так как по условию

Тогда
4
2 2
4
 2 x  3x y  y dxdy 


G
   2r 4 cos 4   3r 4 cos 2  sin 2   r 4 sin 4   rdrd 
G*
  r 5  2cos 4   3cos 2  sin 2   sin 4   drd 
G*

  1  cos 2  3 2
 1  cos 2 
5
0 r dr 0  2  2   4 sin 2   2 


r6
6
2
2

2
2 2
0
2
 1  2cos 2  cos 2 2
 
2
0

2

 d 

3 1  cos 4  1  2cos 2  cos 2 2 

 d 
8
4

4
3
1  cos 4 3 3cos 4 1 1
1  cos 4 
 
  cos 2 
 d 
4
8
8
4 2
8

1
  2  cos 2 
0
4

3
2
3
3

1
  4  2 cos 2  4 cos 4  d 
0
2
4 3
3
1

    sin 2  sin 4   2 .
3 4
4
16
0
6 Вычислить
 x dydz  y dxdz  z dxdy , где поверхность
2
2
2


есть внешняя сторона сферы x2  y 2  z 2  16 , лежащая в первом
октанте.
Решение.
Поверхность
задана
неявно
уравнением
F  x, y, z   0 , Fz  0 z  0 . По условию, нормаль к внешней
стороне образует угол  
n

2
:
1
1
x y 
Fx, Fy, Fz   2 x, 2 y, 2 z    , ,1 ;

Fz
2z
z z 
при этом z  16  x 2  y 2 .
Тогда получим

 x dydz  y dxdz  z dxdy    x
2

2
2
G
211
2
x
y

  y 2   z 2  dxdy 
z
z

1

    x3  y 3   z 2  dxdy 
z


G


 16  x 2  y 2  dxdy .
2
2

 16  x  y

x3  y 3
 
G
Область G – часть круга, лежащая в первой четверти:
x  y 2  16 , так как по условию x  0 , y  0 . Перейдем к
полярным координатам:
2
x  r cos  , y  r sin  , 0  r  4 , 0   
якобиан отображения есть J  r .
Тогда
 r 3 cos3   r 3 sin 3 

I   r 
 16  r 2  drd 
16  r 2

G* 
 r4

  
 cos3   sin 3    16r  r 3  drd 
2

G  16  r

2
,
*


2
4
0
0
   cos3   sin 3   d 

r
4
16  r 2
2
4
0
0
dr   d  r 16  r 2  dr 

2
4
2
r 4 dr


2
2
   1  sin   d sin    1  cos   d cos   

2
0
0
 0 16  r




 r  4sin t



  16r 2 r 4 
 
    dr  4 cos tdt  
2 2
4 0



0  t 


2

4


3
2



sin

cos3  

=   sin  

cos





3 0 
3 



44  sin 4 t  4cos tdt 
   2  64  64  
4cos t
2
0
2

212

2
0







2
4  64 2
2
2 2
     64  1  cos 2t  dt  32 
1  2 cos 2t  cos2 2t  dt 

3
3 3
0
0

256 2 
1 1

1  2cos 2t   cos 4t  dt  32 

3 0
2 2

32 

256  3
1
2

 t  sin 2t  sin 4t   32 
3 2
8
0
256 3

 32  64  32  96 .
3 4
7
Вычислить
 xdydz   y  z  dzdx   z  y  dxdy ,

где

 есть внешняя сторона верхней полусферы
x  y  z 9.
Р е ш е н и е . Зададим поверхность  параметрическими
уравнениями
x  3zin cos  , y  3sin  sin  , z  3cos  ,
поверхность
2
2
где 0   
Имеем:
2

2
, 0    2 .
D  y, z 
 9sin 2  cos  ;
D  , 
D  z, x 
 9sin 2  sin  ;
D  , 
D  x, y 
D  , 
 9cos  sin  .
Тогда получим
 xdydz   y  z  dzdx   z  y  dxdy 

  3sin  sin   3cos  9sin 2  sin  
2
2
 d   3sin  cos  sin  cos 
0
  3cos  3sin  sin   9cos sin  )d 
213

2
0

2
 27  d   sin 3   cos 2  sin   d 
2
0
0

2
 27  2  sin  d  54 1  cos 

2
0
 54 1  54 .
0
8 Вычислить интеграл
 xdydz  ydzdx  zdxdy
по верхней

стороне плоскости x  z  1  0 , отсеченной плоскостями y  0 и
y  4 и лежащей в первом октанте (рисунок 2. 16).
Р е ш е н и е . По определению
 xdydz  ydzdx  zdxdy    xdydz   ydzdx   zdxdy .

