Обыкновенные дифференциальные уравнения Тема 1 Понятие обыкновенного дифференциального уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения
Тема 1 Понятие обыкновенного дифференциального уравнения
В процессе решения многих теоретических и практических задач часто не удается
сразу непосредственно установить функциональную зависимость у = f(x) между
величинами, но можно установить связь между этой функцией и ее производными. Такая
связь несет информацию о динамике изучаемого процесса, т.е. о характере изменения
процесса. Как правило, изучается динамика изменения каких-либо показателей с течением
времени, но могут быть использованы и другие зависимости: например, зависимость
спроса на товар от его цены и т.д.
Динамика всех протекающих процессов, в том числе и экономических,
описывается одним дифференциальным уравнением или системами дифференциальных
уравнений. При изучении характера экономических процессов чаще всего проводится их
математическое моделирование, которое предполагает составление и решение системы
дифференциальных уравнений.
Экономические ситуации, которые можно исследовать, представляя системами
дифференциальных уравнений, будут показаны в дальнейшем, в курсе изучения
специальных дисциплин. Мы, не углубляясь в экономическую трактовку
рассматриваемых ситуаций, рассмотрим пример, приводящий к необходимости
составления и решения дифференциального уравнения.
Пример 1.
Рассмотрим производство продукции. Объем производимой продукции в течение
некоторого времени возрастает и характеризуется постоянным темпом роста k.
Пусть требуется найти закон, характеризующий изменение объема производимой
продукции во времени, если в начальный момент времени объем продукции составлял V0
единиц.
Решение.
Очевидно: средний темп роста kср объема продукции V за промежуток времени Δt
определяется выражением:
где ΔV- прирост объема продукции за промежуток времени Δt
V- объем всей продукции, выпущенной за предшествующий промежуток
времени, численно равный Δt
Переходя к истинным величинам, получим:
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, решая которое
определим закон изменения объема продукции во времени. Преобразуем
дифференциальное уравнение и проведем непосредственное интегрирование:
Общее решение
С учетом начальных условий при t = 0
V = V0 имеем:
Зависимость объема продукции от времени при постоянном темпе роста
характеризуется экспонентой.
|
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех
решений дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение,
содержащее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и ее производные у',
у",
, y(n)
Символически дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так
(1)
F ( x. y, y , y ,..., y ( n ) )  0
Например, уравнения 4х – у + 2у' = 0 и у" = 2х + 1 являются дифференциальными
уравнениями.
Если искомая функция у = f(x) есть функция одного независимого переменного, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным (прилагательное
"обыкновенные" обычно опускают). В данном курсе лекций рассматриваются только
обыкновенные дифференциальные уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Порядком дифференциального уравнения называется
порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение
Например, у' – 2ху2 + 3 = 0 это уравнение первого порядка, а
у'" + 2у' + у = sin х – уравнение третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением дифференциального уравнения называется такая
функция у = φ(х), при подстановке которой в уравнение последнее обращается в
тождество.
График этой функции у = φ(х) называется интегральной кривой Если решение
задано в неявном виде Ф(х,у) = 0, то оно обычно называется интегралом
дифференциального уравнения.
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
xy′ – 5 = 0.
Функция y = 5ln x – есть решение этого уравнения. Действительно: y  
5
, подставляя у′ в
x
5
 5  0 − тождество, а это значит, что функция 5ln x –
x
есть решение этого дифференциального уравнения.
Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
исходное уравнение, получим x
y′′ − 5y′ + 6y = 0.
Функция y = 3e2x есть решение данного уравнения. Действительно:
y′ = 6e2x; y′′ = 12e2x. Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное
уравнение, получим 12e2x + 5∙6e2x + 18e2x = 0, т.е. y = 3e2x удовлетворяет данному
уравнению, а это значит, что функция y = 3e2x – есть решение этого дифференциального
уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Общим решением дифференциального уравнения n-го
порядка называется функция
y = φ(x,С1,С2,
,Сn),
(2)
зависящая кроме аргумента х от n произвольных постоянных C1, C2,…,Cn и
удовлетворяющая данному уравнению при любых значениях этих постоянных.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
(3)
F ( x, y, y )  0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Общим решением дифференциального уравнения первого
порядка называется функция вида
у = φ(х,С),
(4)
содержащая произвольную постоянную С такую, что:
1) у=φ(х,С) при любом С есть решение уравнения (3);
2) Для любых начальных условий х=х0; у=у0 существует такое С0, что
соотношение у=φ(х,С0) при подстановке значений начальных условий
обращается в тождество.
Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка найдено в
виде, неразрешенном относительно у, т.е. в виде Ф(х,у,С) = 0, то оно называется общим
интегралом дифференциального уравнения.
Как мы видели в первом примере, решение дифференциального уравнения связано
с необходимостью интегрировать входящие в уравнение функции. Рассмотрим, например,
уравнение у' = Зх2. Интегрируя его, получаем совокупность функций у =х3 + С, каждая из
которых является решением данного дифференциального уравнения.
На рисунке 1 изображена совокупность указанных интегральных кривых.
Рис. 1. Интегральные кривые уравнения у′ = Зx2 .
Чтобы из всей совокупности общих решений выделить конкретное решение,
необходимо задать дополнительные условия. Чаще всего эти дополнительные условия
определяются в виде начальных условий
у(х0) = y0, у'(х0) = y0 и т.д. Так, например, если решения уравнения у' = Зх2 искать при
начальном условии у(0) = 1, конкретное решение будет иметь вид у = х3 + 1.
Таким образом, начальное условие у(0) = 1 выделяет из множества всех решений
конкретное решение, график которого проходит через точку (0,1) На рис. 1 этот график
изображен пунктирной линией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Частным решением дифференциального уравнения первого
порядка называется любая функция у=φ(х,С0), полученное из общего решения у = φ(х,С)
при фиксированном значении произвольной постоянной С=С0.
Заданное в неявном виде Ф(х,у,С0) = 0, это решение называется частным
интегралом.
Пример 4.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
xdx + ydy = 0. Интегрируя обе части уравнения, получим:
x2 y2 C 2


2
2
2
Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования,
можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном
случае, с учетом канонического уравнения окружности, ее удобно представить в
указанном виде.
х2 + у2=С2,
Общим решением заданного дифференциального уравнения является
y   C 2  x2
С точки зрения геометрии - это семейство концентрических окружностей радиуса С. См.
рис. 2.
Рис. 2.
Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
у0 = 4 при х0 = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение:
32 + 42 = С2; С = 5.
Подставляя С = 5 в общее решение, получим
х2 + у2 = 52.
Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения
при заданных начальных условиях.
Геометрически - это единственная окружность радиуса 5 , проходящая через точку
М0 с координатами (3;4), см. рис 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Задача определения частного решения у = f(x)
удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.
Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Как уже говорилось в предыдущей лекции, дифференциальное уравнение
первого порядка имеет вид
F(x,y,y')=0
Если это уравнение можно разрешить относительно у', то его можно записать так
y' = f(x,y)
(5)
Уравнение (5) называется уравнением первого порядка, разрешенным
относительно производной
Прежде, чем решать любое дифференциальное уравнение, необходимо знать,
существует ли на самом деле решение дифференциального уравнения, и, если оно есть, то
является ли оно единственным
Условия, при которых дифференциальное уравнение (5) имеет решение,
составляют содержание теоремы Коши - теоремы существования и единственности
решения дифференциального уравнения первого порядка.
Теорема Коши. Если правая часть f(x,y) уравнения у' = f(x,у) и ее частная
производная f'y(x,y) определены и непрерывны в некоторой области G(х,у) изменения
переменных х и у, тогда
1)
для любой внутренней точки (x0;y0) G ( x, y ) , существует непрерывно
дифференцируемая функция у =φ(x), являющаяся решением этого
уравнения и удовлетворяющая условию φ(х0) =y0:
2)
если два решения у =φ(x) и у =ψ(x) совпадают хотя бы для одного
значения х = х0 : φ(x0) = ψ(x0), то они тождественно совпадают в области
G, т.е. φ(x)  ψ(x)для любого x  G .
Значения (x0;y0) называются начальными условиями.
Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что существует
единственная интегральная кривая у =φ(x), график которой проходит через точку (x0;y0)
(см рис. 1).
Особое решение дифференциального уравнения
Определение 8. Особым решением дифференциального уравнения называется
решение, которое нельзя получить из общего ни при каких числовых значениях
произвольной постоянной С ( включая   ).
Например, проверкой можно убедиться, что дифференциальное уравнение
y   1  y 2 имеет общее решение y=sin(x + C). В то же время функция у=1 также
является решением этого уравнения. Однако это решение не может быть получено из
общего решения ни при каких значениях С.
С точки зрения геометрии особому решению соответствует интегральная кривая,
не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение. Она
является огибающей этого семейства.
Например, функция у=С(х – С)2 при любом значении С является решением
3
дифференциального уравнения 4 xyy    y   8 y 2  0 . При этом функция у=0 являясь
особым решение данного уравнения, представляет собой огибающую семейства
интегральных кривых (рис. 3)
Рис.3. График функций у=С(х – С)2
В случае, когда уравнение имеет особое решение, нельзя ограничиваться
нахождением частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Особое решение может удовлетворять тем же начальным условиям, что и частное решение, и
потому решение будет не единственным. В каждой точке особого решения нарушаются
условия теоремы Коши (условия существования и единственности решения).
Через каждую из особых точек может проходить либо несколько интегральных
кривых, либо не проходит ни одной.
На примере решения дифференциального уравнения первого порядка покажем, как
может появиться особое решение.
Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения.
y   2 xy  0
Решение.
Запишем данное уравнение в виде
dy
 2 xy  0 .
dx
Далее умножим обе части этого уравнения на dx:
dy + 2xydx = 0.
Разделим обе части уравнения на dy, чтобы отделить переменные:
dy
 2 xdx  0
y
Интегрируем уравнение
dy
 y   2 xdx  C
Получаем общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка
ln|y| + x2 = C
Отсюда общее решение
y  eCx
Особое решение. При делении на у возможна потеря решения у = 0. При
подстановке данного решения в исходное дифференциальное уравнение, оно обращается в
тождество, следовательно, у = 0 является решением. Очевидно, это решение не
содержится в общем ни при каком значении постоянной С, а потому является особым.
Итак, особое решение у = 0.
2
Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение у' = f(x,у). Это уравнение для каждой
dy
, т.е. угловой коэффициент
dx
касательной к интегральным кривым у = φ(х,С), являющихся общим решением
дифференциального уравнения.
точки М(х,у) определяет значение производной y  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Часть плоскости, каждой точке которой сопоставлен отрезок
прямой так, что тангенс угла наклона его к оси Ох равен значению в данной точке правой
части дифференциального уравнения у' = f(x,y), называется полем направлений данного
дифференциального уравнения.
Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования
дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление
касательных к которым совпадает с полем направлений в соответствующих точках.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Множество всех точек плоскости, в которых поле имеет одно
и то же направление, называется изоклиной уравнения.
Уравнение изоклины определяется следующим образом. В каждой точке изоклины
тангенс угла наклона отрезков поля имеют одно и то же фиксированное значение tgα = k.
Так как, с другой стороны,
то координаты каждой точки изоклины удовлетворяют уравнению.
Пример 6. Построить поле направлений дифференциального уравнения y   
y
.
x
y
 k , или у = – кх, т.е. изоклинами являются
x
прямые с угловым коэффициентом -k проходящие через начало координат (рис. 4).
Определяя конкретные значения k, мы получаем уравнение конкретной прямой. При этом
мы одновременно задаем и поле направлений. Например, при k = 1, мы получаем
изоклину у = –х, в каждой точке которой tgα = k = 1, т.е. α = 45°. На границе направление
α задается единственным вектором через определенные промежутки.
Построив изоклины и поле направлений, можно приближенно нарисовать
интегральные кривые, проводя их в соответствии с заданным полем направлений. В
C
нашем случае интегральные кривые - это семейство гипербол y  .
x
Решение. Уравнение изоклин 
Рис. 4. Поле направлений и изоклины дифференциального уравнения y   
y
x
Пример 7. Построим поле направлений дифференциального уравнения у' = х2 + у2.
Решение. Уравнение изоклин этого дифференциального уравнения имеет вид х2 +
2
у = k, т.е. изоклинами служат концентрические окружности радиусом у/к с центром в
начале координат (рис. 5).
Рис. 5. Изоклины и интегральные кривые уравнения у' = х2 + у2.
В точках каждой из окружностей нужно провести отрезки, образующие с осью ОХ
один и тот же угол α, тангенс которого равен k. Так, при k = 1 изоклиной является
единичная окружность х2 + у2 = 1, при k = 4 — окружность х2 + у2 = 22 радиуса 2, при k = 9
— окружность х2+у2 = З2 радиуса 3 и т.д. Этим изоклинам соответствуют направления
отрезков, образующих с осью ОХ углы α1 = arctg 1 = π/4, α2 = arctg 4 и α3 = arctg 9.
При k = 0 получаем х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет единственная
точка (0, 0). В этом случае изоклина состоит из одной точки, для которой tg α = 0. На рис.
5 построены вышеперечисленные изоклины и изображено поле направлений данного
дифференциального уравнения. Для того чтобы построить интегральную кривую, возьмем
на плоскости произвольную точку (х0,у0). Проведем через эту точку кривую так, чтобы она
в каждой точке касалась поля направлений. Это и будем искомой интегральной кривой,
проходящей через точку (х0,у0). В качестве примера, на рис. 5 построены интегральные
кривые, проходящие через точки (0; 0), (–1; 1) и (1; –1).
Далеко не для любого дифференциального уравнения первого порядка можно
получить общее решение в виде, как говорят, квадратурных формул, т.е. свести его к
вычислению неопределенных интегралов методами рассмотренными в лекциях по
интегральному исчислению.
Рассмотрим некоторые из простейших типов уравнений, для которых такое
решение может быть получено.
Простейшие дифференциальные уравнения.
1. Уравнения с разделяющимися переменными.
Определение 11. Дифференциальным уравнением первого порядка с
разделяющимися переменными называется уравнение вида
(6)
m1 ( x)  n1 ( y)  dx  m2 ( x)  n2 ( y)  dy  0 .
Для того, чтобы отделить переменные, оставив в каждом слагаемом функцию
только одного переменного, нужно обе части уравнения умножить на выражение, равное
1
.
n1 ( y )  m2 ( x)
Полученное при этом уравнение
m1 ( x)
n ( y)
(7)
dx  2
dy  0
m2 ( x )
n1 ( y)
называется уравнением с разделенными переменными
Интегрируя уравнение (7), получаем общее решение уравнения в виде квадратур
m1 ( x)
n1 ( y)
(8)

