Основы вычислительной математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра программного обеспечения
Микова Е.А.
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов
направления 09.03.03 «Прикладная информатика», профиль подготовки
«Прикладная информатика в экономике», заочная форма обучения,
академический бакалавриат
Тюменский государственный университет
2014
Микова Е.А. Основы вычислительной математики. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
09.03.03 «Прикладная информатика», профиль подготовки «Прикладная
информатика в экономике», академический бакалавриат заочная форма
обучения. Тюмень, 2014, 14 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВО с учетом рекомендаций и ПрООП ВО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Основы
вычислительной математики [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор,
зав.кафедрой программного обеспечения
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Микова Е.А. 2014.

Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью изучения дисциплины является теоретическая и практическая подготовка
студентов по основам вычислительной математики: основных приемов и методик
разработки и применение на практике методов решения на ЭВМ задач вычислительной
математики с использованием современных языков программирования.
Задачами изучения дисциплины являются: обучить методам решения вычислительных
задач и разработки алгоритмов и программ их решения, выработать навыки применения
численных методов для решения конкретных задач.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Основы вычислительной математики» входит в вариативную часть
математического и естественнонаучного цикла Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВО) по
направлению подготовки «Прикладная информатика» (степень «Бакалавр»).
Для изучения и освоения дисциплины нужны первоначальные знания из курсов
математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных
уравнений, программирования. Знания и умения, практические навыки, приобретенные
студентами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при изучении
курсов вычислительного практикума, при выполнении курсовых и дипломных работ,
связанных с математическим моделированием функционирования сложных систем и
обработкой наборов данных.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
1.
Программная
инженерия
Проектирование
информационных
систем
2
Темы дисциплины необходимые для
изучения обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
1
2
3
4
5
6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
ОПК-2 способность анализировать социально-экономические задачи и процессы с
применением методов системного анализа и математического моделирования.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать: методы решения основных задач вычислительной математики: основные
понятия теории погрешности, приближения функций, методов решения уравнений
и систем уравнений, методов численного интегрирования, методов решения
дифференциальных уравнений.
Уметь: применять теоретические знания к решению задач вычислительной
математики, разрабатывать алгоритмы и программы.
Владеть: навыками работы в области решении задач вычислительной математики.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр _3._ Форма промежуточной аттестации: экзамен. Общая трудоемкость
дисциплины составляет _144__ зачетных единиц, _4__ академических часов, из них
_3,75_часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, _122,25_ часов,
выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
Итого
количес
тво
баллов
8
9
10
10
12
10
10
Самостоятельная
работа*
1.1
Из них в
интерак
тивной
форме, в
часах
Лабораторные
занятия*
2
Модуль 1
Основные понятия
теории погрешности
Методы решения систем
линейных
алгебраических
уравнений
Всего
Модуль 2
Вычисление
собственных значений и
собственных векторов
матрицы
Методы решения
нелинейных уравнений и
систем
Всего
Модуль 3
Приближение функций и
их производных.
Численное решение
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
Всего
Итого (часов, баллов):
Курсовая работа *
Из них в интеракт.
форме
Итого
часов
по
теме
Семинарские
(практические)
занятия*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
6
7
2
5
-
2
-
2
20
24
10
10
4
2
30
36
17
20
2
-
22
24
10
10
2
-
2
24
28
10
10
4
2
46
52
20
20
2
-
2
25
29
10
30
2
-
2
25
29
10
30
4
12
4
-
4
8
-
50
126
-
58
144
-
10
4
-
60
100
-
Лекции *
Тема
недели семестра
№
3
4
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
контрольная
работа
электронные
практикумы
комплексные
ситуационные
задания
Итого количество
баллов
Модуль 1
0-4
1.1
0-4
1.2
0-8
Всего
Модуль 2
0-2
2.1
0-2
2.2
0-4
Всего
Модуль 3
0-5
3.1
0-5
3.2
0-10
Всего
0-22
Итого
Информационн
ые системы и
технологии
лабораторная
работа
Устны Письменные
й опрос работы
собеседование
№
Темы
0-4
0-4
0-8
0-2
0-2
0-4
-
-
0-10
0-10
0-20
0-4
0-4
0-8
0-4
0-4
0-8
-
-
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-20
0-36
0-10
0-10
0-20
0-32
-
0-5
0-5
0-10
0-10
0-30
0-30
0-60
0-100
5. Содержание дисциплины
Модуль 1
Тема 1.1. Основные понятия теории погрешности
Источники и классификация погрешностей, абсолютная и относительная
погрешности, погрешность результатов арифметических операций, погрешность функции,
обратная задача теории погрешности.
Тема 1.2. Методы решения линейных алгебраических уравнений.