Gyz
Gzx
Gxy
Рисунок 2. 16 – Поверхность интегрирования
к типовому примеру 8
Найдем значения направляющих косинусов
1
1
cos  

 0;
2
12  02  12
0
cos  
 0;
12  02  12
1
1
cos  

0.
2
12  02  12
Интеграл
 ydzdx  0 , так как плоскость  параллельна оси
Gzx
Oy (нормаль и ось Oy перпендикулярны), первый и третий
интегралы нужно взять со знаком “+”.
Тогда находим
214
4
1
0
0
4
1
0
0
 zdxdy   1  x  dxdy   dy  1  x  dx  2 ,

Gxy
 xdydz   1  z  dydz   dy  1  z  dz  2 .

G yz
 xdydz  ydzdx  zdxdy  4 .
Следовательно,

Тема 14 Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса
1 По внешней стороне замкнутой поверхности  тела Q ,
заданного
интеграл
неравенствами
x2  y 2  z 2 ,
0  z 1,
вычислить
 x zdydz  ydzdx  zdxdy .
2

 xdydz  ydzdx  zdxdy ,
2 Вычислить
где  – внешняя

x2 y 2 z 2

 1 .
a 2 b2 c 2
3 Вычислить   x  3 y  2 z  dx   2 x  z  dy   x  y  dz , где 
сторона поверхности

– контур ABC с вершинами A  2,0,0  , B  0,3,0  , C  0,0,1 в
положительном направлении.
4 Вычислить  z 2  x 2 dx  x 2  y 2 dy  y 2  z 2 dz по







 , являющимся линией пересечения поверхностей
x  y  z 2 , x2  y 2  z 2  4 и пробегаемый в положительном
направлении ( z  0 ).
контуру
2
2
5 Вычислить
 2 x
2
 y 2  dx   x  y  dy , где  – контур
2

ABC : A 1;1 , B  2;2  , C 1;3 , пробегаемый в положительном
направлении.
6 Вычислить  x 2 dydz  y 2 dzdx  z 2 dxdy , где  – внешняя

полная поверхность конуса
x2 y 2 z 2

  0  0  z  3 .
4
4
9
215
 x dydz  y dxdz  z dxdy ,
7 Вычислить
3
3
3
где  – внешняя

сторона сферы x2  y 2  z 2  25 .
 y dx  x dy  z dz , где
8 Вычислить
2
2
2
 – линия пересечения

параболоида x2  z 2  1  y с координатными плоскостями.
9 Вычислить
  y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz ,
где 
–

окружность x2  y 2  z 2  9 , x  y  z  0 .
Примеры оформления решения
1
Вычислить интеграл
 xdydz  ydzdx  zdxdy ,
где

поверхность  есть внешняя сторона пирамиды, ограниченной
плоскостями x  y  z  1  0 , x  0 , y  0 , z  0 (рисунок 2. 17).
Рисунок 2. 17 – Поверхность интегрирования
к типовому примеру 1
Р е ш е н и е . Используя формулу Остроградского-Гаусса, имеем
 xdydz  ydzdx  zdxdy   1  1  1 dxdydz  3 dxdydz 

V
1
1 x
1 x  y
0
0
0
 3 dx  dy

1
1 x
0
0

V
1 x  y
dz  3 dx  z 0
2
1
1  x 
= 3 1  x  x 1  x  

2
0
2 Вычислить


y2
dy  3  y  xy 

2
0
1

1 1
 dx  3   .