dx

 m2 ( x )
 n2 ( y)  dy  C
Пример 8. Найти общее решение уравнения 2уу' = 1 – Зх2
Решение. Очевидно, что данное уравнение допускает разделение переменных
2ydy = (1 – 3х2)dx.
Интегрируя обе части последнего равенства, найдем
Пример 9. Найти частное решение уравнения у' = 
y
, при у(1)=2 Решение.
x
Разделив переменные
интегрируем и получаем
где произвольная постоянная С0 = lnC1. Воспользовавшись свойством логарифма, после
операции потенцирования будем иметь общее решение в виде
Используя начальное условие у(1) = 2, находим 2 =
C
, те С = 2 и искомое частное
1
2
.
x
При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее содержится в
C
формуле у =
при С = 0.
x
Замечание 1. Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к
уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение у' = f(ax + bу + с), (b ≠
0) приводится к виду уравнений с разделяющимися переменными при помощи замены u =
ах + by + с, где u -новая искомая функция.
Пример 10. Найти общее решение уравнения у' = (8х + 2у + 1)2
Решение.
Введем новую переменную и = 8х + 2у +1, откуда
решение равно у 
и уравнение примет вид
Найдем решение этого уравнения с разделяющимися переменными
Полученное решение является общим интегралом данного уравнения.
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение 12. Функция f(x,y) называется однородной функцией k-й степени,
если при любом t  R , имеет место тождество f(t∙x,t∙y) = tk∙f(x,y).
Например, функция f(x,y) = ху — у2 есть однородная функция второй степени так
как
f (t  x, t  y)  t  x  t  y  t 2  y 2  t 2 ( xy  y 2 )  t 2  f ( x, y) .
Определение 13. Дифференциальное уравнение первого порядка
у′ = f(x,y) называется однородным если его можно представить в виде
(9)
где Р(х,у) и Q(x,y) - однородные функции одной степени.
Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному
уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
у = tx,
(10)
y
где t =
- новая неизвестная функция.
x
Пример 11. Найти общее решение уравнения (х2 – 2y2)dx + 2xydy = 0
Решение. В данном уравнении функции Р(х,у) = х2 – 2у2 и Q(x,y) = 2ху однородные функции второй степени, следовательно, решаемое уравнение является
однородным. Положим у = tx, откуда dy = tdx + xdt. Подставим выражения для у и dy в
исходное дифференциальное уравнение
Разделим переменные в последнем уравнении и проинтегрируем
Возвращаясь к переменной у находим общее решение
x  Ce

y2
x2
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть так же
представлено в виде
y   F ( x, y )
(11)
где F(x, у) - однородная функция нулевой степени.
Для того , чтобы решить уравнение в этом виде, можно используя равенство
dy
y 
представить это уравнение в виде (9) и далее решать, используя подстановку (10).
dx
Пример 12. Найти все решения уравнения
y y
 .
x x
Решение. Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением
y y
первого порядка, т.к. оно представлено в виде y   F ( x, y ) , где F ( x, y ) = 2
 −
x x
однородная функция нулевой степени. Действительно,
y  2
t0  y t0  y
dy
 0 . Для решения уравнения заменяем в нем y  на
и
0
dx
t x t x
приводим его к виду (9)

dy
y y
y y
→  2
(12)
 dx  dy  0 .
2

x
x
dx
x x


F (t 0  x, t 0  y )  2
y y
 , Q( x)  1 .
x x
Далее решаем это уравнение способом , рассмотренным в примере 11.
y
y
 t , dy  tdx  xdt . Подставим  t и dy  tdx  xdt в уравнение (12).
y  tx →
x
x
Получим 2 t  t  tdx  xdt  0 . Или 2 t dx  xdt  0 . Это уравнение уже позволяет
разделить переменные t и x:
dx 1 dt
.
 
x 2 t
dx 1 dt
Интегрируя полученное уравнение 
, получаем t  ln | x |  ln C .

x 2 t
y
Возвращаемся к исходным переменным:
 ln | x  C | , и получаем общее решение
x
y  x  ln 2 | x  C | .
Здесь P( x)  2


Особое решение. В процессе решения было произведено деление на 2 t . Следовательно,
необходимо проверить, являются ли те значения у, при которых t = 0 решением заданного
уравнения и если являются, то содержатся ли они в общем решении. Как видно их
y
подстановки  t , таким значением у является у = 0 ( х ≠ 0). Это значение является
x
решением заданного дифференциального уравнения, т.к. оно обращает уравнение в
тождество. Но в тоже время это решение является особым, т.к. оно не может быть
получено из общего решения ни при каком числовом значении постоянной С.
Было произведено деление также на х. Убеждаемся , что х = 0 ( у ≠ 0) – частное
решение заданного дифференциального уравнения, т.е. может быть получено из общего
решения.
Замечание 2. Если
и
, то,
полагая в уравнении
где постоянные α и β определяются из решения системы, уравнений
получим однородное
дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных u и v. Если Δ =
0, то, полагая в уравнении u = a1x + b1у, получим сразу уравнение с разделяющимися
переменными.
Пример 13. Найти общее решение уравнения
(2х + у + l)dx + (x + 2y – l)dy = 0
Решение. После преобразований получим
Здесь:
а1 = 2, b1 = 1, а2 = 1, b2 = 2
Следовательно,
Тогда в соответствии с замечанием 2 введем новые переменные
где постоянные α и β определяются из решения системы уравнений
Таким образом,
и исходное уравнение преобразуется к виду
т.е. к виду однородного дифференциального уравнения относительно u и v
Введем обозначение
После подстановки в дифференциальное уравнение будем иметь
решая которое, найдем:
Подставим обратно t = u/v и после преобразований найдем:
Наконец, возвращаясь к переменным х и у (u = х + 1, v = у – 1), после элементарных
преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения:
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение 14. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной
y' + P(x)y = Q(x),
(13)
где Р(х) и Q(x) заданные непрерывные функции х.
Если в частном случае Q(x) = 0, то уравнение (13) называется линейным
уравнением без правой части или линейным однородным дифференциальным
уравнением первого порядка.
Если Q(x) не является тождественным нулем, то уравнение (13) называется
линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Рассмотрим самый распространенный метод решения линейных уравнений.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Этот метод в дальнейшем мы будем использовать также и при решении линейных
уравнений высших порядков.
Метод вариации произвольной постоянной заключается в следующем.
Первый этап. Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное
уравнение
y' + P(x)y = 0
Переменные здесь отделяются
dy
 P( x)  dx  0 .
y
Интегрируя, получаем
 P ( x )dx
(14)
y  C e 
Второй этап. Общее решение исходного неоднородного уравнения (13), когда Q(x)
≠ 0 будем искать в виде
 P ( x )dx
(15)
y  u ( x)  e 
где u(x) – искомая функция от x.
Дифференцируя, находим
 P ( x )dx
 P ( x )dx
.
y  u  e 
 u  P( x)  e 
Подставив у и у′ в уравнение (13), получим
 P ( x )dx
P ( x )dx
→
u  e 
 Q( x) → u   Q( x)  e 
→ u   Q( x)  e 
P ( x )dx
du = Q( x)  e 
P ( x )dx
 dx →
 dx  C .
Подставляем полученное выражение для u в (15), получим формулу общего решения
линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка
 P ( x )dx 
P ( x )dx
ye 
   Q( x )  e 
 dx  C 


(16)
Естественно, нет необходимости запоминать выведенные формулы, т.к. все они
будут получаться автоматически при решении конкретных задач.
Пример 13. Найти общее решение уравнения
2x
y 
y  2x
1 x2
Решение.
Первый этап. Найдем решение однородного уравнения (Q(x) = 0),
т.е. решение уравнения
2x
y 
y0
1 x2
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy
2x

dx
y 1 x2
После интегрирования и элементарных преобразований будем иметь
y = C(1+ x2).
Второй этап. Ищем общее решение неоднородного уравнения ( Q(x) ≠ 0) в виде
y = u(x)∙(1+ x2).
(17)
Находим производную
y′ = u′(x)(1+x2) + u(x)∙2x
и подставляем у и у′ в исходное уравнение
u ( x)(1  x 2 )  2 x  u ( x) 
Отсюда следует
u ( x) 
2 x  u ( x)(1  x 2 )
 2x
1 x2
2x
1 x2
Или
du 
2x
 dx .
1 x2
Интегрируем и получаем
u ( x)  ln( 1  x 2 )  C
Для получения ответа подставим найденное выражение для u(x) в (17)
y  (ln( 1  x 2 )  C )(1  x 2 )
4. Уравнение Бернулли.
Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального
уравнения (13) и в общем виде может быть представлено как
y' + P(x)∙y = Q(x)∙yn,
(18)
причем показатель степени n можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этом
случае уравнение будет линейным.
Уравнение Бернулли можно решить двумя способами.
Первый способ состоит в том, что уравнение Бернулли приводится к линейному
дифференциальному уравнению (13) с помощью замены переменной по формуле
u = y1-n
(19)
Второй способ – заключается в нахождении решения уравнения Бернулли методом
вариации произвольной постоянной, который уже рассматривался при решении линейных
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим метод решения уравнения Бернулли методом замены переменной. Из
формулы (19) следует, что
u   (1  n)  y  n  y 
(20)
Умножим обе части уравнения Бернулли (18) на (1  n)  y  n
(1-n)∙y-n∙ y' + (1-n)∙P(x)∙y1-n= (1- n)∙Q(x)
Или с учетом (19), (20)
u′ + (1-n)∙P(x)∙u = (1-n)∙Q(x)
Обозначим (1-n)∙P(x)= Р1(х); (1- n)∙Q(x)= Q1(x). Получим
u′ + P1(x)∙u = Q1(x)
(21)
Это линейное относительно u дифференциальное уравнение. Решив его,
например, по формуле общего решения (16), получим общее решение, в котором вернемся
к старой переменной у по формуле u = y1-n.
Пример 14. Найти общее решение уравнения
y 
4
yx y
x
(у ≥ 0; х ≠ 0)
1
. Решим это уравнение методом
2
1
1 
замены переменной. Умножим обе части уравнения на (n-1)∙y-n, т.е. на   y 2 . Получим
2
1
1
1



1
1
4
1
  y 2  y    y 2   y    y 2  x y или
2
2
x
2
1
1
1 2
2
1
 y  y   y 2   x .
2
x
2
1
1
1 2
2

Обозначим u  y . Тогда u   y  y  . Производим замену переменной
2
2
1
u   u  x
x
2
Это уравнение линейно относительно u. Решая его по формуле общего решения,
получим
Решение. Это уравнение Бернулли, причем n 
ue
2
2

 x dx    x dx 1
e
 x  dx  C 
2


или
1


u  e 2ln x    e  2ln x  x  dx  C 
2


Используя свойства логарифмов, получим
 1 dx

u  x2    C 
2 x

или
1

u  x 2   ln | x | C 
2

Возвращаясь к старой переменной у, получим
2
1

y  u 2  x 4   ln | x | C 
2

Это общее решение уравнения Бернулли.
Особое решение у = 0. Оно превращает заданное уравнение в тождество и, в то же
время, не может быть получено из общего решения ни при каких значениях произвольной
постоянной С.
y
Пример 15. Найти общее решение уравнения y    x 2 y 4 .
x
Решение. Это уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом вариации
произвольной постоянной.
Первый этап. Решаем однородное уравнение
dy
dx
y
C
→ y .
y   0 →

x
x
y
x
Второй этап. Ищем общее решение исходного уравнения Бернулли в виде
u ( x)
y
.
x

 u ( x )  u ( x)  x  u ( x)  x  u ( x) u ( x)
 2 . Подставим y  и y в
Найдем y   
=
 =
x
x2
x
 x 
исходное уравнение.
u ( x) u ( x) u ( x )
 u ( x) 
 2 +
= x2  

x
xx
x
 x 
u ( x) u 4 ( x)
du ( x ) dx
→
→


2
x
x
u 4 ( x)
x
4
→
du ( x)
dx
→

4
x
( x)
u
1
1
 ln x  C → u ( x)  3
3u ( x)
3 ln C
 x .
3
Возвращаемся к старой переменной и получаем общее решение
y
u ( x)
1

x
x  3 3 ln C
 x
.
Тема 3. Дифференциальные уравнения второго порядка.
3.1. Общие понятия
Определение 3.1. Уравнение, связывающее, независимую переменную х, искомую
функцию у(х), ее, первую производную у′(х) и. вторую производную у′′(х), называется
дифференциальным уравнением второго порядка.
F(х, у, у', у") = 0.
(3.1)
Если это возможно, то в виде, разрешенном относительно старшей производной,
уравнение можно записать как
у" = f(х,у,у′).
(3.2)
Определение 3.2. Общим решением уравнения (3.1), или (3.2) называется функция
у = φ(х,С1,С2), содержащая две произвольные постоянные С1 и С2 и удовлетворяющая
условиям:
1) при любых постоянных С1 и С2 функция у = φ(х,С1,С2) является решением
уравнения:
2) каковы бы ни были начальные условия у(х0) = у0, у′(х0) = у′0,
существуют
единственные значения С10 и С20 такие, что функция
у = φ(х,C10,С20) является решением уравнения и удовлетворяет этим начальным
условиям.
Геометрически общее решение представляет бесконечное множество кривых. Для
выделения из этого множества какой-либо одной необходимо, кроме координат точки
(х0,у0), через которую эти кривые проходят дополнительно задать еще одно условие,
например, угловой коэффициент касательной, т.е. значение производной у' в этой точке
Определение 3.3. Частным решением уравнения (3.1) или (3.2) называется всякое
решение у = φ(х,С10,С20), получающееся из общего решения у = φ(х,С1,С2), при
фиксированных значениях С1 = С10 и С2 = С20.
Замечание.
1)Соотношение вида Ф(х, у,С1,С2), неявно определяющее общее решение,
называется общим интегралом дифференциального уравнения.
2) График частного решения называется интегральной кривой данного
дифференциального уравнения.
Теорема 3.1. Теорема существования и единственности решения
дифференциального уравнения второго порядка (теорема Коши).
Если правая часть f(х,у,у') уравнения у" = f(х,у у') и ее частные производные fу(х,y,у')
и fy′ (х,y,у') определены и непрерывны в некоторой области G переменных х,у и у', то
какова бы ни бы ла внутренняя, точка (х0,у0,у′0) этой области, существует и притом
единственное решение
у = φ(х), удовлетворяющее начальным условиям у(х0) = у0 и у′(х0) = у′0.
Теорема приводиться без доказательства.
Задача Коши и краевая задача.
Итак, для получения частного решения дифференциального уравнения второго
порядка необходимо задать два дополнительных условия. В зависимости от способа задания этих дополнительных условий существует два различных типа задач задача Коши и
краевая задача. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой
функции и ее производной в некоторых точках исследуемой области.
Если эти условия задаются в одной точке, то мы имеем дело с задачей Коши.
Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными
условиями а точка х = х0 в которой они задаются - начальной точкой.
Математическая формулировка задачи Коши имеет вид
 y   f ( x, y, y )

