, что DY = - B1 X .
Тест 2. Сложение и вычитание векторов

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Вектор B1 D является:


1. суммой векторов B1 A и B1C ;



2. суммой векторов BA , BC и D1 D ;




3. разностью векторов AB1 - AD ;
4. разностью векторов BA1 - DA1 ;


5. суммой векторов DX и D Y , если точка X находится в грани ABA1B1, а точка Y
находится в грани CDC1D1.
Тест 3. Линейные операции с векторами
Основанием пирамиды РABCD является параллелограмм ABCD, точка О – точка
пересечения его диагоналей.
Тогда:
1
1
1. АВ + AD = AO .
2
2
1
1
2. РА - РС = РО .
2
2
3. РА +2 AO = РС .
4. 2 РА +2 АВ +3 ВР = ВР .
1
1
5. АС + СВ = DB .
2
2
Тест 4. Координаты вектора по базису


Дан тетраэдр OABC. Сумма координат вектора по базису OA , OB и

OC положительна, если это вектор :

1. BC ;

2. AT , где точка T - центроид треугольника OBC;

3. KL , где точка K - середина отрезка OA, а точка L - середина отрезка BC;

4. OX , где точка X - точка треугольника ABC;

5. XY , где точка X - точка треугольника OAC; точка Y - точка треугольника OBC.
Тест 5. Умножение вектора на число
Точка X принадлежит тетраэдру ABCD, если:



1. DX = 2 DA + 0,5 DB ;




2. BX = 2 BA - 2 BC + 2 CD ;




3. CX = 0,5 CB - 0,5 CD +0,5 BA ;




4. AX = 0,25 AB + 0,25 AC +0,25 AD ;




5. KX = (1/3) DB + (1/3) BC - (1/3) DA , где точка K - середина ребра AD.
Тест 6. Угол между векторами
Дан куб ABCDA1B1C1D1 .
1. Среди векторов, заданных рёбрами куба, есть такие, которые образуют образуют с

вектором B1 D неострый угол.
2. Среди векторов, заданных диагоналями граней куба, есть такие, которые образуют

с вектором B1 D тупой угол.


3. Есть такая точка P на ребре BB1, что угол между векторами B1 D и A1 P - прямой.


4. С увеличением угла между B1 D и B1Q , где точка Q лежит на ребре AA1,


увеличивается угол между вектором A1C и вектором B1Q .
5. Есть такие точки X в грани ABA1B1 и Y в грани CDD1 C1 , что угол между


векторами B1 D и XY равен 600.
Тест 7. Угол между векторами
Основание правильной пирамиды РABCD – квадрат ABCD, ее боковые грани –
равносторонние треугольники и О точка пересечения диагоналей основания. В
этой пирамиде;
1. угол между векторами АР и АС равен 45о;
2. угол между векторами АВ и ВР равен 60о;
3. векторы ВР и PD ортогональны;
4. угол между векторами ВС и AC равен 45о;
5. угол между векторами ВР и РО равен 45о.
Тест 8. Координаты вектора в системе координат
Рассматривается куб ABCDA1B1C1D1 и система координат, начало которой
находится в одной из вершин куба, а оси координат проходят через его рёбра.
Тогда:
1. существует вектор, начало и конец которого находятся в вершинах куба, у
которого все координаты отрицательны;

2. существует система координат, в которой все координаты вектора DB1
положительны;

3. существует система координат, в которой одна координата вектора DB1
положительна;


4. существует система координат, в которой координаты векторов DB1 и B1 D имеют
одинаковые знаки;
5. существует такая система координат, что при движении точки X по какому-либо

ребру куба каждая координата вектора A1 X возрастает.
Тест 9. Координаты векторов в пространстве
1. Если все координаты вектора увеличились, то модуль его увеличился.
2. Если координаты вектора разделили на одно и то же натуральное число, то его
модуль разделился на это же число.
3. Координаты вектора а (х, у, z) равны его скалярным произведениям на
единичные векторы осей координат: х= а  i , у= а  j , z= а  к .
4. Если в пространстве скалярные произведения вектора а на два неколлинеарных
вектора равны нулю, то вектор а - нулевой.
5. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их
дулей тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены.
Тест 10. Скалярное умножение


Скалярное произведение векторов a и b может равняться 1:


















1. если a = AB , b = AC и AB - диаметр сферы радиуса 1, а точка C принадлежит
этой сфере.
2. если a = AB , b = AC в правильной треугольной пирамиде ABCD с вершиной
A , у которой боковое ребро равно 1.
3. если a = AB , b = AC в правильной треугольной пирамиде ABCD с вершиной A,
у которой ребро основания равно 1.
4. если a = AX , b = С1Y в кубе ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1 при том, что X
принадлежит ребру A1D1 , Y принадлежит ребру CD и A1X = CY.


