Шпоры по математическому анализу и алгебре

ее однородной с плотностью распределения массы
1. Понятие n- кратного интеграла.
y  f ( x , x ,..., x )
3. Несобственный интеграл от неограниченной функции.
Пусть ф-я z=f(x,y)- определена,но неограниченна на этом
множестве и пусть точка М(
)это единственная особая
1
2
n - это функция n переменных
Пусть
определенная на мн-ве Ω n-мерного евклидова пр-ва En.
Разложим область Ω сетью гиперповерхностей на элемент l
малой области Ω1,…Ωn с объемами ∆Ω1,…,Ωn выберем в
каждой области Ωi по одной произвольной точки с
координатами (x1,…xn) и составим сумму
x y
0
n
m
   f ( x1,..., xn) i
i 1
 
n
яв-ся ….. точки
n
(1).
Опр. Конечный предел сумма (1) при беспредельном
уменьшении объемов ∆Ωi элмементарный областей Ωi и
беспредельном возрастании числа m элементарных областей
назыв n-кратным интегралом римана от ф-ии
y  f ( x1 , x2 ,..., xn ) по области Ω и обазначается

 .Мно-во
n

М,причем выпол-ся усло-я  >
n
символом 
(v) этот предел не должен
зависеть ни от способа разбиения области Ω ни от выбора
точек х1,…,.хn внутри элементарных областей Ωi . итак
определение несобст-го интеграла по мн-ву
интерграл ( v)= max i i 1
мах область с объемом.
i
D
n 
и
, где Ωmax это будет

y
D  от

обазначения
, где подразумевается что
символ интеграла повторен n раз в случае небольших
разномерностей пр-ва симвролы интеграла явно
выписываются n раз мы будем использовать далее это
обозначения, чтобы явно выделить n-кратные интегралы.
Отнесем область Ω к прямоугольным координатам и
допустим, что элементы объема ∆Ωi получаются путем
разбиения объема всей обл Ω на прямоугольные n-мерные
параллелепипеды со сторонами ∆х1,…,∆хn. Тогда мы можем
записать что ∆Ωi=∆x1,…,∆xn для любого I. Выражение
dΩi=dx1…dxn назыв элем.объема в прямоугольных
координатах, т.о. опр n-кратного интеграла в
прям.декартоввой системе координат примет вид
ва

x1 max 0 i  0
.
- интегрируемы по
2. Несобственные кратные интегралы открытых
множеств.
Пусть Ω  Е n (открытое множесвто в n-мерном евклидовом
пр-ве). Рассмотрим Е n послед.открытых множж. {Ωn}
обладающих след.св-вами: 1.
Vi   ... d  , n  N
n
,т.е. все множители Ωn
ограничены и имеют конечные объемы.2. замыкание каждого
мн-ва послед.содержится в послед.ующих Элемент.последов.
т  т1 . Замыканием множ. Ω нызыв.область Ω вместе с
его границей. 3. Объединение всех множ.последов.дает мн-во
Ω.
y
по множ Ω и обозначают
I n   ... f ( x1,..., xn)d

.
Теорема. Для сходимости несобственного интеграла от неотр
по мн-ву Ω ф-ии y  f ( x1 , x2 ,..., xn ) необх и
достаточно,что бы хотя бы для одной последовательности Ω
открытых мн-в обладающих св-вами 123 была ограничена
числовой последов {In}, где
I n   ... f ( x1,..., xn)d

.
n
1

y  g(x x )
n
1
 g ( x .. x )d следует сход-ть несобс-ного
f ( x .. x )d
инте-ла 
.2) А из расходимости
1
n
1
1
1

n
f ( x1 .. x n )d

f
0
f  f
2
сходится
f ( x .. x ) d
,
f


2
,

f

f


,
 (S)
S  S  S .На
1
2
S выберем произвольную точку
i
i
S  )
i
I n Si , Pi 
Pi
I
- называют пределом интегральных
, при
выполняется нер-во
I S i , Pi )
  0 (lim
 0 n
, если
   , при любом выборе точки
I n Si , Pi   I  
.
n
Если сущ.конечный предел этих интегральных сумм при
  0 , то его называют поверхностным интегралом
первого рода (по площади поверхности) от ф-ции f(x,y,z) по
поверхности (S).
В поверхностном интеграле первого рода от ф-ции f(x,y,z) по
 f x, y, z dS
поверхности (S)- обозначают S
, где dSдифференцируемая площади поверхности. Если существует
 f x, y, z dS
m  S   f x, y, z dS  M  S
S
S
, то ф-ция f(x,y,z)- называется интегрируемой
по поверхности (S).
S i
n
(S i , Pi )  lim
 0
n
 f ( , , 
i
i 1
i
i
)S i
можно вычислить с помощью двойного
S i 

1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy
(  i )
интеграла
( xy )
, где
-проекция поверхности
S i
на плоскость XOY.
Согласно теории о среднем для 2-ого интеграла существует
( x, y )  ( xy )
такая что
S

1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy  1  ( x ( xi , yi )) 2  ( y ( xi , yi )) 2   i .
(  i )
следовательно
, где S- площадь
S i 

1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy  1  ( x ( xi , yi )) 2  ( y ( xi , yi )) 2   i .
(  i )
8) Теорема (о среднем для поверхностного интеграла первого
 f ( x, y, z )ds   f ( x, y),  ( x, y) 
(S )
(
(3)
1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy
xy )
Где
рода)
 i -площадь области ( i ) . Таким образом
n
 f ( , , 
 f ( x, y, z )ds  lim

0
f ( x, y, z ) - непрерывна на поверхности (S),
то найдется такая точка
справедливо рав-во:
P0 ( x0 , y0 , z0 )  ( S ) , что
 f x, y, z dS   f ( x0 , y0 , z0 )dS

P  , , если часть S -масса то можно считать
i
- это диаметр (площади
0
точка с интегралами
7) если m и M соответственно наименьшее и наибольшее
значение ф-ции f(x,y,z) на поверхности (S), то
Если ф-ция
  0,   0 , такое что для любого разбиения
f
 f(x,y,z)   ( x, y, z ) , то
 f x, y, z dS    ( x, y, z )dS
поверхности (S).
точки
и следовательно для функции f(x,y,z) по
поверхности (S) можно записать мно-во различных
di
f ( x , y , z )   ( x, y , z )
6) если всюду на поверхности (S)
i
Pi
поверхности (S) у которого
d
образом,разобьем повер-ть (S)на части
i
S  - площадь части
S2
 f(x,y,z)  0
n
интегральных сумм. Пусть
S1
S
 I n Si , Pi    f Pi   Si
сумм
 ( x, y, z ) . Эту задачу можно решить следующим
i
, где
f x, y, z dS   f x, y, z dS   f x, y, z dS
5) если всюду на поверхности (S) ф-ция f(x,y,z)>0 то
i
n
f
,т.к определению теоремы
(S),если плотность распределения массы в М(x,y,t)
i
. Площадь
S  выберем произвольную точку
f Pi Si  f  yi ,i , i   Si
Док-во :по определению
S
S
(1), где
z   ( x, y ) (2).
4) если поверхность (S) разбита на 2 части S1  и S 2 

1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy
xy )
I
 f ( x, y, z )ds  lim

2
S
n
Pi  yi ,i , i  и вычислим произведение
Определение. Число

f 
.Тогда 0 
, отсяда в неравенстве
f
2
(
(S )
S S ...S  на
имеющих общих внутренних точек
1
(S )
  f1 x, y, z dS   f 2 x, y, z dS
 это
и введем ф-ии
f f
f d
каждой части
(1) , где
1
xy
Теорема: если поверхность S задана уравнением, где
квадрируемая область в плоскости XOY и функция f(x,y,z )
интегрируемая по поверхности S, то справедливо равенство:
 f ( x, y, z )ds   
S
  max d i , где 1  i  n .
схо-ся интеграл 
. Теорема 4. Если
несобствен.интеграл сх-ся , то он сходится абсолютно.
4. Задачи, приводящие к понятию поверхностного
интеграла первого рода.
Пусть (S)- это квадрируемая поверх-ть в прост-ве Оxyz.по
которой распределена масса . Определим массу повех-ти
равна
i
,
  f x, y, z dS  f x, y, z dS  
n
 f  f , по признаку сравн.я сход-ся


 f d  f d


i
i
)   Si
S
3) поверхностный интеграл первого рода от алгебраической
суммы конечного числа ф-ций равен алгебраической сумме
поверхностного интеграла первого рода от этих ф-ций
S  зависит от способа разбиения поверхности (S) и выбора
наз-ся абсолютно

,
( , ,
( )
 c  f x, y, z dS  c
С- const.
S
P
выбору точки i ). Очевидно, что интегральная сумма это
f  f ( x1.. xn)
Док-во:Обозначим,

 f x, y, z dS
i 1
поверхности i 1
- назовем
интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z) по поверхности (S) (
соответствуя данному разбиению поверхности (S) и данному
следует расход-ть
n
1
n
сходящимся ,если сходится
.Теор.3:Если несобственный интеграл сходится абсолютно,то
он сходится.