(3.3)
 y ( x0 )  y 0
 y ( x )  y 
0
0

Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, то такая
задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются при этом
граничными или краевыми условиями. На практике, обычно граничные условия
задаются в двух точках х = а и х = b являющихся границами области решения
дифференциального уравнения.
Математическая формулировка краевой задачи имеет вид
 y   f ( x, y, y )

(3.4)
 y (a)  y a
 y (b)  y
b

Теоремы подобной теореме Коши для этого случая не существует и в зависимости
от граничных условии задача может иметь единственное решение может иметь
бесчисленное множество решений или вообще не иметь решения.
Например, общим решением уравнения у" + у = 0 является функция (это легко
проверить непосредственной подстановкой)
у = A sin х + В cos х.
Рассмотрим три случая задания дополнительных условий
1) y(0) = у(π) = 0 в этом случае из условия у(0) = 0 находим
В = 0, следовательно, у = Asin x и при втором условии у(π) = 0 получаем бесчисленное
множество решений (рис. 3.1);
2) у(0) = 0 у(b) = 1 0 < b < π. В этом случае существует единственное решение
sin x
(рис. 3.2)
sin b
3) у(0) = 0 у(π) = 1 , в этом случае решений нет так как не существует
синусоиды проходящей через точки (0,0) и (π, 1).
Рис. 3.1. Бесчисленное множество решений краевой задачи
Рис. 3.2. Единственное решение краевой задачи
3.2. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение
порядка.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнении второго порядка,
которые с помощью замены переменной приводятся к уравнениям первого порядка. Такое
преобразование уравнения называется понижением порядка
1. Уравнение не содержит у и у'
у" = f(x)
(3.5)
Обозначим производную через новую переменную y' = p(x), тогда
у" = р'(x). Подставляем новое значение производной в исходное уравнение (3.5), получим
уравнение первого порядка:
p ( x)  f ( x)
решая которое, имеем
p( x)   f ( x)dx  F ( x)  C1
Так как р(x) = y′, то y' = F(x) + C1. Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее
решение уравнения (3.5):
y   F ( x)dx  C1 x  C 2
Пример 3.1. Найти общее, решение уравнения у" = х2.
Решение. Полагая y' = p(x), получаем у" = р'(x) и следовательно, необходимо
решить уравнение первого порядка
p ( x)  x 2
x3
 C1 . Заменяя р(х) на у' и интегрируя
Решение этого уравнения : p( x)   x dx 
3
еще раз, находим общее решение уравнения:
 x3

x4


y     C1   dx 
 C1 x  C 2
12
 3

2
2. Уравнение не содержит явным образом искомую функцию у.
y   f ( x, y )
(3.6)
Вводя, как и предыдущем случае, новую функцию y' = p(x) и замечая, что у" =
р'(x), получаем уравнение первого порядка, относительно функции р(х):
p ( x)  f ( x, p ( x))
Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение:
p  p( x, C1 )
а затем из соотношения y' = p(x) получаем общий интеграл уравнения (3.6)
y   p( x, C1 )  dx  C 2 .
Пример 3.2. Найти частное решение уравнения
2 xy 
y  
при y (1)  0 , y (1)  1
1 x2
Решение. Положим у' = р(х), у" = р'(х). Получим уравнение первого порядка
2 xp
p ( x ) 
1 x2
Разделим переменные и проинтегрируем
dp
2 xdx
 p   1 x2 ,
ln | p | ln( 1  x 2 )  ln C1
Потенцируя, находим
p( x)  C1 (1  x 2 ) .
Так как р(х) = у', то у'= C1(1 + х2). Интегрируя последнее уравнение, получаем
общее решение исходного дифференциального уравнения

x3 
y  C1  x    C 2 .
3

Используя дополнительные начальные условия
y (1)  0 , y (1)  1 , и учитывая,
2
что у'= C1(1 + х ), получим систему из двух уравнений
  1
C1 1    C 2  0
  3
C (1  1)  1
 1
1
2
Решая систему, получим C1  , C 2  
2
3
Следовательно, частное решение имеет вид
x3 x 2
y
  .
6 2 3
3. Уравнение не содержит явным образом .независимую переменную х.
у" = f(y,y')
(3.7)
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р(у). зависящую от
переменной у. полагая у' = р(у). Дифференцируем последнее равенство по х, учитывая, что
у является функцией от х:
d ( y ) dp ( y ) dp( y ) dy
y  
=
=
 .
dx
dx
dy dx
dy
Так как
= у' = р(у), то окончательно
dx
dp( y )
y  
 p( y ) .
dy
Подставляя выражение для у' и у" в исходное уравнение (3.7). получаем уравнение
первого порядка относительно функции р(у):
dp
 p  f ( y, p ) .
dy
Интегрируя это уравнение можно найти:
p  p( y, C1 ) .
Подставляя значение р в уравнение у' = р(у), получим дифференциальное
уравнение первого порядка для функции у от х:
y  p( y, C1 ) .
Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл исходного уравнения
Ф( x, y, C1 , C2 )  0 .
Пример 3.3. Найти общее решение уравнения уу" = (у')2.
Решение. Введем новую переменную у' = р(у). тогда у" = p
dp
и наше уравнение
dy
преобразуется к виду:
y p
dp
 p2 .
dy
Предположив, что р ≠ 0, сократим это уравнение на р, разделим переменные
dp dy
и

p
y
проинтегрируем:
ln | p | ln | y |  ln C1 ,
откуда p=C1y.
Поскольку у' = р(у) мы имеем уравнение
y  C1 y .
dy
Заменяя y′ на
и разделяя переменные, найдем:
dx
dy
 C1 dx .
y
После интегрирования получим
ln | y | C1 x  ln C2 .
Откуда получаем общее решение заданного уравнения
y  C 2 e C1x .
Уравнение р = 0 содержится в полученном общем решении при С1 = 0 и С2 = 0.
4. Уравнение F(х, у, у', у") = 0, где функция F(х, у, у', у") однородная
относительно у, у', у" допускает понижение порядка при введении новой
zdx
функции z = у'/у или при замене у = e 
Пример 3.4. Найти общее решение уравнения уу" – (у')2 = 0.
Решение. Выражение уу" – (у')2 является однородной функцией второго порядка
относительно у, у' и у''.
y
Делая замену переменной z  . Тогда
y
dz y  y   ( y ) 2

.
dx
y2
Учитывая, что по условию числитель этой дроби равен нулю получим
dz
 0.
dx
y
Интегрируя, получаем z = C1. Следовательно,
 C1 .
y
После интегрирования
ln|y| = C1x + lnC2
Окончательно общее решение
y  C 2 e C1x .
3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Определение 3.4. Линейным однородным дифференциальным уравнением,
второго порядка называется уравнение вида
a0 ( x) y   a1 ( x) y   a2 ( x) y = 0
(3.8)
Разрешим уравнение (3.8) относительно старшей производной у''
y  
 a1 ( x) y   a 2 ( x) y
a 0 ( x)
(3.9)
Так как это уравнение является частным случаем дифференциалъного уравнения
второго порядка у" = f(x,у,y') то для него справедлива тeoрема существования и
единственности решения дифференциального уравнения второго порядка (теорема Коши),
сформулированная в предыдущем разделе. Однако для линейного уравнения эта теорема
может быть сформулирована проще.
Действительно, если коэффициенты уравнения a0 ( x) , a1 ( x) , a2 ( x) непрерывны в
некотором интервале (а,b), причем коэффициент a0 ( x) не обращается в нуль ни в одной
точке этого интервала, тогда правая часть уравнения (3.9) и ее частные производные по у
и у'
 a1 ( x) y   a 2 ( x) y
f ( x, y, y ) 
a 0 ( x)
a ( x)
a ( x)
, f y ( x, y, y )   1
f y ( x, y, y )   2
a 0 ( x)
a 0 ( x)
являются непрерывными функциями при любых значениях переменных у, у' и при
значениях х, принадлежащих интервалу (а,b).
Теорема 3.2. Теорема Коши - существования и единственности решения
линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Если коэффициенты a0 ( x) , a1 ( x) , a2 ( x) линейного однородного уравнения (3.8)
непрерывны интервале (а,b) причем коэффициент a0 ( x) не обращается в нуль ни в
одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия y( x0 )  y 0 ,
y ( x0 )  y 0 , где точка х0 принадлежит интервалу [а,b], существует единственное решение
уравнения удовлетворяющее данным начальным условиям.
3.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Теорема 3.3. Если функции y1  y1 ( x) , y 2  y 2 ( x) являются частными
решениями линейного однородного уравнения второго порядка (3.8) то их линейная
комбинация Y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) также является решением этого уравнения при любых
значениях постоянных: С1 и С2.
Так как общее решение y   ( x, C1 , C2 ) дифференциального уpaвнeния второго
порядка содержит две произвольные постоянные С1 и С2, то возникает вопрос не будет ли
линейная комбинация Y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) любых двух частных решений y1  y1 ( x) ,
y 2  y 2 ( x) общим решением уравнения (3.8).
Можно убедиться, что это не всегда справедливо. Например, частными решениями
уравнения y   y  0 являются y1  e x , y 2  e  x , y 3  5e x и т.д. Однако не любая их
линейная комбинация будет общим решением данного уравнения. Действительно,
например, нельзя получить частное решение y 2  e  x из линейной комбинации
Y  C1e x  C 2 5e x ни при каких начальных условиях.
Для того, чтобы линейная комбинация Y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) частных решений
у1(х) и у2(х) была бы общим решением линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка (3.8) требуется выполнение условия линейной независимости
частных решений у1(х) и у2(х).
Определение 3.5. Два решения у1(х) и у2(х) линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка называются линейно независимыми на
отрезке [a,b], если их линейная комбинация C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) не равна тождественно
нулю на этом отрезке, т.е., если их отношение на этом отрезке не является постоянным:
y1 ( x)
 const ,
y 2 ( x)
В противном случае решения называются линейно зависимыми и
y1 ( x) =  ∙ y2 ( x)
Что бы ответить на вопрос являются ли два решения у1(х) и у2(х) линейно
независимыми удобно пользоваться определителем Вронского:
W ( x)  W ( y1 , y 2 ) 
y1
y1
y2
= y1 y 2  y1 y 2
y 2
(3.10)
Теорема 3.4. Если две функции у1(х) и у2(х) линейно зависимы на отрезке [a,b], то
определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.
Действительно, если y2    y1 , то
W ( y1 , y 2 ) 
y1
y1
y 2 y1   y1
y1
=
= 
y 2 y1   y1
y1
y1
=0
y1
Определение 3.6. Два частных решения у1(х) и у2(х) линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему
решений на некотором отрезке [a,b], если ни в одной точке этого интервала определитель
Вронского не равен нулю W ( y1 , y2 )  0 .
Теорема 3.5. (о структуре общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка).
Если два частных решения у1 = у1(х) и у2 = у2(х) линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка образуют на некотором отрезке [a,b]
фундаментальную систему решений, то общее решение этого уравнения имеет вид
y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) .
(3.11)
Таким образом, из сказанного выше следует, что для нахождения общего решения
линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка нужно знать
два его частных решения, образующих фундаментальную систему решений, т.е.
являющихся линейно независимыми.
Известно, что если имеется одно частное решение у1 = у1(х) линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка вида (3.8) , то другое
линейно независимое от него решение у2 = у2(х) можно найти по формуле
 P ( x ) dx
e 
y 2 ( x)  y1 ( x)  
 dx
y12
(3.12)
a1 ( x)
, a1 ( x) и a2 ( x) - переменные коэффициенты в уравнении (3.8).
a 2 ( x)
Общих методов нахождения даже одного частного решения линейного
однородного дифференциального уравнения с произвольными коэффициентами не
существует. Но если мы откуда-то знаем у1(х) то по формуле (3.13) можно найти у2(х), а
затем по формуле (3.12) и общее решение уравнения (3.9).
где p( x) 
Пример 3.5. Найти второе частное решение у2 = у2(х) уравнения
2
sin x
y    y   y  0 , если y1 ( x) 
x
x
Решение. По формуле (3.12):
2
  dx
sin x
x2
sin x
x2
C
sin x
x2
 2 ln x  ln C
x
y2 


e
=
=


e
dx

 2 dx =
dx
2
2
2


x
sin x
x
x
sin x
sin x x
sin x
 (ctgx  C1 ) .
=C 
x
Поскольку мы ищем частное решение, положим С = −1, С1 = 0. Тогда:
cos x
y2 
.
x
Тогда общее решение заданного однородного уравнения имеет вид:
C sin x  C2 cos x
.
y 1
x
Перейдем теперь к рассмотрению уравнения (3.8), в котором все коэффициенты
являются постоянными величинами. Оказывается, в этом случае несложно найти его
частное решение.
3.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение a0 y   a1 y   a 2 y = 0 с постоянными коэффициентами а0, а1,
а2, где а0 ≠ 0 . Разделив все члены уравнения на а0 и обозначив а1/а0 = р, а2/а0 = q запишем
данное уравнение в виде
y" + py' + qy = 0
(3.13)
Попробуем найти решение этого уравнения в виде у = еkх, где k неизвестная
постоянная. Дифференцируем эту функцию дважды у' = = kеkx, у" = k2еkх и подставляя
функцию и производные в уравнение (3.13) получим
(3.14)
k 2 e kx  pkekx  qe kx  0
kx
kx
Так как е ≠ 0 то после сокращения на е , будем иметь
k 2  pk  q  0
(3.15)
Полученное квадратное уравнение (3.15) называется характеристическим
уравнением исходного дифференциального уравнения (3.13). Решение
характеристического уравнения имеет два корня
p
p2
p
p2

 q , k2   
q
2
4
2
4
Если k - корень характеристического уравнения то функция у = еkх - решение
дифференциального уравнения. При решении характеристического уравнения возможны
три случая.
I. Корни уравнения k1 и k2 различные действительные числа (k1 ≠ k2).
II. Корни уравнения равные действительные числа (k1 = k2).
III Корни уравнения комплексные числа.
Рассмотрим более подробно каждый этот случай в отдельности.
I. Корни характеристического уравнения действительные и различные k1 ≠ k2. В
этом случае частными решениями будут функции y1  e kx1 , y 2  e kx2 .
Эти решения линейно независимые так как
y 2 e kx2
 kx1  e k ( x1  x2 )  const
y1 e
Следовательно, они образуют фундаментальную систему решений. Тогда по
теореме 3.5
y  C1 y1  C2 y2 = C1e k1x + C 2 e k2 x
k1  
Пример 3.6. Найти общее решение уравнения у" + у' – 2у = 0
Решение. Характеристическое уравнение для данного линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет
вид
k2  k 2  0.
Находим корни характеристического у равнения:
1
1
k1, 2   
 2 → k1  1 , k 2  2
2
4
Отсюда фундаментальная система частных решений
y  C1  e x  C2  e 2 x
а общее решение
(3.16)
y  C1  e x  C2  e 2 x
II. Корни характеристического уравнения действительные и равные
p
k1 = k2 = k=  . В этом случае одно частное решение имеет вид у1 = еkх. Покажем что в
2
этой ситуации функция у2 = х∙еkх также является решением исходного дифференциального
уравнения. Используем для этого формулу (3.12) из п. 3.4.
 p ( x )dx
 p dx
e 
e 
e  px
kx
y 2 ( x)  y1 ( x)   2
 dx = e   2 kx  dx = e kx   2 kx  dx = e kx   e  x( p  2 k )  dx .
e
y1 ( x)
e
kx
Учитывая, что p = –2k получим y2(x) = x∙e .
Проверим полученный результат. Дифференцируя функцию у2(х), находим
y 2  e kx (1  kx) , y 2  k  e kx (2  kx)
Подставим у2, y 2 и y 2 в дифференциальное уравнение (3.13)
k  e kx (2  kx) + p  e kx (1  kx) + q∙ х∙еkх = 0
или
e kx [(k 2  pk  q)  x  (2k  p)]  0
Так как k является корнем характеристического уравнения то k 2  pk  q  0 .
p
Кроме того, k1  k 2  k   или 2k = -p, т.е. 2k + p≡ 0. Следовательно,
2
y2  p  y2  q  y2  0 и функция у2(х) = х∙еkх действительно является решением уравнения
(3.13).
Найденные частные решения у1 = еkх и у2 = х∙еkх образуют фундаментальную
систему решений так как они линейно независимы
y2
e kx
1

