Формирование комбинаторно-логического мышления у

Тывинский государственный университет
Кафедра алгебры и геометрии
Дипломная работа
«Формирование комбинаторно-логического мышления
у учащихся 9 класса»
Выполнила: студентка 5 курса 2 группы
физико-математического факультета
специальности математика-информатика
Удина Анна
Кызыл-2011
Содержание:
Введение
1. Теоретические основы комбинаторно-логического мышления
1.1. Общее понятие о мышлении
1.2. Развитие логического мышления в рамках комбинаторно-логического
мышления
1.3. Актуальность проблемы развития логического мышления
1.4. Формирование комбинаторного стиля мышления
1.5. Педагогические условия формирования комбинаторно-логического
мышления
1.6. Уровень
эффективного
развития
комбинаторно-логического
мышления старшеклассников.
2. Формирование комбинаторно-логического мышления у учащихся
девятых классов при обучении математике (на примере 9 «а» класса
ГЛРТ)
2.1. Логические задачи
2.2. Комбинаторные задачи
2.3. Метод включения и исключения
2.4. Критерий оценивания комбинаторно-логического мышления учащихся
9 класса
Заключение
3. Используемая литература
Введение
Решение социальных, экономических и культурных проблем, характерных
для сегодняшней действительности, определяется готовностью личности
жить и работать в новых социально-экономических условиях, способностью
к осуществлению непрерывного образования. Реализация данных требований
существенно меняет представления о понятии «образовательный результат».
Реформирование системы образования позволяет говорить о том, что школа
сегодня
реально
ориентируется
на
многообразие
образовательных
потребностей, на личность обучаемого. Вариативное образование помогает
школьникам обрести иные пути понимания и переживания знаний в
изменяющемся мире. Современному ученику нужно передавать не столько
информацию, как собрание готовых ответов, сколько метод их получения,
анализа и прогнозирования интеллектуального развития личности. В
условиях современной системы образования проблема развития психических
процессов
учащихся,
в
частности
мышления,
приобретает
особую
актуальность. Развитие различных видов мышления создает возможность
решать проблему первичности формирования способностей
школьника и
вторичности знаний, которые опять же способствуют развитию его
психических
процессов.
В
современном
образовании,
насыщенном
информацией, человек должен уметь не только запоминать, но и уметь ее
анализировать, сравнивать, абстрагировать, а также на основе выбора
необходимой информации делать правильные выводы. В связи одним из
значимых результатов образовательной деятельности становится уровень
развития
комбинаторно-логического
мышления.
Попытки
включения
разделов «Логика», «Комбинаторика» в школьный курс в нашей стране
предпринимались неоднократно, но не вели к успеху. Необходимость поиска
новых эффективных средств развития комбинаторно-логического мышления
школьников обусловлена его значимостью для самореализации личности в
современном обществе, поскольку умение логически рассуждать, вариативно
мыслить является показателем общей культуры современного человека.
Поэтому проблема развития данного вида мышления учащихся приобретает
особую актуальность. Анализ практики математического образования
отмечает недостаточное развитие комбинаторно-логического типа мышления
учащихся. Объективные требования к совершенствованию процесса развития
этого типа мышления учащихся выявился целый ряд противоречий между:
1. продолжающейся доминировать в школьной практике традиционного
представления
о
результатах
образовательной
деятельности
и
необходимостью разработки новых подходов, основанных на широком его
понимании;
2.
недостаточной
разработанностью
психолого-педагогических
основ
развития комбинаторно-логического мышления в профильном обучении и
возросшими требованиями к уровню мыслительной подготовки школьников
общеобразовательных школ;
3. необходимостью развития комбинаторно-логического мышления как
основы теоретического на уроках математики в условиях профильного
обучения и недостаточной научно-методической разработанностью данной
проблемы в обучении математике.
Новизна исследования:
Состоит в изучении
влияния учебного процесса на формирование
параметров комбинаторного и логического мышления. На данный момент
этот вопрос частично изучен в (ссылка на автора). Мною предпринята
попытка решения этой проблемы на материале математики 9 класса.
Актуальность темы:
В последние годы в связи с дифференциацией обучения, появлением школ
и
классов
различной
профильной
направленности,
в
том
числе
гуманитарных, технических, экономических, естественно-математических и
других, по-новому встают вопросы о целях, содержании, формах и методах
обучения математике в школе, о месте и роли каждого школьного предмета.
Актуальность данной работы заключается в том, что на данный период
времени в школьное образование внедряются элементы комбинаторики,
математической статистики и других математических направлений, которые
бы могли способствовать более глубокому и систематическому усвоению
ряда знаний, связанных в частности с математической логикой и теорией
вероятностей. Внедряемые элементы позволяют закреплять логику суждений
и развивают комбинаторно-логическое мышление.
В важности такого рода мышления убеждает нас и новая форма итоговой
аттестации учащихся школы - форма ИГА, которая включает в себя
некоторые разделы комбинаторики и математической логики. Включение
ряда задач по таким темам как: теория множеств, сочетания, повторения,
размещения в части I и II составляет необходимость поиска новых
эффективных средств развития комбинаторно-логического мышления у
школьников, также предполагается включение элементов комбинаторики и
статистики в ЕГЭ. Это обусловлено его значимостью для дальнейшей
самореализации личности в современном обществе.
В перечисленных работах ставились и решались важные общие психологопедагогические
и
методические
проблемы
учета
индивидуальных
особенностей учащихся и дифференцированного обучения. В то же время
потребности современной школы ставят перед методикой преподавания
математики новые задачи, связанные с
обучением. Необходимы новые
учебные пособия, методические разработки, которые учитывали бы
специфику такого обучения, но при этом сохраняли достаточно высокий
общий уровень математического образования, достигнутого отечественной
школой.
Все вышесказанное определило актуальность моего исследования.
Проблема состоит в обосновании задач по логике и комбинаторике в
правильности ее преподавания в старших классах.
Объектом исследования является процесс обучения математике с целью
развития комбинаторного и логического стиля мышления в девятых классах.
Предметом
исследования
является
процесс
обучения
логике
и
комбинаторике в девятых классах различной профильной направленности.
Цель исследования:
1. Оценить уровень развития комбинаторного мышления у учащихся 9
класса
2. Оценить уровень развития логического мышления у учащихся 9 класса
3. Оценить условия формирования комбинаторно-логического мышления
Гипотеза:
Организация учебного процесса по математике с элементами логики и
комбинаторики способствует формированию комбинаторно-логического
мышления.
Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных
задач, а именно:
1. Раскрыть понятие комбинаторно-логического мышления в целом;
2. Озвучить проблему по развитию логического и комбинаторного
мышления у девятиклассников;
3. Систематизировать накопленные сведения по исследованию качества
знаний;
4. Выявить сильные и слабые стороны комбинаторно-логического
развития у учащихся 9 класса.
Структура диплома состоит из введения, двух глав, заключения и списка
литературы.
Во введении обоснованы актуальность исследования, даны его основные
характеристики.
Глава
I
посвящена
теоретическому
обоснованию
комбинаторно-
логического мышления. Первоначальное осмысление понятия «мышление».
Подробно в отдельности рассматривается логическое, комбинаторное
мышление. Раскрывается смысл комбинаторно-логического мышления в
терминологии. Показаны параметры комбинаторно-логического мышления.
В главе II рассматривается программа прохождения курса математики по
темам:
элементы
логики,
теория
множеств, комбинаторика.
Данная
программа разбита на следующие типы задач, решаемых в классе:
логические задачи, комбинаторные задачи и задачи по методу включения и
исключения. Предлагаются различные способы решения задач. Приводятся
результаты педагогического эксперимента.
В заключении приведены основные выводы и результаты проведенного
исследования.
Список литературы содержит 30 наименований.
1. Теоретические основы комбинаторно-логического мышления
1.1.
Общее понятие о мышлении
Предметы и явления действительности обладают такими свойствами и
отношениями, которые можно познать непосредственно, при помощи
ощущений и восприятий (цвета, звуки, формы, размещение и перемещение
тел в видимом пространстве), и такими свойствами и отношениями, которые
можно
познать
лишь
опосредованно
и
благодаря
обобщению,
т.е.
посредством мышления. Мышление - это опосредованное и обобщённое
отражение действительности, вид умственной деятельности, заключающейся
в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений
между ними.
Первая особенность мышления - его опосредованный характер. То, что
человек не может познать прямо, непосредственно, он познаёт косвенно,
опосредованно: одни свойства через другие, неизвестное через известное.
Мышление всегда опирается на данные чувственного опыта - ощущения,
восприятия, представления - и на ранее приобретённые теоретические
знания. Косвенное познание и есть познание опосредованное.
Вторая особенность мышления - его обобщённость. Обобщение как
познание общего и существенного в объектах действительности возможно
потому, что все свойства этих объектов связаны друг с другом. Общее
существует и проявляется лишь в отдельном, в конкретном.
Обобщения
люди
выражают
посредством
речи,
языка.
Словесное
обозначение относится не только к отдельному объекту, но также и к целой
группе сходных объектов. Обобщённость также присуща и образам
(представлениям и даже восприятиям). Но там она всегда ограничена
наглядностью. Слово же позволяет обобщать безгранично. Философские
понятия материи, движения, закона, сущности, явления, качества, количества
и т.д. - широчайшие обобщения, которые выражаются словом.
Мышление - высшая ступень познания человеком действительности.
Чувственной основой мышления являются ощущения, восприятия и
представления. Через органы чувств - эти единственные каналы связи
организма с окружающим миром - поступает в мозг информация.
Содержание информации перерабатывается мозгом. Наиболее сложной
(логической) формой переработки информации является деятельность
мышления. Решая мыслительные задачи, которые перед человеком ставит
жизнь, человек размышляет, делает выводы и тем самым познаёт сущность
вещей и явлений, открывает законы их связи, а затем на этой основе
преобразует мир.
Мышление не только теснейшим образом связано с ощущениями и
восприятиями, но оно формируется на основе их. Переход от ощущения к
мысли - сложный процесс, который состоит, прежде всего, в выделении и
обособлении предмета или признака его, в отвлечении от конкретного,
единичного и установлении существенного, общего для многих предметов.
Мышление выступает главным образом как решение задач, вопросов,
проблем, которые постоянно выдвигаются перед людьми жизнью. Решение
задач всегда должно дать человеку что-то новое, новые знания. Поиски
решений
иногда
деятельность,
как
бывают
очень
правило,
-
трудными,
деятельность
поэтому
мыслительная
активная,
требующая
сосредоточённого внимания, терпения. Реальный процесс мысли - это всегда
процесс не только познавательный, но и эмоционально-волевой.
