Задачи 3 сем.

1. Верно ли утверждение: если sin( f ( x)) - измеримая функция, то f (x ) также
измерима?
2. Доказать, что произведение характеристической функции множества рациональных
чисел на любую другую функцию f : R  R является борелевской функцией.
f 3 ( x) - измеримая функция, то f (x) также измерима.
4. Пусть  - некоторая система подмножеств множества Y ,  ( ) - минимальная  алгебра, содержащая  и f : X  Y - произвольное отображение. Доказать, что
f 1 ( ())   ( f 1 ()) .
5. Если на отрезке [0,1] некоторое множество имеет меру Лебега 0, верно ли, что его
3. Доказать, что, если
замыкание также имеет меру Лебега 0?
6. Пусть A - замкнутое подмножество отрезка [0,1] с мерой Лебега равной 1. Верно ли,
что A  [0,1] ?
7. Доказать, что прообраз полукольца множеств при произвольном отображении
является полукольцом.
8. Доказать, что прообраз кольца множеств при произвольном отображении является
кольцом.
9. Пусть A - замкнутое подмножество отрезка [0,1] с мерой Лебега равной 0. Верно ли,
что A нигде не плотно?
1
10. Вычислить
 f ( x)dx , если
f ( x)  x для иррациональных значений x 
0
1
,
2
1
и 0 для рациональных.
2
11. Пусть мера  задана на борелевской  - алгебре подмножеств R условием
f ( x)  x 2 для иррациональных значений x 
1
 ( E )   k . Найти
kE  N 2

 xd .
0
12. Пусть последовательность
f n сходится по мере к функции f . Доказать, что
последовательность f n сходится по мере к функции g тогда и только тогда, когда f и
g эквивалентны.
13. Пусть последовательность f n сходится почти всюду к функции f . Доказать, что
последовательность f n сходится почти всюду к функции g тогда и только тогда, когда
f и g эквивалентны.
14. Доказать, что мера Лебега на отрезке регулярна.
15. Прообраз  -алгебры является  -алгеброй. Доказать.
16. Прообраз алгебры является алгеброй. Доказать.
17. Доказать, что, если совокупность всех прообразов элементов некоторой системы
множеств при заданном отображении является  -алгеброй, то указанная система
множеств также является  -алгеброй.
18. Доказать, что , если f : R  R - непрерывна, то прообраз каждого борелевского
множества является борелевским множеством.
19. Доказать, что характеристическая функция множества А измерима тогда и только
тогда, когда А измеримо.
20. Верно ли, что образ алгебры является алгеброй?
21. Привести пример аддитивной но не  -аддитивной меры.
22. Доказать, что для любой знакопеременной меры ( заряда )  , определенной на
 -алгебре  существует такая константа c , что ( A)  c
для всех A   .
23. Привести пример последовательности функций сходящейся в
почти всюду.
L1 но не сходящейся
24. Привести пример последовательности функций сходящейся почти всюду но не
сходящейся в L1
25. Доказать, что функции
Tn ( x)  cos( n arccos x ) являются многочленами, попарно
ортогональными относительно скалярного произведения
1
f,g 
 f ( x) g ( x)
1
1
1 x
2
dx . Образуют ли эти многочлены полную систему в
пространстве L2 ([1,1]) ?
26. Доказать, что операция свёртки коммутативна и ассоциативна.
27. Найти преобразование Фурье функции
28. Найти преобразование Фурье функции
29. Найти преобразование Фурье функции
e
e
e
 x

,   0.
2
x
2
x2

2
.
cos ax .
x2

2
30. Найти преобразование Фурье функции xe
.
31. Найти преобразование Фурье функции sign ( x  1)  sign ( x  2) .
1
.
1 x2
2
33. Пусть   xydx  y dy . Найти  T , где T ( x, y )  (uv, u  v) .
32. Найти преобразование Фурье функции
34. Пусть
  xydx  y 2 dy . Найти d
35. Пусть
  xydx  x dy . Найти d (  y ) .
37. Пусть
  x 2 dx  y 2 dy  xzdz . Найти  T , где T ( x, y, z )  (uv, u  2v, t ) .
38. f ( x, y, z )  ln( 1 
39. Пусть
.
2
x 2  y 2  z 2 ). Найти d ( f  dy ) .
  xdx  ydy  zdz . Найти d (  xydz) .
f ( x)  x 2 в интервале (0,  ) по синусам.
2
41. Разложить в ряд Фурье функцию f ( x)  x в интервале (0,  ) по косинусам.


42. Разложить в ряд Фурье функцию f ( x )  x (  x ) в интервале (0, ) по синусам
2
2
40. Разложить в ряд Фурье функцию
нечетных дуг.
43. Разложить в ряд Фурье функцию f ( x )  x (

нечетных дуг.

sin nx
.
n
1

sin( 2n  1) x
45. Найти сумму ряда 
.
2n  1
1
44. Найти сумму ряда


2
46. Выразить через эйлеровы интегралы
 tg
n
xdx .
0

47. Выразить через эйлеровы интегралы
x
 e dx ( n  0 ).
n
0
48. Найти

 x) в интервале (0, ) по косинусам
2
2
n -мерный объём n -мерного шара радиуса r .
49. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
50. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
51. Вычислить
 sin( x
2
2
sin x
0
0
2
2 x x2
1
2 x
 dx
 f ( x, y)dy .
 dx  f ( x, y)dy .
 y )dxdy .
2
 2  x 2  y 2  4 2
52. Свести к однократному интегралу

x2  y2  x
53. Свести к однократному интегралу
x
f ( )dxdy .
y
 ... f ( x
1
 x 2  ...  x n )dx1 dx 2 ...dx n .
x1  x2 ...  xn 1
x1  0 , x2  0 ,..., xn  0
54. Найти z , если dz 
55. Найти
56. Найти
ydx  xdy
.
3 x  2 xy  3 y 2
2
u , если du  ( x 2  2 yz )dx  ( y 2  2 xz)dy  ( z 2  2 xy)dz .

F , n dl , где F ( x, y )  ( x, y ) , n  внешняя нормаль к простому замкнутому
C
контуру C , ограничивающему конечную область S .
57. Доказать, что функция гармоническая в замкнутой ограниченной области и не
являющаяся в ней постоянной, не может достигать своих наибольшего и наименьшего
значений во внутренней точке указанной области.
58. Доказать теорему о среднем для гармонической функции трёх переменных.
59. Доказать теорему о среднем для гармонической функции двух переменных.
60. Доказать что, если S - простая замкнутая поверхность, ограничивающая конечную
область
V и l - фиксированный единичный вектор, то
 cos(n, l )ds  0 , где n S
внешняя нормаль к данной поверхности.
61. Найти потенциал гравитационного поля a  
m
r , создаваемого массой m ,
r3
помещенной в начало координат.
62. Доказать, что поле a  f ( r ) r , где f (r ) - непрерывная функция, r  радиус-вектор
точки,
r  r , является потенциальным и найти его потенциал.
63. Найти rot (gradu ) и div (rot a ) .
64. Найти div ( f (r ) r ) , где f (r ) - непрерывная функция, r  радиус-вектор точки,
rr.
65. Доказать формулу
 2 (uv)  u 2 v  v 2 u  2uv .