  const
kx
y1 x  e
x
Таким образом, общее решение однородного линейного уравнения (3.13) в случае
равенства корней характеристического уравнения k1 = k2 = k имеет вид (см. теорему 3.5)
у = C1e kx + C 2  x  e
k x
= e kx  C1  x  C 2 
(3.17)
Пример 3.7. Haйти общее решение уравнения у"– 4у' + 4у = 0
Решение. Характеристическое уравнение k2 – 4k + 4 = 0 имеет равные корни k1 = k2
= 2. В этом случае фундаментальная система частных решений запишется в виде у1 = е2x,
у2 = хе2х, а общее решение
y  e 2 x  (C1  C 2 x)
III. Корни характеристического уравнения комплексные. Комплексные корни
квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными
комплексными числами
k1      i , k 2      i
В этом случае частное решение уравнения (3.13), записывается следующим
образом в виде комплексных функций, что мы отмечаем чертой сверху
y1  e k1x = e    i  x = e   x ∙ e i  x ; y 2  e k2 x = e    i  x = e   x ∙ e  i  x .
Применяя формулы Эйлера ( e it  cos t  i  sin t , e it  cos t  i  sin t ) выражения
для у1 и у2 можно переписать в виде
y1  ex (cos x  i  sin x) , y 2  ex (cos x  i  sin x)
Эти решения являются комплексными. Для получения действительных частных
решений, рассмотрим новые функции
1
1
y1  ( y1  y 2 )  e x (cos x  i  sin x)  (cos x  i  sin x) = ex cos x
2
2
1
1
y 2  ( y1  y 2 )  ex (cos x  i  sin x)  (cos x  i  sin x) = ex sin x
2i
2i
Функции у1 и у2 являются линейными комбинациями исходных частных решений
y1 и y 2 и, следовательно, сами являются решениями уравнения (3.13) в соответствии с
условиями теоремы 3.3 (см. п.3.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка).
Решения у1 и у2 образуют фундаментальную систему решений, так как они линейно
независимы. Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
в случае комплексных корней характеристического уравнения записывается в виде
y  C1 y1 ( x)  C2 y 2 ( x)  C1ex cos x  C2 ex sin x
Или
y  ex (C1 cos x  C2 sin x) .
Пример 3.8. Найти общее решение уравнения у" + 4у′+ 5у = 0
Решение. В этом случае характеристическое уравнение k2+4k+5 = 0 имеет
комплексные корни k1 = −2 + 4  5 = −2 + i и k2 = −2 − 4  5 = −2 − i Поэтому общее
решение исходного дифференциального уравнения можно записать в виде
y  e 2 x  (C1  cos x  C2  sin x)
Заключая этот раздел, приведем таблицу формул общего решения уравнения (3.13)
в зависимости от вида корней характеристического уравнения, использование которой
может оказать существенную помощь при решении примеров.
Дифференциальное
уравнение
y   py   qy  0
Характеристическое
уравнение
k2 + pk + q = 0
Корни характеристического уравнения
k1  k 2  R
Фундаментальная система частных решений
y1  e k1x
y 2  e k2 x
Вид общего решения
k1 =α + βi
k2 =α − βi
k1  k 2  k  R
y1  e
y1  e
k x
y 2  xe
 x
cos x
 x
sin  x
y2  e
k x
y  C1e k1x  C 2 e k2 x y  e kx (C1  C 2 x) y  ex (C1 cos x  C2 sin x)
3.6. Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных
уравнений второго порядка.
Определение 3.7. . Линейным неоднородным дифференциальным уравнением,
второго порядка называется уравнение вида
a0 ( x) y   a1 ( x) y   a2 ( x) y = f (x)
(3.18)
Перепишем его в виде
y" + p(х)y' + q(х)y = f(x) ,
(3.19)
a1 ( x)
a ( x)
; q(x) = 2
a 0 ( x)
a 0 ( x)
Согласно теореме Коши – существования и единственности решения линейного
дифференциального уравнения второго порядка (теорема 3.2. в п.3.3.),будем
рассматривать решения уравнения (3.19) в промежутке непрерывности p(х), q(x) и f(x).
Пусть y есть частное решение уравнения (3.19), так что
где p (x ) =
y   p( x) y   q( x) y  f ( x)
(3.20)
Введем вместо у новую функцию u по формуле:
yu y
(3.21)
Подстановка в уравнение (3.19) дает
(u  y )  p( x)  (u  y )  q( x)  (u  y )  f ( x)
или
(u   p( x)  u   q( x)  u ) + ( y   p( x)  y   q( x)  y ) = f (x )
Тогда с учетом (3.20)
u   p( x)  u   q( x)  u = 0
(3.22)
Это уравнение называется однородным уравнением, соответствующим
уравнению (3.19). Если u1 и u2 –два его линейно независимых решения, то, согласно
формуле (3.21) формула
y  C1u1  C2 u2  y
(3.23)
будет давать все решения уравнения (3.19), т.е. будет его общим решением.
Таким образом, формула (3.23) отражает структуру общего решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
Это можно сформулировать так: общее решение линейного неоднородного
уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Данная структура остается справедливой и для линейных неоднородных уравнений
любого порядка.
3.7. Метод вариации произвольных постоянных при решении линейных
неоднородных уравнений второго порядка.
Зная два линейно независимых решения u1 и u2 линейного однородного уравнения (3.22), можно, как мы сейчас увидим, найти и частное решение линейного
неоднородного дифференциального уравнения (3.19), а, следовательно, и его общее
решение. Мы применим при этом метод вариации произвольных постоянных, который
применялся нами при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений
первого порядка, т.е. уравнений вида y'+P(x)y = Q(x), (см. тему 2).
Пусть u1 и u2 – два линейно независимых решения уравнения (3.22). Его общее
решение выражается, как известно, по формуле
u  C1u1  C2u2
Будем искать решение уравнения (3.19) в том же виде, считая только С1 и С2 не
постоянными, а искомыми функциями от х:
y  v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2
(3.24)
Так как неизвестных функций две, а уравнение одно, для решения задачи введем
дополнительное условие: выберем неизвестные функции v1 и v2 таким образом, чтобы
(3.25)
v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u 2 = 0
Дифференцируя выражение (3.24), будем иметь
y  v1 ( x)  u1  v1 ( x)  u1 + v2 ( x)  u2  v2 ( x)  u 2 .
Учитывая (3.25):
(3.26)
y  v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2
Вторая производная
(3.27)
y   v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2 + v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2
Подставив (3.24), (3.26) и (3.27) в исходное линейное неоднородное уравнение
(3.19), получим
( v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2 + v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2 ) + p(x)∙( v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2 ) +
+ q(x)( v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u 2 ) = f (x)
Или перегруппировав слагаемые:
v1 ( x)  u1  p( x)  u1  q( x)  u1  + v2 ( x)  u2  p( x)  u2  q( x)  u2  +
+ v1 ( x)  u1 + v2 ( x)  u2 = f (x)
Принимая во внимание, что u1 и u2 суть решения однородного уравнения (3.22), и
вспоминая условие (3.25), будем иметь алгебраическую систему уравнений первой
степени
 v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u 2  0
(3.28)

v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u 2  f ( x)
для определения v1(x) и v2(x).
Ввиду линейной независимости решений u1 и _u2:
u1 u 2
= u1u 2  u 2 u1 ≠ 0
u1 u 2
W(u1, u2)=
а потому система (3.28) дает вполне определенные выражения для v1 ( x) и v2 ( x) :
0
f ( x)
v1 ( x) 
u1
u1
u2
u 2
u2
u 2
,
u1
0
u  f ( x)
v 2 ( x)  1
u1 u 2
u1 u 2
(3.29)
Интегрируя найденные таким образом функции v1 ( x) и v2 ( x) , найдем v1(x) и v2(x):
v1 ( x)   v1 ( x)  dx ,
v 2 ( x)   v 2 ( x)  dx
(3.30)
и подставляя в (3.24), получим общее решение линейного неоднородного уравнения
второго порядка (3.19), представляющее собой в соответствии с формулами (3.21), (3.23)
сумму общего решения u(x) линейного однородного дифференциального уравнения
второго порядка (3.22) и частного решения y
заданного уравнения (3.19).
Пример 3.9. Найти общее решение уравнения
y
(3.31)
 x.
x
Решение. Первоначально найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения
u
(3.32)
u    0 ,
x
y  
u
. Это дифференциальное уравнение,
x
допускающее понижение порядка (см. п. 3.2). Для его решения воспользуемся
подстановкой u   p (x) , тогда u   p (x ) . Однородное уравнение примет вид
p ( x)
.
p ( x) 
x
Решаем это уравнение, разделяя переменные
dp dx
dp
dx
p ( x)
dp p
p ( x) 

→
→
→ 
→ ln p  ln x  ln C1 →


x
dx x
p
x
p
x
du
 C1  x → du  C1  xdx →
→ ln | p | ln C1  | x | → p  C1  x → u   C1  x →
dx
→  du   C1  xdx → u  C1  x 2  C 2 .
Представим заданное уравнение в виде u  
Итак, с учетом принятых в данном разделе обозначений общее решение
однородного уравнения (3.32) найдено в виде
u  C1  x 2  C 2 ,
(3.33)
где u1 = x2 и u2 = 1 являются частными решениями, образующими фундаментальную
систему решений.
В соответствии с изложенным выше методом вариации произвольных постоянных
решение неоднородного уравнения (3.31) будем искать, заменив константы С1 и С2 на
неизвестные функции v1(x) и v2(x).
u  v1 ( x)  x 2  v2 (x)
(3.34)
Тогда придем к системе уравнений (3.28) в которой u1 = x2, u2 = 1, u′1 = 2x, u′2 = 0,
f(x)=x :
 v1 ( x)  x 2  v2 ( x)  1  0
(3.35)

v1 ( x)  2 x  v2 ( x)  0  x
Определитель этой системы, равный определителю Вронского, не равен нулю при
любых значениях х из области его допустимых значений:
u1 u 2
x2 1
W(u1, u2)=
=
= x 2  0  2 x  1 =  2x  0
u1 u 2
2x 0
Следовательно, система уравнений (3.35) имеет единственное решение, которое можно
найти по формулам Крамера (3.29)
0 1
x2 0
x 0
2x x
x3
x2
x
1
v 2 ( x )  2
=
=
=
= 
.
v1 ( x)  2
2
2
x 1  2x
x 1  2x
2x 0
2x 0
Итак, получили два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными:
dv1 1
dv2
x2

 ,
dx
2
dx 2
Решение которых имеет вид:
x3
x
v1   C1 , v 2    C 2 .
2
6
Подставляя полученные функции в формулу (3.34), получаем общее решение
заданного в условии задачи неоднородного уравнения (3.31):
x3
x

y  v1 ( x)  x 2  v2 ( x)    C1   x 2 
 C2 .
6
2

Пример 3.10. Найти общее решение уравнения
y   4 y  12 x 2  6 x  4
(3.36)
Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
(3.37)
u  4  u  0
2
Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид k – 4 = 0. Его корни: k1 = -2,
k2 = 2. Следовательно, фундаментальной системой решений является u1 = e-2x, u2 = e2x.
Действительно
W (u1 , u 2 ) 
u1 u 2
e 2 x
=
u1 u 2
 2e 2 x
e2x
= 4 ≠ 0.
2e 2 x
Тогда общее решение однородного уравнения (3.37):
u  C1u1  C2u2 = C1e 2 x  C 2 e 2 x .
(3.38)
В соответствии с методом вариации произвольных постоянных, решение исходного
неоднородного уравнения следует искать в виде
y  v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2 = v1 ( x)  e 2 x  v2 ( x)  e 2 x .
(3.39)
Система уравнений для определения неизвестных v1 ( x) и v2 ( x) в данном случае
выглядит следующим образом:

v1 ( x)  e 2 x  v 2 ( x)  e 2 x  0


2 x
2x
2

 2  v1 ( x)  e  2  v 2 ( x)  e  12 x  6 x  4
Решаем эту систему относительно v1 ( x) и v2 ( x) :
v1 ( x) 
0
e2x
 12 x 2  6 x  4 2e 2 x
4
 e 2 x (12 x 2  6 x  4)
3


=
=  e 2 x   3 x 2  x  1 ,
2
4


e 2 x
 2e 2 x
0
 12 x  6 x  4
e 2 x (12 x 2  6 x  4)
3
 e 2 x (3x 2  x  1) .
4
2
4
Интегрируя найденные таким образом функции v1 ( x) и v2 ( x) , найдем v1(x) и v2(x):
3


v1 ( x)   e 2 x  3 x 2  x  1  dx .
2


Интегрируем по частям дважды:
3
3
u  3x 2  x  1
du  6 x 
2
2
1
dv  e 2 x dx
v  e2x
2
v2 ( x) 
2
v1 ( x) 
=
1 2x  2 3
3
 1

e  3 x  x  1    e 2 x  6 x    dx
2
2
2

 2

u  6x 
3
2
du  6
dv  e 2 x dx
v
1 2x
e
2
3
1 1
3 3
3

v1 ( x)  e 2 x  x 2  x    e 2 x  6 x   +  e 2 x dx =
4
2 4
2 2
2

3
1
3 3
9
7
3
3
3
= e 2 x  x 2  x    e 2 x  x    e 2 x   x 2  x    e 2 x  C1 .
4
2
8 4
4
8
2
2
2
Интегрируем по частям функцию v2 ( x) :
3


v 2 ( x)   e  2 x    3 x 2  x  1  dx .
2


u  3 x 2 
dv  e 2 x dx
v 2 ( x) 
3
x 1
2
du  6 x 
3
2
1
v   e 2 x
2
1 2 x  2 3
3
 1

e  3x  x  1    e  2 x  6 x    dx .
2
2
2

 2

u  6x 
3
2
du  6  dx
1
v   e 2 x .
2
3
1 1
3 3
3

v 2 ( x)  e  2 x  x 2  x    e  2 x  6 x     e  2 x dx 
4
2 2
2 2
2

3
1
3 3
9
1
3

3
 e  2 x  x 2  x    e  2 x  3 x    e  2 x   x 2  x    e  2 x  C2 .
4
2
4 4
4
2
2