Объективной материальной формой мышления является язык. Мысль
становится мыслью и для себя и для других только через слово - устное и
письменное. Благодаря языку мысли людей не теряются, а передаются в виде
системы знаний из поколения в поколение. Однако существуют и
дополнительные средства передачи результатов мышления: световые и
звуковые сигналы, электрические импульсы, жесты и пр. Современная наука
и техника широко используют условные знаки в качестве универсального и
экономного средства передачи информации.
Облекаясь в словесную форму, мысль вместе с тем формируется и
реализуется в процессе речи. Движение мысли, уточнение её, связь мыслей
друг с другом и прочее происходят лишь посредством речевой деятельности.
Мышление и речь едины.
Мышление неразрывно связано с практической деятельностью людей.
Всякий вид деятельности предполагает обдумывание, учёт условий действия,
планирование, наблюдение. Действуя, человек решает какие-либо задачи.
Практическая деятельность - основное условие возникновения и развития
мышления, а также критерий истинности мышления.
1.2.
Развитие логического мышления при обучении математике.
Существуют
различные
трактовки
терминов
«логика
мышления»,
«логическое мышление». В педагогике, в методике преподавания математики
эти понятия отдельными авторами понимаются очень широко как
обеспечение связей в мыслях. Такое понимание охватывает и логику поиска
нового знания (диалектическую логику) и логику оформления имеющегося
знания
и
логику здравого
смысла. Также
имеет
место
смешение
элементарных психологических операций процесса мышления и логических
форм. Нередко к логическим операциям относят элементарные операции
мышления: анализ, синтез, сравнение и т.д.
В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два
понятия
целесообразно
мышление,
проходящее
разделить.
Тогда
в
формальной
рамках
логическое
мышление
логики,
-
отвечающее
требованиям формальной логики. Логическое мышление в таком понимании
не является творческим, т. к. согласно законам и правилам формальной
логики нельзя вывести из посылок ничего такого, что не было бы в этих
посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа
Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести
борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к
нему ничего. Известные математики, изучавшие процесс открытия нового
знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психологи, изучавшие процесс мышления
(Я. А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логически
мышление. Логические рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли,
пропуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т. е.
озарения, инсайта, интуиции.
Задача
развития
логического
мышления
учащихся
ставится
и
определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных
программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена –
развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н. Толстой отмечал,
что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой
мысли при счислении.
Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели.
Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает.
Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития
логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее
реализовывать в обычном учебном процессе, не привлекая дополнительного
содержания, лишь расставляя в обычном учебном материале определенные
акценты.
Выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее, если
обучение определенным образом организовано, если осознаются отдельные
логические формы. С осознанием отдельных логических форм человек
начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи.
Существующее положение дел в усвоении норм логического мышления не
может считаться удовлетворительным в массовой школе, т.к. многие
учащиеся, выпускники школ допускают многочисленные логические ошибки
при определении понятий, их классификации, путают прямую и обратную
теоремы, свойства и признаки понятий, не умеют подводить под
определение, не умеют строить отрицания высказываний и т. д.
Многочисленные ошибки наблюдаются при установлении связи между
понятиями, при классификации понятий, при выяснении, которая из двух
теорем является следствием другой.
Как можно видеть, существует необходимость в процессе обучения
обращать специальное внимание на развитие логического мышления. В
настоящем пособии тема развития логического мышления учащимся
рассматривается после того, как основные вопросы курса методики изучены.
Представляется, что, когда предмет методики преподавания математики
лишь начинается, цели развития логического мышления при обучении
математике могут быть лишь обозначены примерно в том плане, как это
сделано в программе по математике.
1.3.
Актуальность проблемы развития логического мышления
По мере изучения вопросов общей и частных методик проблема развития
логического мышления раскрывается более детально. Требования к
формулировкам определений понятий, к построению доказательств и т. д.
рассматриваются в соответствующих темах. Однако разрозненные сведения
необходимо систематизировать, обобщить, углубить, довести до такого
уровня,
чтобы
постановка
целей
развития
логического
мышления,
постановка соответствующих учебных задач не представляла бы трудностей.
Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников
можно говорить в различных аспектах.
Во-первых, проблема развития логического мышления должна иметь свое
отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки
учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок,
допускаемых учащимися в усваиваемом содержании школьного курса
математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению
с другими школьными предметами по логической организации материала.
Во-вторых, необходимо четко поставить, сформулировать проблему в силу
того,
что
разные
авторы
под
развитием
логического
мышления
подразумевают различные задачи. В статьях, рекомендациях, как правило,
поднимаются отдельные аспекты, обшей задачи развития логического
мышления. Есть необходимость в целом сформулировать проблему.
Почему проблема развития логического мышления чаще всего поднимается
в школьном курсе математики? Существуют методические работы по
развитию мышления, в том числе и логического, в школьных курсах русского
языка, истории и т. д. В русском языке, чтобы оградить себя от возможных
грамматических ошибок, приходится постоянно рассуждать логически.
Логически мыслить учится через любую науку, любой школьный предмет.
Но на школьную математику в этом плане ложится самая большая нагрузка.
Ни в одном школьном предмете нет цепочек получения новых суждений, т. е.
нет сложных формальных доказательств. В других школьных предметах
доказательства фрагментарны, состоят из одного - двух шагов. Наличие
многошаговых доказательств – одно из проявлений специфики математики –
науки и школьного предмета. Отсутствие полноценного школьного курса
математики существенно отражается на логическом, и, соответственно, на
общем развитии человека.
1.4.
Формирование комбинаторного стиля мышления
В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют
несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор,
важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять
перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи,
требующие
математики,
такого
в
решения,
которой
называются
изучают
комбинаторными.
комбинаторные
задачи,
Область
называется
комбинаторикой.
Комбинаторика
возникла
в
XVI
веке
и
первоначально
в
ней
рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными
играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие
подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных
комбинаций.
В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов
математической науки. Ее методы широко используются для решения
практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с
другими разделами математики.
В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно
возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для
развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению
проблем, возникающих в повседневной жизни.
Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как
правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко
используются таблицы и графы. В связи с этим учителю необходимы
определенные умения и навыки решения комбинаторных задач.
Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям,
можно составить из заданных объектов.
Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей,
поскольку методы комбинаторики используются для решения многих
вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных
исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях.
Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке
приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой
деятельности.
С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди
сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в
Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых
заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям,
вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции
подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в
стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали
фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного
квадрата и т.д.
Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки,
шахматы, домино, карты, кости и т.д.
Комбинаторика становится наукой лишь в 18 веке - в период, когда
возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные
задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций,
подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в
18 веке итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тартальей, и Г. Галилеем,
такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма.
Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки
немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 году
работу " Об искусстве комбинаторики", в которой впервые появляется сам
термин "комбинаторный".
Замечательные достижения
Л.Эйлеру.
Комбинаторными
в
области
задачами
комбинаторики
интересовались и
принадлежат
математики,
занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних
письменностей. Теперь комбинаторика находит применение во всех областях
науки и техники: в биологии, где она применяется для изучения состава
белков и ДНК, в химии, в механике и т.д.
По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее
различие изучаемых ею вопросов, многие из них имеют одно и то же
математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и
их подмножествах. Постепенно выяснилось несколько основных типов задач,
к которым сводится большинство комбинаторных проблем. Важную область
комбинаторики составляет теория перечислений. С ее помощью можно
пересчитать число решений различных комбинаторных задач.
Теория вероятностей - это раздел математики, изучающий закономерности, основанные на
взаимодействии большого числа случайных явлений (статистические закономерности).
Комбинаторное мышление - способность решать комбинаторные задачи.
Проблема развития комбинаторного мышления, в частности у детей,
изучается в психологии. Формирование комбинаторного мышления требует
специальных педагогических методов, поскольку самостоятельно такое
мышление не формируется.[1]
Как известно, комбинаторика – раздел математики, посвященный
решению задач выбора и расположения элементов некоторого, как правило,
конечного множества в соответствии с заданными правилами.
Включение в курс математики начальной школы задач комбинаторного
характера связано с целью повышения развивающей функции математики,
так как комбинаторные задачи требуют сочетания эвристического и
алгоритмического стиля мышления. Эвристическая составляющая мышления
требуется на этапе восприятия задачи, поиска способа решения, составления
алгоритма перебора или выбора элементов, а алгоритмическая составляющая
– при четком выполнении алгоритма.
1.5.
Педагогические
условия
развития
комбинаторно-логического
мышления девятиклассников
Одна из основных задач профильного обучения состоит в развитии
личности учащихся и подготовке к получению образования на основе
профильного
изучения
математики.
Эта
задача
требует
развития
математической культуры учащихся, основным компонентом которого
является математическое мышление.
Анализ научной литературы и педагогического опыта позволил выявить
ряд противоречий в развитии математического мышления школьников:
- между возросшими требованиями к уровню развития мыслительной
деятельности выпускников общеобразовательной школы и отсутствием в
школьной практике специальной работы, ориентированной на развитие
мышления учащихся;
-
между
необходимостью
организации
специальной
работы,
ориентированной на развитие математического мышления учащихся и
отсутствием научно-методического обеспечения этой работы;
- между необходимостью использования в процессе обучения основ логики,
комбинаторики и их практическим отсутствием в профессиональной
компетентности учителей математики;
-
между
широкими
возможностями
формирования
комбинаторно-
логического мышления учащихся на уроках математики и недостаточной
разработанностью
методических
направлений,
учебно-методических
комплексов,
обеспечивающих
развитие
комбинаторно-логического
мышления.
Хотя вопросам формирования мыслительной деятельности ученика
уделяется достаточно большое внимание, тем не менее, необходимо отметить
крайне низкое усвоение способов комбинаторно-логического мышления как
в рамках школьной, так и социальной среды.
Поэтому одной из важнейших задач образования остается задача развития
мышления учащихся, в котором одной из главных составляющих является
комбинаторно-логическое мышление.
На основе изучения логического и комбинаторного мышления как видов
мышления, анализа психолого-педагогической литературы сформулировано
определение комбинаторно-логического мышления и его развития как
синтеза двух видов мышления.