поверхности интеграла первого рода
i
  , ,   S 
каждой части
Поверхность составлена из нескольких гладких частей
называемых кусочно-гладкой.
где S- площадь поверхности S.
i 1
Пусть (S)- квадрируемая поверхность в пространстве O,x,y,z и
на поверхности (S) задана функция u=f(x,y,z). Разобьем
поверхность (S) произвольным образом на n-частей не
n
 f ( x .. x )d
 g ( x .. x )d .
несоб.
интегралы: 
множ.обладающих св-вами 1,2,3 сущ. Предел I= n и
этот предел не зависит от выбора послед.Ω то его назыв
несобственным интегралом от ф-ии y  f ( x1 , x2 ,..., xn )
f (x x )
1)Из сход-ти несобствен-го интеграла
Опр. Если для любой последовательности {Ωn} открытых
lim In

неравенства эти выполнены в любой точке мн-ва  .,тогда
Опр:
i
i 1
n
1
 , причем 0 
n
 ... f ( x1, x2,..., xn)dx,...dxn  lim  f ( x1...xn)x1...xn
i
i
S
2) постоянный множитель можно выносить за знак
 m 
наибольший из диаметров частей пове-ти S i к
предложенному виду (1) сводится и ряд других задач
математики и физики.
5. Определение поверхностного интеграла первого рода,
условия его существования.
f (x x )
Замечание. Для n-кратного интеграла также используются
 ... f ( x1,...., xn)d
i
m  lim 
D
n
1
n
i
i
i
i
i | будет тем меньше чем
|m - i 1
меньше разбиение повер-ти S ,следует что точное значение
массы повер-ти будет равно
n
Римону на замкнуктом ограниченном подмн-ве открытого мн-

i
n
 f ( x, y)dxdy 
g(x x )
1)
i
i
  , ,   S где S i - это площадь повер-
=D. Тогда
D

 dS  S
, тогда приблеженное значение массы
(S)равна сумме масс ее частей то m=
 0
y
i
i
n
n
Теорема2.:(признаксравнения).Пусть ф-я из n- переменн
m
lim  f ( x1,.., xn)
n 1
n 1 ,
i
i
точки поверхности существует касательная плоскость
нормаль.
6. Свойства поверхностного интеграла первого рода.
ти.Причем разность
U
lim  f ( x, y)dxdy
f ( x1 ,..., xn )d
i
i

неогран.ф-ции z=f(x,y)- примет вид:
i

m   , ,  S .Т.к масса m всей повер-ти
i
0
точка ф-и z=f(x,y) на мно-ве D.Рассмотрим поскость или мно-
 
во D ,где D =D/без
  , ,
S
S
7. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода обычно
производится путём их сведения к двойным интегралам.
Пусть поверхность S задана формулой
z   ( x, y ); ( x, y )  ( xy )
. В этом случае говорят, что
поверхность задана явно, при этом поверхность называется
гладкой, если функция  ( x, y ) имеет непрерывные частные
  ( x, y ),   ( x, y )

y
произведения x
в области
с индексом
x,y. Явным заданием, считается также задание поверхности:
х   ( x, y ); ( x, y )  ( xy )
i
i
)S i  1  ( x ( xi , y i )) 2  ( y ( xi , y i )) 2  i
так как точка
P ( , ,  )
i
i
i
-любая точка области
так, чтобы её координаты были ровны
n
 f (x
 f ( x, y, z )ds  lim

0
(S )
i 1
i,
M (x , y , z )
( i )
условию поверхности S-гладкая значит функций
 y ( x, y )
( xy )
на область
по
 x ( x, y) и
не прерывны в силу равенства (3)
, d  0 при   0 следовательно
n
0
0
0
0
производные
. Точка
поверхности S называется особой , если в этой точки частные
производные функции u=F(x,y,z ) одновременно обращаются
в ноль. Если на поверхности S нет особых ночек , то
поверхность является гладкой . с геометрической точки зрения
гладкости поверхности S означает, что в каждой внутренней
, то выберем её
y i ,  ( xi , y i )  1  ( x ) 2  ( y ) 2  i
. Пусть d-наибольший из диаметров областей
0
. Если поверхность S задана
уравнением F(x,y,z)=0 неразрешённым относительно ни одной
из переменных, то говорят, что поверхность задана неявно .
При этом поверхность называется гладкой, если для её любой
внутренней точки существует такая окрестность, которая
может быть задана явной и является гладкой.
Пусть функция u=F(x,y,z ) имеет не прерывные частные
(S i )
 i  x0 , i  yi ,  i  ( xi , yi ) , тогда получим
 f ( x , y ,  ( x , y )) 
 f ( x, y, z )ds  lim

