Полукеев 2015 - Сибирский федеральный университет

УДК 530.12:531.51
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С РАСПАДАЮЩИМСЯ ВАКУУМОМ
Полукеев С. И.,
научный руководитель канд. физ.-мат. наук Паклин Н. Н.
Сибирский федеральный университет
Рассмотрена динамика сферически симметричного распределения материи с
пространственно однородным давлением p (t ) и неоднородной плотностью энергии
 (t , r ) в общей теории относительности [1]. Такую модель будем интерпретировать как
эволюцию крупномасштабной неоднородности на однородном космологическом фоне
и описывать метрикой типа LTB (Леметра-Толмена-Бонди). Случай положительного
давления представляется как пылевая материя и однородное физическое поле,
например, равновесное излучение в радиационно-доминированную эпоху. Случай
отрицательного давления представляется как видимое вещество и пылевая материя
CDM (Cold Dark Matter) на фоне однородной жидкости – темной энергии (DE). Если
неоднородность исчезает  (t , r )   (t ) , то получаются стандартные космологические
модели типа FLRW (Фридмана-Леметра-Робертсона-Уолкера), в них учитывалась
космологическая постоянная с любым знаком.
Исследование сверхновых типа Ia свидетельствует об ускоренном расширении
видимой Вселенной и положительном знаке космологической постоянной
  0,
другими словами, давление в уравнении состояния физического вакуума оказывается
отрицательным p     . Сейчас такая модель считается стандартной и
обозначается как  CDM.
Исследуется гравитационное поле нестационарного сферически симметричного
распределения материи. Поле определяет геометрию пространства-времени и
описывается метрическим тензором g ik . Свойства вещества описываются тензором
энергии-импульса Tik . Связь поля с материей определяется уравнениями Эйнштейна
Gik  8 Gc4 Tik ,
(1)
где величина Gik – тензор Эйнштейна - выражается через метрический тензор и его
производные. Вещество описывается простой моделью с тензором энергии-импульса
идеальной жидкости
Tik  (  p) uiuk  pgik ,
(2)
здесь  (t , r ) – плотность энергии, p (t ) – давление и 4-скорость u i  dx i / ds .
В работе используются сферические координаты, сопутствующая система отсчета
(радиальная скорость вещества v  dr / dt обращается в ноль) и геометрическая система
единиц: G  c  1. Выражение
(3)
T ik ;k  0 ,
является следствием уравнений Эйнштейна, для случая p  p (t ) из него следует, что
g 00  g 00 (t ) . Введем синхронно-сопутствующую систему отсчета с метрикой
ds 2  dt 2  F 2 dr 2  R 2 (d 2  sin 2 d 2 ) ,
(4)
где F  F (t , r ) , R  R(t , r ) . При сферической симметрии система уравнений Эйнштейна
состоит из четырех уравнений, но только три из них являются независимыми.
Уравнение G01  8T01 легко интегрируется, а результат удобно представить как
(5)
F  R' / 1  2E(r ) ,
где E (r ) – произвольная функция, ограниченная условием E (r )  1 / 2 . Теперь
уравнения G00  8T00 и G11  8T11 имеют вид
  0 .
(6)
8 (t , r )  R 2 R'  [ R( R 2  2 E (r ))]' , 8 p(t )  R2  2E (r )  R 2  2RR
Анализ уравнений (6) показывает, что если функции p и E положительные, то
допускается колебательный режим либо коллапс. Если давление отрицательное, то
возможен разлет шара.
Если давление можно считать постоянным, то уравнения (6) интегрируются как
1
RR 2  a(r )  2 E (r )  R  8 p  R 3 ;
(7)
8 (t , r )  a' / R 2 R'  8 p ,
3
где a (r ) – произвольная функция. Общее решение первого уравнения (7) можно
представить в виде квадратуры
1/ 3
 3 
8 p 3
 1  z 2  2E    z 2 / 3  6 p  t  b(r ) ; z  3a  R ;    8 pa 2  . (8)
В случае E  0 возможно точное решение
(9)
R  (3a / 8 p)1 / 3 sin 2 / 3 6 p  t  b(r ) ,
здесь b (r ) – произвольная функция.
Рассмотрим первое уравнение системы (7). Если давление положительное, а
функция E отрицательная, то модель ведет себя подобно пылевому шару в вакууме с
«замкнутой» геометрией, т.е. конечной стадией эволюции является коллапс. Если обе
функции p и E положительные, то кроме коллапса допускаются колебания.
Колебания возможны, если скорость равна нулю при двух значениях R , т.е. если
правая часть первого уравнения в (7) имеет два действительных положительных корня.
Неравенство  p  9a 2  4 E 3 является условием колебаний. Поскольку в нем
присутствуют функции a (r ) и E (r ) , то условия колебания могут нарушаться для
некоторых слоев шара, в результате они будут монотонно сжиматься.
Если знак давления сохранятся, а само давление мало меняется по абсолютной
величине или меняется медленно, то поведение модели будет подобно эволюции в
случае постоянного давления. Такой случай удобно анализировать качественно с
помощью фазовых портретов. Первое из уравнений (7) удобно переписать в виде
 R  V ,
(10)