Комбинаторно-логическое
посредством
мыслительных
мышление
операций,
-
мышление,
направленного
реализуемое
на
выделение
конечных вариантов рассматриваемых явлений и понятий, дальнейшего
процесса преобразования числа выделенных выборов в зависимости от
субъектного опыта ученика. [14,16,17]
Чтобы
развивать
комбинаторно-логический
стиль
мышления
у
старшеклассников необходимо чтобы:
-учащиеся умели находить как можно больше вариантов подхода к одной и
той же проблеме, а также могли выбрать наиболее оптимальный, исходя из
поставленных целей и задач;
-учащиеся умели рассматривать собственные действия и действия других с
различных точек зрения, развивая тем самым критическую и рефлексивную
компоненты;
умели,
-учащиеся
применяя
ряд
мыслительных
операций,
переформулировать задачу, подходить к ее решению и оформлению решения
с различных позиций;
-учащиеся смогли осуществить выбор способа саморазвития, выстраивания
своей профессиональной карьеры.
Умение решать задачи, разрабатывать стратегию их решения, выдвигать и
доказывать гипотезы, прогнозировать результаты своей деятельности,
анализировать и находить рациональные способы решения задачи путем
оптимизации, различных вариантов перебора с использованием логических
операций позволяют судить об уровне развития комбинаторно-логического
мышления школьников.
Необходимость
поиска
новых
комбинаторно-логического
эффективных
мышления
школьников
средств
развития
обусловлена
его
значимостью для дальнейшей самореализации личности в современном
обществе. Умение логически рассуждать, вариативно мыслить является
показателем общей культуры мышления человека.
Под
комбинаторно-логическим
продуктивный
процесс,
в
мышлением
результате
которого
будем
понимать
происходит
выбор
необходимых знаний, способов и методов, направленных на разрешение
различным числом вариантов, как частных конкретных задач, так и поиск
общих
закономерностей
посредством
модельно-мыслительных
рассуждений.[]
Чтобы
развивать
комбинаторно-логический
стиль
мышления
у
старшеклассников необходимо чтобы:
– учащиеся умели находить как можно больше вариантов подхода к одной и
той же проблеме, а также могли выбрать наиболее оптимальный вариант,
исходя из поставленных целей и задач;
– учащиеся умели рассматривать собственные действия и действия других с
различных точек зрения, развивая тем самым критическую и рефлексивную
компоненты;
–
учащиеся
умели,
применяя
ряд
мыслительных
операций,
переформулировать задачу, подходить к ее решению и оформлению решения
с различных позиций;
– учащиеся смогли осуществить выбор способа саморазвития, выстраивания
своей профессиональной карьеры.
Предлагается следующая система педагогических условий, помогающих
организовать деятельность по формированию и развитию комбинаторнологического мышления старшеклассников.[]
Первое условие. Специально разработанное содержание (например,
элективных
курсов
по
математике),
направленных
на
развитие
метода
развития
комбинаторно-логического мышления старшеклассников.
Выделим
принципиальные
условия
к
разработке
комбинаторно-логического мышления:
1. Содержание должно носит циклический характер, так как к наиболее
важным типологиям задач (логическим, комбинаторным) следует
периодически возвращаться на новом витке познания и понимания;
2. Обучение на высоком уровне позволяет каждому ученику осуществить
очередной этап собственного развития;
3. Обучение, которое включает в себя все четыре уровня действия:
физическое, физиологическое, уровень действия субъекта, уровень
действия личности.
Второе
условие.
направленных
на
Специально
развитие
предложенная
типология
комбинаторно-логического
задач,
мышления
старшеклассников, реализацию ближней и дальней целей ученика.
В ходе исследования были определены основные требования к заданиям,
направленным на развитие комбинаторно-логического мышления:
1. Задания должны способствовать развитию комбинаторно-логического
мышления учащихся. Так как задания многие старшеклассники
преломляют через призму дальнейшей профессиональной карьеры,
через важность и необходимость реализации ближней (итоговая
аттестация)
и
дальней
(продолжение
образования)
цели,
то
компенсировать данную особенность можно за счет повышенной
мотивации, интересных подходов к организации учебного процесса, а
также за счет учета возрастных особенностей;
2. Задания должны быть предложены на каждом из основных этапов
формирования приемов умственной деятельности учащихся:
- система заданий должна быть личностно-ориентированной, построенной
исходя из субъектного опыта ученика;
- задания должны быть симбиозом всех представленных нами требований к
заданиям, направленным на развитие комбинаторно-логического мышления
учащихся.
Третье
условие.
Развитие
комбинаторно-логического
мышления
старшеклассников органично соединяется с развитием предметных умений,
тем самым отражается на успеваемости по предмету.
Четвертое условие. Реализация прямого (изучение операций мышления,
их
классификации
и
способов
применения,
основных
разделов
«комбинаторики») и косвенного путей (умение применять мыслительные
операции, комбинаторные, логические, общенаучные методы через предмет)
развития комбинаторно-логического мышления старшеклассников.
В
рамках
реализации
предусмотрено
системы
рассмотрение
факультативных
основных
разделов
курсов
и
уроков
комбинаторики:
перемещение, сочетание, размещение, а также приема определения различий
между понятиями «сочетание» - «размещение». Кроме изучения операций
мышления, основных разделов комбинаторики, изучаются общенаучные,
логические и комбинаторные методы.
Методика изучения основных методов представлена поэтапно:
1. Пропедевтический этап. Весь процесс обучения, так или иначе, ведет к
тому, что к старшей школе учащиеся отчасти в явном виде (метода
замены переменной, графический метод и т.д.) или неявном виде
имеют представление о методе;
2. Формирующий этап. Через разработку моделей известных учащимся
специальных методов и их применение осуществляем переход к
проблемной ситуации - к выходу на общенаучные, логические,
комбинаторные методы. На основе работы в проектном режиме и
результатов работы в проекте вырабатывается новая модель (на основе
известных) основных методов, разбираются основные характеристики
метода, демонстрируются образцы применения каждого метода;
3. Абстрагирующий вариант. Узнавание метода, применение его в
задачах – первый этап абстрагирования. Второй этап абстрагирования
будет считаться реализованным, если ученик осуществляет применение
изученного метода в житейских ситуациях.
Пятое
условие.
Индивидуальная
педагогическая
поддержка.
Педагогическая поддержка всей группы учащихся осуществляется за счет:
эмоционального настроя; субъект-субъектных отношений; использования
инновационных технологий, при реализации которых создаются ситуации:
взаимообучения, диалогичности общения, позитивной оценки достижений.
Индивидуально-личностная поддержка учащихся осуществляется за счет:
диагностики
индивидуального
развития,
обученности,
воспитанности,
выявления личных проблем ученика; отслеживания процесса развития
(вводные, промежуточные и итоговые диагностические данные), так как
диагностические данные дают возможность дозировать педагогическую
помощь, основанную на индивидуальных особенностях ученика; создания
ситуации успеха.
Шестое условие. Специально разработанные модели системы уроков
реализуемых посредством технологизации (педагогическая мастерская,
метод
проектов,
моделирование
при
информационно-компьютерной
поддержке) образовательного процесса.
Седьмое
условие.
мотивационного,
Обеспечение
критического,
единства
содержательного,
корректирующего,
контролирующего,
рефлексивного, творческого компонентов.
Мотивационный компонент ориентирует на создание благоприятной среды
выявления личностных качеств учащихся. В основе компонента лежит
управление педагогическим влиянием на положительную мотивацию
посредством
создания
условий,
востребующих
ее
деятельность
как
личностной структуры, опосредованно влияющей на математическую
культуру.
Содержательный компонент определяет новые или практически новые
знания, а также процесс познания как процесс отражения и воспроизведения
в человеческом сознании действительности, начинающейся с ощущений и
восприятий, с помощью которых познаются единичные предметы и их
свойства, которые доступны чувственному восприятию.
Корректирующий компонент ориентирует на создание ситуаций, где
возможно осуществление осмысления достигнутого уровня развития самим
учеником и его учителем. Главная цель корректирующего компонента:
корректировка содержания изучаемого материала в зависимости от «зоны
ближайшего развития» каждого ученика и корректировку самой «зоны
развития».
Контролирующий компонент содержит оценочный материал и условия для
возможности корректировки содержательной линии, для осуществления
качественного перехода на новый виток развития.
Рефлексивный компонент даёт возможность каждому старшекласснику
перейти на новый виток «собственного» развития. Рефлексивный компонент
направлен на формирование установки осознания сущностей и смыслов
явлений,
составляющих
предмет
изучения,
соотнесение
изучаемого
материала с собственными размышлениями, сомнениями по данному
вопросу.
Критический
компонент
определяет
содержание
как
основу
для
осмысления любого факта на предмет его соответствия или несоответствия
поставленным целям и задачам, современным ценностям и т.д., ориентирует
на развитие сильной позиции критичности.
Творческий
компонент
составляет
основу
для
конструирования
собственных отношений к изучаемому событию, содержит материал,
требующий экспертной оценки и условия для перевода обучаемых в позицию
экспертов, а также осуществляется переход на исследовательский этап
обучения.
Восьмое условие. Специальные материалы для оценки и коррекции
умений (уровневые тесты).
Девятое условие. Педагогическая деятельность учителя, направленная на
развитие комбинаторно-логического мышления старшеклассников.
При обучении школьников решению задач учитель сталкивается с
некоторыми проблемами. Многие учащиеся, даже старших классов не умеют
анализировать условие трудных задач, осуществлять поиск решения, тем
более поиск и оформление нескольких способов решения.
1.6.
Уровень
эффективного
развития
комбинаторно-логического
мышления старшеклассников.
Согласно
представленным
эффективного
уровневым
заданиям
представим
развития
комбинаторно-логического
Уровни
Знания
Умения
1
2
3
уровни
мышления
старшеклассников.
Низкий
(нулевой)
Практическое
отсутствие
об
Ученик умеет решать только задачи
знаний «одного шага» (так называемое «в
общенаучных, лоб»), либо решает их по интуиции.
логических,
комбинаторных
методах.
Бессистемность
предметных знаний
по
математике,
достаточно большое
число
пробелов
предметных знаний.
Первый
Большие
затруднения
Ученик
в требующие
умеет
решать
задачи,
простейших
применении
методов
математических знаний.
научного
познания.
Владеет
только
простейшими
предметными
знаниями.
Второй
Знает общенаучные, Ученик осуществляет предварительный
логические,
анализ
условия
комбинаторные
ключевые компоненты для взаимосвязи
методы.
и дальнейшего его решения, но не
На среднем уровне осуществляет
задачи,
до
находит
конца
ход
владеет
рассуждений (основная причина: знает
предметными
методы познания, но не всегда может
знаниями.
их применить). То же самое происходит
и с предметными знаниями.