Метод последовательного исключения неизвестных: метод Гаусса. Понятие числа
обусловленности матриц. Применения метода Гаусса для расчета определителя и
обратной матрицы. Метод простой итераций. Достаточные условия сходимости процесса
итераций. Оценка погрешности приближений процесса итераций. Метод Зейделя.
Необходимое и достаточное условие сходимости процесса Зейделя. Метод прогонки.
Модуль 2
Тема 2.1. Проблема собственных значений
Вычисление собственных значений и собственных векторов по методу Крылова.
Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и собственного
вектора.
Тема 2.2. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
Методы решения нелинейных уравнений и систем. Методы решения уравнений:
дихотомии, Секущих, Хорд, Ньютона, простых итераций. Методы решения систем:
Ньютона, метод итераций.
Модуль 3
Тема 3.1. Приближение функций и их производных.
Постановка задачи интерполирования функций. Интерполяционная формула
Лагранжа. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа.
Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая интерполяционная
схема Ньютона. Вторая интерполяционная схема Ньютона. Сплайн-интерполяция.
Интерполирование на основе кубического сплайна. Построение полинома наилучшего
приближения к функции. Метод наименьших квадратов.
Тема 3.2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Постановка задачи Коши. Метод Рунге-Кутта. Постановка краевой задачи. Метод
прогонки.
6. Планы семинарских занятий
Не предусмотрены учебным планом
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум)
Тема 1. Основные понятия теории погрешности
Тема 2 Методы решения линейных алгебраических уравнений
Тема 3 Проблема собственных значений
Тема 4 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
Тема 5 Приближение функций и их производных.
Тема 6 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5 .
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
Модуль 1
1.1 Основные понятия
теории погрешности
1.2 Методы решения
линейных
алгебраических
уравнений
Всего
Модуль 2
Изучение темы
по материалам
лекций,
подготовка
письменного
сопровождения
(пояснительной
записки)
выполненных
лабораторных
работ
Изучение темы
по материалам
лекций,
подготовка
письменного
сопровождения
(пояснительной
записки)
выполненных
лабораторных
работ
Неделя Объем
семестра
часов
дополнительные
Кол-во
баллов
Изучение
дополнительной
литературы и
электронных
ресурсов в
рамках
изучаемой темы
1
10
0-6
Изучение
дополнительной
литературы и
электронных
ресурсов в
рамках
изучаемой темы
2-4
10
0-6
20
0-12
2.1 Проблема
Изучение темы
по
материалам
собственных
лекций,
значений
подготовка
письменного
сопровождения
(пояснительной
записки)
выполненных
лабораторных
работ
2.2 Методы решения Изучение темы
по материалам
нелинейных
лекций,
уравнений
и
подготовка
систем нелинейных
письменного
уравнений
сопровождения
(пояснительной
записки)
выполненных
лабораторных
работ
Всего
Модуль 3
Изучение темы
3.1 Приближение
по материалам
функций и их
лекций,
производных.
подготовка
письменного
сопровождения
(пояснительной
записки)
выполненных
лабораторных
работ
Изучение темы
3.2 Численное
по материалам
решение
лекций,
обыкновенных
подготовка
дифференциальных
письменного
уравнений.
сопровождения
(пояснительной
записки)
выполненных
лабораторных
работ
Всего
Итого
Изучение
дополнительной
литературы и
электронных
ресурсов в
рамках
изучаемой темы
5-6
12
0-6
Изучение
дополнительной
литературы и
электронных
ресурсов в
рамках
изучаемой темы
7-9
18
0-6
30
0-12
Изучение
дополнительной
литературы и
электронных
ресурсов в
рамках
изучаемой темы
10-13
20
0-10
Изучение
дополнительной
литературы и
электронных
ресурсов в
рамках
изучаемой темы
14-17
20
0-10
40
90
0-20
0-44
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
За результат освоения дисциплины (модуля) принимаются набранные балы при сдачи
лабораторных работ и проверочной работы, которая проводится по итогу семестра.
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Математическое и имитационное моделирование
Моделирование экономических процессов и и
систем
Б1
Исследование операций и методы оптимизации
Б1
Теория систем и системный анализ
Б1
+
+
+
+
+
Индекс
компетенции
ОПК-2
Б1
Экономическая теория
Циклы,
дисциплины
Б1
(модули)
учебного плана
ОП
ОПК 2
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
Знает: Основные методы
численного анализа; имеет
общее
представление
о
способах
реализации
математических
моделей,
основанных на численных
методах
при
анализе
социально-экономических
задач и процессов.
Умеет:
использовать
некоторые
компоненты
современных информационных
технологий для реализации
математических
моделей,
основанных на численных
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды занятий (лекции,
практические, семинарские)
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Знает: Основные методы
численного анализа; способы
реализации
математических
моделей,
основанных
на
численных методах при анализе
социально-экономических
проблем при анализе социальноэкономических задач и процессов
Знает: Основные методы Лекции,
численного анализа; имеет четкое лаб.