или
y   ( x, z ), ( x, z )  ( yz )
Fx, Fy , Fz
i
i 1
i 1
i
i
i
i
1  ( x ( xi , y i )) 2  ( y ( xi , y i )) 2  i
которое в свою очередь ровно
 f ( x, y,  ( x, y) 
1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy
 xy
.
Следствие:
1)Если поверхность (S)-это гладкая поверхность задана
уравнениями
x   ( y, z ), ( y, z )  ( yz )
Это квадрируемая область в плоскости YOZ и функция f(x,y,z
) непрерывна на (S), то f(x,y,z)интегрируема по поверхности
(S) и справедливо равенство
 f ( x, y, z)ds   f ( ( y, z ), y, z) 
(S )
(
1  ( y ) 2  ( z ) 2 dydz
yz )
2) если поверхность (S ) это гладкая поверхность задана
уравнениями
y   ( y, z ), ( y, z )  ( yz )
где
( x, z )  ( xz )
поверхность x,z это квадрируемая область
в плоскости XOZ и функция f(x,y,z ) непрерывна на (S), то
f(x,y,z)интегрируема по поверхности (S) и справедливо
равенство
 f ( x, y, z )ds   f ( x,  ( x, z ), z ) 
(S )
(
1  (  y ) 2  (  z ) 2 dxdz
yz )
В каждой области (ΔSi) выберим точку Mi с координатами
(ξi,ηi,ζi). Обозначим через ΔSi(x,y) – площадь поверхности ΔSi
на плоскости xoy, взятую со знаком плюс, если выбрана на (S)
направление нормали в Mi составляющее с осью oz острый
угол, и со знаком минус – в противном случае.
, если поверхность
( )
xy
квадрируемая область в плоскости (XOY) и функция
f(x,y,z) непрерывна на (S), то f(x,y,z) интегрируема на (S).
8. Двусторонние поверхности. Ориентация поверхности.
Определим понятие стороны поверхности. Выберем на
гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладкими
M
0 , и проведём в ней нормаль
контурами) точку
поверхности. Выбрав для неё определённое направление одно
из двух возможных. Проведём по поверхности замкнутый
контур начинающий и заканчивающий в точки M 0 .
Рассмотрим точку М обходящую этот контур и в каждым из её
положений проведём нормаль, того направления в которой
непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки, если
после обхода контура нормаль вернётся в точку
M0
Вычислим произведение R(Mi) · ΔSi(x,y). Сумму
n
I  S i , M i    R( M i )  S i ( x, y )
i 1
- неинтегральная
сумма для функции R(x,y,z) по поверхности S по переменным
x и y (соответствует данному разложению S)
Определение: Число I – называется приделом интегральной
суммы In(ΔSi,Mi) при λ→0, если для любого Е>0 существует
δ>0, такое что для любого разбиения поверхности S у
которого λ<δ при любом выборе точек Mi выполняется
неравенство |In(ΔSi, Mi)-I|<E
Если существует придел интегральной суммы при λ→0, то его
называют поверхностным интегралом 2-го рода R(x,y,z) по
 R( x, y, z )dxdy
поверхности (S) по переменным x и y
.Аналог определяется
M
Определение: Сумму
Например, в случаи двух частей ориентация будет согласована
, если положительное направление движения по общей
S1 и от В к А
 P( x, y, z )dydz (S ) Q( x, y, z )dxdz
(S )
,
(*)
(S )
Дху
(S )
(4)
 R( x, y, z )dxdy  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz
(S )
  R( x, y, z )dxdy  P ( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz
(S )
Дхz
(5)
2) Если поверхность (S) – циклическая поверхность с
образующей параллельной осью ox. Т.е. имеющее уравнение
 P( x, y, z )dydz    P( x, y, z )dydz
Дуz
(6), где Дxz и
Дyz – это проекции поверхности S на плоскости oxz и oyz.
Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от
ориентации поверхности S.
Для вычисления общего поверхностного интеграла 2-го рода
используют формулы (4)-(6) проекции поверхности S на все
три координатные плоскости
 R( x, y, z )dxdy  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz 
(S )
  R( x, y, z )dxdy  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz
(S )
11. Связь между поверхностными интегралами первого и
второго рода.
сosds
Учитывая что
проекция элемента площади ds на
координатую плоскость yOz можно записывать cosa ds=dydz,
dxdy=cosa ds, dxdz= cosb ds (7) где ds – элемент площади
поверхности s. сos , cos  , cos  направляющие cos
 P( x, y, z )dydz  0
S1
добавл
S3
по св-ву поверхностн интегр 2 рода

V
R
dxdydz   Rdxdy   Rdxdy   Rdxdy
z
S2
S1
S3
Q
dxdydz   Rdxdy

z
V
S
 (
V
Q
10. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.
Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к
вычислению интеграла 1-го рода. Пусть R(x,y,z) неприрывен
во всех точках поверхности (S) заданной уравнением z=z(x,y),
где z(x,y) – неприрывная функция в замкнутой области Д ,
выберим ту сторону S, где нормаль к ней образует с осью oz –
острый угол, тогда ΔSi>0 (i=1,n) т.к. zi=z(xi,yi), то интегральная
сумма 1 может быть записана в виде:
S
S
; V
Складыв почленно рав-ва получим формулу остаградскогогаусса
13. Следствия формулы Остроградского-Гаусса.
14. Формула Стокса.
Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной
гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно
дифференцируемой векторной функции
Где s граница области V интегрированием по s производится
по внешней стороне Это формула аналогично
Остроградского- гаусса
 Rx , y , z S   Rx , y , z ( x , y S
i
i
i
i
(2), правая
часть этого равенства есть интегральная сумма (неприрывна в
области Д). Переходя к пределу в равенстве (2) при λ→0
получим формулу
 R( x, y, z )dxdy   R( x, y, z )dxdy
Дху
Z  Z 2 ( x, y) , ф-ии Z1 ( x, y)
и
Z ( x, y) с боку цилиндрическ
на плоскость оху Z1 ( x, y) > 2
R
n
i
S1
Z 2 ( x, y) ,непрерывны в замкнутой области Д проекции V
S3
образующие которой паралельны оси oz
 z dxdydz  
V
 R( x, y, z
D
D
2
Z 2 ( x, y )
dxdy

Z1 ( x , y )
cos  ,cos ,cos  . Приращение ф-ии

направлении  опред-ся так:
u
M1 в
u  u( M1 )  u( M )
u  u( x  x; y  y ; z  z )  u( x; y ; z )
,тогда
 | MM 1 | ( x )2 ( y )2  ( z )2
u  u( M ) в точке М по
.опр:производной от ф-ии
направлению наз-ся предел
u( M 1 )  u( M )
u
u
 lim
 lim
 0  M M1
| MM 1 |
 хар-ет скорость измененияфu
0
ии(поля)в точке М по этому направлению. Если 
,то
u
ф-ия
|
( x, y )) dxdy   ( x, y, z ( x, y )dxdy
u
Q P R Q P R

,

,

x y y x z x , то криволин
интеграл по произвольн контуру равен нулю.
15. Скалярные поля.
Скалярное поле. Если каждой точке Mпространства ставится в
соответствие скалярная величина u(M), то возникает
скалярное поле (например, поле температуры, поле
электрического потенциала). Если введены декартовы
координаты, то обозначают также
U(x,y,z)или u(r), r = xi+yj+zk .
Поле может быть плоским, если u=u(x,y), центральным
u  u( x 2  y 2  z 2 )
D
u  u( x 2  y 2 )
|
М.Чем больше этот модуль,тем быстрее измен-ся ф-ия
.В
этом состоит физич.смысл производн.по направлен.Выведем
формулу для вычис-ия произв.по направлен.,счиая,что ф-ия
Из ф-лы стокса вытекает, что если вып условие
(сферическим), если
u
представл.собой
мгновен.скорость изменения ф-ии в направлен  в точке
,
R
dz 
z
u возрастает в направлении  . Если   0 ,то ф-ия
u убывает в направлении  . 
u( x , y , z )
диф-ема в точкеМ,тогда ее полное
приращение в точке М можно записать так:
u 
,где
цилиндрическим, если
(3),
косинусы:
Ф-лу стокса можно применять для вычисления
криволинейного интеграла по замкнутому контуру с пом
поверхностн интегрирования.
Z1  Z1 ( x, y) сверху поверхностью
P Q R
( 
 )dxdydz   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy

x y z
V
S
Тогда справедлива формула:
Где L-граница поверхности и интеграл вдоль L производится в
положительном направлении. Эта формула называется
формулой Стокса. Ее можно применять и для более сложного
вида, разбив ее на части.
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy
поверхности

P
 y dxdydz   Qdxdz  x dxdydz   Pdydz
L
Док-во: пусть область V ограничен снизу поверхностью
(S )
u при движении точки М в произвольном направлении

или
  Pdx  Qdy  Rdz
P Q R

 )dxdydz  (9)
x y z
S 2 уравнение которой
u  u( х , у , z ) некот.точку М и найдем скорость изменения
ф-ии
,возникающее при переходе от точки М к некот.точке
Где S-поверхность ограниченн.обл Д Анологично доказ
формулу
V
u  u( M )
Для характеристики скоростного изменения поля
в задан.направлении вводят понятие производной по
направлению. Возьмем в пр-ве.где задано поле
 . Пусть  имеет начало в точке М и направляющие
(
s
уравнение которой
i 1
S2
Q P
R Q
 )dxdy  (

