Теория вероятностей и математическая статистика_БПМИ

Методические рекомендации по дисциплине
Б3.Б.3 Теория вероятностей и математическая статистика
по направлению подготовки 010400.62 Прикладная математика и информатика
Содержание дисциплины (модуля)
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах).
Примерное распределение учебного времени:
Количество часов
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Наименование
раздела, темы
5 семестр
Основы понятия вероятности
Основные теоремы теории вероятностей
Случайные величины.
Предельные теоремы теории вероятностей.
6 семестр
Методы статистической обработки данных.
Оценивание числовых параметров.
Элементы корреляционного анализа.
Проверка статистических гипотез
Всего
ауд.ч./в
интеракт.ф.
72/29
16/12
20/12
20/6
16/4
72/29
16/12
20/12
20/6
16/4
ЛК
ПР/
СМ
28
44
6
10
6
6
10
10
14
10
28
44
6
10
6
6
10
10
14
10
ЛБ
Часов на
СРС
-
58
-
59
10
20
20
8
11
20
20
8
Содержание разделов дисциплины.
1. Основы понятия вероятности.
1.1. Случайный эксперимент и случайные события.
1.2. Статистическое определение вероятности.
1.3. Элементарные исходы.
1.4. Пространство элементарных исходов.
1.5. Алгебра случайных событий.
1.6. Аксиоматический подход к понятию вероятности.
2. Основные теоремы теории вероятностей.
2.1. Классическая схема.
2.2. Элементы комбинаторики.
2.3. Несовместные события. Теорема о сумме вероятностей.
2.4. Условная вероятность. Теорема о произведении вероятностей.
2.5. Независимые случайные события.
2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса.
2.7. Формула Бернулли.
3. Случайные величины.
3.1. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной
величины.
3.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
3.3. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
3.4. Функция распределения и ее свойства.
3.5. Непрерывные случайные величины. Функция плотности распределения и ее
свойства.
3.6. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
3.7. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
3.8. Различные числовые характеристики
случайных величин (начальные и
центральные моменты, мода, медиана, коэффициенты асимметрии и эксцесса).
3.9. Равномерное и показательное распределения.
3.10. Нормальное распределение.
3.11. Распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента.
3.12. Закон распределения двумерных случайных величин.
3.13. Условный закон распределения.
3.14. Независимые случайные величины.
3.15. Коэффициент корреляции и его свойства. Функции регрессии.
4. Предельные теоремы теории вероятностей.
4.1. Теорема Чебышева.
4.2. Закон больших чисел.
4.3. Центральная предельная теорема.
4.4. Теоремы Муавра-Лапласа.
4.5. Теорема Пуассона.
5. Методы статистической обработки данных.
5.1. Выборочный метод.
5.2. Дискретный и интервальный вариационные ряды.
5.3. Полигон и гистограмма.
5.4. Эмпирическая функция распределения.
6. Оценивание числовых параметров.
6.1. Понятие оценки. Их характеристики.
6.2. Оценки для генеральной средней (математического ожидания)
6.3. Оценка дисперсии и среднего квадратического отклонения.
6.4. Исправленная оценка дисперсии и среднего квадратического.
6.5. Выборочный коэффициент корреляции.
6.6. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности.
6.7. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при
известной дисперсии.
6.8. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при
неизвестной дисперсии.
6.9. Интервальная оценка дисперсии.
6.10. Интервальная оценка коэффициента корреляции.
7. Элементы корреляционного анализа.
7.1. Функциональная и статистическая зависимости.
7.2. Корреляционная таблица. Понятие корреляционной зависимости.
7.3. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства.
7.4. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.
7.5. Уравнение регрессии.
7.6. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
8. Проверка статистических гипотез.
8.1. Статистическая гипотеза и статистический критерий.
8.2. Ошибки 1-го и 2-го рода.
8.3. Уровень значимости и мощность критерия.
8.4. Проверка гипотезы о нормальности распределения.
8.5. Понятие о критериях согласия – критерий хи-квадрат, t-критерий Стьюдента,
точный критерий Фишера.
8.6. Критерий знаков, критерий Розенбаума.
8.7. Критерий Манна-Уитни.
Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины (модуля)
1.
Основы понятия
вероятности.