Третий
Знает общенаучные, Ученик
осуществляет
не
логические,
предварительный
комбинаторные
осуществляет на основе этого синтеза
методы,
несложных
в обобщение,
анализ,
только
поиск
но
и
оригинальных
способов решения задач, осуществляет
ситуациях может их переход от частной задачи к задаче с
применить.
большим числом элементов, операций
На хорошем уровне или к обобщенной.
владеет
предметными,
межпредметными
знаниями.
Четвертый
Знает общенаучные, Ученик может переходить от одного
логические,
вида
модели
к
другой,
умеет
комбинаторные
переформулировать условие задачи с
методы, может их целью осуществления качественного
применить.
анализа и синтеза, лучшего понимания
На высоком уровне условия задачи; находить как можно
Пятый
владеет
больше вариантов решения
предметными,
использует
межпредметными
самостоятельно разрабатывает задачи и
знаниями.
осуществляет их решение.
межпредметные
задачи;
связи;
Знает общенаучные, Ученик может переходить от одного
логические,
вида
комбинаторные
переформулировать условие задачи с
методы,
модели
к
другой,
умеет
в целью осуществления качественного
большинстве
анализа и синтеза, лучшего понимания
случаев может их условия задачи; находить как можно
применить.
На
больше вариантов решения
достаточно использует
высоком
межпредметные
задачи;
связи;
уровне самостоятельно разрабатывает задачи и
владеет
осуществляет
их
предметными,
модели ранее изученных объектов, а
межпредметными
также строит модели на основе новых
знаниями.
знаний;
умеет
мыслительным
решение;
строит
переходить
операциям
к
после
решения задачи с целью осуществления
сравнения, классификации, аналогии и
т.д.
с
уже
известными
решения задачи.
моделями
Оцениваем каждое задание по шести уровням, рассмотренных в задачах (от
«нулевого» до «пятого»).
Основным
недостатком
многих
современных
школьников
является
отсутствие видимых, осознаваемых, понимаемых целей и способности
пошагово, твердо, упорно проявлять волевые качества для их достижения.
Так как темпы развития каждого ребенка индивидуальны, то задача учителя
состоит не только в том, чтобы вывести ученика на новый уровень развития,
но и побудить его к саморазвитию, то есть вывести на постоянный процесс
развития.[11]
2. Формирование комбинаторно-логического мышления у учащихся
девятых классов при обучении математике (на примере 9 «а» класса
ГЛРТ)
"Решить
математическую
задачу
-
это
значит
найти
такую
последовательность общих положений математики (определений, аксиом,
теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или
к их следствиям (промежуточным результатам решения) получаем то, что
требуется в задаче,- ее ответ".[]
В связи с этим предметом математики специального усвоения должны
стать приемы поиска решения задач.
За период педагогической практики изучались такие темы по математике
как: «элементы логики», «теория множеств», «комбинаторика». Данные темы
были включены в основную программу, на изучение которых отводилось 32
часа. В связи с этим я посчитала нужным разбить данные темы на три типа
задач, где в течение всей педагогической практики делался большой уклон на
изучение логики и комбинаторики - это логические задачи, комбинаторные
задачи и задачи по методу включения и исключения.
2.1.
Логические задачи
Логические задачи – это своеобразная "гимнастика для ума", средство для
утоления естественной для каждого мыслящего человека потребности
испытывать и упражнять силу собственного разума. В разделе представлен
ряд занимательных задач из области математики, задачи на нестандартное
логическое мышление.
Алгоритм решения задач:
-изучить содержание задачи, вычленить условия, требования к задаче;
-уточнить уровень математических знаний, необходимый для ее разрешения
(содержательный компонент);
-поиск пути решения задачи;
-провести поиск скрытой ошибки (с помощью перехода на другие формы
записи производимых математических преобразований;
-или рассмотрение тонкостей теоретического обоснования того или иного
перехода в математических действиях);
-анализ решения задачи (обоснование скрытой ошибки (критический
компонент));
-соотнесение задачи, скрытой ошибки с личным опытом (рефлексивный
компонент);
-при необходимости выявить творческий компонент учащихся.
Рассмотрим пошаговую работу над задачами.
Задача № 1.
К – множество двузначных чисел. Составьте подмножество множества К, в
котором каждый элемент – число, цифры десятков и единиц которого
одинаковы.
Определение: Множество В называется подмножеством множества А
(обозначение: В

А), если каждый элемент множества В является также
элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого
множества (  А ). Любое множество является подмножеством самого себя
(А  А).
Решение:
Определим, что дано: К={10, 11, 12,…,99} и L={11, 22, 33,…,99}.
Объяснение: множество К содержит все двузначные числа, в том числе и
числа множества L, поэтому L входит в множество К и является его
подмножеством.
Ответ: LK
Задача № 2.
А – множество цифр в числе 123231312, а В – множество цифр в числе
2031. Какое высказывание истинно: В  А или А  В?
Объяснение: независимо от того сколько чисел содержит множество А, оно
состоит из элементов {1, 2, 3}, а множество В состоит из элементов {0, 1, 2,
3}. Поэтому А является подмножеством В.
Ответ: А  В
Возможные ошибки:
Ученики, видя, что множество А имеет больше цифр, чем В, торопятся с
выводом ответа и допускают сразу же ошибку, говоря, что множество В
является подмножеством А. Хотя дело не в количестве цифр, а в количестве
присутствующих элементов множеств А и В.
Задача №3.
Где ошибка?
Рассмотрим очевидное равенство:
(2 - 2,5)2 = (3 - 2,5)2
Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:
2 - 2,5 = 3 - 2,5
Прибавляем к обеим частям этого равенства по 2,5, получаем, что 2 = 3. Где
ошибка?
Схема рассуждений и ход решения:
Шаг 1. Использование разработанного алгоритма решения.
Шаг 2. Суть ошибки.
Выявляем, какое правило математики было нарушено.
При извлечении корня квадратного из обеих частей возможного равенства
получаем неверный результат. Так как при любом значении а справедливо
= |а|, то правильным следствием должно быть верное равенство |2 - 2,5| =
|3 - 2,5|, а из него следует |-0,5| = |0,5|, а вовсе не равенство 2 - 2,5 = 3 - 2,5.
Замечание: Работа с парадоксальными выводами ярко оттачивает одно из
важных свойств алгебры.
Задача №4.
Функция задана формулой
f ( x)  x  1.
Докажите справедливость равенства
f ( x 2 )  2 f ( x)  f 2 ( x)  2.
Решение:
Проверим сначала левую часть равенства. В функцию f ( x)  x  1. вместо
аргумента х соответствующие значения из равенства левой части:
а) f ( x 2 )  x 2  1
б) 2 f ( x)  2( x  1)  2 x  2
2
2
2
в) f ( x )  2 f ( x)  x  1  2 x  2  x  2 x  3
Теперь
проверим
правую
часть
равенства,
подставляя
при
этом
соответствующие значения:
2
2
2
2
а) f ( x)  2  ( x  1)  2  ( x  2 x  1)  2  x  2 x  3
Отсюда видим, что левая и правая части равенств совпадают. Что и
требовалось доказать.
Задача №5.
Дана функция f ( x) 
6x  4
. Докажите, что число f (2)  f (6) делится на 3.
x2
Решение:
Найдем f(2), подставим в данную функцию, вместо х, значение 2.
f ( 2) 
6*2  4
4
22
Значение 4 не делится на 3.
Найдем f(6), подставим в данную функцию, вместо х, значение 2.
f ( 6) 
6*6  4
5
62
Значение 5 не делится на 3.
Найдем f (2)  f (6)  5  4  9
Значение 9 делится на 3. Что и требовалось доказать.
Задача №6.
Материальная точка движется прямолинейно по закону S (t )  4t 2  5t , где t –
время, с; S (t ) -расстояние, см.
а) Какой путь пройдет материальная точка за t1  3 с? За t 2  5 с?
б) За какое время материальная точка пройдет расстояние равное 44
см?
Решение:
а) Чтобы узнать какой путь пройдет материальная точка за 3 секунды или за
5 секунд, необходимо вместо параметра t подставить эти значения.
S (3)  4 * 32  5 * 3  51
S (5)  4 * 5 2  5 * 5  125
б) Чтобы узнать какое время понадобится для прохождения пути равным 44
2
см, необходимо 4t  5t  44
Вычислим дискриминант:
4t 2  5t  44  0
D  b 2  4ac  25  704  729  27
 b  D  5  27

 2,75c
2a
8
 b  D  5  27
t2 

 4с
2a
8
t1 
Так как время не может быть отрицательным, то берем лишь одно значение
2,75.
Ответ: 2,75с.
Задача №7.
1. Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением был:
а) отрезок; б) шестиугольник.
Решение: Наглядность.
а)
б)
2. Начертите два четырехугольника так, чтобы их пересечением был:
а) отрезок; б) четырехугольник.
Решение: Наглядность.
а)
б)
Возможные ошибки:
-упускают из условия задания основной смысл – «пересечение фигур», не
вникают в смысл вопроса;
-из-за незнания геометрических фигур;
-плохая ориентация на плоскости.
Задача №8.
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя
меньшими равносторонними треугольниками.
Решение.
Каждый из меньших треугольников не сможет накрыть более одной
вершины большого треугольника.
Задача №9.
На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше
половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель,
проходящий через центр планеты, который соединит сушу с сушей.
Решение.
Покрасим сушу на планете в зеленый цвет, а поверхность планеты,
симметричную суше, - в синий цвет. Так как суша занимает больше
половины поверхности планеты, то найдется точка на поверхности планеты,
покрашенная в оба цвета. Через нее и надо рыть туннель.
Задача №10.
На плоскости расположены 7 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут
ли все шестеренки цепочки вращаться?
Решение.
Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда
вторая – против часовой стрелки. Третья – снова по часовой стрелке и т.д.
ясно, что все четные шестеренки должны вращаться против часовой стрелки,
а все нечетные – по часовой стрелке. Но тогда 1-я и 7-я шестеренки должны
вращаться по часовой стрелке. Мы пришли к противоречию: нарушается
принцип чередования.
Ответ: Цепочка шестеренок не может вращаться.
Задача №11.
Маша и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого
ребенка — одного пола. Мальчиков среди Машиных друзей семь. А сколько
девочек?
Решение.
В чередующейся замкнутой цепочке объектов одного вида (мальчиков)
столько же, сколько и объектов другого вида (девочек).
Ответ: У Маши 6 подруг.
Задача №12.
Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет
по 1 и 5 рублей?
Решение.
