Приложение 1 (Урок №8) Практические работы по теме: “Многогранники”

Приложение 1 (Урок №8)
Практические работы по теме: “Многогранники”
Практическая работа по теме:
«Вычисление площади поверхности пирамиды»
ОБОРУДОВАНИЕ: Пирамида, линейка, калькулятор.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Научиться строить изображение пирамиды, вычислять площадь
поверхности пирамиды.
ХОД РАБОТЫ.
1. Построить изображение пирамиды, дать новое название.
2. Произвести необходимые измерения, нанести их на чертеж. Указать ее элементы.
а) выяснить какая фигура лежит в основании пирамиды,
б) подобрать нужную формулу,
в) подставить данные,
г) произвести вычисления.
4. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды:
а) установить вид пирамиды,
б) применить нужную формулу или вычислять площадь каждой боковой грани,
в) подставить данные
г) воспроизвести вычисления
5. Вычислить площадь полной поверхности пирамиды.
6. Творческое задание.
Вычислить площадь поверхности пирамиды Хеопса, если
Сторона основания -146 м
Высота - 230
Пирамида имеет вид правильной четырёхугольной пирамиды.
Лабораторно-практическая работа по теме:
«Вычисления площади поверхности призмы».
ОБОРУДОВАНИЕ: призма, линейка, калькулятор.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться строить изображение призмы, вычислять площадь
поверхности призмы.
ХОД РАБОТЫ.
1. Начертить изображения призмы, дать полное название.
2. Произвести необходимые измерения, нанести их на чертеж.
3. Вычислить площадь основания (выяснить какая фигура лежит в основании призмы,
подобрать нужную формулу, подставить данные, произвести вычисления).
4. Вычислить площадь боковой поверхности призмы ( выяснить является призма прямой,
применить нужную формулу, подставить данные, произвести вычисления).
5. Вычислить площадь полной поверхности призмы.
6. Творческое задание: Нужно оклеить комнату обоями.
а) Измерить длину, ширину и высоту комнаты.
б) вычислить площадь оклеиваемой поверхности (применить формулу боковой
поверхности прямой призмы).
в) Вычислить площадь одного рулона, если
длина обоев в рулоне-12м,
ширина рулона-0,5м.
г) Сколько рулонов обоев нужно купить, если рисунок не подбирать.
Приложение 2 (Урок №3,4,5)
С/Р «Проверь себя» по теме «Призма»
C1
B1
D1
О₁
A1
E1
C
О
B
D
A
E
1. По рис. назови основания, боковые рёбра, боковые грани призмы, высоту призмы,
диагонали, которые можно провести.
2. Какую призму называют прямой призмой, правильной?
3. Чему равна полная поверхность призмы?
4. Чему равна боковая поверхность прямой призмы?
5. Запишите формулу по которой вычисляется боковая поверхность наклонной призмы.
6. Запишите формулу объёма прямой призмы.
7. . запишите формулу объёма любой призмы.
С/Р «Проверь себя» по теме «Пирамида»
S
C
D
0
рис. 1.
A
B
S
A1
C1
O
B1
A
C
0
B
1) На рис. 1 назовите основание, вершину пирамиды, боковые ребра, высоту пирамиды.
2) На рис. 2 назвать усеченную пирамиду, ее основания, боковые грани.
3) Какую пирамиду называют правильной?
4) Что называется апофемой правильной пирамиды?
5) Запишите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды.
6) Запишите формулу площади полной поверхности пирамиды.
7) Запишите формулу площади боковой поверхностей правильной усечённой
пирамиды.
8) Запишите формулу, по которой вычисляется объем пирамиды?
С/Р «Проверь себя" по теме «Параллелепипед»
D1
C1
A1
B1
0
D1
C
A
B
D1
С1
A1
D
рис. 1.
B1
C
A
B
рис. 2.
1) Дайте определение параллелепипеда.
2) Назвать противолежащие грани параллелепипеда и сформировать их свойства.
3) Запишите свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.
4) Запишите свойства диагоналей параллелепипеда.
5)Запишите формулы по которым вычисляется площадь боковой поверхности
прямоугольного параллелепипеда.
6) Запишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
7) Запишите объёма любого параллелепипеда.