)dydz 
x y
y x
S P R
(
 )dxdz 
z x
 ( P cos  Q cos   R cos  )ds(8)
 R( x, y, z )dxdy  0
i
V
Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей
можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это
поверхности в пространстве, на которых u принимает
постоянное значение. Их уравнение: u(x,y,z)=const. В плоском
скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых
поле принимает постоянное значение: u(x,y)=const. В
отдельных случаях
16. Производная по направлению.
Производная по направл
12. Формула Остроградского-Гаусса.
Теорема: если ф-я P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) , непрерывны
вместе своими частными произв 1 го порядка в
прстранственной области V , то имеет место формула
ϕ(y,z)=0 ( S )
. Если (S)’ - это
циклическая поверхность с образующей осью oz, Х(х,у)=0, то
i
 z dxdydz   Rdxdy   Rdxdy
Получим
S
i
получим
= 0 интеграл
 Q( x, y, z )dxdz    Q( x, y, z )dxdz
(S )
 Pdydz  Qdxdz  Rd xdy 
1) Поверхностный интеграл 2-го рода зависит от стороны
поверхности (от выбора нормали) при перемене стороны
поверхности (S) поверхностного интеграла 2-го рода меняет
знак
i
соответств
 Rdxdy
s
n
S1 и S 2
R
 R( x, y, z )dxdy    R( x, y, z )dxdy
минус, поэтому
Аналогично,
нормали
к выбранной стороне поверхности .поверхностн
интегр 1 и 2 рода связаны соотношением
записывают в виде
Свойства поверхностного интеграла 2-го рода аналогично
свойствам интеграла 1-го рода.
(S )
интеграл 2 рода по внешн стороне поверх
n
(S )
i 1
Двойные интегралы в правой части рав-ва заметим поверхн

 R( x, y, z )dxdy  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz
поверхность (S) ограниченная контуром  и выберем одну
сторону.
Определение: назовём положительным направлением обхода
контура  , при котором движение по контуру происходит
против часовой стрелки, относительно наблюдателя
находившегося в конечной точке нормали какой либо точки
поверхности (S) соответственно выбранной стороне
поверхности. Обратное направление обхода назовём
отрицательным. Выбор положительного направление обхода
контура на поверхности , задаёт выбор стороны этой
поверхности. Если поверхность состоит из нескольких частей,
каждая из которых это двухсторонняя поверхность , то можно
соединить эти части в одну двухсторонняя поверхность,
согласовав ориентацию общих границ.
(S )
 *
в
0 на
первоначальное положение при любом выборе точки
поверхности , поверхность называется двухсторонней . если де
направление нормали после обхода , хотя бы одной точки
изменится на противоположный , поверхность называется
односторонней (например, односторонней поверхностью
служит лист Мебиус ) . следовательно выбор направления
нормали в одной точки однозначно определяет направление
нормали во всех точках поверхности.
Определение: совокупность всех точек поверхности с
одинаковым направлением нормали называется стороной
поверхности.
Рассмотрим , незамкнутую гладкую двухстороннею
границы, происходит от А к В на поверхности
на поверхности S 2
выражающую поверхностный интеграл 2-го рода по
переменным х и у через двойной интеграл. Если выбрать 2
сторону, то полученный двойной интеграл будет со знаком
(S )
.
Теорема ( достаточные условия существования
поверхностного интеграла 1-ого рода)
Пусть (S ) это кусочно-гладкая поверхность которая может
быть явно задана, например
z   ( x, y ); ( x, y )  ( xy )
9. Поверхностные интегралы второго рода, простейшие
свойства.
Пусть (S) – двухсторонняя поверхность с выбранным
направлением нормали и на (S) задана R(x,y,z). Разобьем
поверхность (S) произвольным образом на n частей не
имеющих общих внутренних точек (ΔS1),(ΔS2),…,(ΔSn).
,
.
u
u
u
x  y  z  1 x   2 y   3 z
x
y
z
1 , 2 , 3 -БМФ при.Поскольку
x    cos  , y    cos , z    cos  ,
  0
то.Переходя к пределу при
,получим формулу для
выч-ия производной по направлению,т.е.
u u
u
u

 cos  
 cos  
 cos 
 x
y
z
u  u( x , y ) имеем:
.В случае плоского поля
cos   cos(

  )  sin  ,cos   0
2
,т.к
перпендикулярно и примет вид:
u u
u

 cos  
 sin 
 x
y
.
17. Градиент скалярного ноля и его свойства.
Опр:Вектор,кооорд.которого явл-ся значения
частн.производн.ф-ии
u( x , y , z ) в точке М наз-ют
grad u 
градиентом ф-ии,т.е.
Градиент
u
u
u
i
j
k
x
y
z .
u -векторная ф-ия.Говорят,что скал.поле u
порожд.векторн.поле
grad u . Т.обр.
u
u
 e  grad u ,
| grad u |  cos ,  


угол между вект.
и направлением  . След-но,производная по
направлению достигает наиб.значения,когда
grad u
сos  1, т.е. при   0 .Т.обр.напр-ие градиента
совпадает с напр-ем  ,вдоль котор.ф-ия(поле) меняется
быстрее всего,т.е. градиент ф-ии указ-ет напр-ние
наибыстрейшего возрастания ф-ии.наиб.скорость изменения
ф-ии равна
2
 u   u   u 
| grad u |        
 x   y   z 
2
2
переменных, то векторное поле называют плоским: a⃗= P(x,y)i
+Q(x,y)j.
Вектор поля называют однородным, если a⃗(M)- постоянный
вектор, т.е. P,Q,R это постоянные величины. В дальнейшем
будем предполагать, что скалярные функции P,Q,R
непрерывны вместе со своими частными производными.
Определение: Векторной линий поле a⃗ называется линия
касательная к которой в которой её точка М имеет
направление соответствующую ей вектора a⃗(M).
Совокупность векторных линий поле проходящий через
некоторую замкнутую кривую называют векторной трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинают с изучением
расположения его векторных линий.
⃗
Векторные линии поле a⃗= P(x,y,z)i +Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k
(1)
описываются системой дифференциального уравнения вида:
dx
=
P(x,y,z)
. В этом
2. grad ( u  v )  grad u  grad v
т.е.
S

- проекция а по направлению нормали
k   a n dS
u v  grad u  u  grad v

v
v2
grad u  v  v  grad u  u  grad v
n , то
dS-дифференциал площади поверхности. Т.к.

n  (cos  , cos  , cos  ), cos  ,  ,  -углы между

n
и
осями oX, oY. oZ.

a  ( P, Q, R), где P  P( x, y, z ), Q  Q( x, y, z ), R  R( x, y, z ) 
grad f ( u ) 
f
grad f ( u ) 
.
Д-ВО:на основании



f u
f u
f u
( f ( u ))i  ( f ( u )) j  ( f ( u ))k 
 i

j
 k
x
y
z
u x
u y
u z
f  u
u
u  f
 i
j
k 
 grad u
u  x
y
z  u
∂u
1 ∂u
∂u
e +
e + e
∂ρ ρ ρ ∂φ φ ∂z z
В сферических координатах:( r, φ, θ) grad u =
∂r
1 ∂u
1
∂u
er + r ∂θ eθ +r sinθ ∂φ eφ
где локальный базис порожден и едиными касательными
векторами и координатными линиями направленные в сторону
роста соответствующих координат.
19. Векторные поля. Векторные линии.
Вектор a⃗=a⃗(M) определяющий векторное поле можно
рассмотреть, как векторную функцию трёх скалярных
аргументов (x,y,z), a⃗=a⃗(x,y,z).
Вектор a⃗=a⃗(M) можно представить разложив, его по ортам
⃗,
координатных осей в виде: a⃗= P(x,y,z)i +Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k
где P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)-это проекция вектора a⃗(M) на
оси координат. Если выбраны система координат Оxyz, одна из
проекций из вектора a⃗=0, а две другие зависит только от двух
на соответствующие координатные оси,

 grad u
Приведенные св-ва градиента остаются справедливы и для
плоского поля.
18. Градиент в цилиндрических и сферических
координатах.
Вид формулы для градиента изменяется, если функция поля
задана в иных координатах, даже когда касательные векторы к
координатным линиям попарно ортогональны, но
дифференциал хотя бы одной из координаты не совпадает с
дифференциалом пути вдоль соответствующей координатной
линии.
Так в цилиндрических координатах ρ,φ,ƶ. grad u =
∂u
a
то поток (3) вектора
a




dr  dxi  dyj  dzk
k   ( Р cos   Q cos   R cos  )dS
(S )
Используя взаимосвязь поверхностных интегралов первого и
второго рода поток вектора можно записать в виде:
k   Рdydz  Qdxdz  Rdxdy
2.Div(c*a)=c*diva.
Определение. Криволинейный интеграл по замкнутому
контуру L от скалярного произведения вектора а на вектор
3.Div(a+b)=div a+div b
4.Если u-скалярная функция, а-вектор, то
касательный к контуру L называется циркуляцией
вектора а вдоль L


k   a  n dS .
S
вектора записывается в виде:
В этом случае за направление вектора n обычно берется
направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри
поверхности S.
Q
R
(7 )
Остроградского-Гаусса.
в так
называемой векторной форме. Расссмотрим объем V
ограниченный замкнутой поверхностью S в векторном поле
(1). Можно утверждать, то векторная часть (7) есть поток
вектора а через поверхность (S), а подынтегральная функция
правой части (7) есть дивергенция а. Следовательно, (7)
 
