1. Неопределенный интеграл. 2. Свойства неопределенного интеграла.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
по курсу математического анализа
поток ФРТ, весенний семестр, 2008/2009 уч. год
лектор доцент Рябцев Ю.Н.
1. Неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных интегралов.
4. Непосредственное интегрирование.
5. Способ подстановки.
6. Интегрирование по частям.
7. Интегрирование элементарных дробей.
8. Рекуррентные формулы.
9. Интегрирование рациональных дробей.
10. Метод неопределенных коэффициентов.
11. Интегрирование иррациональных ф-ций.
12. Интегрирование иррациональных ф-ций: подстановки Чебышева.
13. Интегрирование тригонометрических ф-ций.
14. Специальные приемы интегрирования тригонометрических ф-ций.
15. Применение тригонометрических подстановок при интегрировании иррациональных
функций.
16. Несобственные интегралы. Признаки сходимости.
17. Интеграл с переменным верхним пределом.
18. Определенный интеграл как предел суммы и его св-ва.
19. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.
20. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
21. Площади плоских фигур. Длина дуги кривой.
22. Объёмы тел.
23. Приближенное вычисление определенного интеграла.
24. Функции нескольких переменных: предел функции, непрерывность, частные
производные.
25. Полный дифференциал функции.
26. Дифференцирование сложных функций.
27. Дифференцирование неявных функций.
28. Производная в данном направлении и градиент функции.
29. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
30. Ф-ла Тейлора для функции нескольких переменных (без вывода).
31. Экстремум функции нескольких переменных.
32. Отыскание наибольших и наименьших значений функции.
33. Числовой ряд: основные понятия. Расходимость гармонического ряда.
34. Признаки сравнения сходимости числового ряда.
35. Признак Даламбера.
36. Признак Коши.
37. Интегральный признак сходимости.
38. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Признак сходимости знакопеременного
ряда.
1. Неопределенный интеграл.
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого x  (a; b)
выполняется равенство F' (x)  f (x) (или dF(x)  f (x)dx )
Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для
f(x) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число. F(x)  C'  F' (x)  f (x)
Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от
функции f(x) и обозначается символом  f (x)dx
 f (x)dx  F(x)  C , f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение,
х – переменная интегрирования,  - знак неопределенного интеграла.
2. Свойства неопределенного интеграла.
1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная
неопределенного интеграла равна подынтегральной функции d  f (x)dx  f (x)dx,  f (x)dx '  f (x) .




2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и
произвольной постоянной  dF(x)  F(x)  C
3) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен
алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если  f (x)dx  F(x)  C , то и  f (u)du  F(u)  C , где u  (x )
- произвольная функция, имеющая постоянную производную
3. Таблица основных интегралов.

u a du 
u
du
u a 1
 C , ( a  1 )
a 1
u
 a du  ln a  C
 sin udu   cos u  C
 cos udu  sin u  C
 tgudu   ln | cos u | C
 ctgudu  ln | sin u | C
du
 cos u  tgu  C
a
u
2
 sin
du
2
du

 ln | u |  C

 cos u  ln tg 2  4  C

a
a
u
du
a2 u2
du
u a
du
2
2
u
du
2
2
u
2
 arcsin
u
C
a
 ln u  u 2  a 2  C
2

1
u
 arctg  C
a
a

1
au
 ln
C
2a
au

a 2  u 2 du 
u
a2
u
 a2 u2 
 arcsin  C
2
2
a

u 2  a 2 du 
u
a2
 u2 a2 
 ln u  u 2  a 2  C
2
2
 ctgu  C
u
 sin u  ln tg 2  C
du
u
4. Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного
интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
du  d(u  a ) , а – число
du 
1
d(au) , a  0 – число
a
1
u  du  d(u 2 )
2
f ' (u )du  d(f (u))
5. Способ подстановки.
Пусть необходимо вычислить интеграл
 f  x  dx .
Сделаем подстановку x    t  , ãäå  t  -
функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx   '  t  dt
 f (x)dx   f (t)' (t)dt
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t    x  , тогда
 f   x     '  x dx   f  t  dt
Другими словами, формулу можно применять справа налево.
6. Интегрирование по частям.
Пусть u  u  x  , v  v  x  - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда
d uv   u  dv  v  du . Интегрируя, получим  d(uv)   udv   vdu или  udv  uv   vdu - формула
интегрирования по частям, она дает возможность перейти к другому интегралу, который может
оказаться халявнее.
Удобно вычислять:
1.  P  x  e kx dx,  P  x   sin  kx  dx,  P  x  cos  kx  dx Принимаем P(x)=u, остальное dv.
 P  x  arcsin[cos tg ctg]  x  dx,  P  x  ln  x  dx Принимаем P(x)dx=dv, остальное u.
3.  e sin  cos   bx  dx Принимаем u=eax
2.
ax
7. Интегрирование элементарных дробей + 8.Рекуррентные формулы
Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) – функция, равная отношению двух
многочленов, т.е. f ( x ) 
Pm ( x )
, где Pm – многочлен степени m, а Qn многочлен степени n. (если m
Q n (x)
< n, то дробь – правильная, если m  n , то неправильная).
Всякую неправильную рациональную дробь
P( x )
Q( x )
можно, путем деления числителя на
знаменатель, представить в виде суммы многочленов L( x ) и правильной рациональной дроби
R (x)
P( x )
R (x)
 L( x ) 
, т.е.
Q( x )
Q( x )
Q( x )
d  x  a
 A  ln x  a  C.
xa
 x  a  k 1
A
k
2. 
 A  x  a  d  x  a   A
 C.
k  1
 x  a k dx
1.
A
 x  a dx  A
Mx  N
Mx  N
p
p
p2
dx

dx

x


t
,
x

t

,
dx

dt
,
q

 a2 
 x2  px  q   p 2
2
2
2
4
p
x  q

2
4
p

M t    N
tdt
Mp 
dt
M
Mp  1
t


   2 2 2
dt  M  2
N 
 ln  t 2  a 2    N 
 2
 arctg  C.
2
2
t a
t a 
2  t a
2

2 a
a
2
p
Mx  N
tdt
Mp 
dt

0 
M
N 
4. k  2, q 

k
k

4
2   t 2  a 2 k
t 2  a2  
 x 2  px  q 
3.
t 2  a2 
tdt
1  2
2 k
2
2




t

a
d
t

a

 C.
 t 2  a2  2 
2 1  k 
1 k
Jk  
 t
dt
t 2  a 
2 k
t 2 dt
2

1 t 2  a2   t 2
1 
dt
t 2 dt
dt



a 2   t 2  a 2 k
a 2    t 2  a 2 k 1   t 2  a 2 k
 u  t , dv 
a 
2 k
tdt
t  a 
2 k
2
, du  dt , v 
 t 2  a 2 1k
2 1  k 
 1 
t 2 dt

J


2  k 1
  t 2  a 2 k
 a 
t t 2  a2 

2 1  k 
1 k


.