6 2

216
1 x
0

 dx 


I    e2 y  x  dydz   x  2 y  dzdx   y 2  3z  dxdy ,

где  – внешняя сторона поверхности шара
 x  1
2
 y 2   z  5  9 .
2
Р е ш е н и е . Имеем:
P  x, y, z   e2 y  x ; Q  x, y, z   x  2 y ; R  x, y, z   y 2  3z .
Отсюда
P Q R


1 2  3  2.
x y z
По формуле Остроградского-Гаусса получим
4
I  2  dxdydz  2    33  72 ,
3
Q
так как
 dxdydz численно равен объему шара радиуса R  3 .
Q
3 Вычислить интеграл
x
2
y 3 dx  dy  zdz , используя формулу

Стокса, где

  x; y; z  x
2

 y2  R2 , z  0 ,
взяв в качестве поверхности полусферу (рисунок 2. 18)

 x; y; z  z  

R2  x2  y 2 .
Р е ш е н и е . Так как
P R
Q P
R Q

0,

 3x 2 y 2 ,

 0,
z x
x y
y z
по формуле Стокса, получаем
Рисунок 2. 18 – Поверхность интегрирования
к типовому примеру 3
217
x


2
y 3 dx  dy  zdz  3 x 2 y 2 dxdy  3 x 2 y 2 dxdy 

G
 x  r cos  ,

 y  r sin  ,

2
R

  3 d r 5 sin 2   cos 2  dr 

0 0
0  r  R,0    2 , 


 J  r.

2
R
 3  sin 2   cos 2  d  r 5 dr  
0
0
R6 1

2 4
2
 sin
2
2 d 
0
2
R6 1
R 6 2
 R6
  1  cos 4  d    0  0  
.
8 2 0
16
8
4 Вычислить
I    x  y  dx   x  z  dy   y  z  dz


по контуру, где A 1,0,0  , B  0,1,0  , C  0,0,1
Р е ш е н и е . Имеем
P  x y, Q  x z , R  y z.
Тогда по формуле Стокса получим
I   1  1 dydz   0  0  dzdx  1  1 dxdy 

1
  2dtdz  2 dydz  2   1 .
2

G
где G – плоскость ABC (внешняя сторона); это плоскость,
отсекающая на осях координат отрезки длины единицы. Так как
нормаль к внешней стороне плоскости образует с осью Ox угол


2
, то по правилу вычисления поверхностных интегралов 2-го
рода можно записать:
 dydz   dydz .

Имеем
 dydz  S ,
D
где D – треугольник прямоугольный в
D
плоскости x  0 с катетами длины 1 ( D – проекция плоскости
ABC на плоскость x  0 ), а S – площадь этого треугольника
1
1
S  1 1  .
2
2
218
Тема 15-17 Скалярные и векторные поля
1 Найти линии и поверхности уровня скалярных полей:
а) U  xy ;
в) U  x  y  z ;
2x
;
г) U  x 2  y 2  z 2 .
x  y2
2 Найти производную в точке M по заданному направлению
MM 1 скалярных полей:
б) U 
2
а) U  y 3  4 xy 2  3x  6 y  1 , M  2;1;0  , M 1  1;5;0  ;
б) U  x 3  y 3  z 3  xyz , M 1;1;1 , M 1  1;0;3 .
3 Найти градиент и его модуль скалярных полей:
а) U  x 2  6 xy  y 2  10 x  2 y  9 ;
б) U  xyze x  y  z .
4 Найти векторные линии векторных полей:
а) a  x 2 i  y 2 j  z 2 k ;
б) a  xi  yj .
5 Найти поток векторного поля
a   y  x  i   x  y  j  yk
через сторону треугольника  , вырезанного из плоскости
x  y  z  1  0 координатными плоскостями.
a  yi  xj  z 2 k
6 Найти поток векторного поля
через
поверхность части параболоида 1  z  x  y , отсекаемой от него
плоскостью z  0 (нормаль внешняя).
7 Вычислить поток для векторных полей a и положительно
ориентированных замкнутых поверхностей  :
а) a  z 2 i   xy  1 j   z  y  k ,
2
2
 =  3x  2 y  z  6, x  0, y  0, z  0  ;