Приложение 3 (Урок № 10)
Контрольная работа по геометрии
По теме “Многогранники”
Вариант- 1
1- й Уровень
1.Дан многогранник:
Сколько у него :
а
Б
в
l-ребер
4
6
8
ll-вершин
2
4
3
lll-граней
4
3
5
IV-диагоналей
нет
2
3
2.Заполните пропуски:
Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит………..
а)треугольник
б)параллелограмм
3.Нарисунке изображена усечённая пирамида:
D1
1
D
E
А1
С1
c
0
А
В
в)трапеция
Найдите:
l-её высоту
ll-боковую грань
lll-боковое ребро
а
С1 С
ABCD
CB
б
в
ОО1
DD1
BB1C1C ADD1A1
A1D1
DD1
г
AC
DCC1D1
AA1
4.Найдите формулу площади боковой поверхности прямой призмы:
а)Sбок= Sосн Н
1
б)Sбок= Росн Н в)Sполн = Sосн + Sбок г) Sбок=2 росн ∗ Н
5.Укажите формулу объема призмы:
а)V=abc
1
б)V=Sосн*Н
в)S=3S осн H
1
г)V= 3 Sосн H
6.Боковой гранью пирамиды являются
а)треугольник
б)трапеция
в)параллелограмм
2- й Уровень
1.Верно ли утверждение, что все грани параллелепипеда есть прямоугольники
2.Заполни пропуски: Боковые грани правильной усеченной пирамиды-….трапеции
3.Найдите длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны
5см,3см,7см
4.Найти объем куба с ребром равным 3,5см и площадь его поверхности
5.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вдвое больше площади основания.
Чему равен двухгранный угол при основании?
6.Площади основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равен 36см2 и
64см2 а апофема-10см. Найти полную поверхность пирамиды.
Контрольная работа по геометрии
По теме «Многогранники»
Вариант – 2
1- й Уровень
1.Дан многогранник. Найдите:
а
12
9
8
ll-вершин
16
12
6
lll-граней
3
15
4
IV-диагоналей
3
Нет
6
……грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
б) противолежащие в) любые две
3. Может ли основанием правильной пирамиды служить:
а) квадрой
б) трапецией
в) ромб
4. На рисунке изображена усеченная пирамида:
A1
C1
O1
B1
A
C
O
B
в
l-ребер
2.Заполните пропуски:
а) смежные
Б
Найдите:
а
O1O
BB1C1C
l-её высоту
ll-боковую грань
б
A1A
ABC
в
BC
AA1C1C
г
AC
ABB1A1
5. Найдите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды:
а) Sбок =Pосн х hбок
1
б) Sбок= 2 Pосн х hбок
1
в) Sпир= Sосн+Sбок г) Sбок = 2 Sосн х hбок
6. Укажите формулу объема прямоугольного параллелепипеда:
a)𝑉 = 𝑠 + 𝐻
1
б)𝑉 = 2 𝑆 × 𝐻
в)𝑉 = 𝑎𝑏𝑐
1
г)𝑉 = 2 𝑆 × 𝐻
II – Уровень
1. Верно ли утверждение, что все грани прямого куба есть равные ромбы.
2. Заполни пропуск: Высота боковой грани правильной усечённой пирамиды называется
…………
3. Три измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2дм, 3дм, 6дм. Найти длинны
его диагоналей
4. Найти площадь поверхности и объём куба с ребром равны 4см.
5. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды – 4см. Двугранный угол
при основании 45° . Найти объём пирамиды.
6. Площади основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 35см2 и
64см2 ,а апофема–10см. Найти полную поверхность пирамиды.
Приложение 4 (Урок № 4)
Тест по теме «ПРИЗМА»
Вариант № 1
1. Дана треугольная призма. Укажите, сколько у неё
а) вершин: м) 8 н) 6 к) 10
б) оснований: м) 1 н) 2 к) 3
в) боковых рёбер: м) 6 н) 3 к) 4
г) всех граней: м) 5 н) 6 к) 12
д) боковых граней: м) 5 н) 4 к) 3
е) диагоналей: м) нет н) 2 к) 3
2. Укажите свойство оснований призмы:
а) их два, б) они параллельны, в) они равны
3. Укажите свойство боковых рёбер:
а) они равны, б) они параллельны, в) они пресекаются
4. Укажите, что является высотой призмы:
а) расстояние между плоскостями оснований,
б) длина перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего
основания на плоскость нижнего,
в) длина произвольного отрезка между плоскостями оснований.