2.
Основные теоремы
теории вероятностей.
3.
4.
Форма самостоятельной
работы
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
Случайные величины.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
Предельные теоремы
теории вероятностей.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
5.
Методы статистической
обработки данных.
6.
Оценивание числовых
параметров.
7.
Элементы
корреляционного
анализа.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
Кол-во
часов
Форма контроля
выполнения
самостоятельной работы
10
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
20
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
- Тестирование
20
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
- Тестирование
8
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
- Тестирование
10
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
20
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
- Тестирование
20
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
- Тестирование
8.
Проверка статистических
гипотез.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
8
- Опрос
- Проверка домашних
заданий
- Тестирование
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (планы
последовательного проведения занятий: ПР, СМ):
1. Основы понятия вероятности.
План:
1.1. Случайный эксперимент и случайные события.
1.2. Статистическое определение вероятности.
1.3. Элементарные исходы.
1.4. Пространство элементарных исходов.
1.5. Алгебра случайных событий.
1.6. Понятие сигма-алгебры и аксиомы вероятности.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- Привести примеры существенных и несущественных условий при таких
случайных испытаниях как бросание монеты, бросание игральной кости, ;
- Какие случайные события считаются элементарными исходами;
- Что такое – случайное событие?;
- В чем суть теоретико-множественного подхода к понятию случайного события;
- Дать определение суммы и произведения случайных событий
Задания для самостоятельной работы:
- Перечислить элементарные исходы в следующих случайных экспериментах:
1) Бросается две игральные кости.
2) Из колоды карт извлекается одна карта.
3) Одновременно бросается кость и монета.
4) Одновременно бросаются три монеты.
- Перечислить элементарные исходы, принадлежащие случайным событиям:
1) Выпало 2 герба при бросании 3-х монет.
2) Выпало очко при извлечении из колоды 2-х карт.
3) Выпало четное число очков при бросании одной игральной кости.
2. Основные теоремы теории вероятностей.
План:
2.1. Классическая схема.
2.2. Элементы комбинаторики.
2.3. Несовместные события. Теорема о сумме вероятностей.
2.4. Условная вероятность. Теорема о произведении вероятностей.
2.5. Независимые случайные события.
2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса.
2.7. Формула Бернулли.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- В чем состоит главное отличие классической схемы?
- Каким образом надо ставить случайный эксперимент, чтобы условная вероятность
стала обычной вероятностью случайного события?
- В чем состоит суть понятия независимости для случайных событий?
Задания для самостоятельной работы:
- Найти вероятность угадать в спортлото 5 номеров из шести.
- Найти вероятность того, что пулеметная очередь из 100 выстрелов хотя бы раз
поразит цель, если один выстрел попадает в нее с вероятностью 1/100.
3. Случайные величины.
План:
3.1. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной
величины.
3.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
3.3. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
3.4. Функция распределения и ее свойства.
3.5. Непрерывные случайные величины. Функция плотности распределения и ее
свойства.
3.6. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
3.7. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
3.8. Различные числовые характеристики случайных величин (начальные и
центральные моменты, мода, медиана, коэффициенты асимметрии и эксцесса).
3.9. Равномерное и показательное распределения.
3.10. Нормальное распределение.
3.11. Распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента.
3.12. Закон распределения двумерных случайных величин.
3.13. Условный закон распределения.
3.14. Независимые случайные величины.
3.15. Коэффициент корреляции и его свойства. Функции регрессии.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- Содержательный смысл понятия математического ожидания.
- Содержательный смысл понятия дисперсии и среднего квадратического
отклонения.
- Какую информацию должен содержать закон распределения случайной
величины?
- Содержательный смысл коэффициента корреляции.
Задания для самостоятельной работы:
- Случайная величина – число бросков монеты до первого выпадения герба. Найти
закон распределения.
- Двое равных по силе шахматистов играют шахматный матч то тех пор, пока ктото из них не выиграет 4-х партий подряд. Ничьи при этом не учитываются. После
ничьей игроки даже цветом фигур не меняются. Известно, что вероятность
выигрыша белыми в два раза выше вероятности выигрыша черными. Как в среднем
долго продлится такой матч без учета ничьих?
- Найти вероятность того, что в группе из 25 студентов хотя бы у двоих день
рождения приходится на одну и ту же дату.