5. если a = AС , b = A1C в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1, у
которого основание ABCD квадрат со стороной 1.
Тест 11. Равенство векторов. Действия с векторами
Дан тетраэдр ABCD . В нём;




1. AD - DB = AC - CB ;






2. AD - BD - CB = BD - AD - CA ;
3. AB  AC  AD  BA  BC  BD ;
4. BC  DA  CD  CB  AD  BD ;
5. AC  CB  BD  AB  BC  CD .
Тест 12. Скалярное умножение

Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 2. Скалярное произведение векторов a и

b больше 1, если :



1. a  AD , b  CB ;



2. a  DB , b  CN , если N - центр противоположной грани точке C ;
3. a  AD, b  10BA  0,1CA .



4. a  AM , b  CN , если M и N - центры противоположных граней точкам A и C
соответственно;
5. a  AK , b  CL , если K – середина ребра CD, L – середина ребра DB.
Тест 13. Сумма и разность векторов, длина вектора
  
Пусть векторы a , b , с некомпланарны ( линейно независимы ). Тогда


a  b  с , если:
   
1. a  b  с  0 ;

     
2. существует вектор x такой, что a  c  x  b  c  x ;
     
3.  x : a  b  c  x  0 ;
 



4.  x : a  c  x  b  c  x ;
   
   
5. a  p  q , b   p  q , c  p  q .
Тест 14. Сумма и разность векторов. Длина вектора
  
Пусть векторы a , b , с некомпланарны ( линейно независимы ). Тогда
  
     
1. ab  с : │ a  b  c │>│ a  b  c │;
  
     
2. ab  с : │ a  b  c │<│ a  b  c │;
  
     
3. ab  с : │ a  b  c │≤ │ a  b  c │;





   
4. a b  с : │ a │= │ a + b + c │ = │ b + c │;



  
  
  
5. a b  с : │ b + c │ =│ a  b  c │=│ a  b  c │ = │ a │,
Тест 15.. Сумма и разность векторов. Длина вектора
  
Пусть векторы a , b , с некомпланарны ( линейно независимы ). Тогда
  
a b  с :








1. a  b  c  a  b  c ;


2. a  b  c, a  b  c,












3. │ a  b  c │= │ a  b  c │



4. │ a  b  c │< min (│ a │, │ b │, │ c │ )









5. a  b  c ┴ a , a  b  c ┴ b , a  b  c ┴ c ,
Тест 16. Линейные операции с векторами, длина, перпендикулярность
  
Существуют такие некомпланарные векторы a , b , с ,что:
1  1  1 
1. a  b  с  0 ;
2
3
4
 

  
2. a  2b  3 с  2a  b  с ;

   

3. a  2b  с || a  b  2 с ;
 
  

4. a  3b  с  a  3b  с


 


5. │ 2a  2b  2 с │= │ 3a  3b  3 с │
Тест 17. Линейная комбинация векторов



Если векторы a , b , с единичные и некомпланарные, то существуют такие числа
x, y , z , что :


 


1. x a  yb  z c  xa  yb  z c ;
 

2. x a  yb  z c  1;




3. x a  yb  yb  z c

 

4. x a  b  a  yb =



5. a + b + с =


 x a z c ;
 
b  z c , если x  1, y  1, z  1.



xa  yb  z c .
Тест 18. Разложение вектора на составляющие по трём прямым




  
Пусть p  xa  yb  z c и векторы a , b , с выходят из вершины D правильного
тетраэдра ABCD. Тогда | xyz |  1, если:

1. p 

2. p 

3. p 

4. p 

AC ,

DK , где точка K - середина AB ;

DO , где точка O - центр грани ABC ;

KL , где точка K - середина AB, а точка L - середина DC;