2
Таким образом, общее решение (3.39) исходного неоднородного уравнения примет вид
dv  e 2 x dx
9
7
9
1
3
3
y  v1 ( x)e 2 x  v2 ( x)  e 2 x   x 2  x    C1e  2 x +  x 2  x    C 2 e 2 x
4
8
4
2
2
2
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, окончательно получим
y  3x 2  C1e 2 x  C2 e 2 x .
3.8.
Решение линейных неоднородных уравнений второго порядка с правой
частью специального вида.
Если правая часть линейного неоднородного уравнения второго порядка
y" + p∙y' + q∙y = f(x)
(3.40)
имеет специальный вид, то можно гораздо проще отыскивать частные решения, не
прибегая к методу вариации произвольных постоянных. В основе такого подхода к
отысканию частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка лежит метод, получивший название метода подбора частного решения,
или метода неопределенных коэффициентов.
Сделаем сначала одно замечание. Положим, что правая часть уравнения (3.40) есть
сумма двух слагаемых:
y" + p∙y' + q∙y = f1(x) + f2(x)
(3.41)
и положим, что y1 ( x) и y2 ( x) есть частные решения неоднородного урав- нения, когда
правая часть равна f1(x) и f2(х), т. е.
y1  p  y1  q  y1  f1 ( x) ,
y2  p  y2  q  y2  f 2 ( x)
Складывая, получим
( y1  y2 )  p  ( y1  y2 )  q  ( y1  y2 )  f ( x1 )  f ( x2 )
т. е. ( y1  y 2 ) есть частное решение уравнения (3.41).
Рассмотрим неоднородное уравнение вида.
y" + p∙y' + q∙y = A∙eγx,
(3.42)
где в правой части А и γ — заданные числа.
Если γ не совпадает ни с одним из двух корней k1, k2 характеристического
уравнения
k2+p∙k+q=0,
то будем искать решение уравнения (3.42) в том же виде, что правая часть,
т.е. в виде
y =A1∙eγx,
где А1 — искомый численный коэффициент. Тогда y  =А1∙γ∙еγх, y  =А1∙γ2еαх. Подставив
выражения для y , y  и y  в (3.42) и разделив обе части уравнения на еγх, получим:
А1(γ2+р∙γ+q)=A.
Так как γ2+р∙γ+q≠0, то из этого уравнения можно найти неизвестный параметр А1
частного решения,:
A
A1  2
.
(3.43)
  p   q
Тогда искомое частное решение определится по формуле
y
A
e  x
  p   q
2
Пример 3.11. Найти частное решение неоднородного уравнения
y" + 3∙y' −10∙y = 12∙e−4x.
Решение. В данном примере А=12, γ=−4. Находим корни характеристического
уравнения k2+3∙k−10=0 : k1=−5, k2=2. Как видим, γ не совпадает ни с одним из двух
корней k1, k2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение исходного
уравнения ищем в виде y  A1e   x .
По формуле (3.43) находим
12
A1 
 2 .
2
(4)  3  (4)  10
Таким образом, искомое частное решение: y  2e 4x .
В правильности полученного решения легко убедиться, подставив y , y  и y  в
заданное уравнение.
Найдем теперь частное решение уравнения (3.42), в случае, когда параметр γ его
правой части совпадает с одним из корней k1, k2 характеристического уравнения, т.е.
γ2+р∙γ+q=0 и при этом (γ2+р∙γ+q)′=2γ+p≠0. Иными словами, γ является простым
(некратным) корнем характеристического уравнения. В данном случае будем искать
частное решение уравнения (3.42) в виде
y =A1хeγx.
Тогда
y   A1e x (1  x) , y   A1e x (2     2 x) .
Подставив выражения для y , y  и y  в (3.42) и разделив обе части уравнения на еγх,
получим:
A1 ( 2  p  q) x  (2  p)  A .
Учитывая, что γ2+рγ+q=0 , и 2γ+p≠0, получаем


A
.
2  p
Тогда искомое частное решение определится по формуле
A1 
yx
(3.44)
A
e  x
2  p
Пример 3.12. Найти частное решение неоднородного уравнения
y" + 3y' −10y = −7e2x.
Решение. В данном примере А=−7, γ=2. Корни характеристического уравнения такие же,
как в предыдущем примере : k1=−5, k2=2. Как видим, γ=k2 и γ≠k1, т.е. γ является простым
корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение исходного уравнения
ищем в виде y  A1 xe  x .
По формуле (3.44) находим A1 
7
 1 . Искомое частное решение:
22  3
y   xe2x
Если, наконец, γ есть двукратный корень характеристического уравнения, т.е
γ=k1=k2, то нетрудно показать, что частное решение уравнения (3.42) надо искать в виде
y  A1 x 2 e   x .
Таким же методом можно находить решение и в более общем случае, когда правая
часть исходного неоднородного уравнения имеет вид произведения Р(х)∙eγx, где Р(х) —
многочлен от х вида
Р(х)=аnxn+an-1xn-1+…+a0
с известными коэффициентами an, an-1, … , a0.
Если γ не является корнем характеристического уравнения, составленного для
заданного дифференциального уравнения второго порядка, то и решение надо искать в
виде
y = Р1(х)∙еγх,
(3.45)
где P1(x) — многочлен той же степени, что и Р(х)
Р1(х)=bn∙xn+bn-1∙xn-1+ …+b0,
причем искомыми являются коэффициенты bn, bn-1, …, b0. Подставляем выражения для
y , y  и y  в заданное дифференциальное уравнение, сокращая на еγх и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим уравнения для определения
коэффициентов P1(x). Следует подчеркнуть, что многочлен P1(x) должен быть обязательно
полным, т.е содержать все степени х от нуля до n, независимо от того содержатся ли или
нет все степени х в многочлене Р(х).
Если же γ есть корень характеристического уравнения , то в правой части (3.45)
надо ввести множитель х или х2, смотря по тому, будет ли γ простым или двукратным
корнем характеристического уравнения. То есть, если γ совпадает только с одним корнем
характеристического уравнения, то частное решение заданного неоднородного
дифференциального уравнения
ищется в виде
y = х∙Р1(х)∙еγх,
(3.46)
А если γ совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, аналогичное
решение ищется в виде
y = х2∙Р1(х)∙еγх.
(3.47)
Пример 3.13. Найти частное решение неоднородного уравнения
y" + 3y' −10y = (4x3-1)e2x.
(3.48)
Решение. В данном примере P(x)=4x3-1, γ=2. Корни характеристического уравнения такие
же, как в предыдущем примере : k1=−5, k2=2. Как видим, γ=k2 и γ≠k1, т.е. γ является
простым корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение исходного
уравнения ищем в виде y  x  P1 ( x)  e 2x , где P1(x)=b3∙x3+b2∙x2+b1∙x+b0.
Тогда y  (b3  x 4  b2  x 3  b1  x 2  b0  x)  e 2 x
Находим первую и вторую производные от y :
y   e 2 x (2b3 x 4  (4b3  2b2 )  x 3  (3b2  2b1 )  x 2  (2b1  2b0 )  x  b0 ,
y   e 2 x (4b3 x 4  (16b3  4b2 )  x 3  (12b3  12b2  4b1 )  x 2  (6b2  8b1  4b0 )  x  4b0  2b1 .
Подставляем полученные выражения для y , y  и y  в заданное дифференциальное
уравнение, делим обе части уравнения на e2x и приводим подобные члены. Получаем:
28b3  x 3  (12b3  21b2 )  x 2  (6b2  14b1 )  x  3b0  4 x 3  1 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях
равенства, придем к системе уравнений относительно неизвестных коэффициентов
28b3  4
12b  21b  0
 3
2

6b2  14b1  0
3b0  1
1
12
36
1
Из которой следует, что b3  , b2  
, b1 
, b0   .
7
147
1029
3
Таким образом, получаем искомое частное решение заданного дифференциального
уравнения
12 2 12
1
1
y  x    x3 
x 
 x    e2x .
147
343
3
7