б) a  y 2  xz i   yx  z  j   yz  x  k ,
 =
x
2

 y 2  1, z  0, z  2 .
8 Найти поток векторного поля
a   x  y  i   x  y  j  z 2k
через поверхность цилиндра, заключенную между плоскостями
z  0 и z  2 (нормаль внешняя).
9 Найти дивергенцию векторных полей:
219

 

а) a  x 2  y 2 i  x3  y 3 j ;


б) a  xyzi   2 x  3 y  z  j  x 2  z 2 k .
10 Найти ротор векторных полей:
а) a  xyzi   2 x  3 y  z  j  x 2  z 2 k ;



 

б) a   2 x  y  5 z  i  x 2  y 2  8 z 2 j  x 3  y 3  2 z 3 k .
11 Вычислить циркуляцию векторного поля
a  z 2  y 2 i  x2  z 2 j  y 2  x2 k

 
 

по контуру треугольника с вершинами 1;0;0  ,  0;1;0  ,  0;0;1 по
определению и с помощью формулы Стокса.
12 Вычислить циркуляцию векторного поля
a   x  yi   y  z j   z  xk
вдоль линии, состоящей из части винтовой линии x  a cos t ,
bt
от точки A  a;0;0  до точки B  a;0; b  и
2
прямолинейного отрезка BA по определению и с помощью
y  a sin t , z 
формулы Стокса.
13 Выяснить, являются ли соленоидальными и потенциальными
векторные поля:
а) a  x 2 zi  y 2 j  xz 2 k ;
б) a  y 2 zi  xz 2 j  x 2 yk ;
в) a   yz  2 x  i   xz  zy  j  xyk ;


г) a   2 xy  z  i  x 2  2 y j  xk .
В случае потенциальности найти потенциал.
Примеры оформления решения
1 Найти линии и поверхности уровня скалярных полей:
а) U  x, y   x 2  2 y ;
б) U  x, y, z   x 2  y 2 .
Р е ш е н и е . а) функция, задающая потенциал поля, зависит от
двух переменных. Следовательно, уравнения линий уровня поля
имеют вид x2  2 y  C . С геометрической точки зрения, это
множество парабол (рисунок 2. 19, а), определенное на всей
плоскости Oxy ;
220
Рисунок 2. 19 – Линии (а) и поверхности (б) уровня
к типовому примеру 1
б) заданный потенциал определяет скалярное поле во всем
пространстве ℝ3. Уравнения эквипотенциальных поверхностей
имеют вид x2  y 2  C , С  0 . С геометрической точки зрения,
это множество круговых цилиндров (рисунок 2. 19, б).
2 Найти производную скалярного поля u  xyz в точке
P0 1; 1;1 по направлению вектора P0 P1 , где P1  2;3;1 .
Р е ш е н и е . Найдем направляющие косинусы
P0 P1  1;4;0  , длина которого P0 P1  17 . Имеем
вектора
1
4
, cos  
, cos   0 .
17
17
Вычислим значения частных производных функции U  xyz в
cos  
точке P0 1; 1;1 :
U  P0 
x
Получаем
 yz P  1 ,
U  P0 
y
0
U  P0 
 xz P  1 ,
U  P0 
0
z
 xy P  1 .
0
1
4
3

 1 0 
.
l
17
17
17
3 Найти градиент поля U  x2  xyz в точке P0 1; 1;2  и
наибольшую скорость изменения потенциала в этой точке.
Р е ш е н и е . Определим значения частных производных
функции U  x2  xyz в заданной точке:

U  P0 
x
  2 x  yz  P  0 ;
0
221
U  P0 
y
 xz P  2 ;
0
U  P0 
z
 xy P  1 .
0
Тогда имеем
U
 5.
lmax
4 Найти векторные линии магнитного поля бесконечного
проводника, по которому проходит ток силой I .
Р е ш е н и е . Выберем направление оси Oz , совпадающее с
направлением тока I . В этом случае вектор напряженности
2
магнитного поля H  2 I  r , где I  I  k – вектор тока; r –