5. Укажите, что соединяет диагональ призмы:
а) две любые вершины призмы, б) две вершины в одной грани,
в) две вершины, не лежащие в одной грани.
6. Укажите, из чего складывается поверхность призмы:
а) только из оснований, б) только из боковых граней, в) из оснований и боковых
граней.
7.Укажите, у какой из призм боковое ребро перпендикулярно плоскости
основании:
а) наклонной б) прямой в) правильной.
8.Укажите, у какой из призм все боковые грани равные прямоугольники:
а) наклонной б) прямой в) правильной.
9.Укажите, у какой из призм высотой является боковое ребро:
а) наклонной б) прямой в) правильной.
10. Укажите формулу площади боковой поверхности прямой призмы:
а) Sбок= Sосн*H
1
б) Sбок= 2 Росн*H
в) Sбок=Росн*H
11. Укажите формулу площади полной поверхности призмы:
а)Sпр=25бок+Sосн б)Sпр=2Sосн+Sбок в)Sпр=Sбок+Sбок
12. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы 24
Сторона основания 2 .Найдите высоту призмы.
а) 2
б) 3
в) 4.
13. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 и наклонено к плоскости
основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.
Тест по теме «ПРИЗМА».
Вариант № 2.
1.Дана четырёхугольная призма. Укажите, сколько у неё:
а) вершин: м) 8 н) 6 к) 10
б) оснований: м) 1 н) 2 к) 3
в) боковых ребер: м) 6 н) 3 к) 4
г) всех граней: м) 5 н) 6 к) 12
д) боковых граней: м) 5 н) 4 к) 3
е) диагоналей: м) нет н) 4 к) 3.
2.Укажите свойство оснований призмы:
а) их два б) они параллельны в) они равны.
3. Укажите, могут ли боковые рёбра призмы:
4. Укажите, что является высотой призмы:
а) расстояние между плоскостям оснований
б) длина перпендикуляра между основаниями
в) длина любого отрезка между плоскостями оснований.
5.Укажите, какие вершины соединяет диагональ призмы:
А) две любые б) две вершины в одной грани в) две вершины, не лежащие в одной грани.
6. Укажите, у какой из призм боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания:
а) наклонной б) прямой в) правильной.
7.Может ли основанием правильной призмы служит
А) квадрат б) трапеция в) ромб.
8. Укажите, у какой призмы боковые грани---прямоугольники.
А) наклонной б) прямой в) правильной.
9.Укажите, может ли боковое ребро наклонной призмы быть высотой?
А) может б) нет.
10.Укажите, по какой из формул вычисляется площадь боковой поверхности призмы:
1
а) Sбок=Sосн*H б)Sбок=2Росн*H в)Sбок=Росн*H
12. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы 12.
Высота призмы 2. Найдите сторону основания.
13.Высота наклонной призмы 5. Найдите боковое ребро, если оно наклонено к плоскости
основании под углом 30°.
Приложение 4 (Урок № 5)
Тест по теме «ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»,
Вариант №1.
1.Укажите, какая из фигур не может быть основанием параллелепипеда:
А) треугольник Б) трапеция В) прямоугольник.
2. Укажите, каких видов могут быть параллелепипеды:
А) наклонные Б) прямые В) правильные.
3.Укажите, какие фигуры могут служить основанием прямоугольного параллелепипеда:
А) ромб Б) квадрат В)прямоугольник.
4.Как называются длина, ширина, высота прямоугольного параллелепипеда?
А) линейные размеры Б) три измерения В) составляющие пар-да.
5.Какие фигуры являются гранями куба?
А) прямоугольники Б) ромбы В) квадраты.
6.Сколько граней у куба?
А) 6 Б) 7 В) 9.
7.У какого из параллелепипедов высота совпадает с боковым ребром?
А) прямого Б) наклонного В) прямоугольного Г) куба.
8.Каким свойством обладают противолежащие грани параллелепипеда?
А) равны Б)параллельны В) совпадают.
9. Сколько диагоналей имеет параллелепипед?
А)3 Б)4 В)5.
10. Свойство диагоналей параллелепипеда.
