Lekciya15

Лекция 15
Задача двух тел. Движение в центральном поле. Общие свойства движения в центральном
поле. Вырождение по проекции и случайное вырождение. Уравнение для радиальной волновой функции. Классификация стационарных состояний дискретного спектра в центральном поле
Рассмотрим систему двух частиц. Гамильтониан имеет вид:
2
2
2
2
pˆ
pˆ
Hˆ (r1 , r2 ) = 1  2  U (| r1  r2 |) = 
1 
 2  U (| r1  r2 |)
2m1 2m2
2m1
2m2
(1)
где 1 - дифференцирование по координатам первой частицы,  2 - дифференцирование по координатам второй частицы. Перейдём от координат первой и второй частицы к координате центра инерции и относительному расстоянию между частицами:
R=
m1r1  m2 r2
;
m1  m2
r = r1  r2
(2)
С помощью простейших преобразований убеждаемся, что гамильтониан системы в новых
переменных имеет вид:
Hˆ ( R, r ) = 
2
2(m1  m2 )
R 
2
 r  U (r ) = Hˆ ц.и. ( R)  Hˆ отн.дв. (r )
2
(3)
где
=
m1m2
m1  m2
(4)
Первое слагаемое формулы (3)
Hˆ ц.и. ( R) = 
2
2(m1  m2 )
R
(5)
это гамильтониан свободной частицы с массой M = m1  m2 . Он описывает свободное движение
центра инерции двух частиц (движение частиц как целого) и зависит только от координат центра инерции. Второе слагаемое
Hˆ вн.дв. (r )  
2
2
 r  U (r )
(6)
описывает относительное движение взаимодействующих частиц. или, что тоже самое, движение
частицы с массой  во внешнем поле. Так же как и в классической механике величина  (4)
называется приведенной массой двух частиц.
1
Благодаря тому, что гамильтониан системы представляет собой сумму двух слагаемых, одно из которых действует только на R , второе – на r , его собственные функции будут произведениями (r1 , r2 ) = ц.и. ( R) отн.дв. (r ) , причем собственными функциями движения центра инерции будут являться решения свободного уравнения Шредингера, то есть плоские волны:
( R) = e
i
KR
(7)
где K - произвольный действительный вектор.
Для функций относительного движения имеем, переходя в систему отсчёта, где центр
инерции покоится:
2



  U (r )   (r )  E  (r )

 2

(8)
Гамильтониан не зависит от какого-то выделенного направления, поэтому вращение системы вдоль какой-либо из осей не будет менять гамильтониан. Поэтому:
 Lˆi , Hˆ  = 0 , следовательно, и


 Lˆ2 , Hˆ  = 0


(9)
В справедливости коммутационных соотношений (9) можно убедиться и непосредственно
с помощью явных выражений операторов проекций момента в сферических координатах. При
этом достаточно, конечно, вычислить коммутатор гамильтониана с оператором только одной
проекции – по отношению к центральному гамильтониану все проекции равноправны.
Из этих коммутационных соотношений можно сделать ряд общих выводов относительно
решений уравнения на собственные функции оператора Гамильтона.
1.
Поскольку операторы Гамильтона, квадрата момента и его проекции на любую
ось коммутируют, они имеют полную систему общих собственных функций.
2.
Поскольку операторы проекций момента на различные оси не коммутируют друг
с другом, дискретные собственные значения оператора Гамильтона (уровни энергии)
должны быть вырождены: одному собственному значению энергии должны отвечать
несколько разных собственных функций, отвечающих различным собственным значениям оператора Lˆ z (или Lˆ x , или Lˆ y ). Такое вырождение уровней энергии в центральном
поле называется вырождением по проекции момента.
3.
Различным дискретным собственным значениям оператора Гамильтона (уровням
энергии) отвечают собственные функции с различными собственными значениями оператора L̂2 (то есть каждый уровень энергии характеризуется определенным моментом).
2
Однако в некоторых центральных полях (это зависит уже от конкретной зависимости
U (r ) ) возможна ситуация, когда энергии уровней с различными моментами совпадают
(например, кулоновском поле или трехмерном изотропном осцилляторе). Такое вырождение по моменту часто называют «случайным», причем слово «случайное», как правило, берут в кавычки. Это связано с тем, что причин для такого вырождения, на первый
взгляд, нет (поэтому слово - случайное), но, они, конечно, для каждого потенциала существуют (поэтому кавычки - «…»).
Ну а теперь давайте рассмотрим стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральносимметричном поле, не конкретизируя вид потенциальной энергии, и исследуем общие
свойства решений этого уравнения. Будем искать решения дифференциального уравнения (8) в
виде произведения функций, зависящих отдельно от r и от  ,   (r , ,  )  f (r ) g ( ,  ) . Подставляя это выражение в уравнение (8), получим