Простое наблюдение: сумма нечетного числа нечетных слагаемых есть
число нечетное.
Ответ: нет.
Задача №13.
Может ли N! оканчиваться ровно на 5 нулей?
Решение.
Необходимо подсчитать, сколькими нулями оканчивается число, для этого
подсчитать, сколько десяток и пятерок входит в произведение N!. Нетрудно
отыскать, что 24! оканчивается четырьмя нулями, а 25! – шестью.
Ответ: нет.
Задача №14. Найдите последнюю цифру числа
Решение.
Заметим, что последняя цифра числа 1989 совпадает с последней цифрой
числа 1989. выпишем последние цифры нескольких начальных степеней
числа 9: 9, 1, 9, 1, 9, 1. ясно, что все нечетные степени девятки оканчиваются
на 9.
Ответ: поэтому последняя цифра числа - 9.
Задача №15. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них
разбил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля
ответили «Не я», а Миша — «Не знаю». Потом оказалось, что двое из
мальчишек сказали правду, а двое — неправду. Знает ли Миша, кто разбил
стекло?
Решение.
Начнем с ответов Пети, Васи и Коли. Поскольку стекло разбил кто-то один,
среди ответов Пети, Васи и Коли может быть только один ложный, иначе при
двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым
ложным ответом будет ответ Миши, так как всего ложных ответов два.
Ответ: Поэтому Миша знал, кто разбил стекло.
Задача №16.
Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам
профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?
Решение.
В этой задаче при решении основная масса решающих людей невольно
полагает, что профессором должен быть мужчина, хотя это ниоткуда не
следует по условию задачи.
Ответ: да, если профессор-женщина.
Задача №17.
Нарисовать треугольник, который можно разделить на 5 равных
треугольников.
Решение.
Очевидно, что треугольник можно разделить на равные части. Далее к
этому треугольнику требуется приставить его четвертую часть; при этом
снова должен получиться треугольник. Это возможно только в том случае,
когда треугольник является прямоугольным, ведь только тогда сумма двух
прямых углов даст развернутый угол (отрезок, который является стороной
треугольника, при этом будет суммой сторон большого треугольника и его
«четвертушки»).
Задача №18.
Доказать, что никакая фигура не может иметь ровно два центра
симметрии.
Решение.
Доказательство основывается на том факте, что точка, симметричная
одному центру симметрии относительно другого, также является центром
симметрии.
Задача №19.
Словам соответствуют цифры: корова — 2, кошка - 3, кукушка — 4. Какая
цифра, по Вашему мнению, должна
соответствовать слову «собака»?
Решение.
Прежде всего обратим внимание на то, что задача допускает не один ответ.
1) Ответ детского сада: 3. (По числу звуков: «му», «мяу», «ку-ку», «гав».)
2) Подсчитав число букв «к» в каждом слове и прибавив единицу, получим
для собаки цифру 2.
3) Взяв ряд записанных подряд цифр, получаем в ответе цифру 5.
4) А ведь возможна еще в ответе и единица!
Получаем, что у каждого своя логика.
Вывод: данная задача относится к классу логических задач, но допускает не
один ответ! В задачах подобного типа необходимо очень точно описывать
логику своих рассуждений.
Задача №20.
Докажите, что
+ 2N делится на 3 для любого натурального N.
Решение.
Число N при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1,2.
Рассмотрим все три возможных случая.
1. Если N дает остаток 0, то и
и 2N делятся на 3, и поэтому
+ 2N
также делится на 3.
2. Если N дает остаток 1, то и
делится на 3.
дает остаток 1, 2N — остаток 2, а 1 + 2
3. Если N дает остаток 2, то
дает остаток 2, 2N — остаток 1, а 2 + 1
делится на 3.
Что и требовалось доказать.
Задача №21.
Докажите, что
делится на 7.
Решение.
Доказательство. Необходимо найти остаток от деления числа на 7 и
убедиться, что он равен нулю.
Задача №22.
На плоскости дан квадрат ABCD и точка О. Докажите, что расстояние от
точки О до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от
О до трех других вершин квадрата.
Решение.
Сложим неравенства треугольника АС + ОС > ОА и OB + OD > BD. Так как
АС = BD, то сокращая, получаем требуемое неравенство ОС + OB + OD >
ОА. Что и требовалось доказать.
2.2.
Комбинаторные задачи
Комбинаторные задачи - классические задачи выбора и расположения
элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую
формулировку развлекательного содержания типа головоломок.
Существуют следующие виды комбинаторных задач, которые мы будем
рассматривать, и которые решались в девятом классе - неупорядоченные
перестановки, размещения, сочетания.
Перестановки - это комбинации или соединения из n элементов,
содержащие все элементы и считающиеся различными, если отличаются
порядком элементов.
Размещения из n элементов по k - это комбинации или соединения,
содержащие k различных элементов и считающиеся различными, если
отличаются либо своими элементами, либо порядком элементов.
Сочетаниями из m элементов множества A по n элементов называются
соединения, содержащие n элементов, а отличаются они хотя бы одним
элементом, но не порядком.
Алгоритм
определения
различий
между
понятиями
"сочетание"
-
"размещение":
-вычленение основного множества;
-вычленение из основного множества нескольких элементов;
-сравнение множеств вычлененных элементов с различными вариантами
перестановок;
-осуществление необходимого вывода о важности (последовательность) или
неважности (подмножество) перестановок в образованных множествах
вычлененных элементов;
-осуществление окончательного вывода:
-порядок не важен - подмножество вычлененных элементов - понятие
"сочетание";
-порядок важен - последовательность вычлененных элементов - понятие
"размещение".
Задача №1.
«Вороне как – то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и
шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь , позавтракать совсем уж было
собралась, да призадумалась»:
а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется
выбирать;
б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;
в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких
вариантов придется выбирать;
г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек бросить Лисе, а потом
ответить на вопрос пункта а)?
Рассуждения учеников:
а) Если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется
выбирать?
Первый способ. Воспользуемся деревом возможностей:
Таким образом, мы видим, что каждый элемент выбирается 5 способами,
остается 4 элемента, из 4-х элементов мы можем выбирать уже 3 способами и
так далее.
Получается 2*3=6, 6*4=24, 24*5=120
Ответ: 120 способов.
Второй способ. Воспользуемся формулой.
Так как элементы можно
переставлять и порядок здесь важен, то это перестановка Рn = n!
И таким образом Рn = n!=5!=5*4*3*2*1=120 способов.
Ответ: 120 способов.
б) Сколько получится «бутербродов» из двух кусочков?
Первый способ. Комбинируем элементы.
123, 124, 125, 234, 235, 345, 351, 451, 452, 341. Итого получилось 10 способов
перестановки кусочков.
Ответ: 10 способов.
Второй способ. Использование формулы.
Так как мы сочетаем элементы, причем элементы не должны повторяться, и
порядок не важен, то воспользуемся формулой сочетаний без повторений:
Cnk =
n!
5!
5 * 4 * 3 * 2 *1
; C52 

 10
k!(n  k )!
2!(5  2)! 2 *1(3 * 2 *1)
Ответ: 10 способов.
в) Если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких
вариантов придется выбирать?
Первый способ. Также комбинируем кусочки.
Те три кусочка, которые хотят съесть, мы выбираем из 5 вариантов :
123, 124, 125, 234, 235, 345, 351, 451, 452, 341. Но еще остались спрятанные
кусочки, которые мы также выбираем из 5 вариантов. Например, если мы
выбрали кусочки 123, то остались 4 и 5, если 124 выбрали, то остались
кусочки 5 и 3 и так далее. Образовались еще сочетания, которые
представляют спрятанные кусочки: 45, 53, 34, 51, 14, 12, 24, 32, 13, 52. Их
тоже 10. Получили следующее: 10+10=20 способов.
Ответ: 10 способов.
Второй способ. Применим формулу сочетаний без повторений:
Cn k =
n!
k!(n  k )!
Но само решение будет выглядеть следующим образом:
C53 * C 21 
5! 2!
*  10 * 2  20
2!*3! 1!
Ответ: 20 способов.
г) Сколько получится вариантов, если какой-то кусочек бросить Лисе, а
потом ответить на вопрос пункта а)?
Первый способ. Брошенный кусочек мы можем выбрать 5 вариантами, а
остальные оставшиеся 4 кусочка, которые хотят съесть по очередности,
выберем 4!=4*3*2*1, тогда решение будет следующим: 5*4!=5*4*3*2*1=120
способов.
Второй способ. Можем воспользоваться деревом возможностей.
Ответ: 120 вариантов.
Задача № 2.
Сколькими способами можно разместить во время проведения итоговой
аттестации по алгебре 15 учащихся девятого класса за пятнадцатью столами
так, чтобы за каждым столом сидело по одному ученику.
Решение. Воспользуемся определение и формулой перестановок.
Р(15) = 15!= 1307674368000
Задача № 3.
Организаторы городской математической олимпиады для учащихся 9-11
классов решили ввести оригинальное определение числа участников и
номера кодировок их выполненных работ. Чтобы узнать, какое количество
участников необходимо пригласить на конкурс, нужно вычислить все
возможные варианты трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр
1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждая цифра в числе использовалась единожды.
Решение.
Шаг 1. Вычленение основного множества.
А - множество всевозможных трёхзначных чисел, которые можно составить
из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждая цифра в числе использовалась
единожды.
Шаг 2. Вычленение из основного множества нескольких элементов.
Выберем, например, три цифры - 1, 3, 4.
Шаг 3. Сравнение множеств вычлененных элементов с различными
вариантами перестановок: {1, 3, 4}; {1, 4, 3} или {4, 3, 1} и т.д.
Шаг
4.
Осуществление
необходимого
вывода
о
важности
(последовательность) или неважности (подмножество) перестановок в
образованных множествах вычлененных элементов.
В данной задаче перестановка цифр задает различные числа, следовательно,
важен порядок расположения элементов, т.е. каждой цифре присваивается
свой
личный
номер,
значит,
выборочные
элементы
задают
последовательности.
Шаг
5.
Осуществление
окончательного
вывода:
Порядок
важен
-
последовательность вычлененных элементов - понятие "размещение". При
решении этой задачи используем формулу размещений.
А
Ответ: 60 участников.
Задача № 4. Школьному координатору по проведению итоговой аттестации
учащихся 11 классов необходимо разместить в период с 1 по 10 июня три
экзамена из семи, которые были определены выбором учащихся.
Решение. В данной задаче, например, геометрия, физика, химия и
всевозможные перестановки являются одним вариантом, то для решения
воспользуемся формулой сочетаний.