А) пересекаются в одной точке Б) делятся этой точкой пополам В) не пересекаются.
11.Диагонали прямоугольного параллелепипеда.
А) их четыре Б) они равны В) они параллельны.
12.По какой из формул можно вычислить диагонали прямоугольного параллелепипеда?
А) d=ab+ac+bc Б) d=a∙b∙c B) 𝑑2 =𝑎2 +𝑏 2 +𝑐 2
13.Три измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 ,3 ,6
Найдите длины его диагоналей. а) 5 Б) 6 В) 7.
14.Ребро куба равно 4. Найдите площадь его поверхности.
А) 96 Б) 336 В) 436.
15.Длина 5.Ширина 6. Высота 8.Найдите площадь полной поверхности
прямоугольного параллелепипеда.
А) 236 Б) 336 В) 436.
16.Укажите, формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда?
А)S=a∙b∙c B) S=(ab+ac+bc)∙2 B) S=ab+ac+bc
17.Укажите, что представляют собой все боковые грани куба?
А) квадраты Б) равные квадраты В) прямоугольник.
18.Укажите, формулу площади поверхности куба?
А) S=𝑎3 Б) S=𝑎2 В) S=6𝑎2
19.Опредилите, диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его
Длина-6м, ширина 6м, высота 7м.
А) 10м Б) 11м В) 12м.
20. Определите площадь поверхности куба с ребром 4 см.
А) 100 Б) 96 В) 69.
Тест по теме «Параллелепипед».
Вариант №2.
1.Укажите, какая из призм может быть параллелепипедом?
А) треугольная Б) четырехугольная В) пятиугольная.
2.Может ли основанием параллелепипеда быть?
А) треугольник Б) квадрат В) ромб.
3.Укажите, какая фигура не может быть боковой гранью параллелепипеда?
А) параллелограмм Б) трапеция В) прямоугольник.
4.Укажите, сколько оснований у параллелепипеда?
А) 4 Б) 3 В) 2.
5.Укажите, сколько боковых граней у параллелепипеда?
А)5 Б) 4 В) 3.
6.Укажите, сколько боковых ребер у параллелепипеда?
А) 6 Б) 8 В) 4.
7.Укажите, у какого параллелепипеда боковое ребро не перпендикулярно плоскости
основания?
А) наклонного Б) прямого В) прямоугольного.
8.Укажите, у какого параллелепипеда все боковые грани-прямоугольники?
А) наклонного Б) прямого В) прямоугольного.
9.Укажите, свойство противолежащих граней параллелепипеда.
А) равны Б) параллельны В) равны и параллельны.
10.Укажите, сколько диагоналей у параллелепипеда?
А) нет Б)2 В)4.
11.Укажите, свойство диагоналей параллелепипеда.
А) пересекаются Б) пересекаются в одной точке В) пересекаются в одной точке и делятся
ею пополам.
12.Укажите, у какого параллелепипеда диагонали равны?
А) прямого Б) прямоугольного В) куба.
13.Как называются длина, ширина и высота параллелепипеда?
А) измерения Б) размеры В) параметры.
14.Укажите, из чего складывается поверхность параллелепипеда?
А) оснований Б) боковых граней В) оснований и боковой поверхности.
15. Укажите, формулу площади боковой поверхности прямого параллелепипеда?
А)S пар-да=Pocн∙l Б)S пар-да=Socн∙H В)Sпар-да=Pocн∙H
16.Укажите, формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда?
А)S=a∙b∙c Б)S=(ab+ac+bc)∙ 2 В)S=ab+ac+bc
17.Укажите, что представляют собой все боковые грани куба?
А) Квадраты Б) равные квадраты В) прямоугольники.
18.Укажите, формулу площади поверхности куба?
А) S=𝑎3 Б) S=𝑎2 В) S=6𝑎2
19.Определите, диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его длина-6м, ширина6м, высота-7м.
А)10м Б)11м В)12м.
20.Определите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по тем же
измерениям.
А) 240 Б) 250 В) 300.
21. Определите площадь поверхности куба с ребром-4см.
А)100 Б) 96 В)69.
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПИРАМИДА». ВАРИАНТ №1.
1. Дан тетраэдр. Сколько у него:
А) рёбер: м) 4 н) 6 к) 8.
Б) вершин: м) 2 н) 4 к) 3.