5. p  AA1 + BB1 + CC 1 , где точки A1,B1,C1 - центры граней BCD, ACD, ABC
соответственно
Тест 19. Проекция вектора
В результате проектирования вектора на три попарно перпендикулярные оси:
при увеличении длины вектора увеличивается каждая его проекция;
существует два таких угла между единичным вектором и осью z, при которых его
проекции равны;
3. увеличение одной проекции единичного вектора приводит к уменьшению других
его проекций;
4. увеличение угла между единичным вектором и осью z увеличивает хотя бы одну его
проекцию;
5. увеличение проекций единичного вектора на оси x и y приводит к
увеличению угла между вектором и осью z.
Тест 20. Координаты векторов в пространстве»
1. Если координаты вектора увеличились, то модуль его
увеличился.
2. Если координаты вектора разделили на одно и то же число, то его
модуль разделился на это же число.
3. Координаты вектора а (х, у, z) равны его скалярным
произведениям на единичные векторы осей координат: х= а  i ,
у= а  j , z= а  к .
4. Если в пространстве скалярные произведения некоторого вектора
а на два неколлинеарных вектора равны нулю, то вектор а нулевой.
5. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно
произведению их модулей тогда и только тогда, когда эти
векторы сонаправлены.
Тест 21. Скалярное умножение
Скалярное произведение векторов a и b больше 1, если дан куб ABCD A1 B1 C1 D1
со стороной 2 и:




1. a = AB , b = C1 D1 ;




2. a = 0,5 AD , b = -2 C1 B1 ;




3. a = 2 AС , b = 2 B1 A1 ;





4. a = BD , b = A1 B1 + C1 B1






5. a = 0,5 AD + BA , b = 0,5 C1 D1 + B1C1 ;
Тест 22. Скалярное умножение Координатная форма
Если два вектора ортогональны и известны по две одноименные их координаты , то
можно найти и третьи их координаты .
Скалярное произведение двух векторов положительно не тогда и только тогда, когда все
координаты данных векторов положительны.
Если один вектор постоянен, а все координаты другого вектора уменьшаются, то их
скалярное произведение уменьшается.
Если два ненулевых вектора коллинеарны, то их их скалярное произведение
положительно только тогда, когда они сонаправлены.
Зная длины векторов и их скалярное произведение, можно найти их координаты.
Тест 23. Скалярное умножение




1. a  b , если a = ( 1, a, -a ), b = ( -a, 1, a ).




2. Существуют два значения x, при которых b  a , если a = ( 1, x, -1 ), b = ( 1, - x, -1).


3. Существуют два значения угла между единичными векторами a и b , при которых
 
 
a  b - a  b =2.




4. Если b  ( a  с ) , то сумма углов, которые образованы вектором b с единичными


векторами a и с равна 1800.
 
 
 
 
  
5. Если векторы a , b , с единичные и некомпланарные, a b  b  с и с  b  с  a , то
 
 
a b  с  a
Тест 24. Обобщающий









Если 1   2 , 1   2 , γ 1 > γ 2 и a  b  с , то 1 a  1 b   1 c >  2 a   2 b   2 c .
Разложение вектора на составляющие по четырём попарно пересекающимся прямым
единственно.
Если координаты вектора равны, то он образует равные углы с плоскостями координат.











4. Если векторы a , b , с , d единичные , то ( a  b )( c  d )  4.



5. Если векторы a , b , с единичные, лежат в одной плоскости и  a b =  c b =  a c , то






a b  a c  2 b c .
Тест 25. Обобщающий




Некоторые векторы a и b коллинеарны, если a = ( 1, x, 1 ) и b = ( x, 1, 1 ).
Некоторые векторы ортогональны, если первый из них задан боковым ребром
правильной шестиугольной пирамиды, а второй – диагональю её основания, причём
эти отрезки не пересекаются.



Некоторый из трёх векторов a , b , с является линейной комбинацией двух других,



если a = ( 1,x, 1 ) , b = ( 2, x, 1 ), с = ( -4, - 2x, 2 ) , если x ≠ 0.
 
 
 
 

Если для некоторых ненулевых векторов a b = b  с и b  с = a  с , то векторы a и


b  с ортогональны.




