УДК 536.248.2 ОБРАЗОВАНИЕ ЛЬДА ПРИ КОНТАКТЕ ХОЛОДНОГО ТЕЛА С ВОДОЙ Захаричев О.В., научный руководитель канд. физ.-мат. наук Дмитриев В.Л. Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета В работе рассматривается процесс нарастания ледяной корки при контакте холодного твердого тела с водой. Задача рассматривается в плоскоодномерном приближении, получено ее автомодельное решение. Пусть имеется полубесконечное холодное твердое тело, контактирующее с водой. В плоскости контакта тела с водой (координата x 0 ) начинается процесс льдообразования. При этом мы имеем дело с подвижной границей, на которой происходит нарастание нового слоя льда (координата x xb ). Схема образования льда приведена на рис. 1. Здесь в области x 0 находится твердое тело, в области 0 x xb расположен слой образующегося льда, а в области xb x находится вода. Рис. 1. Схема образования льда. Распределение температур в трех рассматриваемых областях описывается уравнениями теплопроводности: Ts 2Ts s cs s 2 , x 0 t x где j Ti 2Ti i ci i 2 , 0 x xb t x Tl 2Tl l cl l 2 , x xb t x – плотность, c j – удельная теплоемкость, j – теплопроводность; нижний индекс j s, i, l относится к твердому телу, льду и воде соответственно. Для решения поставленной задачи необходимо задать условия на границах раздела сред (условия равенства температур и тепловых потоков): T T Ts Ti Tsi , s s i i , x 0 x x T T Ti Tl T , i i l l l Lxb , x xb x x где L – удельная теплота плавления льда, T – температура кристаллизации, равная для воды 273 K . Температуру Tsi на границе раздела «твердое тело – лед» будем считать постоянной Tsi const . В начальный момент времени t 0 температуры твердого тела и воды однородны и равны соответственно Ts 0 и Tl 0 . В такой постановке задача допускает введение автомодельной переменной x it , где i i i ci – коэффициент температуропроводности льда. Координата границы, на которой происходит образование льда, тогда будет определяться как i . xb b i t , а скорость ее движения xb найдется как xb b 2 i t Система уравнений теплопроводности в рамках введенных обозначений примет следующий вид: dTs s d 2Ts , 0 2 d i d 2 dTi d 2Ti , 2 d d 2 dTl l d 2Tl 2 d i d 2 Решения этой системы имеют вид: 2 Ts Ts 0 Tsi Ts 0 exp i d 4 s Ti Tsi T Tsi 0 b 2 exp 4 d 0 b i 2 exp s 4 d , 0 b 2 exp 4 d , 0 0 b i 2 i 2 Tl Tl 0 T Tl 0 exp 0 d exp d 4 4 l l b Для построения решений необходимо найти координату границы льдообразования b и температуру Tsi . Это можно сделать, решив систему из двух уравнений баланса тепловых потоков на границах раздела сред, записанных выше. С учетом полученных решений для распределения температур, данная система примет вид: Tsi Ts 0 T Tsi i , 0 2 b 2 s exp i exp d d 4 s 4 0 b2 i b2 T Tl 0 exp T Tsi exp 4 l 4 i Lbi l . i b 2 i 2 2 exp l 4 d exp 4 d b 0 0 Данная система уравнений легко решается средствами MathCAD. На основе полученных решений построены графические зависимости, иллюстрирующие процесс образования льда и динамику температур в рассматриваемых областях. На рис. 2 показана зависимость температуры в системе «железо-лед-вода» от автомодельной координаты. Начальные температуры в системе: железо – Ts 0 243K , вода – Tl 0 277 K . При этом Tsi 252.9 K , b 0.458 . Толщина слоя льда по прошествии 24 часов в этом случае будет составлять около 15,6 см. Рис. 2. Профиль температуры для системы «железо-лед-вода». На основе записанных решений также получено, что при одной и той же температуре холодного твердого тела и воды скорость роста ледяного слоя сильно зависит от теплопроводности твердого тела. С увеличением теплопроводности процесс льдообразования идет более интенсивно. Кроме того, получено, что образование ледяного слоя возможно только в случаях, если температуры твердого тела и жидкости удовлетворяют следующему условию i 2 exp d l 4 s Tsi Ts 0 0 Tl T . 0 l i 2 exp s 4 d Так, например, при температуре железа Ts 0 268 K образование льда на границе раздела «железо-вода» возможно, если температура воды удовлетворяет условию Tl 0 327.2 K . В противном случае лед образовываться не будет. Если в качестве жидкости выступает вода, то условие образования льда в таком случае можно переписать в виде Tl sTs 0 l i 2 exp l 4 d 0 , 0 i 2 exp s 4 d т.к. для воды температуры T и Tsi в этом случае одинаковы, и равны 273 K ; при этом Tl 0 и Ts 0 выражены в градусах Цельсия.