радиус-вектор точки P  x; y; z  ;  – расстояние от оси проводника
gradU  P0   2 j  k ;
до точки M . Найдем I  r :
i j k
I  r  0 0 I   yI  i  xI  j ,
x y z
H
2I

2
yi 
2I
2
x j.
Система дифференциальных уравнений векторных линий имеет
вид
dx dy dz
.


y x
0
Отсюда
 x 2  y 2  c1 ,
 xdx  ydy  0,
и


 dz  0,
 z  c1 ,
где c1  0 .
Таким образом, векторными линиями магнитного поля
бесконечного проводника являются окружности с центрами на
оси Oz .
5 Вычислить поток вектора a  y 2 j  z  k через внешнюю
сторону поверхности  , представляющую собой часть
параболоида
z2
z  x2  y 2 , отсеченного плоскостью
(рисунок 2. 20).
222
Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию U  x, y , z   z  x 2  y 2 .
Рисунок 2. 20 – Поверхность к типовому примеру 5
Единичный нормальный вектор к внешней стороне поверхности
 равен


2x
2y
1
,
n 
;
;
 1  4 x2  4 y 2 1  4 x2  4 y 2 1  4 x2  4 y 2 



  .
2
Тогда поток равен
так как
   a  n dS  

 


2 y3  z
1  4x  4 y
2
2
1

cos   
1  4 x2  4 y 2


2 y3  z
dxdy
dS   dS 

cos 
1  4 x2  4 y 2


2
2
  1  4 x  4 y dxdy,

 1  4 x 2  4 y 2 dxdy =
   2 y 3  z  dxdy   z  x 2  y 2     2 y 3  x 2  y 2 dxdy 

Gxy
 x  r cos  ,



3
3
2
  y  r sin  , J  r ,
    2r sin   r  rdrd 
0  r  2, 0    2  G*


223

,







2

2
4
3
3
 d   2r sin   r  dr  2 .
0
0
6 Найти дивергенцию векторного поля
a  y 2  i  x2  y 2  j   z 3 y 2  x  k




в точках M1  2;1; 2  , M 2  7;0;1 , M 3  0;0;0  .
Решение.
Заданное
поле
определено
на
всем
пространстве ℝ . Найдем частные производные от функций
X  y2 , Y  x2  y 2 ; Z  z 3 y 2  x
3




являющихся координатами вектора a  M  , и их значения в точках
M1 , M 2 и M 3 :
X
 0,
x
Z
Y
 3y2  x
 2 y ,
y
z
Y  M 1 
y
Y  M 2 
y
Y  M 3 
y
Тогда
 2 ,
 0,
0,
Z  M 1 
z
Z  M 2 
z
Z  M 3 
z
1,
7,
0.
diva  M1   0  2  1  1 ,
diva  M 2   0  0  7  7 ,
diva  M 3   0  0  0  0 .
Таким образом, данное поле в точке M 1 имеет сток, в точке M 2
– источник, а в точке M 3 нет ни источника, ни стока.
7 Используя теорему Остроградского - Гаусса, вычислить поток
векторного поля
2 xz 1  y   1  y 2
 x2 y

a 

6
yz

i

2
x

arctg
y

j

k

2
1  y2
1 y

через
внешнюю
сторону
поверхности
z  1  x2  y 2 ,
224
расположенную над плоскостью Oxyz .
Р е ш е н и е . Для того чтобы можно было применить теорему
Остроградского - Гаусса, «замкнем» снизу данную поверхность
частью плоскости Oxy , ограниченной окружностью x2  y 2  1 .
Пусть Q – пространственная область, ограниченная замкнутой
кусочно-гладкой поверхностью  , состоящей из параболоида
вращения 1 
  x; y; z  z  1  x
2
 y2

и круга  2 на плоскости
Oxy (рисунок 2. 21).
Рисунок 2. 21 – Поверхность к типовому примеру 7
Дивергенция diva  M  по формуле (8.12) равна:
diva  M  
2 x 1  y 
X Y Z
2 xy
2x