Если единичные векторы a и b таковы, что a · b = 1, то некоторые их соответственные
координаты равны.
Тест 26. Расстояние между точками
Точки A,B,C имеют такие координаты: A( 1, a, 0 ),B ( a,1, 0 ),C ( -1, -1, -1).
Тогда:
существует такое значение a , при котором треугольник ABC
является прямоугольным;
существует такое значение a, при котором треугольник ABC
является тупоугольным;
существует такое значение a, при котором треугольник ABC
является равносторонним;
при любом значении a данные точки являются вершинами
равнобедренного треугольника;
нет таких значений a , при которых эти точки не являются вершинами треугольника.
Тест 27. Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через точку ( x0, y0, z0 ) с направляющим вектором
( 1/a, 1/b, 1/c) имеет вид: a (x – x0) = b ( y – y0 ) = c ( z – z0 ) . Тогда:
1. Точки, равноудалённые от всех осей координат находятcя только на прямой x = y = z.
2. существуют такие значения a, b, c, что прямая пересекает оси координат в начале
системы координат и образует со всеми осями равные углы;
3. если x = x0 или y – y0 , или z = z0), то прямая параллельна одной из координатных
плоскостей;
4. если уравнение прямой p : ax = by = cz , а прямой q : bx = ay = cz,
то существуют такие положительные a , b, c , при которых эти прямые
перпендикулярны.
5. если уравнение прямой p : ax = by = cz , а прямой q bx = ay = cz , то они могут быть
параллельны,
Тест 28. Уравнение прямой в пространстве
Прямая p задана уравнением ( x – 1 ) 2 + ( y – a ) 2 = 0, прямая q задана
уравнением ( y – 1 ) 2 + ( z – a ) 2 = 0, прямая r задана уравнением
( x – a ) 2 + ( z – a ) 2 = 0. Тогда:
1. есть такое значение a, при котором эти прямые имеют общую точку;
2. при a > 1 эти прямые попарно скрещиваются;
3. найдётся такое значение a, при котором прямая r равноудалена от двух других
прямых;
4. с возрастанием a возрастает расстояние от каждой прямой до начала координат;
5. существует прямая, которая пересекает все данные прямые.
Тест 29. Уравнение плоскости
Плоскость α задана уравнением ax + y + z = 1, плоскость β задана уравнением
x + ay + z = 1, плоскость γ задана уравнением x + y + az = 1. Существует значение a,
при котором:
1. хотя бы одна из этих плоскостей проходит через начало координат;
2. эти плоскости параллельны, причём a > 1;
3. у этих плоскостей есть общая прямая;
4. эти плоскости попарно перпендикулярны;
5. угол между каждой парой плоскостей один и тот же, отличен от прямого, причём a
положительно, но меньше, чем 2.
1.
2.
3.
4.
5.
Тест 30. Уравнение плоскости
Прямая задана уравнением ax = y = z, плоскость задана уравнением
ax + y - z = 1.
Существует значение a, при котором:
прямая лежит в плоскости;
прямая пересекает плоскость в начале координат;
точка ( 1, a, a ) является точкой пересечения прямой и плоскости;
прямая перпендикулярна плоскости;
угол между прямой и плоскостью при a → 0 стремится к нулю.
Тест 31. Угол между плоскостями
Плоскость α задана уравнением x + y + z = a, плоскость β задана уравнением
x + y = a, плоскость γ задана уравнением z = a. Тогда:
1. существует значение a, при котором: плоскости β и γ взаимно перпендикулярны;
2. при любом значении a плоскости α и β не перпендикулярны;
3. существует значение a, при котором плоскость α образует равные углы с
плоскостями β и γ ;
4. ‫ے‬αβ + ‫ے‬βγ + ‫ے‬γα > 1800;
5. хотя бы одна из этих плоскостей образует равные углы с плоскостями координат.
Тест 32. Угол между прямой и плоскостью
Плоскость α задана уравнением x + z = a, прямая p задана уравнением
x = a – y = z, прямая q задана уравнением ( x – y ) 2 + ( z – a ) 2 = 0 , прямая r
задана уравнением x/0 = y/0 = z/1. Тогда:
1. p ┴ α;
2. ‫ے‬qα = π/6;
3. ‫ے‬rα = π/4;
4. существует такое значение a , при котором прямая p перпендикулярна плоскости,
параллельной прямым q и r;
5. угол между прямой p и плоскостью α больше угла между прямой a и плоскостью,
параллельной прямым q и r;
Тест 33. Угол между прямыми
1. При любом значении a ≠ 0 прямые AB и CO перпендикулярны ( точка O - начало