f


 g  r f  2  , g   U (r ) fg  Efg
2 
r

2
(10)
где  r и  , - радиальная и угловая части лапласиана. Разделим уравнение (10) на произведение fg и умножим на 2 r 2 , получим
 2 r 2 r f (r )  2r 2 U (r )  E  f (r )   2 , g (,  )
(11)
Правая часть уравнения (11) зависит только от углов, левая - только от модуля радиуса-вектора.
Поэтому для того, чтобы равенство (11) удовлетворялось необходимо, чтобы и правая и левая
части (11) равнялись бы некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную (которая имеет размерность квадрата постоянной Планка) как
 , где  - некоторое безразмерное число. Тогда
2
функции f ( r ) и g ( ,  ) удовлетворяют уравнениям
 r f (r ) 
2

2 

U
(
r
)

 E  f (r )  0
2 
2
2 r


 , g ( ,  )   g ( ,  )
Уравнение (13) с точностью до множителя
(12)
(13)
2
совпадает с уравнением на собственные
значения и собственные функции оператора квадрата момента импульса, причем число  с точностью до множителя совпадает с собственным значением оператора L̂2 . В предыдущей главе
показано, что конечные решения уравнения (13) существуют только для чисел   l (l  1) , где
l  0,1, 2... - целое неотрицательное число. Каждому значению   l (l  1) отвечают 2l  1 раз-
3
личных ограниченных решений g ( ,  ) , которые можно выбрать так, чтобы они одновременно
являлись и собственными функциями оператора проекции момента импульса Lˆ z на ось z :
Lˆz g ( ,  )  m g ( ,  )
(14)
отвечающими собственным значениям m  l ,  l  1, ... l  1, l . Такими решениями уравнений
(13), (14) являются сферические функции Ylm ( ,  ) . Таким образом, в качестве угловой части
решений уравнения (8) всегда можно выбрать сферические функции, и, следовательно, собственные функции оператора Гамильтона частицы в центральном поле можно выбрать так, чтобы они описывали состояния с определенными значениями момента импульса и его проекции
на ось z . (Конечно, решения можно выбрать и по-другому. Любая линейная комбинация решений разными m также будет собственной функцией операторов Гамильтона и квадрата момента, но не будет собственной функцией оператора Lˆ z ). При этом радиальная часть решений f ( r )
уравнения (8) должна быть найдена из уравнения (12) с   l (l  1) , то есть из уравнения
 r f (r ) 
2

2 
l (l  1)
U
(
r
)

 E  f (r )  0
2 
2
2 r


(15)
причем необходимо перебрать все возможные значения l . Из этого же уравнения и условия
ограниченности решения f ( r ) должно быть определено и собственное значение E . Таким образом радиальная функция f ( r ) и собственная энергия E определяются разными уравнениями
для разных значений l , то есть, вообще говоря, зависят от l : f (r )  fl (r ) , E  El . При этом от
значения проекции момента m эти величины не зависят ( m не входит в уравнение (15), то есть
уровни энергии вырождены по проекции момента.
Рассмотрим уравнение (15) для некоторого фиксированного значения момента l . Перейдем в этом уравнении к новой неизвестной функции l (r )  rf (r ) . Подставляя функцию  l (r ) / r
в уравнение (15), получим уравнение для функции  l (r ) :
l(r ) 
2
2 
l (l  1) 
E  U (r ) 
  l (r )  0
2 
2 r 2 

