Движение заряда в однородном магнитном поле. Пусть заряд q массой m влетает под углом α в однородное магнитное поле с индукцией B . Определим закон движения частицы. Ось Z прямоугольной координатной системы направим по B - B (0,0,В), так чтобы вектор скорости v0 лежал в плоскости XY (рис. 2.10). Начальными условиями движения в этом случае будут: v0 x v0 sin , v0 y 0, v0 z v0 cos . (2.40) Во-первых, рассмотрим движение в рамках ньютоновской механики. Уравнение движения m dv q vB . dt (2.41) в избранной системе координат примет следующий вид: dv dvx qB dv qB vy , y vx , z 0 . dt m dt m dt Исключив из первых двух уравнений vx B2 vx 0 , где B qB / m (2.42) v y , для vx получим уравнение гармонических колебаний называется циклотронной частотой заряда. Учитывая начальные условия для скорости (2.40), для решений уравнения (2.42) получим vx v0 x cos B t ; v y v0 x sin B t ; vz v0 z . (2.43) Интегрируя скорости по времени, получим закон движения частицы x t R sin B t; y t R cos Bt 1; z v0 z t , (2.44) где R v0 x B m v0 x . qB (2.45) Частица в плоскости XY, перпендикулярной магнитному полю, совершает вращательное движение с частотой B . Радиус окружности дается формулой (2.45) (циклотронный радиус). По направлению магнитного поля частица совершает равномерное движение. Результирующее движение происходит по спирали (рис. 2.10). рис.2.10 Заметим, что магнитное поле, искривляя в перпендикулярном к себе направлении движение частицы, оставляет без изменений модуль скорости этой частицы. Это можно показать, скалярно умножив уравнение (2.41) на v и учитывая, что dv m dv 2 mv qv vB 0, dt 2 dt откуда следует результат v2 = const. Это справедливо также в релятивистской механике. Действительно, частицы скалярно умножив уравнение dp q vB dt на релятивистский импульс p , снова получим 1 dp 2 mv[vB] qp vB q 0. 2 dt 1 v 2 / c 2 Значит, в задаче движения заряда в магнитном поле в релятивистском уравнении движения член 1 v 2 / c 2 можно вынести из-под знака дифференциала: m dv q[vB]. 1 v 2 / c 2 dt Если частица движется в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, то на основании последнего уравнения легко показать, что частица опять-таки совершает вращательное движение с частотой c qB qB 1 v 2 / c 2 m(v) m , (2.46) которая отличается от аналогичной классической величины тем, что в знаменателе фигурирует релятивистская масса частицы. Зависимость циклотронной частоты заряда от скорости (3.47) были подтверждены опытами на ускорителях по ускорению зарядов. Циклотронный радиус релятивистской частицы в магнитном поле выразится формулой R v mv c qB 1 v 2 / c 2 Эта формула позволяет при помощи измерения гарантированно определять его релятивистский импульс. p . qB циклотронного (2.47) радиуса частицы Падение шарика без начальной скорости в вязкой среде. На частицу, двигающуюся в вязкой жидкости, действует сила трения, зависящая от скорости. Она направлена против движения и в простейшем случае выражается формулой Стокса F k1v, где R – радиус шарика, k1 6 R , – коэффициент вязкости жидкости. (2.48) Уравнение движения шарика, вертикально падающего в жидкости, будет m dv mg k1v . dt (2.49) Предполагая v(0)=0 и интегрируя это уравнение, получим k mg v t 1 e m . k1 1 Следовательно, скорость шарика приближается к граничной величине возрастает по v (2.50) экспоненциальному закону и быстро mg . k1 Теоретически равномерное движение с граничной бесконечно большое время. Но на практике через время скоростью устанавливается m m 2 R2 k1 6 R 9 (2.51) скорость шарика можно считать постоянной. В формуле характерного времени (2.51) плотность материала шарика. В глицерине ( шарика радиусом R 1см 0 , 1 3c . 14 г / см с ) через для стального ( – 8 г / см 3 ) То есть, стабилизация скорости происходит довольно быстро. рис.2.11 График на рис. 2.11 показывает зависимость скорости от времени, откуда ясно виден процесс установления скорости.