Задачи на пропорции и проценты

Задачи на пропорции
𝑎
𝑑
Пропорцией называется верное равенство вида = , т.е. равенство двух
𝑏
𝑐
отношений, где b, c0. Числа а и c называются крайними членами, а числа b и
d – средними членами пропорции.
Свойства пропорции
Произведение крайних членов равно произведению средних. Если
то ac=bd.
𝑎
𝑏
𝑑
= ,
𝑐
В пропорции, все члены которой не равны нулю, можно менять местами
𝑎
𝑑
𝑎
𝑏 𝑐
𝑑 𝑐
𝑏
средние и крайние члены. Если = , то = ; = ; = .
𝑏
𝑐
𝑑
𝑐 𝑏
𝑎 𝑑
𝑎
Если произведение чисел а и с равно произведению чисел d и b и они все
𝑎
𝑑
не равны нулю, то из этих чисел можно составить пропорцию = .
𝑏
𝑎
Из пропорции =
𝑏
𝑎±𝑏
𝑎
=
𝑐±𝑑 𝑎±𝑏
𝑐
;
𝑏
=
𝑐
можно получить следующие пропорции:
𝑑
𝑐±𝑑 𝑎+𝑏
𝑑
𝑐
;
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑 𝑎±𝑐
;
𝑐−𝑑 𝑏±𝑑
=
𝑎
𝑏
𝑐 𝑎𝑚+𝑏𝑛
= ;
𝑑 𝑎𝑘+𝑏𝑟
=
𝑐𝑚+𝑑𝑛
𝑐𝑘+𝑑𝑟
.
Пример 1. На производство костюма было израсходовано 2,8 м2 ткани.
Площади ткани, израсходованной на пиджак, брюки и жилетку, относятся как
7:5:2. Сколько ткани пошло на брюки?
Решение. Пусть х м² приходится на 1 часть, тогда на пиджак пошло 7х м²,
брюки 5х м², а на 2х м² ткани.
7х+5х+2х=2,8; 14х=2,8; х =
2,8
=0,2; 5х=5∙0,2=1м² пошло на брюки
14
Ответ: 1м²
Задания для самостоятельной работы
1.Решите задачу:
11 1
1) На заводе работают токари и слесари, число которых относится как : .
12 2
Сколько всего рабочих на заводе, если токарей на 95 больше, чем слесарей?
2) Три автора поделили гонорар в соотношении5:6:8. Если бы они его делили
в соотношении 4:5:7, то один из них получил бы на 25 руб. больше. Сколько
рублей составляет гонорар?
3) Найдите сумму четырех чисел, образующих пропорцию, если известно, что
сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов таких четырех чисел
равна 221.
4) Найдите члены пропорции 𝑥1 : 𝑥2 = 𝑥3 : 𝑥4 , в которой первый член на 6
больше второго, а третий на 5 больше четвертого. Сумма квадратов всех
членов равна 793.
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Задачи на проценты
Процентом (%) числа а называется его сотая часть. Следовательно, само
число составляет 100 процентов.
При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за
100%, а ее часть – величина с – принимается за х % и составляется пропорция
𝑏
100
𝑐∙100
=
. Из этой пропорции определяют величину х: 𝑥 =
.
𝑐
𝑥
𝑏
Пример 1. Завод выпускал 500 изделий в месяц. В результате
технического перевооружения он стал выпускать 750 изделий в месяц. На
сколько процентов увеличилась производительность труда?
Решение. Выпуск продукции увеличился на 750 – 500=250 изделия.
Обозначим через х число процентов, на которое увеличилась
производительность:
500 - 100%
250 – х%
Отсюда 𝑥 =
250∙100%
500
= 50%
Ответ: на 50%
Пример 2. В результате увеличения производительности труда на 15%
завод стал выпускать 920 изделий в месяц. Сколько изделий в месяц выпускал
завод ранее?
Решение. Обозначим через х количество изделий, выпускаемых заводом
в месяц до увеличения производительности труда:
х – 100%
920 – 115%
Составим пропорцию и найдем х: 𝑥 =
выпускал 800 деталей в месяц.
920∙100%
115%
= 800. Итак, завод
Ответ: 800
Пример 3. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие - 12%.
Сколько килограммов сухих грибов получится из 22 кг свежих?
Решение. Если свежие грибы содержат 90% воды, то сухое вещество
составляет 100% - 90%-10%. Найдем массу сухого вещества в 22 кг свежих
грибов: 22·0,1=2,2 кг.
Так как в сухих грибах воды содержится 12%, значит, сухое вещество а
них составляет 88%. Найдем массу сухих грибов: 2,2:0,88=2,5 кг.