Перейдем теперь к тем случаям, когда правая часть неоднородного уравнения
содержит тригонометрические функции. Рассмотрим сначала уравнение
y" + p∙y' + q∙y = eγx(a∙cos φx+b∙sin φx)
(3.49)
Пользуясь формулами
e  xi  e   xi
cos x 
,
2
e  xi  e   xi
,
sin x 
2i
можем представить правую часть уравнения (3.49) в виде
Ae(γ+φi)+Be(γ-φi)
где А и В — некоторые постоянные. Если сопряженные числа γ ± φi не являются корнями
характеристического уравнения, то, согласно предыдущему, надо искать частное решение
неоднородного уравнения (3.49) в виде
y =A1e(γ+φi)+B1e(γ-φi),
или, возвращаясь от показательных функций к тригонометрическим, используя для этого
формулу Эйлера
e±φxi=cos φx±i∙sin φx,
видим, что если γ+φi не являются корнями характеристического уравнения, то частное
решение уравнения (3.47) надо искать в виде
y  eγx(a1∙cos φx+b1∙sin φx)
(3.50)
где а1 и b1—искомые постоянные.
Совершенно так же можно показать, что в правой части формулы (3.50) надо
ввести множитель х, если (γ+φi) являются корнями характеристического уравнения. Тогда
частное решение уравнения (3.49) будет иметь вид
y  х∙eγx(a1∙cos φx+b1∙sin φx)
(3.51)
Постоянные a1 и b1 определяются подстановкой выражений для y , y  и y  в левую
часть исходного уравнения . Заметим, что если в правой части (3.49) участвуют, например,
только cos φx, то в решении (3.50) или (3.51) надо брать все же оба члена, содержащих как
cos φx, так и sin φx.
Приведем, не останавливаясь на доказательстве, более общий результат. Если
правая часть уравнения имеет вид
eγx [Р(х)∙cos φx+Q(x)∙sin φx)]
где Р(х) и Q(х) — многочлены от х, то и частное его решение надо искать в том же виде
y =еγx[P1(x)∙ cos φx + Q1 (x)∙ sin φx],
(3.52)
где P1(х) и Q1(x) — многочлены от х, степени которых надо принять равными наибольшей
из степеней многочленов Р(х) и Q(х).
В самом общем случае частное решение имеет вид
y =хr∙еγx∙[P1(x)∙ cos φx + Q1 (x)∙ sin φx],
(3.53)
где r=0, если γ+φi не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения,
соответствующего левой части исходного неоднородного уравнения; r=1, если γ+φi есть
простой корень характеристического уравнения; r=2, если γ+φi есть кратный корень
характеристического уравнения.
Пример 3.14. Найти общее решение неоднородного уравнения
y" + 4y=sin x
Решение. Согласно структуре общего решения неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка (п.3.6) искомое решение складывается из двух решений
y  C1u1  C2 u2  y , где u  C1u1  C2u2 – общее решение соответствующего однородного
уравнения u  4u  0 и y – частное решение заданного неоднородного уравнения.
Найдем сначала общее решение однородного уравнения u  4u  0 ,
соответствующего заданному неоднородному уравнению.
Корни характеристического уравнения k2+4=0: k1=-2i, k2=+2i. Тогда, в
соответствии с таблицей, приведенной в п. 3.5, и учитывая, что в нашем случае α=0, β=2,
общим решением однородного уравнения будет:
u  C1 cos 2x  C2 sin 2x .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать методом подбора
частного решения. Для чего воспользуемся наиболее общей для неоднородных уравнений
второго порядка формой частного решения (3.53).
Функция sin x в правой части исходного уравнения не содержит множителя eγx. Это
означает, что он равен единице, то есть γ=0. Коэффициент при х в функции sin x равен
единице. Из чего следует, что φ=1. Таким образом, комплексное число γ+φi=i не
совпадает с корнями характеристического уравнения, и поэтому в формуле (3.53) r=0
множитель х в частном решении (3.53) будет отсутствовать. Кроме того, степень
многочлена при sin x равна нулю. Следовательно, и многочлены Р1(х) и Q1(x) в (3.53)
будут постоянными величинами: Р1(х)=a1, Q1(x)=b1. Тогда частное решение примет вид
y  a1сosx  b1 sin x .
Для определения неизвестных числовых коэффициентов a1 и b1 найдем первую и
вторую производные от y :
y   a1 sin x  b1 cos x , y   a1 cos x  b1 sin x .
Подставим y , y  и y  в исходное уравнение:
 a1 cos x  b1 sin x  4a1 cos x  4b1 sin x  sin x .
Или
(3a1 cos x  3b1 sin x  sin x .
Это равенство является тождеством, следовательно, коэффициенты при cos x и sin x
1
в левой и правой частях равенства должны быть равны. Тогда а1=0, b1  . Таким
3
1
образом, частное решение неоднородного уравнения: y  sin x . А искомое общее
3
решение:
1
y  C1 cos 2x  C2 sin 2x  sin x .
3
Тема 4. Дифференциальные уравнения высших порядков.
4.1. Общие понятия.
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
F ( x. y, y , y ,..., y ( n ) )  0 .
(4.1)
Если разрешить это уравнение относительно старшей производной, то уравнение примет
вид
y ( n )  f ( x, y, y , y ,..., y ( n1) ) .
(4.2)
Всякая функция у=φ(х), имеющая непрерывные производные до порядка n и
удовлетворяющая уравнению (4.1) или (4.2) называется решением дифференциального
уравнения n-го порядка, а сама задача нахождения решения называется задачей
интегрирования дифференциального уравнения.
Для уравнения n-го порядка (4.1) или (4.2) начальные условия состоят в задании
функции у и ее производных до (п–1)-го порядка включительно при некотором
определенном значении х = х0:
y( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y 0 , … , y ( n ) ( x0 )  y 0( n ) .
(4.3)
Здесь x0 , y 0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n ) — определенные числа. Для уравнения п-го порядка (4.2) имеет
место теорема существования и единственности, совершенно аналогичная теореме Коши
из п.2.1.
Теорема 4.1. Если f(x, у, у',..., у(п-1)) есть функция своих аргументов, которые
считаются все независимыми переменными, однозначная, непрерывная и имеющая
непрерывные частные производные по
у, у', у′′..., у(п-1) при значениях аргументов x0 , y 0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) и всех значениях,
достаточно близких к ним, то уравнение (4.2) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.3).
Изменяя в начальных условиях постоянные x0 , y 0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) получим
семейство решений, зависящее от п произвольных постоянных С1, С2, … , Сп. Эти
произвольные постоянные могут входить в решение и не как начальные условия:
у = φ(х,С1,С2, ..., Сп).
(4.4)
Такое решение уравнения (4.2), содержащее п произвольных постоянных, называется
общим решением дифференциального уравнения п-го порядка. Оно может быть
написано и в неявной форме:
у=Ф(х,С1,С2, ..., Сп )=0,
(4.5)
и тогда оно называется общим интегралом дифференциального уравнения п-го порядка.
Придавая С1,С2, ..., Сп определенные численные значения, получим частное
решение дифференциального уравнения п-го порядка. Дифференцируя по х (4.4) или
(4.5) (п-1) раз и подставляя затем х = х0 и начальные условия (4.3), получим п уравнений.
Предполагается, что эти уравнения разрешимы относительно С1,С2, ..., Сп при любых
начальных данных x0 , y 0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) из некоторой области их изменения. Таким
образом, мы получаем решение, удовлетворяющее условиям (4.3). Определение особого
решения то же, что и для уравнения первого порядка.
Рассмотрим несколько типов дифференциальных уравнений п-го порядка,
допускающие относительно простые решения.
4.2. Дифференциальные уравнения п-го порядка, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим последовательно, в каких случаях возможно и как осуществляется
понижение порядка дифференциального уравнения.
1. Уравнение содержит только производную п-го порядка и независимую
переменную
y(n)=f(x).
(4.6)
Выясним сначала форму общего решения уравнения (4.6). Пусть у1(х) есть какоелибо решение уравнения (4.6), то есть
y1( n ) ( x)  f ( x) .
(4.7)
Введем в уравнение (4.6) вместо y новую искомую функцию z по формуле
y=y1(x)+z.
(4.8)
Подставляя в уравнение (4.6), получим для z уравнение y1( n )  z ( n )  f ( x) или в силу
тождества (4.7)
z(n)=0.
Так как производная n-го порядка равна нулю, то сама функция z есть многочлен (n-1)-ой
степени с произвольными постоянными коэффициентами
z= C1xn-1+С2хп-2+ … +Сп,
и формула (4.8) дает форму общего решения уравнения (4.6)
y=y1(x)+ C1xn-1+С2хп-2+ … +Сп,
(4.9)
то есть общее решение уравнения вида y(n)=f(x) есть сумма какого-либо частного
решения этого уравнения и многочлена (п-1)-й степени с произвольными
постоянными коэффициентами.
Остается найти какое-либо частное решение y1(x) уравнения (4.6). Принимая во
dy ( n 1)
внимания, что у(п)=(у(п-1))′, или
 f ( x) приходим к равенству dy(n-1)=f(x)dx.
dx
Интегрируем левую и правую части:
y ( n 1)   f ( x)dx ,
(4.10)
Таким образом, однократное интегрирование исходного дифференциального уравнения nго порядка привело к снижению порядка уравнения на единицу.
Далее, так как y(п-1)=(y(п-2))′, то dy(n-2)= y ( n1) dx . Интегрируем:
y ( n  2 )   y ( n 1) dx ,
или с учетом (4.10)
y(n-2)=  dx   f ( x)dx .
Мы видим, что каждое интегрирование дифференциального уравнения приводит к
снижению его порядка на единицу. Продолжая это процесс до тех пор, пока порядок
исходного уравнения не снизится до единицы. После n-го интегрирования получим
искомую функцию:
y   dx   dx  ...   dx   f ( x)dx ,
(4.10)
которая включает в себя частное решение, и после интегрирования будет иметь вид (4.9).
Заметим, что правая часть (4.10) называется n-кратным интегралом функции f(x) и
часто записывается в более компактном виде:
  ... f ( x)dxdx...dx .
Пример 4.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′′=sin x.
Решение. Данное уравнение является уравнением вида (4.6), где n=3, f(x)=sin x. Для
получения общего решения необходимо трижды проинтегрировать функцию sin x, иначе
говоря, необходимо найти трехкратный интеграл от функции sin x:
y   dx   dx   sin xdx   dx   dx  ( cos x  C1 )   dx  [(  sin x  C1 x)  C 2 ] 
 cos x  C1 x 2  C 2 x  C3 .
Полученное общее решение содержит частное решение y1=cos x и многочлен второй
степени C1x2+C2x+C3 с произвольными постоянными коэффициентами С1, С2, С3.
2. Уравнение не содержит функции у и ее нескольких последовательных
производных у′, у", ... , у(k-1) , т. е. имеет вид
F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) )  0
(4.11)
Вводя новую функцию y(k)=z(x), понизим порядок уравнения на k единиц:
F(x, z, z', ... , z(n–k)) = 0.
Если найдем общий интеграл этого последнего уравнения
z=φ(x,C1, C2, … ,Cn-k),
то у определится из уравнения:
y(k)= φ(x,C1, C2, … ,Cn-k),
рассмотренного нами выше.
Пример 4.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y(4)+2y′′′+y′′–6x2+1=0
(4.12)
Решение. Это уравнение четвертого порядка не содержит у. Следовательно, оно
допускает понижение порядка. Производные, входящие в это уравнения начинаются с
производной второго порядка, то есть в нашем случае k=2. Заменой z=y′′ понижаем
порядок уравнения на две единицы: z′′+2z′+z–6x2+1=0. Получили дифференциальное
уравнение второго порядка, которое запишем в виде
z′′+2z′+z=6x2-1.
(4.13)
Это линейное относительно функции z и ее производных неоднородное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее
решение этого уравнения складывается из общего решения соответствующего
однородного уравнения u′′+2u′+u=0 и частного решения z неоднородного уравнения
(п.3.6).
Найдем сначала общее решение однородного дифференциального уравнения.
Корни характеристического уравнения k2+2k+1=0: k1=k2=−1. Корни
характеристического уравнения кратны, поэтому общее решение однородного уравнения
запишем в виде
u=e-x(C1+x∙C2).
(4.14)
Частное решение неоднородного уравнения (4.13) будем искать методом
неопределенных коэффициентов (п.3.8). Правая часть уравнения представляет собой
многочлен второй степени. Так как в правой части отсутствуют множитель eγx и
тригонометрические функции, то γ =0 и φ=1. Таким образом, комплексное число γ±φi=±i
не совпадает с корнями k1 и k2 характеристического уравнения. Следовательно, r=0 и
частное решение будем искать в виде многочлена второй степени z =b2x2+b1x+b0. Дважды
дифференцируем z : z   2b2 x  b1 , z   2b2 и подставляем в (4.13). После приведения
подобных членов и группируя коэффициенты по степеням x, получим равенство
b2x2+(4b2+b1)x+(2b2+2b1+b0)=6x2-1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях этого
равенства, приходим к системе уравнений
b2  6

4b2  b1  0
2b  2b  b  1
1
0
 2
из которой находим коэффициенты b2=6, b1=-24, b0=35 и частное решение
z  6 x 2  24 x  35 .
(4.15)
Общее решение уравнения (4.13) есть результат суммирования найденного ранее общего
решения (4.14) соответствующего однородного уравнения и частного решения(4.15)
неоднородного уравнения:
z= e-x(C1+xC2)+ 6 x 2  24 x  35 .
Учитывая замену z=y′′, приходим к уравнению второго порядка
y′′= e-x(C1+xC2)+ 6 x 2  24 x  35 .
(4.16)
Это уравнение относится к виду (4.6) и решается по формуле (4.10). Поскольку в левой
части нашего уравнения производная второго порядка от y, то для нахождения y берем
двукратный интеграл:
y   dx   (e  x C1  xe x C 2  6 x 2  24 x  35)dx 
  (e  x C1  xe x C 2  e  x C 2  2 x 3  12 x 2  35 x  C 3 )dx 
x4
35 x 2
3
 e [C1  ( x  2)C 2 ] 
 4x 
 C3 x  C 4 .
4
2
x
3. Уравнение не содержит независимой переменной x, т. е. имеет вид
F(y, y′, y′′, … , y(n))=0.
(4.17)
Примем у за независимую переменную и введем новую функцию у′=z(y). Применяя
правило дифференцирования сложных функций, получим для производных от у по х
следующие выражения
dz dz dy dz
(4.18)
y  



z,
dx dy dx dy
2
d  dz  d  dz 
d 2 z 2  dz 
 z 
 z  z  2 z    z .
(4.19)
dx  dy  dy  dy 
dy
 dy 
Аналогично можно найти и производные более высоких порядков. Таким образом,
порядок уравнения понижается на единицу. Далее выраженные через z производные у′, у′′,
у′′′, … подставляем в исходное уравнение. Если преобразованное после такой подстановки
уравнение проинтегрировано, то получим решение относительно z:
z=φ(у, С1, С2, … , Сп–1).
Выполняем обратную замену
у′= φ(у, С1, С2, … , Сп–1),
откуда
dy= φ(у, С1, С2, … , Сп–1)dx,
или
dy
 dx .
 ( y, C1 , C 2 ,..., C n 1 )
Интегрируя, получаем решение
dy
  ( y, C1 , C 2 ,..., C n1 )  x  C n .
y  
Одна из произвольных постоянных Сп входит в качестве слагаемого к х, а это равносильно
тому, что всякую интегральную кривую можно перемещать параллельно оси ОХ.
Пример 4.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
y∙y′′′+3y′∙y′′=0.
Решение. Данное уравнение не содержит независимой переменной x.
Принимаем за независимую переменную y и вводим новую функцию z(y)=y′. Находим y′′
и y′′′ по формулам (4.18, 4.19). Запишем их в более компактном виде:
y′′=z′∙z, y′′′=z′′∙z2+(z′)2∙z,
d 2z
dz
где z′′  2 и z′ 
.
dy
dy
Подставляем полученные выражения для y′, y′′ и y′′′ в исходное уравнение, сокращаем обе
части уравнения на z, считая, что z≠0 и получаем дифференциальное уравнение второго
порядка
y∙[z′′∙z+(z′)2]+3z′∙z=0,
или
y∙(z′∙z)′+3z′∙z=0.
Снизить порядок полученного уравнения на единицу можно заменой p=z′∙z. Тогда
уравнение примет вид
y∙p′+3p=0.
Разделяем переменные:
dp 3dy

 0.
p
y
Интегрируем: ln| p|+ln| y3|=|C1|. Откуда p∙y3=C1. Так как p=z∙z′, то z∙z′∙y3=C1. После
C
dy
разделения переменных: zdz  C1 3 . Интегрируя, получаем z 2  C 2  21 . Учитывая
y
y
произведенную ранее замену z=y′, получим
C
C
dy
 dx , или
( y ) 2  C 2  21 , или y   C 2  21 . Отсюда следует, что
y
y
C1
C2  2
y
ydy
 C  y 2  C   dx . Приведем подинтегральную функцию в левой части равенства к
2
1

C 
d  y 2  1 
C2 
C
1
2
 
 dx . Тогда
табличному виду:
 2 y 2  1  x  C3 . После
C2
2 C2
2 C2
C
y2  1
C2
упрощений окончательно получаем искомый общий интеграл заданного в условии
дифференциального уравнения:
C 2 y 2  C1
C2
 x  C3 .
4. Левая часть уравнения
F(x,y, y′, y′′, … , y(n))=0
(4.20)
есть однородная функция аргументов y, y′, y′′, … , y(n).
В этом случае понизить порядок уравнения можно, вводя вместо y новую
zdx
переменную z(x) по формуле y  e  , или по формуле y′=y∙x. Получим уравнение (n-1)го порядка. Это следует из следующих очевидных формул:
z dx
zdx
zdx
y   z  e  , y   ( z   z 2 )  e  , y   ( z   3z  z   z 3 )  e  , … .
(4.21)
Тогда в силу условия однородности, после подстановки выражений для y, y′, y′′, … , y(n) в
z dx
(4.20), обе части уравнения можно разделить на общий множитель e  . Произвольная
z dx
постоянная в интеграле e 
будет произвольным множителем в y.
Если переменную z вводить по формуле y′=y∙x. То общим множителем, на который
будем делить обе части уравнения, будет y:
y   y  z , y   y z  yz   yz 2  yz   y  ( z 2  z ) ,

y   y  z 2  z   y   ( z 2  z )  y  ( z 2  z )  yz  ( z 2  z )  y  (2 zz   z )  y  ( z   3zz   z 3 )
и т.д.
 