1
dt


2
2 1  k   t  a 2 k 1
t t 2  a2 
1


 J k 1
2 1  k 
2 1  k 
1 k
1 k
 1  2k  3
1 
t t 2  a2 
1
t t 2  a2  
.
J k  2  J k 1 

 J k 1   2 
J k 1 
a 
2 1  k 
2 1  k 
2 1  k  
 a  2k  2
1 k
8. Рекуррентные формулы.
Рекуррентная формула – формула, выражающая каждый член некой последовательности через
предыдущие члены.
dx
1
x
2x
In  

dx 
  x  n 
dx 
n
n
n
 x2  a2 
 x 2  a 2  dv  x 2  a 2 
 x 2  a 2 n1
u

x
x  a 
2 n
2
I n1 
 2n 
x
2
x  a 
2
2
dx 
n 1
x
x  a 
2
2 n
 2n 
x2  a2  a2
x  a 
2
2 n 1
dx 
x
x  a 
2
2 n
 2n  I n  2na 2  I n 1
1 1
x
2n  1 1
 2

 In
n
2
2
2n a  x  a 
2n a 2
dx
1
x
 arctg    C.
2
x a
a
a
9. Интегрирование рациональных дробей.
1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде
суммы простейших рациональных дробей.
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
I1  
2
10. Метод неопределенных коэффициентов.
P  x
Всякую правильную рациональную дробь
, знаменатель которой разложен на множители
Q  x
Q  x    x  x1  1  x  x2  2 ...  x 2  p1x  q1  ...  x 2  pm x  qm  , можно представить единственным
образом в виде суммы простейших дробей.
Ak1
Bk2
Cs1 x  Ds1
A
A2
B
C x  D1
P  x
 1 
 ... 
 1  ... 
 ...  2 1
 ... 
 ...
2
k1
k2
s
Q  x  x  x1  x  x1 
x  p1 x  q1
 x  x1  x  x2
 x  x2 
 x 2  p1 x  q1  1
k

s1
k
M sm x  N sm
M 1 x  N1
 ... 
x  pm x  qm
 x2  p x  q
2
m
m

sm
sm
Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод неопределенных
коэффициентов:
1.В правой части равенства приведем все к общему знаменателю Q(x), в результате получим
P  x S  x

, где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.
Q  x Q  x
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то равны и числители. P  x   S  x 
3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в обеих частях тождества, получим
систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты.
11. Интегрирование иррациональных функций.
dx
mx  n
,  ax 2  bx  cdx, 
dx можно найти выделив под радикалом полный
1. 
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
2

b  4ac  b 2 
b
2
квадрат ax  bx  c  a   x   
 t . Тогда первые два
 и сделав подстановку x 
2
2a
2a 
4a


сводятся к табличным, третий – к сумме двух табличных интегралов.
dx
1
2. 
подстановкой
 t сводятся к виду 1.
mx  n
 mx  n  ax 2  bx  c
Pn  x 
dx
3. 
для нахождения коэффициентов в
dx  Qn1  x   ax 2  bx  c   
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
Qn 1 ( x) è  продифференцируем равенство. Получим
'
Pn ( x)

 Qn 1 ( x)  ax 2  bx  c 
. А теперь просто приравняем коэффициенты
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
при одинаковых степенях.

4.
 R  x, x
p1
q1

p2
q2
, x ,..., x
pk
qk
 dx интегрируются подстановкой x  t , где m  HOK q , q ,..., q 
m
1

q1
 x,  ax  b  ,...,  ax  b 
R
   cx  d 
 cx  d 
n  HOK  q1 , q2 ,..., qk 
p1
pk
qk
5.
6.
 R  x;
 R  t;
2
k

 dx интегрируются подстановкой ax  b  t n , где
dx  c

ax 2  bx  c  dx . Выделяем полный квадрат, подставляем x 
b
 t , приводим к виду
2a
a 2  t 2  dt ,  R  t ; t 2  a 2  dt , которые решаются через соответствующие
тригонометрические подстановки.
12. Интегрирование иррациональных функций: подстановки Чебышева.
Дифференциальный бином: xm  a  bx n  , где m, n, p, a, b  R
p
x
m
 a  bx n  p dx
1. Пусть p  Z
p  0 , тогда  a  bx n  развертывается по формуле бинома Ньтона
p
p  0 , тогда делается подстановка x  t k , где k=HOK(знаменатели m,n)
2. Пусть p Z
m 1
 Z , делаем подстановку a  bx n  t  , где  - знаменатель p
Если
n
m 1
Z ,
3. Пусть pZ ,
n
 m 1

 p   Z , делаем подстановку a  bx n  t  x n , где  - знаменатель дроби p
Если 
 n

В противном случае интеграл не выражается через элементарные функции.
13. Интегрирование тригонометрических функций.
 R  sin x;cos x  dx сводится к вычислению интеграла от рациональной функции универсальной
тригонометрической подстановкой tg 2x  t
Тогда имеем sin x 
2 tg 2x
1  tg 2 2x 1  t 2
2t
2