В) граней: м) 4 н) 3 к) 5.
2. Как из полной пирамиды получит усечённую?
А) перевернуть б) пересечь плоскостью параллельной основанию
в)дополнить до призмы.
3. Могут ли боковыми гранями полной пирамиды быть?
а) треугольники б) квадраты в) ромбы.
4) Могут ли боковыми гранями усечённой пирамиды быть?
а) трапеции б) параллелограммы в) треугольники.
5. Какой многоугольник может служить основанием правильной пирамиды?
А) квадрат б) правильный треугольник в) прямоугольник.
6. Укажите, из чего складывается полная поверхность пирамиды?
А) центр многоугольника б) вершина основания в) любая точка основания.
7. Укажите, что является основанием высоты у правильной пирамиды?
а) из основания б) боковых граней в) из основных и боковых граней.
8. Укажите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды:
1
А) Sбок = Sосн ·Н б) Sбок = Росн · hбок в) Sбок = 2Росн · hбок
9. Укажите формулу площади полной поверхности пирамиды:
а) Sпир = Sосн · hбок б) Sпир = Sосн + Sбок в) Sпир = 2Sосн + Sбок
10. Апофема – это :
А) любая высота боковой грани б) высота боковой грани, выходящая из вершины
пирамиды в) высота основания правильной пирамиды.
11. Сторона основания правильной четырёх угольной пирамиды равна 2.
Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°.Найдите высоту.
А)1 б)2 в)3
12. Используя данные предыдущей задачи, найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
а)4 + √2 б)6 в)2.
13. Укажите, что не может быть боковой гранью усеченной пирамиды?
А) треугольник б) трапеция в) прямоугольник.
14.Может ли усечённая пирамида быть правильной?
А) может б) нет.
15. Укажите, формулу площади боковой поверхности правильной усечённой
пирамиды
1
1
А) Sбок = 2(Р1 +Р2 ) · Н б) Sбок = 2(Р1 +Р2 ) · hбок в) Sбок = (Р1 +Р2 ) · hбок
16. Найдите площадь одной боковой грани правильной четырёхугольной усеченной
пирамиды, если площадь её полной поверхности 45, площадь основной 4 и 9.
А) 12 б) 8 в)10.
17. Найдите площадь основной треугольной пирамиды, если её боковая
поверхность составляет 90.
А) 30 б) 60 в) 90
18.Найдите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды,
если сторона основания 6, боковое ребро 5.
А) 72 б) 48 в) 69.
Приложение 4
Тест по теме «Пирамида»
Вариант №2
1)Укажите, какая фигура может служить основанием пирамиды?
а)Треугольники б)Трапеция в)Квадрат г)Любой плоский многоугольник.
2)Как называется точка, не принадлежащая основанию?
А) вершина б) верхушка в) пик
3)Укажите, что не может быть боковой гранью пирамиды?
А) квадрат б) треугольник в) прямоугольник.
4)Укажите, могут ли боковые рёбра пирамиды быть
А) параллельными б) пересекаться в) равными
5) Как называется любая треугольная пирамида?
А) гексаэдр б) тетраэдр в)октаэдр
6)Укажите, из чего складывается полная поверхность пирамиды?
А) из основания б) боковой поверхности в) основания и боковой поверхности
7)Укажите, может ли основанием правильной пирамиды быть
А) квадрат б) трапеция в) ромб
8) Укажите, у какой пирамиды основание высоты совпадает с центром основания?
А) правильной б) неправильной в) любой
9)Укажите, из какой точки проводится апофема правильной пирамиды?
А) вершина пирамиды б) вершина основания в) середины высоты основания.
10) Укажите, у какой пирамиды все боковые грани есть равные равнобедренные
треугольники?
А) правильной б) неправильной в) любой.
11)Укажите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды
1
1
А)𝑆бок = 2 𝑃осн ∙ 𝐻 б)𝑆бок = 𝑃осн ∙ ℎбок в)𝑆бок = 2 𝑃осн ∙ ℎбок
12) Укажите, как из полной пирамиды получить усечённую.
А) осечь вершину б) отсечь вершину плоскостью, параллельную основанию.
13) Укажите, что не может быть боковой гранью усечённой пирамиды?
А) треугольник б) трапеция в) прямоугольник.