C  Ladr
,
ds   div a dV (8)


0
)

1
S an ds  V * div a(M 0)  div a(M 0)  V
M
 a
n
ds
Т.к.
 R Q 

dydz

 y z 
 Q P 
 P R 
dxdz



dxdz  
 z x 
 x y 
представляет собой поток вектора
S ограниченную контуром L.
 
a  dr  a dl  Pdx  Qdy  Rdz
направлении обхода кривой L, то равенство
можно записать в виде
C  L a dl
C  L Pdx  Qdy  Rdz

rota

a
через поверхность
 
C  Ladr
Такое представление формулы Стокса называется ее
векторной формой в этой формуле положительно направление
на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованной
между собой также как теорема Стокса. Формула

,
 a dl   rotads
показывает, что циркуляция вектора

a вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора вектора
L
, циркуляция С записанная в
S

a (M )
поле, то циркуляция это работа силы векторного поля
при перемещении материальной точки вдоль L.
Отметим, что если взять отношение циркуляции к площади S
плоской фигуры ограниченной контуром L и перейти к
пределу при S→0( при стягивании контура L в точке М)
получим плотность циркуляции векторного поля в точке М по
направлению τ
 a
n
s 0
L 0
(V  0) 
a dl
Определение 1 эквивалентно определению 2: Как видно из
определения дивергенция векторного поля в точке является
скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном
векторном поле. Исходя из смысла потока можно сказать

div a ( M )  0 . Точка М представляет собой источник

откуда жидкость вытекает. При div a ( M )  0 точка М-есть
сток, поглощающий жидкость, тогда из определения 2, что

div a (M ) характеризует мощность
(интенсивность, плотность) источника или стока в точке М в
этом состоит физический смысл дивергенции.
i


rota ( M ) 
x
P
Отметим некоторые свойства ротора:

div  0 называется солиноидальным (трубчатым).
k
 R Q    P R  

i  



j
z  y z   z x 
R
 Q P  
k
 

 x y 
Понятно, что если в V,ограниченном замкнутой поверхностью
(S) нет ни источников, ни стоков, то div a ( M )  0 .
Определение 3: Вектор поля в каждой точке которого
j

y
Q
3.


a - это постоянный вектор, то rota  0


rot (c  a )  c  rota , с-cost

 

rot (a  b )  rot a  rot b

a
и
Используя формулу
можно дать
 Pdx  Qdy  Rdz 
L
 R Q 
 Q P 
 P R 
S  y  z dydz   z  x dxdz   x  y dxdz
другое определение ротора эквивалентное первому и
независящее от выбора координат системы.

a

a
пределу отношения циркуляции вектора
по контуру L в
плоской площадке S перпендикулярной этому направлению к
площади этой площадки
называется вектор
2.
через поверхность S лежащую в поле вектора
ограниченную контуром L.
Определение. Ротором вектора
в точке М называется
вектор проекция которого на каждое направление равна




a  P ( x , y , z ) i  Q ( x , y , z ) j  R ( x, y , z ) k
1.Если

a
S
23. Ротор векторного поля.
Определение. Ротором(вихрем) векторного поля
.
dS .

 a dl   rotads
S
C   Pdx  Qdy  Rdz
 c  lim 
Следовательно формулу Стокса можно записать в виде
L
L
виде
имеет простой
физический смысл, если кривая L расположена в силовом
(9)
Определение 2: Дивергенция векторного поля в точке М
называется пределом отношения потока поля через замкнутую
поверхность (S), окружающую точку М к объему тела,
ограниченного этой поверхностью, при условии что вся
1
V

этой формулы представляет собой циркуляцию вектора
по контуру L, интеграл в правой части этой формулы

 div a (M )dV  V * div a (M
V 0
Pdx  Qdy  Rdz 
S
a - проекция вектора а на касательную τ проведенную в

n
V
можно записать в виде: S
Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток
векторного поля через замкнутую поверхность (S)( в
направлении внешней нормали, т.е. изнутри=тройному
интегралу от div этого поля по объему V, ограничивает
данную поверхность.
Используя (8) можно дать определение дивергенции
векторного поля а в точке М.
По теореме о среднем для тройного интеграла имеем:
величина
L

div (u * a )  u div a  a div u
div a ( M )  lim
, левая часть

, где dl –

dr
Используя понятие потока и дивергенции векторного поля
запишем известную в математическом анализе формулу

S
Отметим, что поток k вектора а есть скалярная величина k=V
жидкости, которая протекает через поверхность (S) за единицу
времени. В этом состоит физический смысл потока.
Особый интерес представляет случай, когда поверхность
замкнута и ограничивает некоторый объем V, тогда поток

dr  dl
dl  (dx) 2  (dy) 2  (dz) 2
поверхность стягивается в точку М. (
(5)
Используя понятие ротора и циркуляции векторного поля,
запишем известную в анализе формулу Стокса
направлен по касательной к
1.Если вектор а-постоянный вектор,то div(a)=0
0 -некоторая
V
, где
средняя точка объема V отсюда, (S) можно переписать в виде
можно записать в виде:
- вектор, то


rot (U  a )  U  rota  a  gradU .
Пусть вектор
на контур L. Известно, что вектор
P Q R


x y z
кривой в направлении ее обхода
дифференциал дуги кривой

4.Если U – скалярная функция




r  xi  yj  zk радиус-вектор точки М
Отметим некоторые свойства дивергенции:
 a
.

u
6.
определения градиента:
И обозначает:
(4)
(S )
проекции вектора

div a ( M ) 


a

22. Циркуляция векторного поля. Плотность циркуляции
векторного поля.
Пусть векторное поле образованно вектором




a  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k возьмем в
этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней
определенное направление
P
(3)

a n  a n
P Q R


( 6)
x y z
 ( x  y  z )dV

k   a  n dS

grad ( cu )  c  grad u , c  const
3.

(2)
R(x,y,z)
Определение: Потоком вектора a через поверхность S
называется интеграл по поверхности от скалярного
произведения на единичный вектор нормали к поверхности,
Т.к.
5.
dz
⃗ , r⃗ Действительно P,Q-это векторные линии. r⃗ =xi⃗ + yj + zk
⃗ - направлен по
её радиус вектор. Тогда dr⃗ =dxi⃗ + dyj + dzk
касательной к линии P,Q в точке М. В силу калениарности
векторов а⃗ и dr⃗ следует пропорциональность их проекций, т.е.
равенства (2).
20. Поток вектора через поверхность.