Ответ: 2,5 кг
Пример 4. Для хранения желудей их необходимо просушить. При этом
они теряют 8% своей массы. Сколько сырых желудей необходимо взять, чтобы
получить 46 кг, годных для хранения?
Решение. Пусть х кг сырых желудей необходимо взять, чтобы получить
46 кг, годных для хранения. При сушке теряется 0,08х. После сушки остается
х – 0,08х=0,92х (кг), что согласно условию равно 46. Составляем уравнение
0,92х=46; х=50 (кг).
Ответ: 50 кг
Пример 5. Найти натуральные числа m и n, для которых 35% их суммы
равно 150% их разности. В ответ записать наименьшие значения.
37
Решение. По условию задачи 0,35(m+n)=1,5(m – n). Тогда 𝑚 = 𝑛. Так
23
как m и n - натуральные числа, то n должно быть кратно 23, т.е. n=23k, тогда
m=37k, kN. Наименьшие значения эти числа принимают при k=1: n=23, m=37.
Ответ: n=23, m=37
Пример 6. На факультете X отличники составляют 10% от общего
количества студентов этого факультета, на факультете У - 20%, а на факультете
У - лишь 4%. Найти средний процент отличников но всем трем факультетам,
если известно, что на факультете У учится на 50% больше студентов, чем на
факультете X, а на факультете Z вдвое меньше, чем на факультете X.
Решение. Поскольку требуется найти отношение, то можно смело
вводить «лишнее» неизвестное. Пусть на факультете X учится х студентов,
тогда на всех трех факультетах учится х+1,5х+0,5х=3х студентов, отличников
среди них 0,1х+0,21,5х+0,040,5х=0,42х. Они составляют 0,42х100%/3х=14%.
Ответ: 14%
Пример 7. Масса бороды Карабаса-Барабаса составляет 40% его общей
массы. Буратино остриг ему часть бороды, после чего масса оставшейся части
бороды стала составлять 10% массы Карабаса-Барабаса. Какую часть бороды
остриг Буратино?
Решение. Пусть масса Карабаса-Барабаса равна m кг, тогда масса его
бороды равна 0,4m кг, а его масса без бороды - 0,6m кг.
Пусть Буратино остриг часть бороды массой х кг, после чего масса
оставшейся части бороды (0,4 - x) кг стала составлять 10% его массы (m - x) кг.
В задаче требуется найти отношение x/0,4m. Составим уравнение
0,4m - x=0,1(m - x), из которого получим x=m/3. Итак, Буратино остриг
x/0,4m=m/3:2m/5=5/6 бороды.
Ответ: 5/6
Пример 8. Ребро куба увеличили на 20%. На сколько процентов
увеличилась полная поверхность куба?
Решение. Пусть а – длина ребра куба, тогда 1,2а – длина ребра куба
после увеличения на 20%.
Имеем: S1=6а2 – площадь поверхности куба первоначально.
S2=6(1,2а)2=8,64а2 – площадь поверхности куба после увеличения длины ребра.
S1 - S2=8,64а2 - 6а2=2,64а2 – изменение площади поверхности куба.
2,64а2/6а2=0,44=44%.
Ответ: 44%
Пример 9. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда
цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит
ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб –
(100 - х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс
100−𝑥
200
1,2(𝑥 +
) = 100. Отсюда 𝑥 =
. При двукратном подорожании цен эта
2
3
величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше
стоимости денежки.
Ответ: хватит
Пример 10. Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму
1470 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за эту
же покупку уплатили 1326 долларов. Найти цену факса.
Решение. Пусть х – стоимость факса, у – стоимость телефона.
По условию 4у+3х=1470.
Так как цену на телефон снизили на 20%, то телефон стал стоить 80% от
первоначальной цены, то есть 0,8у – стоимость телефона после снижения.
По условию 3х+40,8у=1326.
Решим полученную систему двух уравнений методом алгебраического
4 y  3x  1470;
3x  3,2 y  1326.
сложения. 
Так как нам нужно найти только х, исключим у из системы, для чего
первое уравнение умножим на (–0,8) и сложим со вторым: 0,6х=150 
х=250.
Ответ: факс стоит 250 долларов.
Пример 11. Иван ответил на 85% вопросов в тесте, а Толя – на 90%. Но
Толя ответил только на 1 вопрос больше, чем Иван. Сколько вопросов было в
тесте?
Решение. Из условия задачи 1 вопрос составляет 90% - 85%=5%.
Следовательно, в тесте было 100%:5%=20 вопросов.
Ответ: 20
Пример 12. В октябре цена на яблоки была снижена на 10% по
отношению к цене в сентябре. В ноябре октябрьская цена повысилась на 10%.
Сколько процентов составляет ноябрьская цена по отношению к сентябрьской?