 0.
2
2
x y z 1  y 1  y
1  y2
На основании формулы Остроградского - Гаусса поток  через
замкнутую поверхность  равен нулю.
С другой стороны, обозначим через 1 и  2 потоки через
поверхности параболоида 1 и круга  2 соответственно. По
свойству аддитивности поверхностного интеграла 2-го рода
получим
  1 2   a  n1 dS   a  n2 dS  0 .
1
2
Следовательно, искомый поток
1   a  n1 dS   a  n2 dS .
1
2
Так как z  0 на поверхности  2 и n2  k , то
a
x2 y
 i  2 x  arctg y  j  k ,
1  y2
225
a  n2  1 .
Тогда поток через внешнюю сторону поверхности z  1  x2  y 2 ,
расположенную над плоскостью Oxyz равен
1   dS    12   .
2
8 Найти циркуляцию векторного поля
a  xy  i  yz  j  xz  k
вдоль линии  , являющейся пересечением цилиндра x2  y 2  1 и
плоскости x  y  z  1 .
Р е ш е н и е . Линия
представляет собой эллипс.

Параметрические уравнения  можно получить с учетом того, что
все точки  проектируются на плоскость Oxy в окружность
x2  y 2  1 , параметрические уравнения которой есть
x  cos t , y  sin t , t  0;2  ,
и те же точки линии  лежат на плоскости z  1  x  y .
Следовательно, параметрические уравнения  имеют вид:
x  cos t , y  sin t , z  1  sin t  cos t ,
где t  0;2  .
Тогда
dx   sin tdt , dy  cos tdt , dz    cos t  sin t  dt .
Согласно формуле (8.14), циркуляция равна
C   a  dr   Xdx  Ydy  Zdz   xydx  yzdy  xzdz 



2
  ( sin 2 t cos t  sin t cos t 1  cos t  sin t  
0
 cos t 1  cos t  sin t  sin t  cos t )dt   .
9 Найти ротор векторного поля
a   x2  y 2  i   y 2  z 2  j    z 2  x2  k
в произвольной точке.
Р е ш е н и е . Заданное
поле
a  x; y; z 
определено
и
непрерывно-дифференцируемо на всем пространстве ℝ3. Для
координатных функций
X  x2  y 2 , Y  y 2  z 2 , Z  z 2  x 2
226
по формуле (8.16) имеем
i

rot a 
x
2
x  y2
j

y
2
y  z2
k


z
x2  z 2


 2 z  i  2 x  j  2 y  k  2 z  i  x  j  y  k .
10 Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию
векторного поля a  y  i  x 2  j  z  k по линии  , являющейся
пересечением поверхностей x2  y 2  4 и z  3 .
Р е ш е н и е . Линия  представляет собой окружность
радиусом 2 с центром в точке  0;0;3 , лежащую в плоскости
(рисунок 2. 22).
Рисунок 2. 22 – Поверхность к типовому примеру 10
Параметрические уравнения линии  имеют вид
x  2cos t , y  2sin t , z  3 , t  0;2  .
Для вычисления циркуляции по формуле Стокса выберем
какую-нибудь поверхность  , «натянутую» на  . Возьмем в
качестве  круг, границей которого является окружность  .
Согласно выбранной ориентации контура, нормалью n к кругу 
является единичный вектор k оси Oz .
Ротор равен
i

rot a 
x
y
j

y
x2
k

  2 x  1  k .
z
z
Тогда по формуле Стокса циркуляция равна
227
C    rot a  n  dS    2 x  1 cos  dS    2 x  1 dxdy 


Gxy
 x  r cos  ,
 2
2

  y  r sin  , J  r ,    d  r  2r cos   1 dr  4 .
0
0  r  2, 0    2  0
11 Проверить, является ли потенциальным векторное поле
a  2 xyz  i   x 2 z  j  x 2 y  k .
Р е ш е н и е . Ротор равен
i

rot a 
x
2 xyz
j

y
x2 z
k

  x 2  x 2  i   2 xy  2 xy  j   2 xz  2 xz  k  0 .
z
x2 y
Следовательно, заданное поле потенциально.
12 Проверить, являются ли соленоидальными следующие поля:
а) a1  x z 2  y 2  i  y x 2  z 2  j  z y 2  x 2  k ;