4. Предельные теоремы теории вероятностей.
План:
4.1.Теорема Чебышева.
4.2.Закон больших чисел.
4.3.Центральная предельная теорема.
4.4.Теоремы Муавра-Лапласа.
4.5.Теорема Пуассона.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- В чем разница между центральной предельной теоремой и законом больших
чисел.
- Какие примеры из повседневной действительности демонстрируют теорему
Муавра-Лапласа.
Задания для самостоятельной работы:
- Привести примеры, иллюстрирующие закон больших чисел.
- Решить задачу: подбрасывается пуговицы с несимметричными сторонами:
выпуклой (В) и с ушком (У). Сколько раз надо проделать это испытание, чтобы с
гарантией 99% узнать вероятность выпадения У с точностью до сотой доли.
5. Методы статистической обработки данных.
5.1. Выборочный метод.
5.2. Дискретный и интервальный вариационные ряды.
5.3. Полигон и гистограмма.
5.4. Эмпирическая функция распределения.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- Что такое выборка и объем выборки.
- Может ли выборка совпадать с генеральной совокупностью.
Задания для самостоятельной работы:
- Начертить гистограмму и график эмпирической функции распределения
случайной величины по ее выборке объема 50, заданной таблицей:
3.841
3.303
3.708
3.623
3.692
3.543
3.362
3.258
3.230
3.426
3.936
3.373
3.659
4.052
3.567
3.827
3.693
3.429
3.697
3.908
3.690
3.460
3.776
3.639
4.013
3.602
3.514
3.444
3.662
3.312
3.446
3.477
3.822
3.858
3.453
3.397
3.776
3.608
3.873
3.737
3.702
3.946
3.693
3.304
3.482
3.694
3.559
3.928
3.728
3.626
6. Оценивание числовых параметров.
6.1.Понятие оценки. Их характеристики.
6.2.Оценки для генеральной средней (математического ожидания)
6.3.Оценка дисперсии и среднего квадратического отклонения.
6.4. Исправленная оценка дисперсии и среднего квадратического.
6.5. Выборочный коэффициент корреляции.
6.6.Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности.
6.7.Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения
при известной дисперсии.
6.8.Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения
при неизвестной дисперсии.
6.9.Интервальная оценка дисперсии.
6.10.Интервальная оценка коэффициента корреляции.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- Чем исправленная оценка дисперсии лучше выборочной?
- Как взаимосвязаны доверительная вероятность и величина доверительного
интервала?
Задания для самостоятельной работы:
- С помощью обычной линейки с точностью до миллиметра проделать 20
приблизительных измерений ширины письменного стола.
а) исследовать полученную выборку на предмет нормальности распределения;
б) определить вероятность того, что среднее значение выборки дает точную
ширину с точностью до 1 мм. Измерить ширину стола как можно более точно с
помощью рулетки и сравнить результаты.
7.Элементы корреляционного анализа.
7.1.Функциональная и статистическая зависимости.
7.2. Корреляционная таблица. Понятие корреляционной зависимости.
7.3. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства.
7.4. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.
7.5. Уравнение регрессии.
7.6. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- Что такое – статистическая зависимость.
- Могут ли независимые случайные величины иметь ненулевой коэффициент
корреляции?
- Могут ли зависимые случайные величины иметь нулевой коэффициент
корреляции?
Задания для самостоятельной работы:
- Задана выборка объема 25 двумерной случайной величины.
X
5
5
2
3
4
Y
1.6
3.0
3.0
3.7
3.7
X
3
4
2
3
2
Y
3.0
3.7
3.7
3.0
3.0
X
2
2
3
3
5
Y
3.7
2.3
3.0
3.7
3.6
X
4
5
3
2
2
Y
1.0
3.0
1.0
3.6
3.0
X
5
3
5
4
4
Y
3.0
3.7
3.0
1.0
3.6
а) Вычислить выборочный коэффициент корреляции;
б) Проверить гипотезу о его значимости;
в) Составить уравнение линейной регрессии;
г) Изобразить все графически.
8. Проверка статистических гипотез.
8.1. Статистическая гипотеза и статистический критерий.
8.2. Ошибки 1-го и 2-го рода.