,
cos
x


, x  2arctg t , dx 
dt
2 x
2
2 x
2
1  tg 2 1  t
1  tg 2 1  t
1 t2
 2t 1  t 2 
R

sin
x
;cos
x

dx

R

  1  t 2 ; 1  t 2  dt   R1 (t )dt
1. Если R   sin x;cos x    R  sin x;cos x  ,cos x  t
2. Если R  sin x;  cos x    R  sin x;cos x  , sin x  t
3. Если R   sin x;  cos x   R  sin x;cos x  , R  tg x  , tg x  t
Интегралы типа  sin m  x   cos n  x  dx, m, n  R
1. sin x  t , если n – нечетное
2. cos x  t, если m – нечетное
3. tg x  t , если m+n – четное
1
4. Если m и n – целые неотрицательные четные, понижаем порядок cos 2 x  1  cos 2 x  ,
2
1
1
sin 2 x  1  cos 2 x  , sin x  cos x  sin 2 x
2
2
Замечание: t  tg x применяется также при  tg n  x  dx,  ctg n  x  dx , где n – целое
положительное.
Замечание 2: Рябцев давал положения подстановки 1-3 по аналогии с Чебышовым (
sin x  t , sin m  x   cosn  x  dx   t m 1  t 2 
n 1
2
dt )
Интегралы типа  sin ax  cos bx dx,  cos ax  cos bx dx,  sin ax  cos bx dx упрощаются известными
формулами тригонометрии
sin a  cos b  12  sin  a  b   sin  a  b  
cos a  cos b  12  cos  a  b   cos  a  b  
sin a  sin b  12  cos  a  b   cos  a  b  
14. Специальные приемы интегрирования тригонометрических функций.
a sin x  b cos x
dx;
1. I  
c sin x  d cos x
Представим a sin x  b cos x  A  c sin x  d cos x   B  c cos x  d sin x 
d  c sin x  d cos x 
I  Ax  B 
 Ax  B ln c sin x  d cos x  C.
c sin x  d cos x
a sin x  b cos x  n
dx;
2. I  
c sin x  d cos x  m
Представим a sin x  b cos x  A  c sin x  d cos x  m  B c cos x  d sin x   C
dx
I  Ax  B ln c sin x  d cos x  m  C 
c sin x  d cos x  m
2
2
a sin x  b sin x  cos x  c cos x
dx;
3. I  
m sin x  n cos x
Представим a sin 2 x  b sin x  cos x  c cos2 x   A sin x  B cos x  m sin x  n cos x   C  sin 2 x  cos 2 x 
I   A cos x  B sin x  C 
dx
m sin x  n cos x
u  cos x, du   sin x
 sin 2 x  cos 2 x  dx
dx
dx
cos x

 cos x 3 dx 

4.  3  
d sin x
1
sin x
sin 3 x
sin x 
sin x
dv 
,v  
3
3
sin x
2sin x
x
cos x 1 sin x
1
x cos x 

  2 dx   ln tg  2   C.
2
2 2sin x 2 sin x
2
2 sin x 
 ln tg
15. Применение тригонометрических подстановок при интегрировании иррациональных
функций.
A
A  b 

2
2
  Ax  B  ax  bx  c dx    2a  2ax  b    B  2a  ax  bx  c dx 

A
Ab 
b
c

2
ax 2  bx  cd  ax 2  bx  c    B 
  a x  x  dx 

2a
2a 
a
a

A  ax 2  bx  c 

3a
3
2
2
 
Ab 
b   c b2 

B
a
x


    2  dx
 
2a 
2
a


  a 4a 

I1
I1   z 2  a 2 dz
1.
2.
3.


x 2  a 2 dx делаем подстановку x  a  tg t или x  a  ctg t
a 2 tg 2 t  a 2 a
dt
dt
 a2 
2
cos t
cos3 t


a 2  x 2 dx делаем подстановку x  a  sin t или x  a  cos t

x 2  a 2 dx делаем подстановку x 
a 2  a 2 sin 2 t a cos t dt  a 2  cos2 t dt
a
a
или x 
sin t
cos t
2
2
a2
dt 
 dt
2 a cos t
2 cos t
2 1  sin t

a
dt


a
dt


a
dt  a 2   3  
2
2
3
3


sin t
sin t
sin t
sin t
sin t 
 sin t

16. Несобственные интегралы. Признаки сходимости.
Несобственный интеграл- определенный интегралом непрерывной функции, но с бесконечным
промежутком интегрирования(I-ого рода)или определенный интеграл с конечным
промежутком интегрирования, но от функции, имеющий на нём бесконечный разрыв.
Несобственные интегралы 1-ого рода (с бесконечными промежутком интегрирования)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;+∞]. Если существует конечный предел
b
lim
b
 f ( x)dx , то его называют несобственным интегралом первого рода и записывают как:
a

 f ( x)dx .
a

Если

a
b
f ( x)dx = lim
b
 f ( x)dx то говорят, что интеграл сходится, если же предела не существует
a
либо он бесконечен, то интеграл расходится.
b
b

Аналогично определяется интеграл
f ( x) dx = lim
a  

 f ( x)dx
a
Несобственный интеграл с двумя бесконечными формулами определяется формулой:




c
f ( x) dx =

 f ( x)dx
f ( x) dx +

c
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения. Если на промежутке [a;+∞] непрерывные функции f(x) и g(x)

удовлетворяют условию 0  f ( x)  g ( x) , то из сходимости
 g ( x)dx
следует сходимость
a



f ( x)dx , а из расходимости
a


f ( x)dx следует расходимость
a
 g ( x)dx
a
f ( x)
 k ;0  k   (f(x)>0 и g(x)>0), то интегралы
2. Если существует предел lim
x  g ( x )

 f ( x)dx и
a

 g ( x)dx сходятся или расходятся одновременно.
a
Несобственный интеграл II-ого рода (от разрывной функции)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если
b 
существует конечный придел
lim
 0
 f ( x)dx то его называют несобственным интегралом
a
b
второго рода и записывают как:  f ( x)dx т.е.
a
b 
f ( x)dx
 f ( x)dx = lim
 0 
a
b
a
Если предел существует, то интеграл сходится, если не существует или бесконечен, то
расходится.
Аналогично, если функция терпит разрыв в точке x=a, то полагают
b
f ( x)dx
 f ( x)dx = lim
 0 
a 
b
a
Если же функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a;b], то несобственный
интеграл второго рода определяется формулой:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Признаки сходимости:
1. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный
b
разрыв и удовлетворяют условию 0  f ( x)  g ( x) . Из сходимости
 g ( x)dx
вытекает
a
сходимость
b
b
a
a
 f ( x)dx , а из расходимости  f ( x)dx
b
расходимость
 g ( x)dx .
a
2. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный
b
b
f ( x)
 k ;0  k   , то интегралы  f ( x)dx и  g ( x)dx
разрыв. Если существует придел lim
x  g ( x )
a
a
сходятся или расходятся одновременно.
17. Интеграл с переменным верхним пределом.
b
Th.1 f  x  :   f  x  dx
x,    a, b 
a
x