Ответ: 35 вариантов.
Задача №4.
Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3 и 4?
Рассуждения учеников.
Первый способ. Сначала запишем все числа, у которых в разряде десятков
стоит цифра 1: 11, 12, 13, 14. Затем запишем все числа, у которых в разряде
десятков стоит цифра 2: 21, 22, 23, 24. Запишем числа, у которых в разряде
десятков стоит цифра 3: 31, 32, 33, 34. Запишем числа, у которых в разряде
десятков стоит цифра 4: 41, 42, 43, 44.
Получилось 16 чисел: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
Ответ: 16 чисел.
Второй способ. Построение дерева возможностей.
Диалог учителя с учениками.
Учитель. Сколько существует способов поставить цифру на первое место?
Дети. Четыре: цифры 1, 2, 3 или 4.
Учитель. Рисуем от корня 4 веточки и записываем рядом с веточкой цифры 1,
2, 3 и 4.
Дети выполняют задание.
Учитель. Цифру 1 мы уже поставили на первое место. Сколько у нас есть
способов поставить цифру на второе место?
Учитель. Вторую цифру мы можем выбрать четырьмя способами, это может
быть цифра 1, 2, 3 или 4. Рисуем от цифры 1 четыре веточки, под каждой
подписываем цифру 1, 2, 3 или 4. Считаем внизу число веточек и получаем
ответ на вопрос задачи. Таких чисел 16.
Учитель. Есть ли среди записанных чисел число 32? Найдите его.
Дети. Это десятое число.
Учитель. Запишите все полученные числа.
Дети. 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
Задача №5.
Запиши множество четырехзначных чисел, у которых:
а) все цифры одинаковые; б) сумма цифр равна 3.
Рассуждения учеников.
а) Ответ: 9 чисел: 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999.
б) Запишем всевозможные числа, сумма которых равна 3:
3 + 0 + 0 + 0 = 3, 2 + 1 + 0 + 0 = 3, 1 + 1 + 1 + 0 = 3.
К первой сумме можно отнести записать одно число: 3000.
Ко второй сумме можно отнести 6 чисел: 2100, 2010, 2001, 1200, 1020, 1002.
К третьей сумме – 3 числа: 1110, 1101, 1011. Всего 1 + 6 + 3 = 10 чисел.
Ответ: 10 чисел.
Задача №6.
Из глухого захолустного города Г, где отродясь не было никаких дорого,
проложили 2 новые дороги в город В. Кроме того, из города А в город Г
проложили еще 2 новые дороги. Сколькими путями теперь можно проехать
из города А в город В?
Решение:
В этой задаче надо в самом начале выделить два взаимоисключающих
случая: когда мы едем через город Б, и когда едем через город Г. Найти
количество путей в первом случае - это будет 6*4=24. Найти количество
путей во втором случае - это задача с ответом 2*2=4. Теперь эти количества
путей надо сложить, и в ответе получается 24+4=28 путей проезда.
Задача №7.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2 и 3, если: а) цифры в
записи числа не повторяются; б) цифры в записи числа могут повторяться?
Рассуждения ученика.
а) Цифры в записи числа не повторяются.
Первый
способ. Поставим на первое место цифру 1, на второе место
можно поставить цифры 2 и 3, получим числа 12 и 13. Поставим на первое
место цифру 2, на второе место можно поставить либо 1, либо 3, получим
еще два числа – 21 и 23, поставим на первое место цифру 3, на второе – либо
цифру 1, либо 2, получим еще два числа – 31, 32.
Второй способ. Из цифр 1 и 2 можно составить два числа – 12 и 21, из
цифр 1 и 3 – 13 и 31, из цифр 2 и 3 – 23 и 32.
Ответ: 12, 21, 13, 31, 23, 32.
б) Цифры в записи числа могут повторяться.
К полученным шести числам в предыдущей задаче нужно добавить числа,
образованные повторяющимися цифрами: 11, 22, 33, 12, 21, 13, 31, 23, 32.
Ответ: 12, 21, 13, 31, 23, 32, 11, 22, 33, 12, 21, 13, 31, 23, 32.
Задача №8.
Сколько существует двузначных чисел, в записи которых используется
хотя бы одна цифра 5?
Рассуждения ученика.
Девять двузначных чисел имеют цифру 5 в разряде единиц (15, 25 и т.д.) и
10 чисел имеют цифру 5 в разряде десятков (50, 51 и т.д.). Число 55 вошло в
оба эти множества и посчитано дважды.
Таким образом, получили 9 + 10 – 1 = 18 чисел.
Ответ: 18 чисел.
Задача №9.
Запиши множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 9 и
которые не изменяются при чтении их слева направо и справа налево.
Представь полученные числа в виде суммы разрядных слагаемых.
Рассуждения ученика.
Первый способ. Трехзначные числа, которые одинаково читаются слева
направо и справа налево, имеют вид: 1*1, 2*2, 3*3, 4*4. Найдем среднюю
цифру, вычитая из 9 сумму двух известных цифр.
Ответ: 171, 252, 333, 414.
Второй способ. Рассуждаем по мере прочтения текста и переводим каждую
фразу с естественного языка на математический язык. Например, так:
трехзначные числа, обозначим аbc. Так как числа не должны изменяться при
чтении слева направо и справа налево, они имеют вид: аba, тогда сумма цифр
имеет вид а + b + а = 9. Подставляя вместо переменной а цифры 1, 2, 3, 4,
найдем цифру b, затем запишем число:
1…1, b = 9 – 2 = 7. Это число 171.
2…2, b = 9 – 4 = 5. Это число 252.
3…3, b = 9 – 6 = 3. Это число 333.
4…4, b = 9 – 8 = 1. Это число 414.
Ответ: 171, 252, 333, 414.
Задача №10.
Найди сумму всех возможных различных двузначных чисел, все цифры
которых нечетные.
Рассуждения ученика.
1 и 3 – 13, 31; 1 и 5 – 15, 51;
1 и 7 – 17, 71; 1 и 9 – 19, 91;
3 и 5 – 35, 53; 3 и 7 – 37, 73;
3 и 9 – 39, 93; 5 и 7 – 57, 75;
5 и 9 – 59, 95; 7 и 9 – 79, 97.
Запишем нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Составим всевозможные двузначные
числа из данных цифр, в записи которых цифры не повторяются.
Добавим числа, в записи которых цифры повторяются: 11, 33, 55, 77, 99.
Найдем их сумму: 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 31 + + 33 + 35 + 37 + 39 + 51 + 53
+ 55 + 57 + 59 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99 = (11 + 99) + +
(13 + 97) + (15 + 95) +... + (53 + 57) + 55 = 110 x 12 + 55 = 1375.
Ответ: 1375.
Задача №11.
В одной вазе лежат апельсин, мандарин и банан, в другой – яблоко и
груша, а в третьей – персик и слива. Найди все способы, которыми можно
взять по одному фрукту из каждой вазы. Сколько всего различных способов?
Рассуждения ученика.
Обозначим апельсин буквой "А", мандарин – "М", банан – "Б". Составим
дерево возможностей.
Ответ: 12 способов.
2.3.
Алгоритм решения задач по теме "Метод включения и
исключения"
-изучение содержания задачи;
-выдвижение гипотезы (гипотез) поиска решения;
-осуществление логических рассуждений, связанных с нахождением числа
общих элементов всех рассматриваемых множеств, а также числа общих
элементов возможных переборов этих множеств: по два, три множества и
т.д.;
-проверка выдвинутых гипотез других способов решения (критический
компонент);
-осуществление решения при помощи формулы метода включения и
исключения (в зависимости от числа рассматриваемых множеств);
-обсуждение
результатов
и
соотнесение
с
собственным
опытом
(рефлексивная составляющая)
-обсуждение дополнительных вопросов к задаче на усиление логической
составляющей (логическая составляющая);
-составление и решение аналогичных задач (творческий компонент).
Задача №1.
В нашем классе можно изучать по выбору английский и немецкий языки.
Английский язык изучают 23 ученика, немецкий–16 учеников, а оба эти
языка знают 5 учащихся. Сколько всего школьников учатся в нашем классе,
если известно, что каждый из них изучает хотя бы один из этих языков?
Схема рассуждений и ход решения:
Шаг 1.Введем обозначения. А - множество учащихся, посещающих курс по
английскому, буквой В - множество учащихся, изучающих немецкий.
N(A)=23, N(B)=16, N(А  В)=5.
Шаг 2. Множества А и В имеют общие элементы, т. е. А  В = 5.
Шаг 3. Число учащихся, посещающих только английский равно 18 (23 - 5 =
18), число учащихся, посещающих немецкий равно 11 (16 - 5 = 11).
Шаг 4. Общее число слушателей двух курсов равно сумме участников
только английского, только немецкого и слушателей обоих языков, то есть
равно 18+11+5=34.
Шаг 5. Вычисление числа учащихся (другим способом) с применением
формулы метода включения и исключения.
N(A  В) = N(А) + N(В) - N(А  В) = 23 + 16 - 5 = 39 - 5 = 34.
Ответ: в классе 34 ученика.
Задача № 2.
Каждый ученик физико-математического класса посещает элективный курс
или по математике, или по физике, или оба курса. Элективный курс по
математике посещают 18 учащихся, а по физике - 19 учащихся, причем 14
человек посещают оба курса. Сколько учащихся в физико-математическом
классе?
Схема рассуждений и ход решения:
Шаг 1.Введем обозначения. А - множество учащихся, посещающих ЭК по
математике, буквой В - множество учащихся, посещающих ЭК по физике.
N(A)=18, N(B)=19, N(А В)=14.
Шаг 2. Множества А и В имеют общие элементы, т. е. А В = 14.
Шаг 3. Число учащихся, посещающих только ЭК по математике равно 4 (18 14 = 4), число учащихся, посещающих ЭК по физике равно 5 (19 - 14 = 5).
Шаг 4. Общее число слушателей двух курсов равно сумме участников ЭК
только математики, только физики и слушателей, посещающих оба курса, то
есть равно 4+5+14=23.
Шаг 5. Вычисление числа учащихся (другим способом) с применением
формулы метода включения и исключения.
N(A
В) = N(А) + N(В) - N(А В) = 18 + 19 - 14 = 37 - 14 = 23.
Ответ: в физико-математическом классе 23 ученика.
Задача №3.
Множества A, B и C таковы, что n(A)=22, n(B)=14, n(C)=8, n(A  B  C)=25,
n(A  B)=5, n(A  C)=4, n(B  C)=6. Сколько элементов в пересечении
множеств А, В и С?