1.Градиент направлен по нормали к пов-сти
уровня,проходящ.через дан.точку.
grad
=
Q(x,y,z)

состоит физич.смысл градиента.
Св-ва градиента:
4.
dy
21. Дивергенция векторного поля и ее физическая
интерпретация.
Определение 1: Дивергенцией или расходимостью
векторного поля (1) в точке М называется скаляр вида:
1

rota ( M )  lim  a dl
S 0 S
.

a (M )
Ротор вектора
есть векторная величина образующее
собственное векторное поле.
Из определения ротора вытекает , что направление ротора это
направление вокруг которого циркуляция имеет наибольшее
значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг
любого направления несовпадающего с нормалью к площади
S.
Так как векторное произведение двух одинаковых векторов
ровно нулю. Это означает, что поле градиента есть поле
безвихривое.
24. Векторные дифференциальные операции первого
порядка
Основными диф-ными опрециями над скалярным полем V и

a
3)



grad  div a    (  a)  (div a)i  (div a) j  (div a)k
x
y
z


яв-ся grad U,div a ,rot
a
векторным
. Десвия взятия
градиента ,div,rot,наз-ся вектоными опрециями первого
порядка.Эти опрерации удобно записывать с помощью так
называемого оператора Гамельтонга(Набла).
(
   
i
j k
x y
z
=
. Он приобретает определенный
смысл ,лишь в комбинации со скалярными или векторными
функциями. Применим опрератор Гамельтона ,получим дифные опреции 1-го порядка,если
U=(
    
u  u  u 
i
j k
i
j k
x
y
z )U= x
y
z =grad U.
    

i
j k



a = ( x y z )( P i  Q j  R k )=(



P
Q
R

i
j k
x
y
z )=div a .
i j k
  
x  y  z


xa =
=rot a . Опрератор Гамельтона
применяется для записи и других опрераций и для вывода
различных ф-й в теории поля при действиях с ним,надо
пользоваться правилами векторной алгебры и правилами
дифир-ния. В частности производная по направлению может
u


e ) U, где
быть записана в виде: 
U =(
P Q R


(
 
e - имеет коэ-ты ( cos  , cos  , cos  . ).
25. Векторные дифференциальные операции второго
порядка
После применение оператора Гамильтона к скалярному полю
или векторному полю, получается новое поле, к которому
можно снова применить этот оператор. В результате
получаются дифференциальные операции второго порядка.
Заметим, явные выражение, для дифференциальных операций
второго порядка используя оператор Гамильтона. Заметим,
при этом, что оператор действует только на множитель
расположенный непосредственно за оператором.
 P Q
 R


)i 
x 2 xy
xz
2
2
2
 2 P  2Q  2 R
 2 P  2Q  2 R


)j (


)k
xy y 2 yz
xz yz z 2 .
div  rot a    (  a)  0
4)
. Так как смешанное
произведение трёх векторов, из которых два одинаковы ровно
нулю. Это означает , что поле вихря соленоидальное.
5)
   
rot  rot a      a     a    a  grad  div a  a
 
1) ∆
2
2
2
i  2 j  2 k)  u 
x 2
y
z
 2u
 2u
 2u
i 2 j 2 k
x 2
y
z
a  Pi  Q j  Rk -векторная величина , получена в
результате применения оператора Лапласа к вектору а.
26. Соленоидальное поле и его свойства.
Векторное поле а называется соленоидальным если во всех
точках его дивергенция =0. Примерами соленоидальных
полей яв-ся поле линейных скоростей вращения тела,
магнитное поле создоваемое прямолинейным проводником до
которого течет ток и др.
Основные свойство:
1.Соленоид поле а поток вектора через любую замкнутую
поверхность=0



diva  0 , то существ такое поле b что a  rotb

и
вектор b назыв векторным потенциальн поля а
3.Соленоид поле а поток вектора через поперечное сечение
векторн трубки сохран.постоян значение

а
S
Пусть это векторное поле i - это какая нибудь площадка
на этом поле проведем через границу этой площадки
векторной линии образуемая при этом фигура называется
векторной трубкой
Рассм векторн трубку между двумя ее сечениями S1 и 2
боковую поверхность трубки обознач через S Поток вектора
через замкнутую поверхность сосоящ из
n
div  gradu  u 
u ). Таким образом
 2u
 2u
 2u
i 2 j 2 k
x 2
y
z
Дифференцирование уравнение Лапласа u  0 играет
важную роль в различных разделах математической функции.
Решениями уравнения Лапласа является так называемые
гармонические функции. (
   )
2) rot  gradu    (  u )  (  )  u  0
n
S1
S1
и S 2 и S =0

n перпендик к
 a ds    a ds
 a ds  0
n
n
,
n
S1
S2
Переменив направление ормали на площадке
S1
т.е взяв взяв
 a ds   a ds
n
внутреннюю нормаль M 1 получим
S1
n
S2
существовать и условие сходимости можно записать в виде
b
lim
 b  0
 f ( x, y)dx  0

. В случае расходимости этого
интеграла, естественно считать, что условие
b
lim
 b  0
 f ( x, y)dx  0

не выполнено. Таким образом,
условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде
b
lim
 b  0
 f ( x, y)dx  0

.
Определение. Сходящийся на Y интеграл называется
равномерно сходящимся на Y, если
b
π
Учитывая свойства криволинейного интеграла получим:
3) Потенциальное поле является полем градиента, некоторой
скалярной функций u, u = u(x,y,z) , т. е. если rotа⃗ = 0, то
существует функция u(x,y,z), такая что а⃗ = gradu
𝑖
𝑗 𝑘
𝜕
док-ва. т.к. rotа⃗ = 𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑧
=(
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
)i + (
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
)j + (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝑃 𝑄 𝑅
)k = 0 , т.е. выражение 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 будет являться
полным дифференциалом некоторой функций u = u(x,y,z). Эту
функцию называют потенциалом векторного поля а⃗ = 𝑃𝑖 +
𝑄𝑗 + 𝑅𝑘
интеграл зависящий от параметра x ∈ (−∞; +∞)y
30. Свойства собственного интеграла, зависящего от
параметра.
Теорема1 (о непрерывной зависимости собственного
интеграла от параметра): Если ф-я f(x, y) непрерывна в
прямоугольнике K = {(x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то интеграл
(1) есть непрерывная ф-я параметра y на отрезке [c, d].
Теорема2 (о перестановке порядка интегрирования): Если ф-я
f(x, y) непрерывна в прямоугольнике K = {(x, y): a ≤ x ≤
d
b
b
d
b, c ≤ y ≤ d}, то ∫c dy ∫a f(x, y)dx = ∫a dx ∫c f(x, y)dy (3)
каждый из повторных интегралов формулы (3) равны
двойному интегралу от ф-и f(x, y) по прямоугольнику K.
Теорема3 (о дифер. Собственного интеграла по параметру):
Пусть ф-я f(x, y) непрерывна в прямоугольнике K = {(x, y): a ≤
x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, и имеет непрерывную частную производную
∂f(x,y)
∂y
в области G такой что K ⊂ G тогда интеграл (1) есть
непрерывный диф. Ф-я параметра y на отрезке [c, d] причем
du = Pdx + Qdy + Rdz отсюда P =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,Q=
𝜕𝑢
𝜕𝑦
, R=
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑢
а⃗ = 𝜕𝑥 𝑖 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑗+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
k = gradu, т.е. а⃗ является grad
скалярного поля .
d b
∫ f(x, y)dx
dy a
b ∂f(x,y)
= ∫a
∂y
dx (4) или y ∈ [c, d].
∂f(x,y)
∂y
y
y ∂f
Потенциал векторного поля может быть найдено по формуле :
𝑥,𝑦,𝑧
Pdx + Qdy + Rdz =
0, 𝑦0 𝑧0
𝑦
𝑧
∫𝑦 𝑄( 𝑥, 𝔍, 𝑧0 )𝑑𝔍 + ∫𝑧 𝑥, 𝑦, 𝔖)𝑑𝔖 (*)
0
0
u(x,y,z) = ∫𝑥
x
∫x P(𝒳, 𝑦0 𝑧0 )𝑑𝒳 +
0
Потенциал определяется с точностью до произвольного
постоянного слагаемого из-за того, что grad(u +а) = gradu.
Определение потенциального поля может быть дано иначе,
векторное поле а⃗ называется потенциальным, если оно
является grad некоторого скалярного поля, т.е. а⃗ = gradu.
28. Гармоническое поле и его свойства.
Векторное поле a называется гармоническим или лопласовым,
∂y
(x, η)dx =
b
b
Из равенства а⃗ = gradu ⇒ что потенциальное поле
определяется заданием одной скалярной функции u = u(x,y,z) его потенциал.
b ∂f
b
(x, η)dη = ∫a (f(x, y) − f(x, c))dx − ∫a f(x, y)dx −
∂y
c0 , где c0 = ∫a f(x, c)dx (5) т.к. ф-я
∂f(x,y)
∂y
 f ( x, y)dx  