Решение. Пусть х – цена на яблоки в сентябре, тогда в октябре она стала
на (х:100%)·10%=0,1х меньше, т.е. 0,9х. После повышения в ноябре на 10%
цена составила 0,9х+0,09х=0,99х. Значит, в ноябре она составила 0,99 от цены в
сентябре, т.е. 99%.
Ответ: 99%
Пример 13. Цену товара сначала повысили на 10%, а затем понизили на
10%. На сколько процентов уменьшилась первоначальная цена?
Решение. Пусть х – первоначальная цена. После повышения цены на 10%
новая цена составила 1,1х. После следующего понижения цена стала равна
1,1х – 0,1·1,1х=0,99х. Значит, первоначальная цена уменьшилась на 1%.
Ответ: на 1%
Пример 14. Первое из неизвестных чисел составляет 140% второго, а
отношение первого к третьему 14:11. Найдите эти числа, если разность между
третьим и вторым на 40 меньше числа, составляющего 12,5% суммы первого и
второго чисел.
Решение. Пусть второе число х. Тогда первое число 1,4х, третье число
(11:14)·1,4х=1,1х. Из условия задачи следует уравнение 1,1х – х=0,125(1,4х+х) –
40. Отсюда х=200; 1,4х=280; 1,1х=220.
Ответ: 280; 200; 220
Пример 15. За 1 кг одного продукта и 10 кг другого заплачено 2 руб.
Если пи сезонном изменение цен первый продукт подорожает на 15%, а второй
подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено
1 руб. 82 коп. Сколько стоит килограмм каждого продукта?
Решение. Пусть стоимость 1 кг первого продукта х руб; 1 кг второго
продукта – у руб.
Стоимость первого продукта после подорожания х+0,15х=1,15х.
Стоимость второго продукта после снижения цены у – 0,25у=0,75у.
𝑥 + 10𝑦 = 2,
Из условия задачи: {
. Отсюда х=0,8; у=0,12 или
1,15𝑥 + 10 ∙ 0,75𝑦 = 1,82
80 и 12 коп.
Ответ: 80 коп.; 12 коп.
Пример 16. 20 г соли растворили в 60 г воды. Какова концентрация
полученного раствора слои?
Решение. Концентрация раствора – это отношение массы соли к массе
раствора, выраженное в процентах. Всего получилось 20+60 г раствора.
Обозначим через х концентрацию соли в растворе. Тогда 80 г соответствует
80
100
100%, 20 г соответствует х%. составим пропорцию:
=
. Отсюда 𝑥 =
20∙100
80
20
𝑥
= 25. Таким образом, концентрация раствора соли равна 25%
Ответ: 25%
Пример 17. Сколько граммов соли и воды содержится в 60 г 15%-го
раствора соли?
Решение. Пусть х – масса соли в растворе. Тогда 60 г соответствует
60
100
100%, х г соответствует 15%. Составим пропорцию:
=
. Отсюда 𝑥 =
60∙15
100
𝑥
15
= 9. В растворе содержится 9 г соли и 60 – 9=51 г воды.
Ответ: 9 г соли и 51 г воды
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить:
1) 18 % от 330
2) 180% от 31,2
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
1
3
2. Найти число, если:
1) 140% его равны 182
2
2) 1 % его равны 4,75
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
3
10)
3. Найти число, если:
1) 5% его составляют 23% от 15,5
2) 6,5% его составляют 34% от 32,5
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
4. Решите задачу:
1) Яблоки при сушке теряют 85% массы. Сколько килограммов свежих яблок
надо взять, чтобы приготовить10,5 кг сушеных?
2) Цветы при сушке теряют 72% массы. Сколько килограммов цветов надо
взять, чтобы приготовить из них 12,25 кг сухих цветов?
3) Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов морской воды
нужно взять, чтобы получить при выпаривании 17,25 кг соли?
4) В свекле содержится 21% сахара. Сколько тонн свеклы нужно взять, чтобы
в ней содержалось 7,413 т сахара?
5) Число увеличили на 25%. На сколько процентов надо уменьшить
результат, чтобы получить исходное число?
6) Партия товара была подана за 864 рубля. Прибыль составила 8%. Какова
себестоимость товара (в рублях)?
7) В каком количестве воды (в литрах) надо растворить 400 г соли, чтобы
получить 5% раствор соли?
8) Планку длиной 525 см разрезали на две части так, что первая оказалась
короче второй на 25%. Найти длину каждой части.
9) Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6% примеси. Каков
процент примесей в руде?
10) Одна часть поля засеяна овсом на 65%, а другая – на 45%. Найти, какую
часть площади всего поля в процентах составляет первая часть, если все поле
было засеяно овсом на 53%.
5. Решите задачу:
1) Найти число, если его 42% равны 30% числа 140.