Схема рассуждений и ход решения:
Шаг1. Вспомним правило суммы для двух элементов:
N(A  В) = N(А) + N(В) - N(А  В)
А - множество учащихся, посещающих курс по английскому, буквой В множество учащихся, изучающих немецкий. N(A)=23, N(B)=16, N(А  В)=5.
Шаг 2. Определим, что дано:
-количество элементов каждого множества n(A)=22, n(B)=14, n(C)=8,
-пересечения элементов множеств n(A  B)=5, n(A  C)=4, n(B  C)=6,
-общее количество элементов всех трех множеств,
Шаг 3. Что требуется узнать? Сколько элементов в пересечении множеств А,
В и С. Будет обозначаться как n(А  В  С).
Шаг 4. Для наглядности посмотрим рисунок.
Шаг 5. Вычисление числа элементов с применением формулы метода
включения и исключения, но только для трех элементов.
N(A  В  С) = N(А) + N(В) + N(C) - N(А  В) - N(A  C) - N(B  C) –N(A  B  C).
Шаг 6. Подставим в формулу числа и определим количество элементов в
пересечении всех трех множеств:
25=22+14+8-5-4-6-Х
Х=4
Ответ: 4 элемента.
Возможные ошибки:
-При появлении третьего множества возникают трудности при составлении
формулы;
-Возникает путаница в знаках.
2.4.
Критерий
логического
оценивания
по
мышления
формированию
комбинаторно-
учащихся
«А»
9
класса
Государственного лицея республики Тыва.
По результатам исследования я вывела следующие уровни развития
комбинаторно-логического
мышления
у
учеников
9
«А»
класса
в
отдельности и получила следующий анализ оценивания:
1.
Бухтояров Никита. Преобладает «первый» уровень. Большие
затруднения в применении методов научного познания. Владеет только
простейшими предметными знаниями. Ученик умеет решать задачи,
требующие простейших математических знаний. Лишь в домашних
работах проявлял знания чуть выше «первого» уровня. Это связано с
тем, что данный ученик в течение периода изучаемых тем не проявлял
особого интереса к познанию, лишь частично использовал свои знания,
в остальных, более трудных заданиях, прибегал к помощи других
учеников. Особого развития комбинаторно-логического мышления не
наблюдалось. Остался на том же уровне.
2.
Васильев Владимир. Преобладает «первый» уровень. Большие
затруднения в применении методов научного познания. Владеет только
простейшими предметными знаниями. Ученик умеет решать задачи,
требующие простейших математических знаний. Но постепенно
начинает проявляться «второй»
уровень. Знание общенаучных,
логических, комбинаторных методов. На среднем уровне владеет
предметными
анализ
знаниями.
условия
задачи.
Ученик
Находит
осуществляет
ключевые
предварительный
компоненты
для
взаимосвязи и дальнейшего его решения, но не осуществляет до конца
ход рассуждений. Основная причина: знает методы познания, но не
всегда может их применить. То же самое происходит и с предметными
знаниями. Весьма старателен, проявляет самостоятельные действия в
работе.
3.
Деге Идермаа. Одна из лучших учениц. Показывает самый высокий
уровень развития среди остальных учащихся. В процессе изучения
практических основ по математике достигла «четвертого» уровня, что
оказало плодотворное влияние на результат умственной подготовки, а
также для вывода итоговой оценки за четверть. Знает общенаучные,
логические, комбинаторные методы, может их применить. На высоком
уровне владеет предметными, межпредметными знаниями. Ученица
может
переходить
переформулировать
от
одного
условие
вида
модели
задачи
с
к
целью
другой,
умеет
осуществления
качественного анализа и синтеза для лучшего понимания условия
задачи; находить как можно больше вариантов решения задачи;
использует межпредметные связи; самостоятельно разрабатывает
задачи и осуществляет их решение.
4.
Жук Мария. Также как и предыдущая ученица Деге Идермаа на
протяжении всего курса обучения показывала хорошие результаты.
Сначала преобладал «второй» уровень, но с каждым написанием
самостоятельной работы, домашней работы результаты улучшались.
Особо было выявлено качественное знание курса алгебры, а именно в
конкретных,
отдельных
темах,
таких
как
теория
множеств,
комбинаторика и логика в олимпиадных задачах. Смогла достичь, по
моему мнению, «четвертого» уровня. Ученица переходила от одного
вида модели к другой, умела переформулировать условие задачи с
целью осуществления качественного анализа и синтеза для лучшего
понимания условия задачи; находила как можно больше вариантов
решения задачи; использовала межпредметные связи; самостоятельно
разрабатывала задачи и осуществляла их решение.
5.
Кужугет Шончалай. Неравномерные знания. В одних задачах
показывала удовлетворительные результаты, в других хорошие
качественные знания. В среднем преобладает «второй» уровень. Знает
общенаучные, логические, комбинаторные методы. На среднем уровне
владеет предметными знаниями. Осуществляет предварительный
анализ
условия
задачи,
находит
ключевые
компоненты
для
взаимосвязи и дальнейшего его решения, но не осуществляет до конца
ход рассуждений (основная причина: знает методы познания, но не
всегда может их применить). То же самое происходит и с предметными
знаниями.
6.
Кукарцев Иван. Преобладает «второй» уровень при написании
самостоятельных работ, что же касается домашних работ, то здесь
результат выше и в двух работах достигает «третьего» уровня. Ученик
осуществляет не только предварительный анализ, но и осуществляет на
основе этого синтез о обобщение, поиск оригинальных способов
решения задач, осуществляет переход от частной задачи к задаче с
большим числом элементов, операций или к обобщенной. Скорее всего
это связано с тем, что в домашних условиях прибегает к помощи
других источников знаний. Особую активность и высокий уровень (а
именно «четвертый») смог достичь при написании «заочной»
олимпиады, что опять же связано с посторонней помощью. Делая
выводы из наблюдений и проверок его работ можно сказать, что
данный ученик так и остался на «втором» уровне.
7.
Луцик Альберт. Преобладающий уровень «второй». В течение курса
изучения материала не проявлял качественных знаний, по уровням не
продвинулся, улучшения были замечены лишь под конец четверти в
двух домашних работах, но огромную роль на развитие комбинаторнологического
мышления
эти
работы
не
повлияли.
Интерес
к
математическому познанию не проявлял. В олимпиадах не принимал
участие.
Общие
выводы:
знает
общенаучные,
логические,
комбинаторные методы. На среднем уровне владеет предметными
знаниями.
8.
Монгуш
Алдынай.
Преобладает
«третий»
уровень.
На
первоначальном этапе имела «второй» уровень. Знает общенаучные,
логические, комбинаторные методы, в несложных ситуациях может их
применить.
На
хорошем
межпредметными
знаниями.
уровне
Ученик
владеет
предметными,
осуществляет
не
только
предварительный анализ, но и осуществляет на основе этого синтеза
обобщение,
поиск
оригинальных
способов
решения
задач,
осуществляет переход от частной задачи к задаче с большим числом
элементов, операций или к обобщенной.
9.
Монгуш Степан. Преобладающий уровень «первый», иногда
проявлял «нулевой» уровень. Показывал наиболее низкие результаты в
работах.
Практическое
отсутствие
знаний
об
общенаучных,
логических, комбинаторных методах. Бессистемность предметных
знаний
по
математике,
достаточно
большое
число
пробелов
предметных знаний. Большие затруднения в применении методов
научного познания. Владеет только простейшими предметными
знаниями. Ученик умеет решать только задачи «одного шага» (так
называемые «в лоб»), либо решает их по интуиции. Ученик умеет
решать задачи, требующие простейших математических знаний. А
также не во всех случаях решает задачи самостоятельно, много раз
было замечено, что прибегает к помощи других лиц.
10. Монгуш Аялга. Преобладает «второй» уровень. На уроках отвечала
слабо, самостоятельные работы выполняла не в полной мере. Хорошо
справлялась с домашним заданием. В олимпиадах не участвовала.
Комбинаторно-логическое
мышление
не
получило
развития,
исключением является домашняя работа. В домашней работе смогла
достичь «третьего» уровня. Но не факт, что ученица выполняла ее
самостоятельно, поэтому данный уровень следует принимать условно.
Общие выводы: Знает общенаучные, логические, комбинаторные
методы.
На
среднем
уровне
владеет
предметными
знаниями.
Осуществляет предварительный анализ условия задачи, находит
ключевые компоненты для взаимосвязи и дальнейшего его решения, но
не осуществляет до конца ход рассуждений (основная причина: знает
методы познания, но не всегда может их применить). То же самое
происходит и с предметными знаниями.
11. Монгуш Чайзат. В комбинаторно-логическом мышлении смогла
развить
«третий»
уровень,
хотя
преобладающий
«второй».
В
олимпиаде смогла показать и утвердить «третий» уровень, что
немаловажно
для
дальнейшего
развития
ее
мышления.
Знает
общенаучные, логические, комбинаторные методы, в несложных
ситуациях может их применить. На хорошем уровне владеет
предметными, межпредметными знаниями. Ученица осуществляет не
только предварительный анализ, но и осуществляет на основе этого
синтеза обобщение, поиск оригинальных способов решения задач,
осуществляет переход от частной задачи к задаче с большим числом
элементов, операций или к обобщенной.
12. Ондар Тайгана. Со «второго» уровня поднялась на «третий», в
домашних работах сумела показать «четвертый», что говорит о
развитии комбинаторно-логического мышления. Способная ученица.
Знает общенаучные, логические, комбинаторные методы, может их
применить.
На
высоком
уровне
владеет
предметными,
межпредметными знаниями. Может переходить от одного вида модели
к другой, умеет переформулировать условие задачи с целью
осуществления качественного анализа и синтеза, лучшего понимания
условия задачи; находить как можно больше вариантов решения
задачи;
использует
межпредметные
связи;
самостоятельно
разрабатывает задачи и осуществляет их решение.
13. Салчак Евгения. Со «второго» уровня поднялась на «третий», что
говорит
о
ее
способности
развивать
комбинаторно-логическое
мышление. Хорошие результаты показала на олимпиаде при решении
логических задач. Ученица может переходить от одного вида модели к
другой,
умеет
переформулировать
условие
задачи
с
целью
осуществления качественного анализа и синтеза, лучшего понимания
условия задачи; находить как можно больше вариантов решения
задачи;
использует
межпредметные
связи;
разрабатывает задачи и осуществляет их решение.