 >0M(M,+)yY:
(для интеграла 1-го рода)
33. Признаки равномерной сходимости несобственных
интегралов но параметру.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (для
интеграла 2-го рода)
Если g(x) на [a,b), интегрируемая на любом [a, ), (b-,b)
такая, что
1) |f(x,y)|  g(x), a  x < b, yY
b ∂f
∂y
(x, η)dx на
отрезке [c, d]. Левая часть рав-ва (5) может быть записан
y
∫c φ(η)dη , т.к. ф-я φ(η) непрерывна на [c, d] , то диф-ал
b ∂f
= φ(y) = ∫a
∂y
есть ф-я непрерывно диф. На [c, d] и ф-я
стоящая в
правой части (5) непрерывно диф. На отрезке [c, d] поэтому
b
d b
∂f(x, y)
∫ f(x, y)dx = φ(y) = ∫
dx
dy a
∂y
a
31. Понятие сходимости несобственных интегралов по
параметру.
32. Равномерная сходимость несобственных интегралов по
параметру.
b
a
Утверждение следует из неравенств
b
b
несобственным. Так, если    a  b   и при
некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в
b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование


f ( x, y)dx
соленоидальным то есть rot a  0 и div  0 . Примером
гармоничного поля является поле линейных скоростей
стационарного без вихривого потока жидкости при отсутствии
a
конечного предела
.
Если при заданном y интеграл сходится, то для любого
а
в нём источников и стоков. Так как поле потенциальное , то
[a,b) интеграл
 b  0
b
 f ( x, y)dx   f ( x, y) dx  g ( x)dx

.
Теорема: Пусть    a  b   и f(x,y) определена и
непрерывна на [a,b) по x для всех yY. Если для любых 
функция f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b-] при
b
yy0 , интеграл
 g ( x)dx
a
lim
y y0
(называемый остатком) будет
a
равномерно сходится на Y,
сходится. Тогда
b
b
a
a
 f ( x, y)dx   g ( x)dx
.
Доказательство.
b
b


a
a
a
a
b
b
 f ( x, y)dx   g ( x)dx   f ( x, y)dx   g ( x)dx   f ( x, y)dx   g ( x)dx


a
b
 f ( x, y )dx

 f ( x, y)dx
b
a
   a  b  
lim
сходится ,
то интеграл (1) сходится равномерно на Y.
( y)   f ( x, y)dx
(1)
, yY.
Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является
если оно одновременно является потенциальным и
2)
(x, y)dx т.к. левая часть рав-ва (5)
b
∫a f(x, y)dx
Рассмотрим интеграл
b
 g ( x)dx
непрерывна в
прямоугольнике K ,то в силу т.1. φ(η) = ∫a
d y
∫ φ(η)dη
dy c
(для


в прямоугольнике K y = {(x, η): a ≤
x ≤ b, c ≤ η ≤ y} получим рав-во ∫c dη ∫a
b
Замечание: из равенства rot gradu = 0 следовательно обратное
утверждение поле grad скалярной функции u = u(x,y,z),
является потенциальным.
b
 f ( x, y)dx  
 >0 >0(b-,b)yY:
интеграла 2-го рода)
Док-во: Пусть y – производная точки из [c, d] применим
∫a dx ∫c
где (𝑥0, 𝑦0 𝑧0) это координаты фиксированной точки, а (𝑥, 𝑦, 𝑧)
координаты произвольноц точки.
n
боковой поверхность векторн трубки нормаль
S
а
S2
использ св-во(1) где n- внешняя нормаль т.к на
векторам поля то
div a  div  gradu  0 или тоже самое
 2u  2u  2u
u  2  2  2  0
x
y
z
, то есть потенциальное
формулу (3) к ф-и
v
т.о соленоид поле не имеет
источников и стока
2.Соленоид поле яв-ся полем ротора некоторого векторного
поля
соленоидальное
∫a f(x)dx (1) называется собственным интегралом зависящим
от параметра. Обычно Y является числовым множ. или множ.
1 π
в Rn I(x) = ∫0 cos(x cos φ)dφ (2) это есть собственный
∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = 0
n
S
в скалярной функции и (обозначается
∮𝐿 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 вдоль любого кривой L с началом в
точке М1 и в конце точке М2, и зависит только от положения
точки М1 и М2, и не зависит от формы кривой. Это свойство
вытекает из 1, возьмем в потенциальном поле две точки М1 и
М2 и соединим их с двумя кривыми, тогда в силу свойства 1 ,
интеграл по замкнутому контору :
следовательно

 а ds   divadv  0
 a ds   a ds   a ds
Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа
функция u – гармоничное поле
является решением
дифференциального уравнения Лапласа.
29. Понятие собственного интеграла, зависящего от
параметра.
Пусть Y это произведение множ. ( множ. Параметров), а f(x, y)
ф-я определенная на множестве пар (x, y) где x ∈ [a, b] ⊂
R, y ∈ Y. Если при любом значении параметра y ∈ Y ф-я f(x, y)
b
как ф-я x интегрир. по Риману , на отрезке [a, b] то ∫a f(x)dx
есть ф-я параметра y определенная на множ. Y и интеграл
∫М1𝑝М2 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫М2qМ1 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧.
S
div  gradu  (  )  u  (
С = ∮𝐿 𝑎𝜏 𝑑𝑙 = ∬𝑆 𝑟𝑜𝑡𝑎
⃗⃗⃗ ds = 0 ( по теореме Стокса)
2) В потенциальном поле а⃗ криволинейный интеграл
∫М2qМ1 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫М1𝑝М2 − ∫М2qМ1 ⇒
a bc  ba c  cab ,
u  u ( x, y , z ) -
его можно записать
, где
потенциальное поле. Но так как поле одновременно
∮М1𝑝М2qМ1 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫М1𝑝М2 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 +
Так как двойное векторное произведение отпадает
a  gradu
27. Потенциальное поле и его свойства.
Векторное поле а⃗ называется потенциальным, если во всех
точках поля rotа⃗ = 0 , примером потенциального поля
является электрическое поля напряженности точечного заряда
и т.д.
Основные свойства :
1) Циркуляция потенциального поля а⃗ по любому
замкнутому контуру в этом поле = 0.

f ( x, y )dx   g ( x)dx 
a
b


=
b
f ( x, y )dx   g ( x)dx

.



b
 f ( x, y)dx   g ( x)dx   f ( x, y)  g ( x) dx
a
a
a
можно
сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости
b
 f ( x, y)dx

функции f(x,y) к g(x). Интеграл
можно сделать
сколь угодно малым в силу равномерной сходимости
b
b
 g ( x)dx
 f ( x, y)dx
интеграла
. Интеграл
можно
сделать сколь угодно малым в силу сходимости интеграла
a


b
a
+
+
b
 f ( x, y)dx

 g ( x)dx
b
сходимости интеграла
достаточно, чтобы
 f ( x, y)dx
a
необходимо и
 ''
 f ( x, y)dx  
 >0>0 y  Y,(b-,b):
'
интеграла a
. После выбора  первый интеграл
может быть сделан меньше заданного  выбором достаточно
мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности
функции.
35. Интегрируемость несобственного интеграла по
параметру.
Т(о перестановке пределов интегрирования).
b
U ( x, y) \ a  x  b, c  y  d и 
 ''
 f ( x, y)dx  