F  x    f  t  dt 


 í åï ðåðû âí û ï ðè x   a, b 

Ô  x    f  t  dt 

x

F  F  x  x   F  x  
x x
lim F  lim
x 0
x 0

x x


x
f  t  dt   f  t  dt 

x x



x x
x
x
f  t  dt   f  t  dt 

f  t  dt
f  t  dt  lim x  f    0,    x, x  x 
x
Th.2 Теорема Барроу.
b
  f  x  dx,  , x   a, b 
a
F ' x 

b
a

'
f  t  dt  f  x 
x x
F

F '  x   lim
 lim x
x  0 x
x  0
f (t )dt
x
 lim
x  0
f   x
 lim f    lim f    f  x 
x  0
 x
x
x
Замечание: F  x    f  t  dt
a
Следствие: всякая непрерывная f(x) имеет первообразную. Действительно, если f(x) непрерывна
x
на [a,x], то

x
f (t )dt существует, т.е. существует F  x    f  t  dt , которая по доказанному
a
a
является первообразной.
Th.3 Формула Ньютона-Лейбница.
b
Если F(x) – первообразная f(x), то
 f  x  dx  F  b   F  a   F  x 
b
a
x b
 F  x  xa
a
x
 f  t  dt
2 любые первообразные отличаются на константу.
a
x
 f (t )dt  F  x   C
a
x  a, 0  F  a   C, C   F  a 
x
 f  t  dt  F  x   F  a 
a
b
xb
 f  t  dt  F  b   F  a  , ч.т.д.
a
18. Определенный интеграл как предел суммы и его свойства.
Пусть функция определена на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок на n частичных отрезков
[x0;x1],[x1;x2],…,[xn-1;xn].
 x0 ; xn  i , mi , Mi
 x0 ; x1  1 , m1 , M1
 xn1; xn  n , mn , M n
mi – наименьшее значение функции на i-том отрезке
Mi – наибольшее значение функции на i-том отрезке
m – наименьшее значение функции на [a,b]
M – наибольшее значение функции на [a,b]
n
Составим нижнюю интегральную сумму: S n   mi  xi , где xi - длина i-того отрезка.
i 1
n
Составим верхнюю интегральную сумму S n   M i  xi
i 1
Свойства интегральных сумм:
1. S n  S n
2. Sn  m  b  a 
3. Sn  M b  a 
4. m  b  a   S n  S n  M  b  a 
n
Составим интегральную сумму Sn   f i   xi
i 1
Sn  Sn  Sn
b

n
f  x  dx  lim  f i   xi , xi  0
n 
a
i 1
S n è S n являются частным случаем S n
b
n
lim
 mi  xi   f  x  dx  lim
n
x 0 i 1
M
n
x 0 i 1
a
i
n
i
 xi
i
Th.1 Ограниченность интегрируемой функции.
b
f  x  :  f  x  dx  f  x   î ãðàí è÷åí à í à [a, b]
a
Допустим, что f(x) не ограничена на [a,b]. Покажем, что в этом случае S n может быть сколь
угодно большой.
Пусть неограниченность f(x) выполняется на x1 : 1
f 1  
n
S M
; S   f i   xi
x1
i2
Sn  f 1   x1  S  f 1   x1  S  M , что противоречит условию, ч.т.д.
Обратная теорема не верна.
Достаточное условие интегрируемости разрывных функций:
Th.1 Ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва на [a,b], интегрируема на
[a,b]
Th.2 Ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва на [a,b], интегрируема на

любом  ,     a, b   f  x  dx

c
Следствие: рассмотрим a  b  c и пусть на [a,c]  f  x  dx
a
c
b
c
a
a
b
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
Пределы интегрирования определенных интегралов:
b

a
a
f  x  dx    f  x  dx
b
a
 f  x  dx  0
a
Th. Свойство пределов интегрирования
Для a, b, c 
b
c
c
a
b
a
   
Доказательство:
1) a<b<c смотри выше
2) a<c<b
c
b
b
b
b
c
b
c
c
a
c
a
a
c
a
a
b
a
              , ч.т.д.
3) с=а
b
c
b
b
c
a
b
a
a
a
   0       0
А ещё можно выносить постоянный множитель за знак определенного интеграла, и интеграл
суммы равен сумме интегралов.
Th.1 Грубая оценка определенного интеграла.
b
b
a
a
 f  x  dx, f  x   0   f  x  dx  0
Th.2 Интегрирование неравенств
b
b
a
a
 f ( x)dx è    x  dx
b
f  x    x,

a
b
f ( x)dx     x  dx
a
  x  f  x  0
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
   x   f  x   dx     x  dx   f  x  dx     x  dx   f  x  dx
Th.3 Перенесение модуля опр. интеграла под модуль интегрируемой функции
b
b
a
a
 f  x  dx  
f  x  dx
 f ( x)  f ( x)  f ( x)
b
b
b
a
a
a
  f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x) dx
Th.4 Оценка определенного интеграла на m и M
b
 f ( x)dx, m, M
a
b
m  b  a    f ( x)dx  M  b  a  , a  b
a
Th.5 Теорема о среднем.
m  f ( x)  M
b
1
m
f ( x )dx  M
b  a a
19. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
b
Th.
 f  x  dx,
f  x   í åï ðåðû âí à í à [ a, b]
a
x   t 
a       t  ,  '  t  , f   t   í åï ð.í à  ,  
b    

b
 f  x  dx   f  t  ' t  dt
a
 f  x  dx  F  x   C.
 f   t  '  t  dt  F  t   C
b
 f  x  dx  F  b   F  a 
a