Пример 4.4. Уравнение xy2=y∙y′′′–y′∙y′′ является однородным относительно y, y′, y′′
zdx
и y′′′. Понизим порядок этого уравнения заменой y  e  . Тогда подставляя в заданное
уравнение вместо y, y′, y′′ и y′′′ их выражения (4.21) и сократив обе части уравнения на
2 z dx
общий множитель e  , получим дифференциальное уравнение второго порядка
относительно переменной z:
2x=z′′+3zz′+z3−z∙(z′+z2),
или
2x=z′′+2zz′.
Дальнейшее понижение порядка можно осуществить, если учесть, что 2zz′=(z2)′.
Тогда x=z′′+(z2)′, или x=(z′+z2)′. Переходя к дифференциалам:
d (z  z 2 )
 2x
dx
и разделяя переменные: d(z′+z2)=2xdx, получим после интегрирования
z′+z2=x2+C1.
(4.22)
Таким образом, получено нелинейное относительно z дифференциальное уравнение
первого порядка. Это дифференциальное уравнение относится к классу уравнений
Рикатти
y′+P(x)y+Q(x)y2+R(x)=0,
которое не приводится при произвольных коэффициентах к квадратурам. Его можно
привести к линейному уравнению, если известно какое-либо частное решение.
Действительно, пусть z1(x) – известное частное решение уравнения (4.22), т.е.
(4.23)
z1  z12  x 2  C1  0 .
Введем в уравнение (4.22) вместо z новую искомую функцию u(x) по формуле
1
1
z  z1  . Тогда z   z1  2 u  . Подставляя z и z′ в (4.22) и принимая во внимание
u
u
равенство (4.23), получим для u линейное дифференциальное уравнение первого порядка
u′+2z1u+1=0,
которое решается методом вариации произвольной постоянной.
4.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с
постоянными коэффициентами.
Приведем без доказательства виды решений уравнений высших порядков,
аналогичные полученным в п.3.5 и в п. 3.8 для уравнений второго порядка.
Однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=0,
(4.24)
где р1, р2 ... , рn — заданные вещественные числа. Составим характеристическое
уравнение, аналогичное уравнению (3.15):
kn+p1kn-1+…+pn-1k+pn=0
(4.25)
Всякому простому вещественному корню k=k1 этого уравнения соответствует решение
y  e k1x . Если этот корень имеет кратность r, то ему будут соответствовать следующие r
решений:
e k1x , xek1x ,..., x r 1e k1x .
Паре мнимых сопряженных корней k=α±βi первой кратности соответствуют решения
еαхcos βx и еαхsin βx.
Если эти корни не простые, а имеют кратность r, то им соответствуют следующие 2r
решений:
еαхcos βx, xеαхcos βx, … , xr-1 еαхcos βx,
еαхsin βx, xеαхsin βx, … , xr-1 еαхsin βx.
Таким образом, используя все корни уравнения (4.25), мы получим n решений уравнения
(4.24). Умножая эти решения на произвольные постоянные C1, C2,…, Cn и складывая,
будем иметь общий интеграл уравнения.
Пример 4.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′′+3y′′-4y′-12y=0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
k3+3k2-4k-12=0.
Его корни: k1=2, k2=−2, k3=−3. Это простые вещественные корни, поэтому частными
решениями, соответствующими этими корням будут: y1=e2x, y2=e−2x, y3=e−3x. Общее
решение имеет вид: y=C1y1+C2y2+C3y3, или окончательно
y= C1e2x+C2 e−2x +C3 e−3x.
Пример 4.6. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′′+y′′-2y′+12y=0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
k3+k2-2k+12=0.
Его корни: k1=k2=2, k3=−3. Все корни вещественные. Кратному корню k1=k2=2 с
кратностью, равной двум будут соответствовать два частных решения: y1=e2x и y2=xe2x.
Простому корню k3=−3 будет соответствовать одно частное решение: y3 =e−3x. Общим
решением уравнения будет
y= C1e2x+C2 xe2x +C3 e−3x.
Пример 4.7. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′′+y′′-2=0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
k3+k2-2=0.
Его корни: k1,2=−2±2i, k3=1. Видим, что характеристическое уравнение имеет пару
мнимых сопряженных корней k1,2=−2±2i первой кратности, которым соответствуют
частные решения y1= е−2 х cos 2x и y2= е−2 х sin 2x, соответственно. Вещественному
простому корню k3=1 характеристического уравнения соответствует частное решение y3
=ex . Таким образом, получим общее решение заданного в условии дифференциального
уравнения
y= C1 е−2хcos 2x + C2 е−2хsin 2x+ C3ex.
4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с
постоянными коэффициентами.
Для разыскания частного решения неоднородного уравнения
y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=f(x)
(4.26)
можно применять метод вариации произвольных постоянных, рассмотренный в п. 3.7 для
линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Если правая часть уравнения (4.26) имеет вид P(x)ekx, где Р(х) –многочлен и k не
совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения (4.25), то и решение
уравнения можно искать в виде
у = Р1(х)ekx,
где Р1(х) — многочлен той же степени, что и Р(х).
Если k есть корень уравнения (4.25) кратности r, то надо положить
у = xr P1(x)ekx.
Если правая часть имеет вид f(x) = ekx [P(x)cos bx + Q(x)sin bx]
и (k±bi) не являются корнями характеристического уравнения (4.25), то и решение надо
искать в том же виде
y = ekx [P1(x)cos bx + Q1(x)sin bx],
где степени многочленов Р1(х) и Q1(x) надо брать равными наибольшей из степеней
многочленов Р(х) и Q(х).
Если же (k±bi) суть корни (4.25) кратности r, то к правой части последней формулы
надо приписать множитель xr и общее решение примет вид:
y = xrekx [P1(x)cos bx + Q1(x)sin bx].
Пример 4.8. Найти общее решение дифференциального уравнения четвертого
порядка
y(IV)−2y′′′+2y′′−2y′+y=x∙sin x.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение
k4−2k3+2k2-2k+1 =0
может быть представлено в виде
(k2+1)(k−1)2 = 0
и имеет двойной корень k1=k2=1 и пару мнимых сопряженных корней k3,4=±i.
Как известно из п.3.6, общее решение неоднородного уравнения складывается из
общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения.
По таблице общих решений однородных уравнений, приведенной в п. 3.5, где α=0,
β=1, получим общее решение соответствующего однородного уравнения
u(IV)−2u′′′+2u′′−2u′+u=0:
u=(C1+C2x)ex+C2cos x+C3sin x.
Частное решение будем искать в виде xrekx [P1(x)cos bx + Q1(x)sin bx]. Сравнивая
правую часть заданного в условии уравнения с этой формулой, видим, что в данном
случае k=0, b=1 и k±bi=±i есть простые корни характеристического уравнения, т.е r=1.
Кроме того, P(x)=0, Q(x)=x, следовательно, наибольшей из степеней многочленов Р(х) и
Q(х) является первая степень. Это означает, что и искомые многочлены Р1(х) и Q2(х)
должны иметь первую степень. С учетом сказанного частное решение будет иметь вид
y  x(ax  b) cos x  (cx  d ) sin x  (ax 2  bx) cos x  (cx 2  dx) sin x ,
где a, b, c, d – искомые коэффициенты.
Находим производные y , y , y  и y (IV ) и подставляем их в исходное уравнение.
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему
уравнений. Решая ее, находим неизвестные коэффициенты a, b, c, d. Подставляем их в
выражение для y . Общее решение заданного в условии неоднородного уравнения найдем
как сумму найденного ранее общего решения u соответствующего неоднородного
уравнения и частного решения y неоднородного уравнения:
y=(C1+C2x)ex+C2cos x+C3sin x+ y .
Тема 5. Системы дифференциальных уравнений.
5.1. Общие понятия.
При решении многих задач требуется найти функции y1=y1(x),
y2=y2(x),…,
yn=yn(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих
аргумент x, искомые функции y1, y2,,…, yn и их производные. Совокупность соотношений
вида
 F1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y n )  0
 F ( x, y , y ,..., y , y  , y  ,..., y  )  0
 2
1
2
n
1
2
n
,
(5.1)

........................................................
 Fn ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y b )  0
где где y1, y2,,…, yn – искомые функции, x – независимая переменная, называется
системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Если система разрешима относительно производных искомых функций:
 dy1
 dx  f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )

 dy 2  f ( x, y , y ,..., y )

2
1
2
n
(5.2)
 dx
....................................

 dy n  f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
 dx
то такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а
правые части не содержат производных, называется нормальной.
Если правые части уравнений нормальной системы (5.2) не зависят от x, т.е.
система имеет вид
 dy1
 dx  f1 ( y1 , y 2 ,..., y n )

 dy 2  f ( y , y ,..., y )

2
1
2
n
 dx
....................................

 dy n  f ( y , y ,..., y )
n
1
2
n
 dx
то такая система называется автономной, или стационарной системой.
В дальнейшем мы будем рассматривать нормальные системы общего вида.
Порядок системы дифференциальных уравнений равен наивысшему из порядков
уравнений, входящих в эту систему.
Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков можно свести к
нормальной системе, если ввести новые искомые функции.
Теорема Коши существования и единственности решения для системы (5.2)
формулируется следующим образом.
Если правые части уравнений системы, то есть функции fi(x,y1,y2,…,yn), где
f
f
f
i=1,2,…,n, а также их частные производные i , i ,…, i непрерывны по всем
y n
y1 y 2
переменным в некоторой области G, то для любых начальных значений переменных
x0 , y10 , y20 , … , yn0 , принадлежащих области G, существует единственное решение
y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) системы, удовлетворяющее этим начальным условиям:
y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0.
Проинтегрировать систему – значит определить функции y1, y2,,…,yn,
удовлетворяющие системе уравнений (5.2) и данным начальным условиям:
y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0.
Процесс нахождения решений системы дифференциальных уравнений называется
интегрированием системы.
Геометрический смысл нормальной системы дифференциальных уравнений
заключается в том, что нормальная система вида (5.2) задает поле направлений в (n+1)мерном пространстве. Причем в любой точке данного поля направление касательной к
интегральной кривой совпадает с направлением этого поля.
Общим решением системы дифференциальных уравнений называется система
функций
 y1  1 ( x, C1 , C 2 ,..., C n )
 y   ( x, C , C ,..., C )
 2
2
1
2
n
,

..........
..........
..........
........

 y n   n ( x, C1 , C 2 ,..., C n )
непрерывно дифференцируемых по независимой переменной x и непрерывных
относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. При этом указанные функции φi,
i=1,2,…,n должны обращать систему дифференциальных уравнений в систему тождеств и
из них должны получаться все возможные частные решения.
Частным решением системы дифференциальных уравнений называется такое
решение системы, которое получается из общего решения при некотором наборе всех
произвольных постоянных, включая ±∞.
Особым решением системы дифференциальных уравнений называется такое
решение системы, которое не получается из общего решения ни при некотором наборе
произвольных постоянных, включая ±∞.
Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
формулируется следующим образом. Среди всех решений дифференциальных уравнений
найти то, которое удовлетворяет поставленным начальным условиям:
y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0.
Геометрически это означает, что из семейства интегральных кривых, являющихся
решением системы дифференциальных уравнений, нужно выбрать ту, которая проходит
через точку с заданными координатами:
(x0, y10, y20, … , yn0).
Для решения системы дифференциальных уравнений существует множество
способов. Один из них состоит в том, что система n дифференциальных уравнений
первого порядка сводится к одному уравнению первого порядка. Этот способ называется
методом исключения неизвестных.
5.2.
Решение системы дифференциальных уравнений первого порядка методом
исключения неизвестных.
Интегрирование системы вида (5.2) производится следующим образом.
1). Дифференцируем по x первое из уравнений (5.2):
d 2 y1 f1 f1 dy1 f1 dy 2
f dy



 ...  1 n .
2
x y1 dx y 2 dx
y n dx
dx
dy1 dy2
dy
,
,..., n их выражениями f1, f2,,…, fn из
dx dx
dx
уравнений (5.2). Получим уравнение:
d 2 y1
 F2 ( x, y1 ,..., y n ).
dx 2
Дифференцируя это уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:
d 3 y1
 F3 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) .
dx 3
Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение
d n y1
 Fn ( x, y1 ,..., y n ).
dx n
Итак, мы получаем следующую систему:
2). Заменяем производные
dy1
 f 1 ( x, y1 ,..., y n ),
dx
d 2 y1
 F2 ( x, y1 ,..., y n ),
dx 2
....................................
(5.3)
d n y1
 Fn ( x, y1 ,..., y n )
dx n
3). Из первых n-1 уравнений определим y2, y3,,…,yn, выразив их через x, y1 и
dy1 d 2 y1
d n 1 y1
,
,...,
производные
:
dx dx 2
dx n 1
y 2   2 ( x, y1 , y1 ,..., y1( n 1) ),
y 3   3 ( x, y1 , y1 ,..., y1( n 1) ),
......................................
(5.4)
y n   n ( x, y1 , y1 ,..., y1( n 1) ),
4). Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (5.3), получим уравнение
n-го порядка для определения y1:
d n y1
  ( x, y1 , y1 ,..., y1( n 1) ).
dx n
(5.5)
5). Решая это уравнение, определим y1:
y1   1 ( x, C1 , C 2 ,..., C n ).
(5.6)
6). Дифференцируя последнее выражение n-1 раз, найдем производные
dy1 d 2 y1
d n 1 y1
,
,...,
как функции от x, C1, C2,,…,Cn.
dx dx 2
dx n 1
7). Подставляя эти функции в систему (5.4), определяем y2, y3,,…,yn:
y 2   2 ( x, C1 , C 2 ,..., C n )
y3   3 ( x, C1 , C 2 ,..., C n )
(5.7)
...................................
y n   n ( x, C1 , C 2 ,..., C n ).
Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным
условиям y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0, остается лишь найти из уравнений (5.6) и
(5.7) соответствующие значения постоянных C1, C2,,…,Cn (подобно тому, как это делалось
в случае одного дифференциального уравнения).
Замечание 1. Если система (5.2) линейна относительно искомых функций, то и
уравнение (5.5) будет линейным.
Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1
уравнений системы (5.3) можно определить функции y2, y3,,…,yn. Может случиться, что
переменные y2,y3,,…,yn исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для
определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n.
Пример 5.1. Решить систему дифференциальных уравнений
 dy1
 dx  2 x  y1  2 y 2

 dy 2  3 y  y  1
1
2
 dx
Решение.
1). Дифференцируем по x первое уравнение системы
d 2 y1


2 x  y1  2 y 2   dy1   2 x  y1  2 y 2   dy 2 .
 2 x  y1  2 y 2  
2
x
y1
dx y 2
dx
dx
Получим
dy
dy
d 2 y1
 2 1 2 2 .
2
dx
dx
dx
dy1 dy 2
,
их
dx dx
выражениями 2x–y1–2y2 и –3y1+y2+1 из заданной системы и приводим подобные члены.
В результате имеем линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
2). Заменяем в правой части полученного уравнения производные
d 2 y1
 2 x  7 y1 .
dx 2
Полученное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит в данном случае
переменной y2, поэтому отпадает необходимость в выполнении третьего и четвертого
шагов.
5). Решаем это уравнение. Перепишем его в виде
y1  7 y1  2x
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка. Его решение, как
известно, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и
частного решения неоднородного уравнения.
Решим сначала соответствующее однородное уравнение:
u′′-7u=0.
Характеристическое уравнение k2−7=0 имеет корни k1= 7 , k2=− 7 . Следовательно,
частными решениями однородного уравнения будут:
u1  e
7 x
, u2  e 
7 x
,
а их линейная комбинация
u  C1e
7 x
+ C2 e 
7 x
является общим решением однородного дифференциального уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации
произвольных постоянных в виде
y1  v1 ( x)  u1  v2 ( x)  u2 ,
или
y1  v1 ( x)  e
7 x
+ v2 ( x)  e 
7 x
.
Для нахождения неизвестных функций v1 ( x) и v2 ( x) составим систему уравнений вида
(3.28), где u1  7e
7x
, u 2   7e 
7x
:
7x
 7x

0
v1 ( x)  e  v2 ( x)  e

7x


v1 ( x)  7e  v2 ( x)  ( 7 )e
7x
 2 x
.
Найдем определитель этой системы
e 7x
W (v1 , v2 ) =
7e 7 x
e  7x
 7e 
7x
=2 7 .
Тогда
v1 ( x) 
0
e  7x
 2 x  7e 
2 7
7x

7
 x  e
7
7x
,
e 7x
7e 7 x
v2 ( x) 
0
 2x
2 7
Интегрируя полученные выражения, получим
v1 ( x) 
1 
xe
7
7x

7 
e
49
7x

7
 xe
7
 C1 , v2 ( x) 
1
xe
7
7x
7x
.