V  (V 2  2 E ) / 2 R  4 p(t ) R.
dz
2


В случае постоянного давления система (10) становится автономной, для этого
случая обнаружено четыре варианта фазовых портретов:
1. Монотонное поведение: p  0 , E  0 величина
конечном значении V (рис.1).
R может обращаться в ноль при
2. Катастрофическое поведение: p  0 , E  0 , величина R может обращаться в ноль
при конечном значении V либо колебаться (Здесь имеется особая точка типа «центр»)
(рис.2).
3. Катастрофическое поведение: p  0 , E  0 , величина R  0 асимптотически при
V   либо R   при V   (рис.3).
4. Катастрофическое поведение: p  0 , E  0 . Величина R может обращаться в ноль
при конечном значении V слева от сепаратрисы. Величина R меняется в пределах
0  Rmin  R   , уменьшается при отрицательной скорости V  0 , а затем растет при
V  0 справа от сепаратрисы. Величина R меняется в пределах 0  R   и растет при
положительной скорости V  0 сверху от сепаратрисы. Величина R меняется в
пределах 0  R   и уменьшается при отрицательной скорости V  0 снизу от
сепаратрисы (Здесь имеется особая точка типа «седло») (рис.4).
Данная модель может отражать некоторые свойства реальных тел, например,
явление отскока при коллапсе. Некоторые решения можно интерпретировать как
пылевой шар (темная материя), погруженный в однородную жидкость (темная
энергия), т.е. эволюцию крупномасштабной неоднородности на однородном
космологическом фоне.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Для рисунков выбраны следующие значения параметров: на рис.1 — 8πp = 15, 2E = −
0.9; на рис.2 — 8πp = 0.3, 2E = 0.1; на рис.3 — 8πp = −1, 2E = 1; на рис.4 — 8πp = −10,
2E = − 0.9.
Следует отметить, что особая точка типа «центр» на рис. 2 предполагает малые
гармонические колебания в окрестности этой точки. Частота и период колебаний есть
2
 2 G p ,
(11)
T  2 1024 p 1 / 2 .
c
Здесь использована система СГС. Например, при p  2 1014 дин / см2 , T  14 109 лет .
В последнее время большое внимание уделяется моделям, с космологическим
членом, зависящим от времени (t ) CDM. Такие модели основаны на теоретических
работах, предсказывающих распад вакуума, т.е. DE переходит в другие формы,
например, CDM. Пока нет надежных данных о поведении функции (t ) , представляют
интерес качественные методы и частные точные решения.
Перепишем второе уравнение системы (6) как
  R 2  8 p(t )  R 2  2 E (r ) .
(12)
2 RR
Оно не имеет автономного вида. Однако если рассмотреть частные решения с
давлением 8 p(t )  C / t 2 , то заменой t  exp( ) уравнение сводится к виду
(13)
2VV ' '4VV 'V '2 V 2 (C  1)  2E; V  R  exp(  ), V '  dV / d .
Уравнение (13) можно представить как автономную динамическую систему на
плоскости (V , W ) , где W  V ' . Уравнение для фазовых траекторий имеет сложный вид
dW
E
W V (C  1)



2
(14)
dV W V 2V
2W
и требует численного исследования, хотя особые точки можно найти аналитически из
уравнений
V '  W  0, W '  E / V  V (C  1) / 2  0 .
(15)
В результате получаем координаты особой точки: W0  0, V0  2E /(C  1) . Чтобы
классифицировать эту особую точку, достаточно рассмотреть линеаризованное
уравнение для величины x  V  V0
x' '( E / V02  C / 2  1 / 2) x'( E / V02  C / 2  1 / 2) x  0 .
(16)
Дальнейший анализ уравнения (16) показывает, что в случае E  0 , C  1 0 имеется
особая точка типа «фокус». Эта точка получилась при включении диссипации, т.е.
уравнение (16) интерпретируется как уравнение гармонического осциллятора с
трением. В случае E  0 , C  1 0 имеется особая точка типа «седло».
Существуют и другие подходы для исследования (t ) CDM моделей, все они
называются космологическими моделями с взаимодействием в темном секторе. Общее,
что их объединяет, это гипотеза о переходе энергии от DE к CDM. Эта гипотеза
помогает объяснить две проблемы стандартной космологической модели, основанной
на идее инфляции: проблема космологической постоянной и проблема совпадений.
[1] Паклин Н.Н., Полукеев С.И. Динамика релятивистской сферы с однородным давлением // Молодежь и наука: сборник материалов Х Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 80-летию образования Красноярского края [Электронный ресурс] № заказа 2394/отв.
ред. О.А.Краев - Красноярск: Сиб. федер. ун-т.,2014.