 f  t  ' t  dt  F      F     F b   F  a 
Интегрирование по частям.
b
b
b
 u  v ' dx   u dv  uv a   v du
b
a
a
a
20. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка c   a, b  такая, что
b
 f  x  dx  f  c    b  a 
a
b
По формуле Ньютона-Лейбница имеем

f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  , где F '  x   f  x 
b
a
Применим
теорему
Лагранжа
о
F  b   F  a   F '  c   b  a   f  c   b  a 
конечном
приращении
функции,
b
1


f  x  dx называется средним значением функции на отрезке [a,b]
Число f c 
b  a a
b
m
1
f  x  dx  M
b  a a
21. Площади плоских фигур. Длина дуги кривой.
получим
1.1 Площадь фигуры в прямоугольных координатах.
b
Q  S   f  x  dx для криволинейной трапеции, ограниченной f(x) и осью Ox
a
b
Q  S    f1  x   f 2  x  dx для фигуры, ограниченной сверху f1(x), а снизу f2(x)
a
b
Q  S   f  x  dx для функций в духе синуса.
a
1.2 Площадь фигуры, заданной параметрически
 x   t 
y  f  x  
 y   t 
b
b
t2
a
a
t1
S   f  x  dx   y dx     t   '  t  dt
1.3 Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
Сектор ограничен непрерывной линией      и двумя лучами    ,   

1
S    2   d
2
2.1 Длина дуги в прямоугольных координатах
 y 
dl  x 2  y 2  1    x
 x 
2
b
L   1   f '  x   dx
2
a
2.2 Длина дуги, заданной параметрически
 x   t 
L:
 y   t 
t1  t  t2
2
t
2
2
2
 y'
1    dx    x '   y ' dt
 x' 
t1
b
L
a
2.3 Длина дуги в полярных координатах
L :      , 1    2
 x   cos 

 y   sin 
2
2
 dx 
 d     'cos    sin  


2
2
 dy 
 d     'sin    cos  


2
2
 dx   dy 
2
2
 d    d     '  

 

L
2


1
 '2   2 d
22. Объемы тел
1.Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
1.1 Через произвольную точку x   a, b  проведем плоскость, перпендикулярную Ох.
Обозначим площадь сечения тела этой плоскостью S(x). Считаем ее известной и непрерывно
изменяющейся. Через v(x) обозначим объем тела левее плоскости, на отрезке [a,x] он является
функцией x.
1.2 найдем дифференциал dV функции v=v(x). Это элементарный слой, заключенный между
плоскостями x и x  x , то есть цилиндр площадью S(x) высотой dx, dV  S  x  dx
b
1.3 V   S  x  dx.
a
2. Объем тела вращения.
Пусть
вокруг
Ох
вращается
криволинейная
трапеция,
ограниченная
y  f ( x)  0, a  x  b, x  a, x  b . Сечение этой фигуры – круг радиуса y  f ( x) , следовательно
S ( x)   y 2
b
Vx    y 2 dx
a
23. Приближенное значение определенного интеграла.
1. Метод прямоугольников.
ba
 a, b  , n, x 
n
y0  f  x0  , y1  f  x1  ,..., yn  f  xn 
S1  x  y0 ; Sn  x  yn1
b
1 S1  x  y0  y1  ...  yn 1  , S1   f ( x)dx
a
b
1' S2  x  y1  y2  ...  yn  , S2   f ( x)dx
a
(1) и (1') – формула прямоугольников
b
1
2
1''  f ( x)dx  S  S
2
a
2. Формула трапеций.
y y
y y
y y
S1  x 0 1 , S 2  x 1 2 , ..., S n  x n 1 n
2
2
2
b  a  y0  yn

S
  y1  y2  ...  yn 1  

n  2

3. Формула парабол (формула Симпсона)
a, b , n  2m,  x0 ; x1  ,  x1; x2 
y  Ax 2  Bx  C
Лемма Площадь трапеции, ограниченной параболой Ax 2  Bx  C S 
h
 y0  4 y1  y2 
3
y0  y  h   Ah 2  Bh  C
h
y1  y  0  
C  S   2 Ah 2  6C 
3
y2  y  h   Ah 2  Bh  C
h
 x3

x2
h


S   Ax  Bx  C dx   A  B  Cx    2 Ah 2  6C 
2
 3
 h 3
h
h
2
x2
 f ( x)dx 
x0
x4
 f ( x)dx 
x2
x
 y0  4 y1  y2 
3
x
 y2m2  4 y2m1  y2 m 
3
b
 f ( x)dx  x  y
0
 y2 m  2  y2  y4  ...  y2 m 2   4  y1  y3  ...  y2 m 1  
a
24. Функции нескольких переменных: предел функции, непрерывность, частные
производные.
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x,y). Соответствие f, которое каждой
паре чисел  x, y   D сопоставляет одно и только одно число z  , называется функцией двух
переменных, определенной на множестве D со значениями в
, и записывается в виде
z  f  x, y  или f : D 
Предел функции.
lim f  x; y   A    0      
xyab
 : 0    
2
2
   x  a   y  b
f  x, y   A  
lim f  M   A, M 0  a, b  , M  x, y 
M M 0
Непрерывность.
z  f  x, y  - непрерывна в  x0 , y0   lim f  M   f  M 0 
M M 0
1) функция определена в самой точке и вблизи нее
2) существует предел при M  M 0 произвольным образом
3) предел функции существует
функция, непрерывная в каждой точке области, непрерывна на всей области
Частные производная.
 f  x  x; y   f  x; y   - частная производная первого порядка
z
 z x'  lim
x 0
x
x
2
  z   z
 z xx''  f x''2  x, y  - частная производная второго порядка
 