'
Достаточность. При выполнении условия
для  y  Y,(b-,b) можно перейти к пределу при 
справедлива ф-ла :
b
c
a
 dy  f ( x, y)dx
 b . Тогда для  y  Y(b-,b) :
b
, что
b
означает равномерную сходимость интеграла

f ( x, y )dx
a
.
Необходимость. Имеем  >0>0 y  Y(b-,b):
b
 f ( x, y)dx  

 ''
b
 ''
 f ( x, y)dx   f ( x, y)dx   f ( x, y)dx   f ( x, y)dx   f ( x, y)dx  2

'
(6). Док-во.Т.к
сх-ся
равномерно,по параметру у на отрезке сd,то он будет на отр.сd
непрерывной а поэтому и интегрируемой
функцией.Повторвный интеграл в левой части ф-лы (6)
существует ,кроме того в силу равномсерной сх-ти
'
b
'

f ( x, y )dx
на отрезке cd, для любого
b  a, bтакое что любое
/
b
 f ( x, y)dx
такое
, интеграл (y) = a
сходится равномерно на [c,d] ,
то этот интеграл является непрерывной функцией.
 >0 cуществует

c  b ,b
'

любого

a
a
'
y
( x, y)dx
a
(4).
0

 t x  (et ) 0    e  t xt x 1dt 
b
c
a
f
b
y
a
c
f
x  (0;1]
где
C0    ( x, c)dx
a
. Т.к.
0
a
f
'
0

  y выполнялось нер-во: | 
,
( x, )dx
Т.е. Г(х+1)непрерывная ф-ия при х=0 то

ф-ия Эйлера Г(х) определяется как несобственный интеграл
x 1
(1) с 2-мя особыми точками t=0,
a, b[0,) по параметру Вейерштрасса. Т.к.
c
 e непрерывна при t>0 и x>0
подынтегральная ф-ия t
то оба интеграла в (2) будут непрерывны ф-иями параметра х
-
d

d
c
a
|=| c
x 1
 
d
c

b
(| f ( x, y )d |)

<
рав-ва (8)имеет предел
d c
|
d
 dy  
c
этого рав-ва имеет предел при   в
ве(8) к приделу ,получаем ф-лу (6).
t


1
0
 ' ( x)   t x 1 ln t  e t dt   t x 1 ln t  e t dt   t x 1 ln t  e t dt
0
.Итак левая часть
 0 .переходя в рав-
b
(5)
У интеграла две особых точки t=0 и t=1, записываем интеграл
(5) в виде
1
2
1
0
1
B( x, y )   t x 1 (1  t ) y 1 dt   t x 1 (1  t ) y 1 dt
2
получим
что первый многочлен сходится при х>0 а второй, при y>0 так
что

функция определена при x>0 и y>0.
Св-ва.
Дифференцирование под знак интеграла законно т.к . оба
интеграла в (3) сходятся равномерно по параметру х на любом
отрезке a, b  [0,).
1).B(x,y)=B(y,x)
Док-во. Делая замену переменной z=1-t
1
1
0
0
B( y, x)   t y 1 (1  t ) x 1 dt   (1  z ) y 1  z x 1dz.
То можно док-ть что Г(х)- бесконечна дифференцируемая ф
 ( n ) ( x)   ( n ) ( x) :  t x 1 (ln t ) n  e t dt
0
ия, при х>0 и
В частности производная 2-го порядка ровна
.
функцией Эйлера.
0
(3).
  в  0 ,поэтому правая часть
b
1
на произвольном отрезке a, b  [0,), а по тому Г(х) есть
непрерывная ф-ия при х>0 . При х>0 Г(х) непрерывно
дифференцируема при чем
b
0
B( x, y) :  t x 1 (1  t ) y 1 dt

d
a

именуемой
 e 1 dt , x  0
a
b
b
3). Из (4) находим что Г(n+1)=n*Г(n)=n! От сюда следует что
Г(х) непрерывная для любого х>0 и Г(n+1)=n!.
38. Бета функция Эйлера и ее основные свойства.
Рассмотрим интеграл зависящий от 2-х параметров и

c
b
dt  lim  e t dt  lim (e t ) b0   lim (0  1)  1
t
0
Дифференц интеграл по параметру позволим упростить
процедуру вычисления интеграла .
37. Гамма-функция Эйлера и ее основные свойства.
a
d
(1)
x
Таким образом Г(х) стремится к + бесконечности при х
стремящемся к 0+0.
b
 dy  f ( x, y)dx  dy  f ( x, y)dx  dy  f ( x, y)dx
e
эквивалентно
диференц функция на отрезке [c,d]. Дифференц обе части
последнего равенства по y получим формулу (9) чтд.
c

x  0  0 (с права).

0
1
интегралов Г(х)=
(2).
Оба интеграла сходятся равномерно по параметру х на отрезке
(8).Покажем,что
при
(1) 
f ( x, y )dx
отрезке [c,d] то тогда 
есть непрерывно
d
=
( x  1)
x
будет непрерывной функцией
на этом отрезке и интеграл
стоящий в левой части полученного равенства будет
непрерывно дифференцированной функцией параметра y на
1
 dy  f ( x, y)dx  dx f ( x, y)dy
( x) 
стремящемся к 0+0.
( x)   t x 1  e t dt   t x 1  e t dt
d  c (7). В перестановке параметра интегрирования
собственного интеграла ,получаем равенство
x  1  [1;2]
2).Формула (4) позволяет исследовать поведение Г(х) при х
сходится
a
t   . Представим интеграл (1) в виде сложения 2-х
|<
 x( x)  ( x  1)  x( x), x  0
 на отрезке [с,d], то этот интеграл
равномерно по параметру
0
f ( x, y )dx

0
1). Если
то
поэтому знак
знаменателя Г(х) на (0;1] можно при помощи (4) найти
значения Г(х) на [1;2] следовательно на любом отрезке [n,n+1],
где n=1,2,…
b
b
b
tx
e2
Св-ва.
при   c, y  . В силу теоремы о
перестановке порядка интегрирования
y
3).

b
'
y

B( x,1  x) 
( x  1)   t x  e  t dt
( x, y)
.
2). Справедливы формулы:
u x 1 du
 (1  u)
x y
0
Введем теперь основные функциональное соответствия для
Г(х) ф-ии при х>0.
c  y  d . Рассмотрим интеграл ;
Док-во. Пусть
f
B( x, y) 
(ln t ) 2  e t dt  0
0
t
в  0
интеграл стоящий в левой части р-ва (8) при
отренесем к интегравлу лев.части нерав-ва (7).: |
Доказательство.
a
b

и
b
b
34. Непрерывность несобственного интеграла по
параметру.
Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d]
a
b
a
 ''
 f ( x, y)dx
c
. Тогда при ,(b-,b) будет выполнено
b
b
d
 dx f ( x, y)dy
a
с, d  , тогда

=
b
 f ( x, y)dx  
'
a
b
f ( x, y )dx
a
схо-ся равномерно по параметру y, на отрезке от с до d, тогда
d
b
 d  y ( x, )dx   dx  y ( x, )d   f ( x, y)dx  C
Пусть ф-я f(x,y) непрерывна на мн-ве
.
b
 f ( x, y)dx   f
b
Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной
a
 f ( x, c)dx
 f ( x, y)dx
если
сходится то
сходится на
с, d  параметра y, при чем
отрезке
.
 f ( x, y)dx
.
( x, y) a  x  b, e  y  d и  f ( x, y)dx
множестве
сходится равномерно на параметр y, не отр.

x 1
0
. Поэтому Г(х) –
выпуклая вниз ф-ия при х>0 , имеет единственный >0min. Не
трудно было бы показать, что (3) имеет место и для
комплексных х при Re x>0, потому-что Г(х)- есть регулярная
ф-ия комплексных переменных х в кривой полуплоскости Re
х>0.
b
  f ( x, y  y)  f ( x, y)dx  f ( x, y  y)dx
t
 '' ( x) 
36. Дифференцируемость несобственного интеграла по
параметру.
'
Теор. Пусть функции f(x,y) и f ( x, y) непрерывны на
Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше
заданного  выбором  в силу равномерной сходимости
b
a
|(y+y) - (y)| = a

a

b
 f ( x, y  y)dx   f ( x, y)dx
u x 1
u x 1  u y 1
du
x y
0 (1  u )
1


 1  u du  sin x ,x  1.
0