б) a2  y 2  i  x 2  y 2  j  z 3 y 2  1  k .
Р е ш е н и е . а) имеем
div a1  z 2  y 2  x 2  z 2  y 2  x 2  0 .
Значит, поле a1  M  соленоидально;
б) имеем
div a2  2 y  3 y 2  1  0 .
Значит, поле a2  M  не является соленоидальным.
228
Раздел 4 Интегралы, зависящие от параметра
Тема 1-3 Собственные и несобственный
зависящие от параметра,
1 Найти производные функций:
x2
интегралы,
x
в) F  x     x  y  f  y  dy ;
а) F  x    e x y dy ;
2
0
x
b 

sin  x
dx ;
б) F    
г) F     f  x  dx .
x
a 
0
2 Вычислить интегралы:
1 b
b
x  xa
xb  x a
dx , a  0 , b  0 , если
  x y dy ;
а) 
ln x
ln x
0
a

б)
e
 ax 2
cos bx dx .
0
3 Исследовать равномерную сходимость интеграла

cos  x
 1  x 2 dx ,   x   .
4 Вычислить несобственные интегралы, зависящие от
параметра:

cos ax cos bx
dx , a  0 , b  0 ;
а) 
x
0

б)
e

 ax 2  2 bx  c

dx , a  0 , ac  b2  0 ;


в)

0

г)

0
sin ax sin bx
dx ;
x
e x  cos  x
dx ,   0 .
x2
2
Примеры оформления решения
1 Найти производную функции
y
  y     x 2  y 2  xy  dx .
0
229
Р е ш е н и е . Имеем:
y
 '  y     2 y  x  dx   y 2  y 2  y 2   1   y 2   0 
0
y

x2 
y2
  2 xy    3 y 2  2 y 2 
 3 y 2  5,5 y 2 .
2
2

0
2 Исследовать на равномерную сходимость интеграл

e
x
0
cos xydx , y  ℝ.
   0 . Покажем, что существует
Р е ш е н и е . Возьмем
b '  b '  y;   .
Имеем

x
 e cos xydx 

Положим b '  y;    ln
неравенство
2



e

x
dx  e 

2
 .
. Тогда    b ';   выполняется
e

x
cos xydx   .
Согласно определению, интеграл сходится равномерно по
параметру y на ℝ.
3 Исследовать на равномерную сходимость интеграл

 ye
 xy
dx , y  0;   .
0
Решение.
Покажем,
что
определение
равномерной
1
сходимости не выполняется. Возьмем   . Тогда  b '   0;  
e
1
такие, что
  b ' и y 
b'
t 



t  xy, y  x , 
 xy
 xy

 ye dx  b' ye dx   t
x  , dx  dt 


y
230



et dt 

b ' y
e
t
dt  e1   .
1

Следовательно, интеграл
 ye
 xy
dx сходится неравномерно по
0
параметру y на множестве Y  0;   .
4 Исследовать на равномерную сходимость интегралы

а)
e
 x 2
dx при    0 ;   ,  0  0 и   0;   ;
0

б)
x
0
2
dx
, y  ℝ.
 y2  1
Р е ш е н и е . а) пусть    0 ;   . Так как e x  e0 x
2

e
 0 x 2
2
и
dx сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл
0

e
 x 2
dx сходится равномерно по параметру  на  0 ;   .
0
Пусть    0;   . Покажем, что на  0;  интеграл

e
 x 2
dx
0
сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия
Коши. Возьмем  
0 
1
 b  1
2
1
,  b  0 возьмем  0  b , 0'  b  1 ,
e
. Тогда
0'