8.3. Уровень значимости и мощность критерия.
8.4. Проверка гипотезы о нормальности распределения.
8.5. Понятие о критериях согласия - критерий хи-квадрат, t-критерий Стьюдента,
точный критерий Фишера.
8.6. Критерий знаков, критерий Розенбаума.
8.7. Критерий Манна-Уитни.
Вопросы для коллективного обсуждения:
- Что такое – мощность критерия?
- Какие данные о выборке необходимы для применения точного критерия Фишера?
Задания для самостоятельной работы:
- Проверить гипотезу о нормальности распределения случайной величины по
выборке
3.841
3.303
3.708
3.623
3.692
3.543
3.362
3.258
3.230
3.426
3.936
3.373
3.659
4.052
3.567
3.827
3.693
3.429
3.697
3.908
3.690
3.460
3.776
3.639
4.013
3.602
3.514
3.444
3.662
3.312
3.446
3.477
3.822
3.858
3.453
3.397
3.776
3.608
3.873
3.737
3.702
3.946
3.693
3.304
3.482
3.694
3.559
3.928
3.728
3.626
Литература основная.
1. Болотюк В.А., Гринь А.Г. и др., Практикум и индивидуальные задания по курсу
теории вероятностей, СПб: Лань, 2010.
2. Свешников А.А и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций, Лань, 2008.
3. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.Н., Теория вероятностей и
математическая статистика, М.: Физматлит, 2002
4. Гмурман Е.В. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая
школа, 2003
5. Гмурман Е.В. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике, М.: Высшая школа, 1979.
Литература дополнительная.
6. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента, М.: Наука,
1971.
7. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов, М: Флинта, 2003.
8. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Сборник задач по теории
вероятностей, М.: Наука, 1989.
9. Мешалкин Л.Д., Сборник задач по теории вероятностей, М.: МГУ, 1963
10. Закс Л. Статистическое оценивание, М.: Статистика, 1976.
11. Гнеденко В.Б. Курс теории вероятностей, М.: 1988.
Примерные зачетные тестовые задания.
Решить следующие задачи:
ЗАДАЧА № 1
Контролер произвел измерения веса 10-ти случайно взятых с полки магазина
хлебных батонов (батон нарезной). Результаты измерений веса в граммах:
592, 602, 596, 598, 600, 600, 598, 590, 602, 594.
Каков процент батонов, вес которых на больше 600 граммов? Указание: Оценить
среднее квадратическое и дисперсию по данной выборке.
ЗАДАЧА № 2
Каков должен быть минимальный объем выборки при исследовании студентов
коммерческих вузов Мурманска, чтобы с гарантией в 95% по ней можно было с
точностью до 4-х процентов судить о доле студентов, имеющих мобильный телефон?
ЗАДАЧА № 3
В мире проводилось множество исследований, проверяющих существование
телепатии. В одном из экспериментов 100 раз проделывался такой опыт. Человек A,
находящийся в изолированной комнате, в заранее обусловленные моменты времени
подбрасывал монету, записывал результат (герб или решка) и мысленно в течение минуты
передавал его человеку B, находящемуся в другой изолированной комнате. Человек B в
эти же моменты пытался “уловить” сигнал и также записывал результат. Итоги
эксперимента сведены в таблицу
Гербы у A
Решки у A Итого
Гербы у B
29
22
51
Решки у B
19
30
49
Итого
48
52
100
Проверить гипотезу об отсутствии телепатии при 1%-ном уровне значимости.
Контрольные вопросы для коллоквиума, 5 семестр.
1. Сумма и произведение случайных событий. Аксиомы вероятности.
2. Теоремы о сумме и произведении вероятностей.
3. Независимые случайные события. Вероятность их произведения.
4. Формула полной вероятности и.формула Байеса.
5. Формула Бернулли.
6. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной
величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
7. Функция распределения и ее свойства.
8. Непрерывные случайные величины. Функция плотности распределения и ее
свойства.
9. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
10. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины. Свойства
дисперсии.
11. Нормальное распределение, его параметры.
12. Закон распределения двумерных случайных величин.
13. Независимые случайные величины.
14. Коэффициент корреляции и его свойства.
15. Закон больших чисел.
16. Центральная предельная теорема.
17. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.