Комплексные - задачи 1. Докажите, что для любого натурального n из условия a b 2 рациональные числа следует, что a b 2 2. а) Докажите, что если x1 1 2 n n p q 2 , где a, b, p, q – pq 2 . – корень многочлена P( x) с рациональными коэффициентами, то x2 1 2 также является корнем этого уравнения. б) Докажите, что если x1 1 2 – корень многочлена P ( x ) с целыми коэффициентами, то P ( x ) делится на x 2 2 x 1 . 3. Докажите, что ни для каких натуральных чисел k и n равенство 5 3 2 может выполняться. 4. Найдите десятый знак после запятой в десятичной записи числа 6 35 3 5 2 k 2013 n не . 5. а) Найдите формулу, корней n –ой степени из комплексного числа z r (cos( ) i sin( )) . б) Докажите, что корни уравнения wn z при любом z располагаются в вершинах правильного n–угольника 2 k 2 k i sin (0 k n) Корни степени из 1 принято обозначать k , то есть k cos n n 6. Вычислите все корни 3 1 . Нарисуйте их на комплексной плоскости. Какую фигуру будут образовывать 4 1 ; 6 1 ? Аналогичный вопрос для 4 1 ; 6 1 . 7. Найдите все значения выражений а) 4 1 ; б) 8 i 3 1 . 8. Докажите следующие свойства корней из 1 а) wk w0ek , то есть для получения всех корней из комплексного числа необходимо взять какой-то корень и постепенно умножать его на все корни из 1; б) k 1k , то есть всякий корень из1 является степенью первого корня. в) корни k и n k взаимно сопряжены г) сумма всех корней степени из 1 равна 0 (докажите это и алгебраическим и геометрическим способом). 9. Решите уравнение x 6 x5 x 4 x3 x 2 x 1 0 10. Вычислите сумму трех чисел, изображенных точками z1=0, z2=–1+2i, z3=2+i. 11. Какое множество комплексной плоскости задается условием: a. |z–2| = |z+4i| b. z a z a r 2 ; c. arg z z1 0; z z2 d. z z iz i z 12. Выразить с помощью формулы Муавра cos через cos и sin. 13. Какие множества на плоскости описываются условиями а) | z | z ;б) |z+1|<1;в) arg( z i ) . 6 3 14. Решить уравнение z 3 z 15. Найдите а) произведение, б) сумму квадратов всех корней из 1 16. Докажите, что если сумма трех комплексных чисел равна 0, и они равны по модулю, то точки, соответствующие им, являются вершинами правильного треугольника. 17. Найдите сумму cos( ) cos(2 ) ... cos(n ) . 18. Какое комплексное число изображает четвертая вершина параллелограмма, у которого тремя вершинами являются точки z1=0, z2=–1+2i, z3=2+i? 19. Критерий коллинеарности трех точек. Докажите, что три точки z 2 , z1 , z 0 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда z2 z0 z2 z0 . z1 z 0 z1 z 0 20. Какое преобразование плоскости определяет функция a. f(z) = z+m (m – заданное комплексное число); b. f(z) = tz (t – заданное действительное число); c. f(z) = mz (m – заданное комплексное число); 2 2 i sin d. f(z) = a(z–m)+m, где a cos , m = 3–i; 3 3 21. Докажите, что C pk делится на p при k 0, p . 22. а) Докажите, что C pk 2 делится на p при k 0, p 2 . 23. б) Докажите, что C pk 2 делится на p 2 при k 0, p, 2 p,...,( p 1) p, p 2 . 24. Докажите, что если a b p , то a p b p p 2 . 25. а) На какую максимальную степень пятерки делится 615 1 26. б) На сколько нулей заканчивается 11100 1 ? 27. в) На сколько нулей заканчивается 4 6 ?. 28. Все ли понимают, что формула для решения уравнения x2+px+q=0 в комплексных числах остается такой же? 29. Решите уравнение x3-37x-84=0. 30. Где расположены числа вида (1-i)z-3+i, если z 3i 2 ? 56 54 31. Решите уравнение z 2 2iz . 32. Докажите, что для любого натурального функция cos может быть представлена в виде многочлена с целыми коэффициентами от cos. 33. Докажите, что cos 310 – иррациональное число. 34. Указать на плоскости множество точек, для которых сумма квадратов расстояний до вершин заданного правильного многоугольника равна d. 35. Разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами многочлен x-1. 36. Натуральное число k является делителем натурального числа тогда и только тогда, когда корень степени k из 1 является корнем степени из 1. 