x  x  x 2
  z   2 z

 z xy''  f xy''  x; y  - смешанная ЧП второго порядка


x  y  y x
Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного
порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
Докажем для производных второго порядка.
Рассмотрим   x   f  x, y  y   f  x, y 
A    x  x     x    f  x  x, y  y   f  x  x, y    f  x, y  y   f  x, y  
 x   '  x   x  f x'  x, y  y   f x'  x, y    x  y  f xy''  x, y 
ï î òåî ðåì å Ëàãðàí æà
x  x  x  x
A   f  x  x, y  y   f  x  x, y    f  x, y  y   f  x, y     y  y    y  
 y  y'  y   y  f y'  x  x, y   f y'  x, y   y  x  f yx''  x, y 
f xy''  x, y   f yx''  x, y 
lim f xy''  x, y   lim f yx''  x, y   f xy''  x, y   f yx''  x, y 
x 0
y 0
x 0
y 0
25. Полный дифференциал функции.
Функция называется дифференцируемой в точке M  x, y  , если ее полное приращение в этой
точке
z  f  x  x; y  y   f  x; y 
можно
представить
в
виде
z  A  x  B  y    x    y , где     x, y   0,     x, y   0 при x  0, y  0
. Первые два слагаемых – главная часть приращения функции. Главная часть приращения
функции z  f  x; y  , линейная относительно x è y , называется полным дифференциалом
этой функции и обозначается символом dz : dz  A  x  B  y . Частные дифференциалы для
независимых переменных полагаются A  x  Adx, B  y  Bdy , поэтому dz  Adx  Bdy
Th. Если функция дифференцируема в точке M  x; y  , то она непрерывна в этой точке, имеет в
z
z
 A,  B (обратное неверно)
ней частные производные, причем
x
y
Доказательство:
Т.к. функция дифференцируема в М, то lim z  0 , функция непрерывна в М. Положим
x 0
y 0
y  0, x  0 , тогда  x z  A  x    x,
x z
 z
z
 A   , lim x  A,
A

x

0
x
x
x
z
z
x  y   ,     x    y  0 при x  0, y  0
x
y
z
z
dz  dx  dy
x
y
y
y
y
dx1 
dx2  ... 
dxn
Для функции n переменных y  f  x1 , x2 ,..., xn  dy 
x1
x2
xn
26. Дифференцирование сложных функций.
Если z  f  x, y  - дифференцируемая в точке M  x; y   D функция и x  x  t  , y  y  t  дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции
dz z dx z dy
    .
z  t   f  x t  ; y t   вычисляется по формуле
dt x dt y dt
Дадим независимой переменной t приращение t , тогда x  x  t  , y  y  t  получат приращения
x, y , которые вызовут z . По условию функция дифференцируема в М, поэтому
z
z
z   x   y  x  y , где  ,   0 ï ðè x, y  0 . Разделим на t и перейдем к
x
y
z 
пределу при t  0 , тогда x, y  0 в силу непрерывности (т.к. дифференцируемы по
условию).
z z
x z
y
x
y
lim
  lim
  lim
 lim   lim
 lim   lim
t 0 t
x t 0 t y t 0 t t 0 t 0 t t 0 t 0 t
dz z dx z dy
dx
dy
     0  0
dt x dt y dt
dt
dt
dz z z dy
  
Частный случай z  f  x, y  , y  y ( x),
dx x y dx
27. Дифференцирование неявных функций.
Пусть функция z  f  x, y  задана неявно, уравнением F  x, y, z   0 . Подставим вместо z
f(x,y), получим тождество F  x, y, f  x, y    0

F F z
F  x, y , f  x, y   

 0
x
x z x

F F z
F  x, y , f  x , y   

 0
y
y z y
Fy'
Fx' z
z
 ',
  ' ,  Fz'  0 
x
Fz y
Fz
28. Производная в данном направлении и градиент функции.
u  u  x, y, z  , M  x, y, z  , M 1  x  x, y  y, z  z 
 x 
2
2
2
 
MM 1   y  , S  S  MM 1   x    y    z 
 z 
 
 cos  
T

  x y z 
0
S   cos    
,
,

 cos    S S S 


cos2   cos2   cos 2   1
Def. производной по направлению S называется
u
u
u
x  y  z   1x   2 y   3z
u
u
x
y
z
 lim
 lim

S S 0 S S 0
S
u
u
u
 cos   cos   cos 
x
y
z
u u

x S  0  
2
Градиент функции.
В каждой точки области D, в которой задана u  x, y , z  определим вектор grad u , проекции
u
u
u
i   j   k
которого совпадают с частными производными. grad u 
x
y
z
Теорема о связи градиента и производной по направлению.
u
 Ï ðS grad u
S
S 0   cos  ,cos  ,cos  
T
 grad u, S   u  cos   u  cos   u  cos   grad u  S
0
x
y
z
0


 cos grad u, S 0  Ï ðS grad u
1
u
S
Следствие 1. Производная в данной точке по направлению S имеет наибольшее значение, если
направление S совпадает с направлением градиента.
Следствие 2. Производная в данной точке по направлению S  grad равна нулю.
29. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть функция z  f  x, y  дифференцируема в точке
 x0 , y0 
некоторой области D 
2
.
Рассечем поверхность S плоскостями x  x0 , y  y0 . Плоскость x  x0 пересекает S по линии
z0  y  ,
уравнение
M 0  x0 , y0 , f  x0 , y0    z0  y .
которой
В
силу
получаем
подстановкой
дифференцируемости
в
точке
x0 â z  f  x, y  .
M0
функция
дифференцируема также и в y  y0 , поэтому в этой точке в плоскости x  x0 к кривой можно
провести касательную l1 . Аналогично для y  y0 . Касательные l1 è l2 определяют касательную
плоскость, её уравнение: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 или z  z0  A1  x  x0   B1  y  y0 
Найдем A1 , B1 . Уравнения касательных имеют вид:
z  z0  f y'  x0 , y0    y  y0  , x  x0
z  z0  f x'  x0 , y0    x  x0  , y  y0
Т.к. касательная l1 лежит в плоскости, координаты ее точек удовлетворяют уравнению.
 z  z0  f y'  x0 ; y0  y  y0 

 x  x0

 z  z0  A1  x  x0   B1  y  y0 
Отсюда имеем B1  f y'  x0 , y0  , аналогично для касательной l2. Таким образом, уравнение
плоскости принимает вид z  z0  f x'  x0 , y0  x  x0   f y'  x0 , y0  y  y0 
Прямая, проходящая через М0 и перпендикулярная касательной плоскости называется
нормалью. Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости имеем уравнение
x  x0
y  y0
z  z0
нормали: '
 '