7
e
49
7x
 C2 .
Таким образом, общим решение неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка относительно y1 будет:
1
y1   xe
7
7x

7 
e
49
7x

 C1   e

7x
1
+  xe
7
7x

7
e
49
7x

 C 2   e 

7x
,
или
y1 
2
x  C1e
7
7x
 C2e 
7x
.
6) Дифференцируем y1 один раз и находим производную
dy1
d 2

 x  C1e
dx dx  7
7x
 C2 e 
7x
 2
   C1 7e
 7
7). Подставляем найденные выражения для y1 и
7x
dy1
:
dx
 C 2 7e 
7x
.
dy1
в первое уравнение заданной
dx
системы
y2  
dy1
1
 2 x  y1
dx
2
и получим после несложных преобразований:
y2 
6
1
x  C1e
7
2
7x
1
( 7  1)  C 2 e 
2
7x
( 7  1) 
1
.
7
Таким образом, решение системы найдено.
В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших
порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших
порядков.
Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F
сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть Fx, Fy, Fz –
проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t
определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t.
dx dy dz
, , .
Проекция вектора скорости точки на оси координат будут
dt dt dt
Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от
dx dy dz
, , .
времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т.е. от
dt dt dt
Искомыми функциями в этой задаче являются три функции:
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона):
d 2x
dx dy dz 

m 2  Fx  t , x, y, z , , , ,
dt dt dt 
dt

m
d 2x
dx dy dz 

 F y  t , x, y, z , , , ,
2
dt dt dt 
dt

(5.8)
d 2x
dx dy dz 

m 2  Fz  t , x, y, z , , , .
dt dt dt 
dt

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае
плоского движения, т.е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая,
например, в плоскости Oxy), получаем систему двух уравнений для определения функций
x(t) и y(t):
d 2x
dx dy 

m 2  Fx  t , x, y, , ,
dt dt 
dt

2
d x
dx dy 

m 2  Fy  t , x, y, ,  .
dt dt 
dt

(5.9)
(5.10)
Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем
сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (5.9) и (5.10)
покажем, как это делается. Введем обозначения:
dy
dx
u,
 .
dt
dt
Тогда
d 2 x du d 2 y d


,
.
dt
dt
dt 2
dt 2
Система двух уравнений второго порядка (5.9), (5.10) с двумя искомыми функциями x(t) и
y(t) заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми
функциями x, y, u, :
dx
u,
dt
dy
 ,
dt
du
m
 Fx t , x, y, u ,  ,
dt
m
5.3.
d
 F y t , x, y, u ,   .
dt
Решение нелинейных систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Если система дифференциальных уравнений (5.2) является нелинейной
относительно одной или нескольких входящих в нее переменных, то применение
рассмотренного выше метода приведет к трудностям, связанным с необходимостью
решения нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка (см. замечание 1 в
п.5.2). В таком случае часто бывает удобней пользоваться методом интегрируемых
комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение,
которое является следствием системы уравнений (5.2) и интегрируется в квадратурах,
например, имеет вид
dФ(x, y1, y2, … , yn)=0.
Функция Ф(x, y1, y2, … , yn), которая тождественно равна постоянной при
подстановке в нее решений yi=yi(x) (i=1,2,…,n), называется первым интегралом системы
(5.2). Если имеется k первых независимых интегралов
Ф1(x, y1, y2, … , yn)=С1,
Ф2(x, y1, y2, … , yn)=С2,
………………………..
Фk(x, y1, y2, … , yn)=Сk,
(5.11)
k≤n
то из системы (5.11) можно выразить k неизвестных функций через остальные. Подставив
их в систему (5.2), приходим к задаче об интегрировании системы дифференциальных
уравнений с меньшим числом неизвестных. В частности, если k=n, то все неизвестные
функции y1, y2, … , yn определяются из системы интегралов (5.11).
Иногда нахождение интегрируемых комбинаций облегчается при помощи так
называемой симметрической формой записи системы уравнений (5.2):
dy n
dy1
dy 2

 ... 
 dx ,
f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
где fi(x,y1,y2,…,yn) – правые части уравнений в нормальной системе (5.2).
Метод интегрируемых комбинаций позволяет решить систему, оставаясь в рамках
уравнений первого порядка.
Заметим, что все сказанное о нелинейных системах относится и к линейным
системам, записанным в нормальной форме.
Пример 5.2. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений
dx dy
dz
.


x
y
xy  z
dx dy
Решение. Из уравнения
находим ln|x|=ln|y|+lnC1, или

x
y
x
 C1 .
y
dy
dz

Это первый интеграл. Далее решаем уравнение
, которое с учетом того, что
y xy  z
dy
dz

x=C1y перепишем в виде
. Это уравнение является линейным неоднородным
y C1 y 2  z
дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, используя свойство
пропорций представим это уравнение как:
dz 1
 z  C1 y .
dy y
Решаем его по формуле общего решения
 P ( y )dy 
P ( y )dy
ze 
   Q( y )  e 
 dy  C  ,


1
где в данном случае P(y)=  , Q(y)=C1y. Тогда
y
z=C1y2+C2y, или z=xy+C2y.
Итак, мы получили два первых интеграла
x
z
 C1 и
 x  C2
y
y
Так как они независимы и число их равно числу уравнений рассматриваемой системы, то
других интегралов, которые были бы независимы от полученных, т.е. не являлись бы их
следствием нет.
Пример 5.3. Проинтегрировать систему дифференциальных
уравнений
1
 dx
 dt  y 2  2 x ,


 dy  1 .
 dt 2 xy
Решение. Если мы хотим получить решение без параметра t, представим эту
систему в симметрической форме
dx
dy
.
 2
2 xy y  2 x
Полученная система состоит из одного уравнения. Делим левую часть на правую и
получаем интегрируемую комбинацию – дифференциальное уравнение Бернулли:
dy 1

y   y 1 .
dx 2 x
Общее решение этого уравнения:
y2=C1x–2xln|x|
является первым интегралом системы. Этот интеграл является единственным
независимым интегралом для симметрической формы, полученной в начале решения,
поскольку она состоит из одного уравнения.
Если мы хотим, чтобы в решении присутствовал параметр t, то подставляем
полученное для y2 выражение в первое уравнение исходной системы:
dx
1

.
dt x(C1  2  2 ln x )
Откуда
dt  x(C1  2  2 ln x )dx .
После интегрирования:
x2
x2
t
(C1  2)  x 2 ln x 
 C2 .
2
2
5.4. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Метод Эйлера.
Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений
dy1
 a11 y1  a12 y 2  ...  a1n y n ,
dx
dy 2
 a 21 y1  a 22 y 2  ...  a 2 n y n ,
dx
.............................................
dy n
 a n1 y1  a n 2 y 2  ...  a nn y n ,
dx
(5.12)
где коэффициенты aij суть постоянные. Здесь x – аргумент, y1(x), y2(x),…yn(x) – искомые
функции. Система (5.12) называется однородной системой линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка,
которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (5.12) и другим
методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более
наглядно анализировать характер решений и носит название метода Эйлера.
Будем искать частное решение системы в следующем виде:
y1  A1e kx , y 2  A2 e kx ,..., y n  An e kx .
(5.13)
Требуется определить постоянные A1, A2, …,An и k так, чтобы функции A1ekx,
A2ekx,…,Anekx удовлетворяли системе уравнений (5.12). Подставляя их в систему (5.12),
получим:
kA1e kx  (a11 A1  a12 A2  ...  a1n An )e kx ,
kA2 e kx  (a 21 A1  a 22 A2  ...  a 2 n An )e kx ,
.........................................................
kAn e kx  (a n1 A1  a n 2 A2  ...  a nn An )e kx .
Сократим на ekx . Перенося все члены в одну сторону, собирая коэффициенты при A1,
A2,…, An, получим систему уравнений
(a11  k ) A1  a1 2 A2  ...  a1n An  0,
a 21 A1  (a 2 2  k ) A2  ...  a 2 n An  0,
...................................................
(5.14)
a n1 A1  a n 2 A2  ...  (a nn  k ) An  0.
Выберем A1, A2,…, An
и k такими, чтобы удовлетворялась система (5.14). Эта
система есть система линейных алгебраических уравнений относительно A1, A2,…, An.
Cоставим определитель системы (5.14):
(k ) 
a11  k
a 21
....
a n1
a12
....
a 22  k ....
....
an2
a1n
a 2n
....
....
.... (a nn  k )
.
(5.15)
Если k таково, что определитель  отличен от нуля, то система (5.14) имеет только
нулевые решения A1=A2=…=An=0, а, следовательно, формулы (5.13) дают только
тривиальные решения:
y1 ( x)  y 2 ( x)  ...  y n ( x)  0 .
Таким образом, нетривиальные (ненулевые) решения вида (5.13) мы получим
только при таких k, при которых определитель (5.15) обращается в нуль. Мы приходим к
уравнению n-го порядка для определения k:
a11  k
a 21
....
a n1
a12
....
a 22  k ....
....
an2
a1n
a 2n
....
....
.... a nn  k
 0.
(5.16)
Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (5.12), его
корни называются корнями характеристического уравнения, или
характеристическими числами.
Рассмотрим несколько случаев.
1) Корни характеристического уравнения действительные и различные.
Обозначим через k1, k2,,…,kn корни характеристического уравнения. Для каждого
корня ki напишем систему (5.14) и определим коэффициенты
A1(i ) , A2( i ) ,..., An( i ) .
Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице.
Таким образом, получаем:
для корня k1 частным решением системы (5.12) является:
y1(1)  A1(1) e k1x , y 2(1)  A2(1) e k1x ,..., y n(1)  An(1) e k1x ;
для корня k2 частным решением системы (5.12) является:
y1( 2)  A1( 2) e k2 x , y 2( 2)  A2( 2 ) e k2 x ,..., y n( 2)  An( 2) e k2 x ;
………………………………………………………………….
для корня kn частным решением системы (5.12) является:
y1( n )  A1( n ) e kn x , y 2( n )  A2( n ) e kn x ,..., y n( n )  An( n ) e kn x .
Найденные частные решения образуют фундаментальную систему решений,
следовательно, общее решение системы можно записать в виде:
y1  C1 A1(1) e k1x  C 2 A1( 2 ) e k 2 x  ...  C n A1( n ) e k n x ,
y 2  C1 A2(1) e k1x  C 2 A2( 2 ) e k 2 x  ...  C n A2( n ) e k n x ,
...........................................................
y n  C1 An(1) e k1x  C 2 An( 2 ) e k 2 x  ...  C n An( n ) e k n x ,
(5.17)
где C1, C2,,…,Cn – произвольные постоянные. Легко показать, что можно найти такие
значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным
условиям.
Пример 5.4. Решить систему дифференциальных
уравнений
 dy1
 dx  y1  y 2 ,

 dy 2  y  4 y .
2
1
 dx
Будем решать эту систему методом Эйлера. Согласно этому методу, частные решения
системы ищем в виде
y1  A1e kx , y 2  A2 e kx .
Подставляем y1, y2 и их производные в заданную систему
kx
kx

kA1e  e ( A1  A2 ),

kx
kx

kA2 e  e (4 A1  A2 ).
Сокращая на ekx, получаем систему уравнений, аналогичную (5.14)
(k  1) A1  A2  0

4 A1  (k  1) A2  0,
Из которой, в силу нетривиальных искомых решений, следует
k 1 1
 0,
4
k 1
или (k-1)2-4=0. Корни этого характеристического уравнения k1=3, k2=-1 — — простые,
следовательно, соответствующие им частные решения имеют вид
y1(1)  A1(1) e 3 x y1( 2)  A1( 2) e  x
y 2(1)  A2(1) e 3 x y 2( 2)  A2( 2) e  x .
Связь между коэффициентами Ai( j ) найдем, подставив полученные частные решения ,
например, для y1 в первое уравнение исходной системы:
(1)
(1)
(1)

3 A1  A1  A2

( 2)
( 2)
( 2)

 1  A1  A1  A2 .
Вторые уравнения будут следствием записанных. Из полученной системы найдем:
A2(1)  2A1(1) и A2( 2)  2A1( 2) . В силу произвольности A1(1) и A1( 2) можем, например, принять,
что A1(1)  A1( 2)  1 . Тогда A2(1)  2 и A2( 2)  2 . Тогда общее решение запишется в виде
y1  C1 y1(1)  C2 y1( 2)
y 2  C1 y 2(1)  C2 y 2( 2) ,
или окончательно
y1  C1e 3 x  C 2 e  x
y 2  2C1e 3 x  2C 2 e  x .
2). Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть
кратные.
Этот материал хорошо изложен у Соболь стр. 587
Если корень k имеет кратность r, тогда этому корню соответствуют решения вида:
y1=P1(x)ekx, y2 =P2(x)ekx, …, yn=Pn(x)ekx,
где Pi(x) − полиномы степени не выше r.
Среди коэффициентов этих полиномов r коэффициентов являются произвольными,
а остальные выражаются через них. Полагая один из этих произвольных коэффициентов
равным единице, а остальные нулю, получаем r линейно независимых частных решений,
соответствующих данному r-кратному корню k характеристического уравнения.
3).Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть
комплексные.
Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных
сопряженных корня:
k1    i , k 2    i .
Этим корням будут соответствовать решения
y (j1)  A(j1) e( i ) x , ( j  1,2,..., n),
(5.18)
y (j2)  A(j 2) e( i ) x , ( j  1,2,..., n).
(5.19)
Коэффициенты A и A
определяются из системы уравнений (5.14).
Действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями.
Таким образом, мы получаем два частных решения:
( 2)
j
(1)
j
y (j1)  ex ((j1) cos x  (j2) sin x),
(1)
( 2)
y (j 2)  ex ( j cos x   j sin x),
(1)
( 2)
(5.20)
где
- действительные числа, определяемые через A j и A(j 2) .
(j1) , (j2) ,  j ,  j
Соответствующие комбинации функций (5.20) войдут в общее решение системы.
4). Среди корней характеристического уравнения есть комплексные кратные.
Решение проводится по схеме, приведенной в пункте 2. Каждый раз после
получения комплексного решения проводится выделение действительной и мнимой
частей.
(1)
Аналогичным методом можно находить решения системы линейных
дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.
Приведем в качестве примера решение системы дифференциальных уравнений
второго порядка
d 2 y1
 a11 y1  a12 y 2 ,
dx 2
(5.21)
d 2 y2
 a 21 y1  a 22 y 2
dx 2
Снова ищем решение в виде
y1  A1e kx , y 2  A2 e kx .
Подставляя эти выражения в систему (5.21) и сокращая на ekx, получаем систему
уравнений для определения A1, A2 и k:
(a11  k 2 ) A1  a12 A2  0,
(5.22)
a21 A1  (a22  k 2 ) A2  0
Отличные от нуля A1 и A2 определяются только в том случае, когда определитель
системы будет равен нулю:
a11  k 2
a12
(5.23)
 0.
a 21
a 22  k 2
Это есть характеристическое уравнение для системы (5.20); оно является уравнением 4-го
порядка относительно k. Пусть k1, k2 , k3 и k4 – его корни (предполагаем, что корни
различны). Для каждого корня ki из системы (5.22) находим значения A1 и A2. Общее
решение, аналогично (5.17), будет иметь вид
y1  C1 A1(1) e k1x  C2 A1( 2) e k2 x  C3 A1(3) e k3 x  C4 A1( 4) e k4 x ,
y2  C1 A2(1) e k1x  C2 A2( 2) e k2 x  C3 A2(3) e k3 x  C4 A2( 4) e k4 x .
Если среди корней будут комплексные, то каждой паре комплексных корней в
общем решении будут соответствовать выражения вида (5.20).
.