координат )., если уравнение прямой OC : ( y – ax )2 + z2 = 0, уравнение прямой AB:
( x – 1 )/-1 = y/ 0 = z + 1/ -1.
2. Угол между прямой p , уравнение которой x/1 = y + 1/ -2 = z / 0, и прямой q,
уравнение которой ( x - 1 )/2 = ( y – 0,5 ) -1 z / 0 больше 600.
3. Угол между прямой p , уравнение которой x = y = z , и прямой q1, уравнение
которой x = - y = z , больше угла между прямой p и прямой q2, уравнение
которой x = y = -z .
4. Существует a > 0, при котором угол между прямой p , уравнение которой
( -ay + z - 1 )2 + x2 = 0, и прямой q, уравнение которой ( x - ay +1 ) 2 + z2 = 0, равен
600.
5. При возрастании a ( a > 1 ) угол между прямой p , уравнение которой
ax = y = z, и прямой q, уравнение которой x = y = az стремится к прямому.
.
Тест 34. Расстояние от точки до плоскости
1. Расстояние от начала координат до плоскости x + y + z + a = 0 растёт при
увеличении a;
2. Расстояние от точки A ( 1, 1, 1) до плоскости α, уравнение которой x + y = 0
равно расстоянию от точки B ( - 1,- 1, - 1 ) до плоскости α.
3. Расстояние от точки A ( -a, 0, a) до плоскости α, уравнение которой y + z = 1 не
равно расстоянию от точки A до плоскости β, уравнение которой - y + z = 1.
4. Расстояние от прямой
( x - 1 )2 + ( y – 1 )2 = 0 до плоскости α, уравнение которой
x + y + 1 = 0 больше 2.
5. Расстояние от плоскости α, уравнение которой x + y + z = 1 до плоскости β,
уравнение которой x + y + z = -1, меньше 2.
Тест 35. Уравнение сферы
Рассматривается уравнение сферы в общем случае:
(x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2.
Тогда:
при a > 0, b < 0, c > 0 существует такое значение R, при котором вся сфера лежит в
одном из октантов;
2. при a = - 2, b = 2 , c = 2 найдётся такое значение R, при котором сфера касается
плоскостей координат;
3. при увеличении a и постоянных R , b и c расстояние от начала координат до
сферы растёт;
4. если центр сферы находится в точке ( - 1, -1, -1 ) и R = 2 , то на одной из
координатных плоскостей эта сфера высекает единичную окружность;
5. при постоянном R и возрастающих a , b , с эта сфера удаляется от начала
координат.
Тест 36. Расстояние от точки до фигуры
Расстояние от точки A до фигуры F больше 1, если:
1. A ( 0, - 2, 0 ), F задаётся условием | x/y | ≥ 1;
2. A (1, 0, 0 ), F задаётся условием x = | y | = z;
3. A ( 0, 0, -2 ), F задаётся условием y2 = 1;
4. A ( -1, 1, 1 ), F задаётся условием x  - y2 - z2 + 1;
5. A ( 0, 0, 0 ), F задаётся условием x2 + y2 + z2 - x – y – z +1,5 = 0.
Тест 37. Сфера
1. Некоторая сфера, уравнение которой x2 + y2 + z2= a2 , проходит через точку
( a , - a, a ).
Некоторая сфера, уравнение которой ( x + 1 ) 2 + ( y + a ) 2 + ( z + a ) 2 = 1, касается
плоскости xy.
Некоторая сфера, уравнение которой ( x – a )2 + y2 + z2= 1, отсекает на оси y отрезок
длины 2.
Некоторый шар ( x - 0,9 ) 2 + ( y – 0,9 ) 2 + ( z – 0,9 ) 2  a2 , имеет общие точки с шаром (
x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2  1.
Некоторые сферы, уравнения которых ( x – a )2 + y2 + z 2 = 1 и
x 2 + ( y + a )2 + z 2 = 1, удалены на расстояние 1 при a > 2.
Тест 38. Координатный метод
В координатном пространстве ( х, у, z ) :
уравнение х2 – 1 = 0 задает плоскость.
плоскости, заданные уравнениями 2х- 3у + 6z = 1 и 2х + 3у + 6z = 1, параллельны.
плоскости, заданные уравнениями 2х - 3у + 6z = 6 и -2х +3у + 6z = 6, имеют общую точку
(3, 2, 1).
плоскость, заданная уравнением х – у + z + 9 = 0, и сфера, заданная уравнением
х2 + у2 + z2 = 4, имеют общую точку.
уравнение ах + bу2 = c при ненулевых a и b задает параболу.
Тест 39. Обобщающий
Середина отрезка AB находится удалена от начала координат больше, чем на 1, если A( 5,
2, 0), B( -5, -1, 2).
2. Точки A ( -1, 2, 0) и B ( -2, 1, 0 ) равноудалены от прямой p, уравнение которой
y =-x= 5.
3. Точка C ( a, 2a, a ) лежит на прямой, проходящей через точки A( -1,-2, 0) и
B (-3,-5, 0).
4. Существует a  2, при котором шар ( x – a )2 + ( y – a )2 + ( z – a )2 ≤ 1 лежит в шаре
( x + a )2 + ( y + a )2 + ( z + a )2 ≤ 25.
5. Фигура, уравнение которой xy  1 удалена от начала координат на расстояние,
большее 1.
Скачать