Математический анализ. 1 БЭН 1 семестр 1 семестр

Математический анализ. 1 БЭН 1 семестр
Вопросы к зачёту по курсу математического анализа
1 семестр
1 часть «Функции. Пределы функций»
1. Аксиомы действительных чисел. Выполнение аксиом действительных чисел для
бесконечных десятичных дробей.
2. Ограниченное множество. Граница множества. Грань множества. Существование
граней у ограниченного множества.
3. Принципы Архимеда и Кантора.
4. Метод математической индукции.
5. Числовая последовательность (определение последовательности, способы задания).
Монотонные
последовательности
(возрастающая,
убывающая,
неубывающая,
невозрастающая,
ограниченная
сверху,
ограниченная
снизу,
ограниченная,
неограниченная сверху, неограниченная снизу последовательность).
6. Бесконечно малая последовательность. Признак сходимости последовательности,
сформулированный с помощью бесконечно малой последовательности, ограниченность
бесконечно малой последовательности.
7. Бесконечно
малая
последовательность.
Свойства
бесконечно
малых
последовательностей (сумма бесконечно малых последовательностей, произведение
бесконечно малой и ограниченной последовательностей)
8. Определение предела последовательности. Геометрический смысл предела
последовательности. Свойства пределов последовательностей (единственность предела
последовательности, ограниченность сходящейся последовательности).
9. Определение предела последовательности. Свойства пределов последовательностей
(предел суммы последовательностей, предел произведения двух последовательностей).
10. Определение
предела
последовательности.
Свойства
пределов
последовательностей (предел отношения двух последовательностей).
11. Предельный переход в неравенствах ( lim an  a и n аn>с  no n  n0 a  с ,
n
теорема о двух «милиционерах»)
12. Бесконечно большие последовательности (определение + ∞,– ∞, ∞, определение
бесконечно большой последовательности, теорема о существовании предела монотонной
последовательности, теорема Кантора о вложенных отрезках).
13. Бесконечно большие последовательности (определение + ∞,– ∞, ∞, определение
бесконечно большой последовательности).
14. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
15. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса об ограниченных
монотонных последовательностях.
16. Число е и постоянная Эйлера.
17. Подпоследовательность (теорема Больцано-Вейерштрасса о возможности
выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности).
18. Фундаментальная последовательность (определение, теорема - критерий Коши о
сходимости последовательности).
19. Определение числовой функции, способы задания. Композиция отображений.
Монотонные функции.
20. Определение числовой функции, способы задания. Терминология, применяемая
для описания свойств функции.
21. База. Предел функции по базе. Свойства пределов функции (теорема о
единственности предела).
22. База. Предел функции по базе. Свойства пределов функции (финальная
ограниченность, теорема о пределе суммы).
23. Бесконечно малые функции (определение, сумма бесконечно малых функций,
произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции).
24. Бесконечно малые функции (предел произведения функций, предел частного двух
функций).
25. Предельный переход в неравенствах функций (f(x)>K  предел f(x)  K, теорема о
двух ”милиционерах”).
26. Критерий Коши сходимости функции по базе.
27. Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность определений
сходимости по Коши и по Гейне.
28. Теоремы о пределе сложной функции (теоремы 1-3).
29. Теоремы о пределе сложной функции (теорема 4).
30. Порядок бесконечно малой функции. Эквивалентные бесконечно малые функции.
2 часть «Непрерывность функции в точке. Дифференцирование функций одной
переменной. Неопределённый интеграл».
1. Непрерывные функции (определения: на языке пределов, по Коши, по Гейне,
непрерывность функции слева и справа). Необходимое и достаточное условие
непрерывности функции в точке.
2. Свойства непрерывных функций (непрерывность линейной комбинации двух
непрерывных функций, произведения, частного, локальная знакоопределенность,
локальная ограниченность, непрерывность сложной функции).
3. Непрерывность элементарных функций. Доказать по определению, что f(x) = sinx –
непрерывна.
4. Первый замечательный предел. Примеры
5. Второй замечательный предел. Следствия из второго замечательного предела.
Примеры.
6. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва, теорема о точках
разрыва монотонной функции)
7. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва, критерий
непрерывности монотонной функции)
8. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва, существование и
непрерывность обратной функции)
9. Теоремы о непрерывных функциях на отрезке (теоремы Больцано – Коши (об
обращении непрерывной функции в ноль, о промежуточном значении непрерывной
функции).
10. Теоремы о непрерывных функциях на отрезке (теоремы Вейерштрасса (об
ограниченности непрерывной функции, о достижении граней))
11. Равномерная непрерывность функции (определение, теорема Гейне-Кантора).
12. Приращение функции. Дифференциал и производная функции. Геометрический
смысл и механический смысл производной.
13. Правила дифференцирования (вывод формул).
14. Дифференцирование сложной функции (определение, вывод формулы).
15. Производные и дифференциалы высших порядков.
16. Основные теоремы дифференциального исчисления. Лемма Дарбу, Теорема Ферма.
Геометрический смысл.
17. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля.
Геометрический смысл.
18. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Коши и Лагранжа.
Геометрический смысл.
19. Производная функции, заданной параметрически (определение, вывод формулы).
20. Производная функции, заданной неявно (определение, вывод формулы).
21. Производная показательно – степенной функции (вывод формулы).
22. Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя.
23. Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя.
24. Раскрытие неопределенностей вида  0    ,      , 1  ,   0  ,  00  по правилу
Лопиталя.
25. Локальная формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к некоторым
функциям. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа.
26. Исследование функций с помощью производных. Асимптоты.
27. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки.
Возрастание и убывание функции в точке.
28. Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Точки перегиба.
29. Интерполирование.
Точная первообразная. Интегрируемые функции. Свойства неопределенного интеграла.