3 37. Решить уравнение z z 0 38. Решить систему z 5 w 11 3 7 z w 1 39. a) Докажите, что число Cnk нечетно тогда и только тогда, когда числа n, k удовлетворяют условию: если в каком-то разряде двоичной записи числа k стоит 1, то в том же разряде двоичной записи числа n также стоит 1. б) А как обобщить предыдущий пункт и получить критерий того, что Cnk делится на p? 40. Докажите, что количество чисел k = 0,1,2,…,, для которых число Cnk нечетно, есть степень двойки. Все это – следствие теории групп 1. Одна из вершин правильного n–угольника, вписанного в окружность с центром O, покрашена в красный цвет. Его поворачивают на угол . После n таких поворотов оказалось, что красная точка побывала во всех вершинах многоугольника и вернулась в исходное положение. а) Найдите все возможные значения если n = 7; б) Найдите все возможные значения если n = 10; в) Сколько таких значений найдется для произвольного n? 2. Докажите, что по p – простое, то любой корень степени p из 1 является первообразным. 3. Сколько корней -й степени из 1 являются первообразными? Определение Корень i имеет порядок d если d – наименьшее натуральное число такое, что i d 1 4. а) Сколько корней уравнения x d 1 0 есть среди чисел 1 , 2 , …, n ? б) Для каких d есть хотя бы один элемент порядка d среди чисел 1 , 2 , …, n ? в) Сколько элементов порядка d есть среди чисел 1 , 2 , …, n ? Мир остатков. Определение Число g называется первообразным корнем по модулю m, если все a m являются различными степенями g. (Более правильно говорить что первообразным корнем является не число, а его остаток, вычет) Определение При НОД(a,m)=1 существуют положительные d такие, что ad ≡ 1 (mod m), (например, по теореме Эйлера (m) ) Наименьшее из них называется порядком числа a (Обычно еще говорят, что x принадлежит показателю d) 5. Если число a имеет порядок d, то числа a0,a1,…,ad-1 по модулю m дают разные остатки. 6. Если число а имеет порядок d, то (m) делится на d. 7. Докажите, что если существует вычет а имеющий порядок d по модулю m, то сравнению хd≡1(mod m) удовлетворяют по крайней мере d элементов Z *p .(Рассмотрите все степени а). Далее мы некоторое время будем заниматься случаем простого модуля. Основная цель – понять есть ли вообще первообразный корень. 8. Пусть Р(х) – многочлен степени , со старшим коэффициентом равным 1. Докажите, что при простом р сравнению Р(х) ≡0(mod p) удовлетворяет не более, чем различных остатков (классов вычетов). (Указание – воспользуйтесь теоремой Безу для остатков) Вопрос на понимание как раскладывается на простые множители с многочлен x p 1 1 (как многочлен с коэффициентами в остатках по модулю p). 9. Докажите, что если существует вычет а имеющий порядок d по модулю p, то все решения сравнения хd≡1 (mod p) являются степенями a. * 10. Докажите, что порядок d имеет не более φ(d) элементов Z p . * 11. Пусть р – простое число , а d – делитель числа р–1 Тогда ровно φ(d) элементов Z p имеет порядок d. Следствие Для каждого простого р существует φ(р –1) первообразных корней. 12. Найдите все первообразные корни в модулю а) по модулю 7 б) по модулю 13 13. Докажите, что для любого простого р первые (р-1) натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы для любых трех подряд идущих чисел a, b, c разность b2 – ac делилась на р. 14. Докажите, что существует первообразный корень по модулю 2p. Еще задачи. 15. Пусть x имеет порядок a, а y имеет порядок b. Докажите, что если НОД(a,b)=1, то xy имеет порядок ab. 16. а) Пусть a целое, a>1. Докажите, что простые нечетные делители ap-1 или делят a-1 или имеют вид px+1. б) Докажите, что простых чисел вида px 1 бесконечно много. 17. Найдите а) произведение всех вычетов по модулю p б)сумму их k-х степеней. 6 5 4 3 2 18. Решите сравнение x x x x x x 1 0(mod 101) . ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Будем обозначать точки плоскости большими LATINSKIMI буквами, а комплексные числа – маленькими соответствующими latinskimi буквами. Факты 1. Деление отрезка. Cередина отрезка с концами в точках A и B выражается как (a+b)/2. Если 1 𝜆 точка Z делит отрезок AB так, что AZ:ZB = , то 𝑧 = 𝜆+1 𝑎 + 𝜆+1 𝑏. 2. Параллелограмм. ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда a+c= b+d. 1 3. Условие того, что точка Z лежит на единичной окружности. 𝑧̅ = 𝑧. 4. Условие коллинеарности. Три точки A, B, C лежат на одной прямой тогда и только тогда, bc bc когда . ac ac 4. Условие того, что четыре точки лежат на одной окружности. Четыре точки A, B, C, D лежат на одной окружности, если они не лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда bc bc . ac ac Задачи. 1. 2. 3. 4. 5.