14)Может ли усечённая пирамида быть правильной?
15) Укажите, формулу площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды.
1
1
А) 𝑆бок = 2 (𝑃1 + 𝑃2 ) ∙ 𝐻 б)𝑆бок = 2 (𝑃1 + 𝑃2 ) ∙ ℎбок в)𝑆бок = (𝑃1 + 𝑃2 ) ∙ ℎбок
16) Найти площадь одной боковой грани правильной четырёхугольной усечённой
пирамиды, если площадь её полной поверхности-45, площади оснований 4 и 9
А)12 б) 8 в)10
17) найти площадь основания треугольной пирамиды , если её боковая поверхность в 2
раза больше площади основания, а полная поверхность составляет 90.
А) 30 б) 60 в) 90
18) Найти площадь полной поверхности правильной четырёх угольной пирамиды, если
сторона основания 6, боковое ребро 5 .
А) 72 б) 48 в) 69
Приложение 5 (Урок №1)
Карточки-инструкции с алгоритмом построения линейного угла
двухгранного угла.
Алгоритм 1. Построение линейного угла:


На ребре угла выберите точку;
Провести в гранях через неё полупрямые, перпендикулярные ребру.
Алгоритм 2.Построение линейного угла:



Выбрать точку А в одной из граней;
Опустить перпендикуляр АВ на плоскость другой грани;
Опустить перпендикуляр АС на ребро угла.
Приложение 5 (урок № 6)
Карточки-инструкции с алгоритмом построения изображения пирамиды
Карточки инструкции
Алгоритм построения изображения пирамиды:



строится основание (некоторый плоский многоугольник);
отмечается вершина пирамиды;
эта точка (вершина) соединяется с вершинами основания боковыми ребрами.
(Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.)
Алгоритм построения правильной пирамиды:
При построении правильной пирамиды используется тот факт, что равные наклонные,
проведенные из одной точки (к одной плоскости), имеют равные проекции.
Особенность построения изображения:
 строится основание и находится его центр;
 из центра вертикально проводится высота;
 обозначается вершина;
 проводятся боковые ребра.
Алгоритм построения правильной четырехугольной пирамиды:
 строится произвольный параллелограмм;
 находим центр основания как точку пересечения диагоналей;
 через центр проводим вертикальную высоту;
 строим боковые ребра.
Алгоритм построения усеченной пирамиды:
 Сделать чертеж полной пирамиды.
 Построить сечение – верхнее основание усеченной пирамиды, стороны которого
должны быть параллельны соответствующим сторонам основания исходной
пирамиды.
 Стереть отсекаемую меньшую пирамиду.
Приложение 6 (урок №1)
Таблицы
УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и
пересекающей её плоскостью называют углом,
образованный этой прямой и её проекцией на
плоскость.
АВО-угол между прямой АВ и плоскостью α
А
B
O α
(ВО - проекция АВ на плоскость α, AO ⊥ α)
Особые случаи
a
2)
a ΙΙ α
1)
α
(a, α) =90°
(a, α) =0
a лежит в α
a
a
α
α
2. Угол между плоскостями
1)
a ΙΙ β
(α, β)=0
a = β
2) α пересекает β по прямой c. Проведём плоскость
𝛾⊥c
Определение. Углом между пересекающимися
плоскостями α и β называют угол, образованный
прямыми, по которым плоскость Y пересекает
плоскости α и β.
(α, β)=
α
α
β
(α, b)
с
α
(y пересекает α по прямой
b
а,
β
Y
b
y пересекает β по прямой
b)
0°≤
(α, β) ≤ 90°
Определение. Двугранным углом называют фигуру,
образованную двумя полуплоскостями с общей
ограничивающей прямой.
с
α
β
Полуплоскости α и β – грани двугранного угла
С – ребро двугранного угла
Двугранный угол (угол между плоскостями)
Определение. Линейным углом двугранного угла
называют угол между лучами, по которым плоскость,
перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его
грани.
𝑐
𝛼
𝛽
АМВ – линейный угол
M
(Y
c, Y пересекает α по лучу МА, Y пересекает β по лучу МВ)
0° ≤
A
АМВ ≤ 180°
B
Свойство
Так как пл. АМВ
с, то пл. АМВ
α и пл. АМВ β, то есть
плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани двугранного угла.