Производная сложной функции

ФИЗИКА, МАТЕМАТИКА
МПФ 1 курс
*
Выбор одного правильного ответа
** Выбор множества ответов
*** Установить соответствие
**** Расчетная задача
–
–
–
–
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
Всего 20 вопросов в тесте.
ДЕ 1. Основы высшей математики. Дифференциальное исчисление.
1.
Производная функции. Таблица производных элементарных
функций.
1.1. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟒.
1.2. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟐√𝒙.
1.3. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟓𝒙𝟓
1.4. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒙.
1.5. Найти производную от функции 𝒚 = 𝒆𝒙
1.
Правила дифференцирования функций
2.1. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟐𝒆𝒙
2.2. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙.
2.3. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟒
𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
.
2.4. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙.
𝒆𝒙
2.5. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟐 .
𝒙
2.
Производная сложной функции
3. 1. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙.
3. 2. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙.
3. 3. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟐𝒍𝒏 𝟐 𝒙.
3. 4. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟓√𝒔𝒊𝒏𝒙 .
3.5. Найти производную от функции 𝒚 = 𝟐𝒆𝒔𝒊𝒏𝒙
3.6 Найти производную от функции 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙.
1
3. Приложения производной
𝜋
4.1. Шарик совершает колебания по закону 𝑆 = 0,6𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑡 + ) .
10
Составьте формулу для вычисления мгновенной скорости шарика.
4.2. Получить формулу для вычисления мгновенной скорости и ускорения
𝜋
тела, если оно совершает колебания по закону S = 4sin (2𝜋𝑡 + )
12
4. 3. Получить формулу для вычисления мгновенной скорости, если оно
𝜋
совершает колебания по закону 𝑆 = 5𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑡 + ) .
2
4. 4. Температура тела меняется по закону 𝑇 = 𝑻𝟎 + 𝟐 𝒂𝒍 + 𝟑𝒃𝒍𝟑 , где l глубина измерения температуры. T0, a, b – постоянные. Получить формулу для
градиента температуры.
4.5. Температура тела меняется по закону 𝑇 = 𝑻𝟎 + 𝟐 𝒄𝒍𝟐 + 𝟑𝒅𝒍𝟑 , где l –
глубина измерения температуры. T0, c, d – постоянные. Получить формулу для
градиента температуры.
5. Частные производные
5.1. Найти частную производную по х от функции двух переменных
𝑧 = 2𝑥 + 𝑦.
5.2. Найти частную производную по y от функции двух переменных
𝑧 = 𝑥 + 4𝑦.
5.3. Найти частную производную по х от функции двух переменных
𝑧 = 2𝑥 𝑦.
5.4. Найти частную производную по y от функции двух переменных
𝑧 = 2𝑥𝑦.
5.5. Найти частную производную по х от функции двух переменных
𝒛 = 𝟑𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒚.
6. Частные и полный дифференциалы.
6.1. Найти дифференциал функции
𝒚 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
6.2. Найти дифференциал функции
𝒚 = 𝟑 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 .
𝒙
6.3. Найти частный дифференциал функции
𝑧=𝟐
6.4. Найти частный дифференциал функции
𝑧 = 𝟑 . по x.
2
𝒄𝒐𝒔𝒚
𝒙
𝒚
. по x.
6.5. Найти полный дифференциал функции двух переменных 𝑧 = 3𝑥 𝑦.
7. Неопределенный интеграл
𝑥
7.1 Найти неопределённый интеграл
∫ 2 2 𝑑𝑥.
7.2. Найти неопределённый интеграл
∫ 2 sin 2𝑥 𝑑𝑥.
7.3. Найти неопределённый интеграл
∫ 5 cos 5𝑥 𝑑𝑥.
7.4. Найти неопределённый интеграл
∫ 5𝑥 5 𝑑𝑥.
7.5. Найти неопределённый интеграл
∫ 3𝑒 3𝑥 𝑑𝑥.
8. Определенный интеграл
2
8.1. Найти определённый интеграл
∫0 𝑥 𝑑 𝑥.
8.2. Найти определённый интеграл
∫0 𝑥 2 𝑑 𝑥.
8.3. Найти определённый интеграл
∫1 𝑑 𝑥.
8.4. Найти определённый интеграл
∫0 cos 𝑥 𝑑 𝑥.
8.5. Найти определённый интеграл
∫0 sin 𝑥 𝑑 𝑥.
4
5
3𝜋
2𝜋
9. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
9.1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого
d𝑁
порядка
= − 3dt.
𝑁
9.2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого
d𝑁
порядка
= 2dt .
𝑁
9.3. Найти общее решение дифференциального уравнения первого
dI
порядка = − μdx , если μ = const.
𝐼
9.4. Найти частное решение дифференциального уравнения первого
dI
порядка = − μdx , если μ = const и при х= 0 I=I0 .
𝐼
9.5. Найти общее решение дифференциального уравнения первого
d𝑚
порядка
= − 𝑓dt , если f=const.
𝑚
10. Простейшие дифференциальные производные второго порядка
3
10.1. Составьте характеристическое уравнение для решения данного
однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
𝑦 ′′ + 𝟑𝒚′ + 𝟏𝟓𝒚 = 0
10.2. Составьте характеристическое уравнение для решения данного
однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
𝑦 ′′ + 𝟒𝒚 = 0
10.3. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟒𝒚 = 0.