представление
о
способах работы
реализации
математических
моделей, основанных на численных
методах при анализе социальноэкономических задач и процессов
Умеет: применять основные
компоненты
современных
информационных технологий для
реализации
математических
моделей,
основанных
на
численных методах при анализе
Умеет:
в
совершенстве Лекции,
применять
современные лаб.
информационные технологии для работы
реализации
математических
моделей, основанных на численных
методах при анализе социально-
Оценочные средства (тесты,
творческие работы, проекты и
др.)
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Лабораторны
е работы,
собеседовани
е,
контрольные
задания,
комплексные
ситуационны
е задачи
Лабораторны
е работы,
собеседовани
е,
контрольные
задания,
методах
при
анализе
социально-экономических
задач и процессов
Владеет:
начальными
практическими
навыками
использования программных
средств
для
реализации
математических
моделей,
основанных на численных
методах
при
анализе
социально-экономических
задач и процессов
социально-экономических задач и
процессов
экономических задач и процессов
Владеет:
базовыми
практическими
навыками
использования
программных
средств
для
реализации
математических
моделей,
основанных
на
численных
методах при анализе социальноэкономических задач и процессов
Владеет:
развитыми Лекции,
практическими
навыками лаб.
использования
программных работы
средств
для
реализации
математических
моделей,
основанных на численных методах
при
анализе
социальноэкономических задач и процессов
комплексные
ситуационны
е задачи
Лабораторны
е работы,
собеседовани
е,
контрольные
задания,
комплексные
ситуационны
е задачи
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта
деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Пример контрольного задания:
1. Найти y, ∆(y), δ(y) и k- число верных знаков, если аргументы
,
,
2. Решить систему уравнений методом Гаусса
и
записаны со всеми верными знаками:
3. Записать метод итераций для СЛАУ из (2) , проверить условие сходимости МПИ
4. Записать метод Ньютона для уравнения
Записать метод простых итераций для уравнения
, проверить условие сходимости метода простых итераций
5. Записать многочлен Лагранжа для функций f(x), заданной таблицей
x
11
22
44
f(x)
11.5
22.3
33.4
Найти Ln (x) при x=2.5
6. Вывести систему уравнений для определения коэффициентов a, b, c функции
среднеквадратичную аппроксимацию таблично заданной функции из (5) ,
=1,
, осуществляющей
,
Вопросы к экзамену:
1. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. Вычислительная
погрешность. Погрешность функции.
2. Метод Гаусса с выбором главного элемента.
3. Применения метода Гаусса для расчета определителей и обратных матриц.
4. Матричный метод Гаусса
5. Погрешность приближенного решения систем уравнений и обусловленность матриц.
6. Метод простой итерации. Достаточные условия сходимости процесса итераций. Оценка погрешности приближений процесса
итераций.
7. Метод Зейделя. Случай нормальной системы.
8. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и собственного вектора. Степенной метод. Метод скалярных
произведений.
9. Метод бисекций, метод хорд, метод касательных, метод итераций (достаточное условие сходимости метода простых итераций).
10. Метод Ньютона. Квадратичная сходимость метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона.
11. Метод итераций для систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений.
12. Постановка задачи интерполяции и аппроксимации.
13. Многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена многочлена Лагранжа
14. Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая интерполяционная схема Ньютона
15. Вторая интерполяционная схема Ньютона. Оценка остаточного члена.
16. Интерполирование на основе кубического сплайна.
17. Квадратичное аппроксимирование функций. Метод наименьших квадратов.
18. Построение полинома наилучшего приближения на системе ортогональных функций. Коэффициенты Фурье.
19. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек. Наилучший выбор сетки.
20. Дифференцирование на основе многочленов Лагранжа и Ньютона.
21. Метод неопределенных коэффициентов.
22. Правило Рунге практической оценки погрешности.
23. Метод прогонки.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной)
системы оценок.
Согласно «Положению о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов Федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет» (приложение 1 к
приказу ректора № 190 от 04.04.2014г.) всех формы текущего контроля, предусмотренные рабочей программой, оцениваются в баллах.
Дисциплинарные модули, формы текущего контроля и шкала баллов, по которым они оцениваются, отражены в разделе «Тематический
план».
Студенты, набравшие по дисциплине в период проведения текущего контроля от 35 до 60 баллов допускаются к зачету или экзамену.
Если в период проведения текущей аттестации студент набрал 61 балл и более, то он автоматически получает зачет или экзаменационную
оценку в соответствии со шкалой перевода, но в то же время он имеет право повысить оценку, полученную по итогам рейтинга
(удовлетворительно, хорошо), путем сдачи экзамена.