0
 0 x 2
b 1
dx 
e
 0 x 2
dx  e
 0  b 1
b
b 1
1
 dx  e  
0
.
b

Следовательно, интеграл
2
e
 x 2
0
dx сходится неравномерно по
параметру  на множестве  0 ;   ;
231
б)
для
подынтегральной
1
x  y2  1
f  x; y  
функции
2
1
, для которой
x 1
1
1
f  x; y   2
 2
 g  x .
2
x  y 1 x 1
рассмотрим функцию g  x  

x
Интеграл
0
x  0;   .
dx


1 2
2

Тогда интеграл
x
2
0
2
и является сходящимся для всех
dx
сходится равномерно согласно
 y2  1
признаку Вейерштрасса.
5 Исследовать на равномерную сходимость интеграл

 xy sin x
0 e x dx , y 0;   .
e  xy
.
x
Функция sin x имеет ограниченную первообразную
F  x    cos x .
Р е ш е н и е . Пусть f  x; y   sin x , g  x; y  
При x  1 ,
y  0 для функции g  x; y  
e  xy
x
выполнены
следующие неравенства:
  e xy 
e xy

   2 1  xy   0 ,
x  x 
x
e  xy 1
   x ,
x
x
1
 0 . Значит, согласно признаку Дирихле, данный интеграл
x  x
сходится равномерно по параметру y на множестве Y  0;   .
и lim

6 Вычислить интеграл Пуассона I 
e
t 2
dt .
0
Р е ш е н и е . Имеем

2 2
t  xy, y  0, 
t 2
e
dt


y
e  x y dx .
 dt  ydx

0



0

I
232
Умножая это равенство на e  y и интегрируя его от 0 до 
по y , получаем
2

I2 

I  e  y dy 

2
0
Так как
ye

 y 2 1 x2

 de

 c2 1 x2


dy  ye
0
0
 и интеграл


0


сходится, то интеграл
ye

 y 2 1 x 2

 de

 y 2 1 x 2

 c 2 1 x 2


dx .
 dx
dx сходится равномерно по
0
параметру y на любом отрезке c; d    0;   согласно признаку
Вейерштрасса.

Аналогично доказывается, что интеграл

ye

 y 2 1 x 2
0
равномерно по параметру x на любом отрезке

Следовательно, повторный интеграл

0

dx  ye


dy сходится
a; b   0;   .
 y 2 1 x 2

dy сходится и
0
справедлива изменение порядка интегрирования:
I 
2


0
0
 dx  ye

Отсюда I 
e

 y 2 1 x 2
t 2

  y 2 1 x2   

1

e
 dx  1
dx  .
dy    
2

2 0 1  x 2
4

0  2 1  x 
0 

dt 
0


2
1
7 Вычислить интеграл
arctg xy
x
0
1  x2
dx .
Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию f  x; y  
1
Интеграл   y   
arctg xy
arctg xy
x 1  x2
.
dx является несобственным, так
x 1  x2
как функция f  x; y  не определена в точках x  0 и x  1 .
0
233
При x  0 функция
arctg xy
 o 1 , при x  1 функция
x 1  x2
 1 
 o
 . Поскольку
2
x 1 x
 1 x 
arctg xy
2
f
1

, то
2
2
y 1  x y  1  x 2
arctg xy
f
1
dx равномерно
. Значит, интеграл   y   

2
2
y
1 x
0 x 1 x
сходится, и функция   y  является дифференцируемой. По
теореме 10 имеем
1

1
 ' y   
0
dx
1  x y 
2
2
 x  sin t ,  2
dt




2
2
2
1 x
 dx  cos t  0 1  y sin t
 tg t  z ,  
dz
1
z



arctg

2
2
2
1 y
1  y2
t  arctg z  0 1  1  y  z




0
.
2 1  y2
Тема 3-4 Интегралы Эйлера, интеграл Фурье
1 С помощью интегралов Эйлера вычислить интегралы:

1
x2
dx ;
а)  x  x 2 dx ;
в) 
1  x4
0
0

1
2
 sin

dx
, n0.
n
1

x
0
2 Найти область определения и выразить через интегралы
Эйлера интегралы:
б)
6
4
x cos x dx ;
г)
n
0
p

n
 1
б)  e  x dx , n  0 .
x
0
0
3 Найти синус- и косинус- преобразования Фурье функции
f  x   e2 x , x  0 .
4 Найти преобразование Фурье функций:
1
а)   ln  dx ;
234