10.4. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟐𝒚 = 0.
10.5. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟏𝟔𝒚 = 0.
11. Механические колебания
11.1. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду
колебаний пружинного маятника, его период и частоту.
11.2. По графику, изображенному на рисунке, составьте закон
гармонических колебаний груза на пружине.
11.3. Сердце сокращается с частой 60 ударов в минуту. Чему равен период
одного сердечного сокращения?
11.4 . По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду
колебаний пружинного маятника, его период и частоту.
4
11.5. По графику, изображенному на рисунке составьте закон гармонических
колебаний груза на пружине.
11.6. Рассчитайте декремент затухания свободных колебаний груза на
пружине:
12. Механические волны
12.1. В каких средах могут распространяться упругие продольные волны?
12.2. На рисунке представлен график волны в определенный момент
времени. Чему равны длина волны, амплитуда колебаний частиц волны?
12.3 На рисунке представлен график волны в определенный момент
времени. Чему равна длина волны и амплитуда волны?
12.4. С какой частотой колеблется источник волн, если длина волны 10 м, а
скорость ее распространения 10 м/с?
12. 5. Определите скорость распространения волны, если ее длина 10 м, а
период колебаний 10с.
13. Звук. Акустический спектр
13. 1. Определите длину звуковой волны, если период колебаний источника
1мс, а скорость распространения звука в воздухе – 340 м/с :
5
13.2. Акустический спектр сложного тона . . .
13.3. Аудиометрия заключается в определении . . .
13.4. Насколько увеличилась громкость звука частотой 1 кГц, если его
интенсивность увеличилась в 10000 раз?
13.5. С помощью графика кривых равной громкости определите уровень
громкости звукового сигнала на частоте 100Гц и с уровнем интенсивности в
40 дБ.
14. Ультразвук.
14.1. Действие приемников ультразвука основано на . . .
14.2. Определите глубину расположения неоднородности в мягкой ткани, если
при использовании ультразвукового эхолокатора ультразвуковой сигнал
возвратился в датчик через 8 10-6 с. Скорость распространения ультразвука в
мягкой ткани 1500 м/с.
14.3. Действие излучателей ультразвука основано на . . .
14.4. Определите глубину расположения трещины в кости, если при
использовании ультразвукового эхолокатора ультразвуковой сигнал
возвратился в датчик через 4·10-5 с. Скорость распространения ультразвука в
костной ткани 3500 м/с.
14.5. Как изменятся частота и период волны УЗ колебаний при переходе из
мягкой в костную ткань?
14.6. Эффект Доплера используется в медицине, в частности, для . . .
6
14.7. Оцените величину коэффициента отражения ультразвуковой волны на
границе раздела костной ткани и крови, если плотность костной ткани 2000
кг/м3, плотность крови  1000 кг/м3. Скорости распространения УЗ в костной
ткани – 3500м/с, в крови – 1500м/с.
15. Электромагнитные волны
15.1. Наименьшую длину волны имеют
15.2. Наибольшую длину волны имеют
15.3. У распространяющейся в вакууме электромагнитной волны с частотой
1020 Гц соответствует длина волны:
15.4. Электромагнитные волны возникают:
15.5 Что такое электромагнитная волна?
15.6. Укажите выражение длины волны.
15.7. Электромагнитная волна является …
15.8. Средней за период энергией, переносимой волной за единицу времени
через единичную площадку, перпендикулярную направлению
распространения волны называют
15.9. Организм человека излучает:
15.10. При повышении или при понижении частоты в большей степени
проявляются корпускулярные свойства электромагнитных волн?
16. Элементы квантовой механики. Спектральный анализ
16.1. При регистрации спектра поглощения эозина на спектрофотометре СФ26 максимум оптической плотности Dmax = 2 находился на длине волны 500
нм. Концентрацию эозина изменили в 4 раз. Как при этом изменилась длина
волны максимума поглощения?
16.2. Атомные спектры, в отличие от молекулярных спектров, являются…
16.3. Энергии фотонов при поглощении света соотносятся как 1>2 , при
этом соответствующие длины волн соотносятся как:
16.4. С какой скоростью движется микрочастица массой 10-30кг, если длина
волны де Бройля для неё равна 65 нм.
16.5. Согласно гипотезе де Бройля не только фотон, но и каждая
микрочастица обладает … свойствами.
7
16.6. Гипотеза Луи де Бройля состоит в том , что … .
16.7. Определить минимальную ошибку в определении скорости шарика
массой 1 мг, если неопределенность его координаты равна 1 мкм.
16.8. Чему равна энергия фотона для рентгеновских лучей c частотой 1018 Гц?
16.9. Непрерывные (сплошные) спектры дают тела, находящиеся
16.10. Длины волн (частоты) линейчатого спектра какого-либо вещества
зависят . . .
16.11. На рисунке изображены
фотографии спектров поглощения Na,
H, Ca и неизвестного газа. По виду
спектров можно утверждать, что
неизвестный газ содержит в заметном
количестве
16.12. Линейчатые спектры дают вещества находящиеся
16.14. Спектральный анализ – это . . .
16.15. Достоинства спектрального анализа:
16.16. На рисунке изображены
фотографии спектров излучения H,
He, Sr и неизвестного газа. По виду
спектров можно утверждать, что
неизвестный газ содержит в
заметном количестве
8