2) На сколько процентов увеличится произведение двух числе, если одно из
них увеличить на 30%, а другое – на 20%?
3) На сколько процентов уменьшится произведение двух чисел, если одно из
них уменьшить на 25%, а другое – на 50%?
4) На сколько процентов уменьшится дробь, если ее числитель уменьшить на
70%, а знаменатель – на 25%?
5) На сколько процентов уменьшится дробь, если ее числитель уменьшить на
20%, а знаменатель увеличить на 60%?
6) На сколько процентов увеличится дробь, если ее числитель уменьшить на
10%, а знаменатель - на 50%?
7) На сколько процентов уменьшится произведение двух чисел, если одно из
них увеличить, а другое уменьшить на 30%?
8) Известно, что 5% первого числа и 4% второго составляют в сумме 44, а 4%
первого числа и 5% второго составляют в сумме 46. Найдите эти числа.
9) Буханка хлеба подорожала на 20%, потом еще на 30%. На сколько
процентов подорожала буханка хлеба по сравнению с первоначальной ценой?
10) Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской, чтобы
содержание сои в ней было на 5%,а 2%?
6. Решите задачу:
1) Один завод должен был выпустить по плану 200 станков в год. Однако он
выполнил план на 112% и вместе с другим заводом, выполнившим план на
110%, выпустил 400 станков в год. Сколько станков в год должен был
выпустить другой завод по плану?
15
2) После двух последовательных повышений зарплата составила частей от
8
первоначальной. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз,
если второе повышение было вдвое больше (в процентном отношении)
первого?
3) В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой
продукции, в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько
процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
4) Найти сумму трех чисел, если третье относится к первому как 4,5:
составляет 40% второго, а сумма первого и второго равна 400.
15
4
и
5) В первую поездку автомобиль израсходовал 10% бензина, имевшегося в
баке, во вторую поездку – 25% остатка. После этого бензина в баке осталось
на 13 л меньше, чем было первоначально. Сколько литров бензина
находилось в баке первоначально?
6) Цену товара сначала снизили на 20%, а затем новую цену снизили еще на
15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На
сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
7) Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше,
чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом
ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
8) До просушки влажность зерна была равна 23%, а после просушки
оказалась равной 12%. На сколько процентов уменьшилась масса зерна?
9) На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его
длину увеличить на 20%, а ширину на 10%?
10) В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке
сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды
во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В
какой бочке стало воды больше?
7. Решите задачу:
1) При проверке влажность зерна оказалась равной 20%. 10 ц этого зерна
просушили, после чего оно потеряло 100 кг. Определите влажность зерна
после просушки.
2) На складе есть 100 кг ягод. Проведенный анализ показал, то в ягодах
содержится 99% воды. Через некоторое время анализ показал, что
содержание воды в ягодах упало до 98%. Какова теперь масса ягод?
3) Зерно на складе имело влажность 20%. После просушивания его влажность
стала 15%. Какова стала масса зерна после просушивании, если при
первоначальной влажности она была равна 51 т?
4) Заработная плата повысилась на 15%, а цены на товары снизились на 8%.
На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?
5) На заводе 40% всех станков были усовершенствованы, в результате чего их
производительность повысилась на 80%. На сколько процентов повысился
выпуск продукции на заводе?
6) Мороженое содержит 18,5% молочного жиру и сахару вместе, остальная
часть – вода. Сколько сахара и воды в отдельности содержится в 200 г
молочного мороженого, если сахару в нем содержится на 11,5% от всей
массы мороженого больше, чем молочного жиру.
7) Девочки составляют 25% от числа мальчиков. Если одну девочку заменить
на мальчика, то их число будет составлять 20% от числа мальчиков. Сколько
девочек и сколько мальчиков было первоначально?
8) В начале учебного года в школе число мальчиков и девочек было поровну.
В течение первой четверти в школу было принято еще 15 девочек и 5
мальчиков, в результате число девочек составило 51% от числа всех
учащихся. Сколько девочек и сколько мальчиков было в школе в начале
учебного года?
9) В классе число отсутствующих учеников составляет 12,5% числа
присутствующих. Если из класса выйдут еще два ученика, то будет
отсутствовать 20% числа учеников. Сколько всего учеников в классе?
10) В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка пересыпать
во второй 12,5% муки, то в обоих мешках муки будет поровну. Сколько
килограммов муки в каждом мешке?
Задачи на процентный рост
Пример. За 3 года население города увеличилось с 2000000 до 2315250
сел. Найдите среднегодовой процент прироста населения.
Решение.
2315250=2000000(1 +
𝑝
100
)3 ,
откуда
3
2315250
𝑝 = 100(√
2000000
−
1)=5%.
Ответ: 5%