(16)
Уравнение (16) для функции  l (r ) совпадает с одномерным уравнением Шредингера для частицы, движущейся в «одномерном» потенциале
U эфф (r )  U (r ) 
l (l  1)
2 r 2
2
4
(17)
определенном при r  0 и называемом «эффективным потенциалом» (отметим, что аналогичная
добавка к центральному потенциалу возникает и в классической механике и называется центробежным потенциалом). Кроме того, уравнение (16) надо дополнить граничным условием:
l (r  0)  0 , которое следует из условия конечности решения  (r , ,  )  f (r )Yl ,m ( ,  ) при
r  0 , и которое в одномерной задаче возникало бы, если бы эффективный потенциал при r  0
имел бесконечно высокую стенку.
Одномерное уравнение Шредингера было подробно исследовано ранее. Воспользуемся
результатами этого исследования. Пусть U (r  )  0 . Тогда при E  0 уравнение (16) для
любого l имеет непрерывный спектр собственных значений E , причем каждому собственному
значению E отвечает единственное (с точностью до множителя) решение  El (r ) . Поэтому для
каждого значения E  0 уравнение (16) имеет бесконечное множество ограниченных решений
 Elm (r , ,  ) 
 El (r )
r
Ylm ( ,  )
(18)
где l  0, 1, 2, ... , для каждого l - m  l ,  l  1, ... l  1, l , а функция  El (r ) для каждого значения
E удовлетворяет уравнению (16). Поскольку функции  Elm являются и собственными функци-
ями операторов L̂2 и Lˆ z , то в состоянии, описываемом волновой функцией  Elm , энергия, квадрат момента и его проекция на ось z имеют определенные значения.
Рассмотрим теперь случай, когда E  0 . Как было показано ранее, в этом случае ограниченные решения одномерного уравнения (16) могут существовать только при дискретных значениях E , причем для этого потенциальная энергия должна представлять собой достаточно
глубокую «яму»; в противном случае дискретные собственные значения могут не существовать
вовсе. Поскольку для каждого значения момента l дискретные собственные значения и отвечающие им радиальные функции  l (r ) определяются из решения разных уравнений, для каждого
значения l существует своя система собственных значений El и собственных функций  l (r )
(причем каждому такому собственному значению El отвечает единственное ограниченное решение  l (r ) ). Перенумеруем эти собственные значения и соответствующие им собственные
функции для каждого l (начиная с наименьшего собственного значения) целым индексом
nr  1, 2, 3, ... , (иногда нумеруют, начиная с nr  0 ) который называется радиальным квантовым
числом. Таким образом, все дискретные собственные значения и радиальные функции зависят
от двух индексов E  Enr l ,  (r )   nr l ( r ) - индекс момента l определяет уравнение, из которо5
го находятся собственные значения и радиальные функции, а радиальное квантовое число nr
нумерует решения уравнения с фиксированным l в порядке возрастания энергии (отметим, что
согласно осцилляционной теореме радиальное квантовое число определяет число узлов функции  nr l ( r ) , включая и узел при r  0 ). При этом может оказаться, что уравнение (16) для некоторых значений l вообще не имеет дискретных собственных значений (это зависит от потенциала U (r ) ). В этом случае уровни энергии Enr l с таким значением момента в данном потенциале
отсутствуют. Поскольку каждому дискретному собственному значению Enr l отвечает единственная радиальная функция  nr l ( r ) , то каждому дискретному собственному значению отвечают 2l  1 различных собственных функций
 n lm (r , ,  ) 
r
 n l (r )
r
r
Ylm ( ,  )
(19)
отличающихся друг от друга проекцией момента на ось z , то есть имеет место вырождение
уровней энергии по проекции момента m , о котором говорилось выше. Часто состояния с одинаковыми квантовыми числами nr и l , но разными m часто называют мультиплетом состояний.
Так как дискретные собственные значения Enr l для разных значений l определяются из
решения разных радиальных уравнений, то совпадение энергий состояний с различными l (или,
как говорят, вырождение уровней энергии по моменту), вообще говоря, не имеет места. Тем не
менее для некоторых потенциалов (например, для кулоновского поля притяжения или трехмерного изотропного осциллятора) может оказаться, что энергии состояний с различными l совпадают. Такое вырождение называют «случайным» (о нем уже говорилось выше), поскольку собственные значения Enr l для различных значений l определяются из независимых уравнений.
Ясно, однако, что точного совпадения двух абсолютно несвязанных величин быть не может, и,
следовательно, существуют причины, почему именно для этих потенциалов совпадают на первый взгляд несвязанные величины. Поэтому слова «случайное вырождение по моменту», как
правило, берут в кавычки.
В заключение этой лекции приведем терминологию, которая впервые возникла в атомной
физике и которая широко используется в квантовой механике, атомной и ядерной физике сегодня. Стационарные состояния с l  0 называют s -состояниями, состояния с l  1 - p состояниями, состояния с l  2 - d -состояниями, состояния с l  3 - f -состояниями и далее по
порядку букв латинского алфавита.
6