Шкала перевода баллов в оценки:
- от 0 до 60 баллов – «не зачтено»;
- от 61 до 100 баллов – «зачтено»;
- 60 баллов и менее – «неудовлетворительно»;
- от 61 до 75 баллов – «удовлетворительно»;
- от 76 до 90 баллов – «хорошо»;
- от 91 до 100 баллов – «отлично».
Преподаватель может использовать систему штрафов, уменьшая набранные баллы за пропуски занятий без уважительных причин, за
нарушение сроков выполнения учебных заданий, за систематический отказ отвечать на занятиях и т.д. Возможно также начисление
премиальных баллов за работы, выполненные студентом на высоком уровне.
Студенты, набравшие по дисциплине менее 35 баллов к экзамену (зачету) не допускаются. Необходимое количество баллов (до 35) для
получения допуска к экзамену (зачету), студенты набирают после третьей контрольной недели.
11. Образовательные технологии
Интерактивные лекции, технология модульного обучения, исследовательские методы в обучении, технология моделирования
производственных задач, при решении которых требуется компьютерное моделирование процессов и владение основами вычислительной
математики.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1.
2.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - Спб.: Лань, 2009 - 672 с.
Демидович, Б. П.Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие
для студентов вузов, обучающимся по направлениям 510000 "Естественные науки и математика", 550000 "Технические науки", 540000
"Педагогические науки" / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. - 5-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань, 2010. - 400 с.
3.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов: учебное пособие, - М.: Директ-Медиа, 2013. 847 с. ISBN: 978-5-4458-3873-9 Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=214564&razdel=257 (дата обращения: 14.11.2014)
Бахвалов, Н. С. Численные методы [Электронный ресурс] / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2012. - 636 с. - 978-5-9963-0802-6. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=222833 (дата обращения: 14.11.2014)
Зализняк, В. Е. Теория и практика по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Зализняк, Г. И.
Щепановская. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. - 174 с. - ISBN 978-5-7638-2498-8. Режим доступа:
http://znanium.com/bookread.php?book=441232 (дата обращения: 14.11.2014)
4.
5.
12.2
Дополнительная литература:
 Костомаров Д. П. Вводные лекции по численным методам. Москва: Логос, 2006 .-184 с.
 Волков Е. А. Численные методы. - Санкт-Петербург: Лань, 2007 .-256 с.
 Исаков В. Н.Элементы численных методов : -Москва: Академия, 2003 .-192 с
 Численные методы : сб. задач под ред. У. Г. Пирумов. -Москва: Дрофа, 2007 .-144 с.
 Гаврилова Н.М. Вычислительная математика, часть 1. Тюмень: изд.ТюмГУ, 2008 – 161 с.
 Пирумов, У. Г.. Численные методы : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. подготовки диплом. спец. "Прикл. математика" / У.
Г. Пирумов. - 3-е изд., испр. - Москва : Дрофа, 2004. - 224
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Гаврилова Н.М. Вычислительная математика (2008), режим доступа: http://study.kib.ru/ по паролю.
2. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ http://num-anal.srcc.msu.ru/
3. http://study.utmn.ru – Портал доступа к электронным образовательным ресурсам ТюмГУ;
4. http://biblioclub.ru – Электронно-библиотечная система «Университетская библиотека он-лайн»:
5. http://znanium.com – Электронно-библиотечная система издательства «Инфра».
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости)
Используются компьютерные обучающие системы (ЭБД, ЭБС, ЭБ), мультимедиа технологии, информационная образовательная
среда.
Доступ к компьютерным обучающим системам осуществляется на основе договоров ТюмГУ с создателями через компьютерную сеть
университета (ЭБД, ЭБС, ЭБ), либо через виртуальные читальные залы университета, в частности, читальный зал для преподавателей и
аспирантов ИБЦ (ЭБД РГБ).
Доступ к информационной образовательной среде осуществляется через локальную сеть ТюмГУ.
При выполнении практических заданий используется базовое программное обеспечение разработчика (системы программирования на
языках Borland Delphi, Visual Studio, MAPLE.) и доступом в сеть Интернет,
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные аудитории, оснащенные мультимедийным оборудованием,
для проведения лабораторных работ, необходим компьютерный класс. Компьютеры должны иметь набор базового программного
обеспечения разработчика и доступ в сеть Интернет
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
При изучении дисциплины студенты могут пользоваться лекционным материалом, основной и дополнительной литературой, ресурсами
интернет, а также методическими указаниями по дисциплине: Н.М.Гаврилова, Е.А. Микова Методы вычислений. Часть 1: учебнометодический комплекс. Методические указания для студентов направления «Прикладная информатика». Тюмень: Издательство
Тюменского государственного университета, 2015. 44 с.