f x  x0 , y0  f y  x0 , y0 
1
Если поверхность задана уравнением F  x, y, z   0 , то уравнение касательной принимает вид
Fx'  x0 , y0  x  x0   Fy'  x0 , y0  y  y0   Fz'  x0 , y0  z  z0   0 ,
x  x0
y  y0
z  z0
.
 '
 '
'
Fx  x0 , y0  Fy  x0 , y0  Fz  x0 , y0 
а
уравнение
нормали
30. Формула Тейлора для функции нескольких переменных (без вывода).
Если функция z  f  x, y  имеет в некоторой окрестности точки  x0 , y0  непрерывные частные
производные до n+1 порядка включительно, то для любой точки
справедлива Тейлора n-го порядка:
k
1

 
f  x, y   f  x0 , y0      x  x0    y  y0   f  x0 , y0   o   n  ,
x
y 
k 1 k ! 
n
 x, y 
из окрестности
где  
 x  x0    y  y0 
2
2
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 


 
  y  y0 
  x  x0    y  y0   f  x0, y0    x  x0 
x
y 
x
y

2
2
 2 f  x0 , y0 


 
2  f  x0 , y0 
2  f  x0 ,
x

x

y

y
f
x
y

x

x

2
x

x
y

y

y

y

 0 

0
0
0
0
0

  0, 0  
x
y 
x 2
xy
y 2

Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена
f  0, 0 
f  0, 0 
 2 f  0, 0  2  2 f  0, 0 
 2 f  0, 0  2
f  x, y   f  0, 0  
x
y
x

xy

y  o2 
x
y
x 2
xy
y 2
31. Экстремум функции нескольких переменных.
Пусть функция z  f  x, y  определена в области D, точка N  x0 , y0   D .
2
Точка  x0 , y0  называется точкой максимума, если существует такая  -окрестность точки, что
для каждой точки (x,y), отличной от (x0,y0), из этой окрестности выполняется
f  x, y   f  x0 , y0  . Аналогично для минимума. Значение функции в точке максимума
(минимума) называется соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и
минимум называют экстремумами. Они имеют локальный характер.
Th. Необходимые условия экстремума. Если в точке N  x0 , y0  дифференцируемая функция
z  f  x, y  имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю.
Зафиксируем
y  y0 . Имеем
f  x, y0     x  , которая имеет экстремум при
x  x0 .
Следовательно,  '  x0   0, ò.å. f x'  x0 , y0   0 . Аналогично для f y'  x0 , y0 
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна ЧП не существует.
Точки, где f x'  f y'  0 , называются стационарными. Стационарные точки и точки, где хотя бы
одна ЧП не существует, называются критическими.
Th. Достаточное условие экстремума. Пусть в стационарной точке  x0 , y0  и ее некоторой
окрестности функция f  x, y  имеет непрерывные ЧП до второго порядка включительно.
Вычислим в точке  x0 , y0  значения A  f xx''  x0 , y0  , B  f xy''  x0 , y0  , C  f yy''  x0 , y0  . Обозначим
A B
 AC  B 2 . Тогда:
B C
1. если   0 , то функция в точке имеет экстремум, если A  0 , то максимум, если A  0 , то
минимум
2. если   0 , то экстремума в точке нет
3. если   0 , то необходимы дополнительные исследования.

32. Отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Пусть функция z  f  x, y  определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D .
Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего значений (т.н.
глобальный экстремум). Эти значения достигаются либо внутри области D , либо на границе.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения дифференцируемой о области D
функции z  f  x, y  выглядит так:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции
в них.
2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать M и m.\
33. Числовой ряд: основные понятия. Расходимость гармонического ряда.
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

u
n 1
n
 u1  u2  ...  un  ... (назовем его ряд 1) где u1 , u2 ,..., un ,... — действительные или
комплексные числа,
называемые членами ряда, un — общим членом ряда.
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда un , выраженный как функция его
номера n : un  f  n 
Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S n ,
т. е. Sn  u1  u2  ...  un .
если существует конечный предел S= lim S n последовательности
n
частичных сумм ряда, то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Записывают S=  u n , если
n 1
не существует или
lim S n
n
lim S n   то ряд называют
n 
расходящимся.
Необходимый признак сходимости: lim un  0
n 
Свойство 1. Если ряд 1 сходится и его сумма равна S, то ряд

 cu
n 1
n
также сходится и его сумма
равна cS. Доказывается элементарно. Если ряд 1 расходится, то и этот ряд расходится.
Доказывается от противного.
Свойство 2. Если ряд 1 сходится и ряд

 vn , то сходятся и ряды
n 1

 u
n 1
n
 vn  , причем их
суммы равны Su  Sv .
Свойство 3. Если к ряду 1 прибавить или отбросить конечное число членов, то ряд 1 и
полученный ряд сходятся или расходятся одновременно.
Обозначим сумму отброшенных членов S, максимальный номер k. Отброшенные члены
примем равными нулю. При n>k S n  S n'  S , lim Sn  S  lim Sn' , т.е. пределы либо
n
n
одновременно существуют, либо одновременно не существуют.
Достаточное условие расходимости ряда. Если lim un  0 или не существует, то ряд
n 
расходится.
Рассмотрим гармонический ряд

1
1
 n . lim n  0 , однако ряд расходится. Покажем это.
n 1
n 
n
 1
lim 1    e ,
n  
n
поэтому
при
1
n 1 1
 1
 1
n  1    e, n ln 1    1,  ln
,  ln  n  1  ln  n  Подставим n  1, 2,.., n
n
n n
 n
 n
1  ln 2
1
 ln 3  ln 2
2
1
 ln  n  1  ln  n 
n
n
любом
Сложим их, получим S n  ln  n  1 . Т.к. lim ln  n  1   lim Sn   , т.е. гармонический ряд
n
n
расходится.
34. Признаки сравнения сходимости числового ряда.
1. Пусть даны 2 знакоположительных ряда

u
n 1

n
è
v
n
n 1
. Если все vn  un , то из сходимости
второго ряда вытекает сходимость первого, из расходимости первого следует расходимость
второго.
 
 
 
 
 
Snu  Snv . Пусть ряд 2 сходится, имеет сумму S2. lim Snv  S2 , Snv  S2 , Snu  S2 . Т.о.
n 
u 
1
u 
2
последовательность S , S ,..., S
u 
n
 
монотонно возрастает и ограничена  lim Snu  S1 , т.е.
n 
ряд сходится.
 
 
Пусть теперь ряд 1 расходится. Тогда lim Snu    lim Snv   , т.е. ряд 2 расходится.
n 
n 
2. Предельный признак сравнения. Пусть даны 2 знакоположительных ряда, если существует
u
конечный предел lim n  A  0 , то ряды сходятся или расходятся одновременно.
n  v
n
По определению предела для всех n, кроме может быть конечного их числа, справедливо

un
 A   или  A    vn  un   A    vn . Если ряд 1 сходится, то сходится и ряд   A    vn .
vn
n 1
Тогда по свойству 1 сходится и ряд 2.
Если ряд 1 расходится, то расходится и ряд

 A   v
n 1
n
, тогда по свойству расходится и ряд
2. Если сходится-расходится ряд 2, то все аналогично.
35. Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами существует конечный или бесконечный предел
u
lim n 1  l тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1 при l=1 ничего про сходимость
n  u
n
ряда сказать нельзя.
Доказательство: так как предел существует, то
u
u
  0 N : n  N n 1  l   èëè l    n 1  l  
un
un
u
2
при l<1 подберем l    q  1 : n 1  q  1 т.е. u n1  qu n следовательно u n  2  qu n 1  q u n
un
n 1
=> u n  qu n  q u1 т.е. каждый член исходного ряда меньше соответствующего члена
геометрической прогрессии. По признаку сравнения так как геометрическая прогрессия с
0  q  1 сходится то сходится и исходный ряд.
u
при l>1 имеем: начиная с некоторого N выполняется n 1  1 , т.е. un бесконечно возрастает,
un
т.е. lim un  0 , следовательно ряд расходится.
n 
Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит n !èëè a n .
36. Признак Коши.
Дан ряд с положительными членами. Если существует конечный предел
l  1  ðÿä ñõî äèòñÿ

lim n un  l  1  ðÿä ðàñõî äèòñÿ
n 
l  1  í åî áõî äèì û äî ï î ëí èòåëüí û å èññëåäî âàí èÿ

Доказательство.
А) n  N , n un  q  1  un  q n
Составим новый ряд u N  u N 1  ... 1' 
Каждый член ряда (1') меньше членов ряда представленной бесконечно убывающей ГП, по
признаку сравнения (1') сходится, тогда по свойству сходящихся рядов (1) тоже сходится.
Б)Пусть n un  1  un  1  lim un  0  1 расходится.
n 
37. Интегральный признак сходимости.
Если члены знакоположительного ряда

u
n 1
n
(2) могут быть представлены как числовые
значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;+∞) функции f(x)

так, что u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, то если сходится (расходится) интеграл
 f ( x)dx
1
сходится, то сходится(расходится) и ряд (2)
Доказательство:
рассмотрим криволинейную трапецию,
ограниченную сверху графиком функции y=f(x),
основанием которой служит отрезок оси Ox от
x=1 до x=n, строим входящие и выходящие
прямоугольники, основаниями которых служат
отрезки[1;2], [2;3] … [n-1;n] … Учитывая
геометрический смысл определенного
интеграла, запишем:
n
f (2)  1  f (3)  1  ...  f (n)  1   f ( x)dx  f (1)  1  f (2)  1  ...  f (n  1)  1
1
n
n
Или u 2  u 3  ...  u n   f ( x)dx  u1  u 2  ...  u n 1 т.е. S n  u1   f ( x)dx  S n  u n
1
1

Случай когда несобственный интеграл
n
 f ( x)dx =A>  f ( x)dx
1
сходится, то получаем
1
S n  u1  A  S n  A  u1 так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и
ограничена сверху числом (A+u1), то по признаку существования придела имеет придел
следовательно ряд сходится.
Пусть

n 1
1
1
 f ( x)dx - сходится, тогда 

f ( x)dx 

f ( x)dx . Частная сумма Sn ограничена, но
1
вместе с тем возрастает. Если интеграл расходится, то сумма возрастает неограниченно.


Замечание: вместо интеграла

1
f ( x ) dx можно брать
 f ( x)dx где k >1
k
Ряд

1
n
n 1
p
, p
называется обобщенным гармоническим рядом.
a
 1
a
, p 1
 a1 p
dx
dx
x1 p
1  
p

1
, т.о. ряд расходится при p  1 ,

lim

lim

lim





1 x p a 1 x p a 1  p a  1  p 1  p 
1
, p  1

сходится при p  1 .

38. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Признак сходимости знакопеременных
рядов.
Ряд вида

  1
n 1
n 1
un называется знакочередующимся.
Признак Лейбница – достаточный. Знакопеременный ряд сходится, если последовательность
абсолютных величин членов ряда монотонно убывает и предел общего члена равен нулю. При
этом сумма S удовлетворяет 0  Sn  u1
Пусть n  2m, S2 m   u1  u2    u3  u4   ...   u2 m1  u2 m   0
0
0
S2m  u1   u2  u3   ...   u2 m2  u2 m1   u2 m  u1
0
0
0
 lim S2 m  S
m 
S2 m1  S2 m  u2 m1
lim S 2 m 1  S  0  S
m 
lim Sn  S , ряд сходится при четных и нечетных n.
n 
Замечание: при подсчете суммы знакочередующегося ряда погрешность получаемая
отбрасыванием n+1 члена не превосходит его по величине. Доказательство очевидно –
отбрасываемый ряд подчиняется теореме Лейбница.
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и
положительные величины.
Достаточный признак сходимости.
Дан знакопеременный ряд (1). Если ряд u1  u2  ...  un  ... (2) сходится, то сходится и
исходный ряд.
 
 
 
 
Sn  Sn1  Sn2 ,  n  Sn1  Sn2
 ï î ëî æ
 î ò ðèö
lim  n   , Sn1   0, Sn2   0, âî çðàñòàþ ò
 
 
n 
 
 
 
 
Sn1   , Sn2     lim Sn1 è lim Sn2   lim Sn , ч.т.д.
n 
n 
n 
Следует отметить, что доказанная теорема является только достаточным признаком
сходимости знакопеременных рядов, но не необходимым. Существуют ряды, которые сами
сходятся, а ряды из абсолютных величин их членов не сходятся.