самостоятельно
14. Торуш Базаан. Достиг «третьего» уровня. Обладает хорошими
систематическими знаниями, математический склад ума. Но в силу
своей лени плохо выполнял домашние задания. Знает общенаучные,
логические, комбинаторные методы, в несложных ситуациях может их
применить.
На
хорошем
межпредметными
знаниями.
уровне
Ученик
владеет
предметными,
осуществляет
не
только
предварительный анализ, но и осуществляет на основе этого синтеза
обобщение,
поиск
оригинальных
способов
решения
задач,
осуществляет переход от частной задачи к задаче с большим числом
элементов, операций или к обобщенной задаче.
15. Хертек Белекма. В силу своей старательности смогла показать
способность к развитию комбинаторно-логического мышления и с
«первого» уровня подошла к «третьему». Показала хорошее качество
ума. На хорошем уровне владеет предметными, межпредметными
знаниями. Ученица осуществляет не только предварительный анализ,
но и осуществляет на основе этого синтеза обобщение, поиск
оригинальных способов решения задач, осуществляет переход от
частной задачи к задаче с большим числом элементов, операций или к
обобщенной задаче.
16.
Ховалыг Лилия. Неравномерные знания. Преобладает «второй»
уровень. В небольшой степени показала способность в развитии
комбинаторно-логического
мышления.
Знает
общенаучные,
логические, комбинаторные методы. На среднем уровне владеет
предметными
знаниями.
Осуществляет
предварительный
анализ
условия задачи, находит ключевые компоненты для взаимосвязи и
дальнейшего его решения, но не осуществляет до конца ход
рассуждений (основная причина: знает методы познания, но не всегда
может их применить). То же самое происходит и с предметными
знаниями.
17. Шананин Дмитрий. Неравномерные и слабые знания в области
математики. Но проявил способность в развитии комбинаторного и
логического мышления. Смог с «нулевого» уровня перебраться на
«второй».
Можно
предметными
отметить,
знаниями.
что
на
Осуществляет
среднем
уровне
предварительный
владеет
анализ
условия задачи, находит ключевые компоненты для взаимосвязи и
дальнейшего его решения, но не осуществляет до конца ход
рассуждений (основная причина: знает методы познания, но не всегда
может их применить). То же самое происходит и с предметными
знаниями.
18. Шогжап Луиза. Дошла до «третьего» уровня. Хорошие результаты
показала при выполнении логических задач на олимпиаде. Знает
общенаучные, логические, комбинаторные методы, в несложных
ситуациях может их применить. На хорошем уровне владеет
предметными, межпредметными знаниями. Ученица осуществляет не
только предварительный анализ, но и осуществляет на основе этого
синтеза обобщение, поиск оригинальных способов решения задач,
осуществляет переход от частной задачи к задаче с большим числом
элементов, операций или к обобщенной.
19. Юй Сенги. Особого развития в комбинаторно-логическом мышлении
не проявилось. Ученик не выказывал сильного стремления в получении
знаний. Преобладает «первый» уровень. На олимпиаде проявился
«второй» уровень, что говорит о его способности к развитию
мышления, если бы виделось желание получать знания. Большие
затруднения в применении методов научного познания. Владеет только
простейшими предметными знаниями. Ученик умеет решать задачи,
требующие простейших математических знаний.
В табличных данных приведены
уровни развития комбинаторно-
логического мышления учащихся девятого класса ГЛРТ. Представлены две
таблицы. В таблице №1 приведены уровни развития мышления каждого
ученика при решении самостоятельных работ. Всего самостоятельных работ
– 10. В таблице №2 приведены уровни развития мышления каждого ученика
при выполнении домашних заданий. Всего было обработано 8 домашних
работ. Также в таблице №2 приведены результаты развития мышления при
выполнении олимпиадных задач. Олимпиадные задачи делились на две
группы: очная и заочная. Они явились результирующими в формировании
комбинаторно-логического
мышления
на
период
окончания
моей
педагогической практики, которая длилась с 13 сентября 2011 года по 8
ноября 2011 года. После каждой таблицы выведена диаграмма для полного и
понятного осмысления моего анализа по методу развития комбинаторнологического
мышления
у
всего
класса
в
общем,
среднеарифметический коэффициент по каждой работе.
где
выведен
Таблица №1. Самостоятельные работы.
Наименования
Уровни эффективного развития комбинаторно-логического мышления у учащихся
работ
Самостоятельная работа
Учащиеся
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
1.Бухтояров Никита
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
2.Васильев Владимир
1
1
1
2
1
1
0
1
2
2
3.Деге Идермаа
1
2
2
3
2
3
2
3
4
4
4.Жук Мария
3
1
2
2
2
4
3
2
4
4
5.Кужугет Шончалай
2
1
2
1
1
3
1
3
2
1
6.Кукарцев Иван
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
7.Луцик Альберт
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
8.Монгуш Алдынай
2
2
2
2
2
1
3
3
3
2
9.Монгуш Степан
0
1
0
1
0
2
0
0
1
1
10.Монгуш Аялга
1
2
2
3
2
1
1
1
1
2
11.Монгуш Чайзат
1
1
1
0
2
1
2
1
2
2
12.Ондар Тайгана
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
13.Салчак Евгения
2
2
2
3
2
1
2
3
2
3
14.Торуш Базаан
2
2
3
3
2
2
2
3
3
2
15.Хертек Белекма
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
16.Ховалыг Лилия
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
17.Шананин Дмитрий
1
0
0
1
1
0
1
0
1
2
18.Шогжап Луиза
1
2
2
3
2
2
3
3
3
2
19.Юй Сенги
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Таблица №2. Домашние работы. Олимпиады.
Уровни эффективного развития комбинаторно-логического мышления у учащихся
Наименования
Домашняя работа
Олимпиада
работ
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
Заочная
Очная
1.Бухтояров Никита
1
1
2
1
1
1
2
2
-
-
2.Васильев Владимир
1
2
1
2
2
2
2
2
-
-
3.Деге Идермаа
3
4
3
2
4
2
4
4
4
3
4.Жук Мария
3
3
3
3
3
3
3
3
4
3
5.Кужугет Шончалай
1
2
1
2
3
2
3
3
4
2
6.Кукарцев Иван
3
2
2
1
2
2
3
2
4
3
7.Луцик Альберт
2
2
1
3
3
1
2
2
-
-
8.Монгуш Алдынай
2
3
3
4
2
3
3
3
3
2
9.Монгуш Степан
1
0
0
1
0
1
1
1
-
2
10.Монгуш Аялга
3
3
2
2
3
3
3
2
-
-
11.Монгуш Чайзат
2
3
2
2
2
3
3
3
2
3
12.Ондар Тайгана
1
3
3
2
2
3
4
4
2
3
13.Салчак Евгения
2
3
2
3
3
2
3
2
-
3
14.Торуш Базаан
2
2
2
2
2
2
1
2
-
3
15.Хертек Белекма
1
3
2
2
2
2
2
3
3
3
16.Ховалыг Лилия
2
3
3
2
1
1
1
2
2
2
17.Шананин Дмитрий
1
1
2
1
1
1
1
2
-
2
18.Шогжап Луиза
2
3
3
2
3
3
2
2
3
3
19.Юй Сенги
2
1
1
1
1
2
1
1
-
2
Учащиеся
В диаграммах четко можно проследить как формируется мышление у
учащихся. Видно, что развитие неравномерное, скачкообразное. Не смотря
на неравномерное образование, виден скачок кривой вверх, что говорит об
эффективном развитии комбинаторно-логического мышления в целом.
Заключение
Результаты исследования показали, что более половины учащихся
экспериментальных
групп
могут
самостоятельно
составлять
задачи,
разрешать ряд «жизненных проблем», осуществляя достаточно свободно
перенос различных интеллектуальных, практических
знаний. Тем самым
подтвердилось, что и на основе комплекса педагогических условий через
содержание
предметной области, изучаемой в школе, у учащихся
появляется возможность быстрее адаптироваться
в сложных условиях, в
которых большинство из них оказываются, отрываясь от привычной
школьной парты.
Основные выводы исследования:
1.
Общие показатели
девятиклассников
развития комбинаторно-логического мышления
неравномерны,
в
них
отражены
особенности
индивидуального развития каждого ребёнка и выбора профиля обучения.
2. Ярко выражена способность к комбинаторно-логическому рассуждению
лишь у учащихся, склонным к точным наукам. Более половины учащихся в
классе демонстрируют нормативно ожидаемый уровень в домашних
условиях, что говорит о недостаточной адаптации учащихся к новым
методам обучения математике в школе.
3. Лишь 7
учащихся экспериментальной группы могут самостоятельно
составлять задачи, решение которых предполагает использование различных
способов решения.
4. Необходимым условием для формирования и развития комбинаторнологического
мышления
выступали факультативные занятия, которые
постепенно давали результаты
овладения навыками решения различного
рода задач.
5. Благодаря усвоению комбинаторно-логических действий,
свободно
осуществляли
перенос
различных
учащиеся
интеллектуальных,
практических, «жизненных» заданий в аналогичные и даже нестандартные
ситуации.
3. Используемая литература:
1. Гальперин П.Я. Введение в психологию, издательство Московского
университета, 1976 г.
2. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике –
М.: ООО “Издательство “Вербум-М”, ООО “Издательский центр
“Академия”, 2003.
3. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического
и экспериментального исследования М., Педагогика, 1986, с.111.
4. Зинченко В.П. Психологические основы педагогики (Психологопедагогические основы построения системы развивающего обучения
Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова): Учеб. Пособие. - М.: Гардарики,
2002.- 431с., с.110-111).
5. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего
образования. Утверждена Приказом Министра образования №2783 от
18.07.2002 г, Москва 2002.
6. Кузьмин О.В. Комбинаторные методы решения логических задач:
учебное пособие, М.: Дрофа, 2006
7. Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика: учебное пособие. М.:
Дрофа, 2005
8. Окунев А.А. Как учить не уча.- СПб: Питер Пресс, 1996.
9. Попова Т.Г. Педагогическая мастерская на уроках математики.
Сборник научных трудов “Вопросы преподавания математики и
информатики в школе и ВУЗе”, филиал ИГПУ, 2005 г., 5 стр.
10.Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе/
Укрупнение дидактических единиц. Книга для учителя-2 изд. испр. и
доп. - М.: АО “Столетие”, 1996.
11.Математика. 10-11 классы. Развитие комбинаторно-логического
мышления. Задачи, алгоритмы решений/ авт.-сост. Т.Г. Попова.Волгоград: Учитель, 2009.-111с.
12. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. для учащихся шк. и
классов с углубл. изуч. математики/ М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман,
Л.И. Звавич, 2-ое изд.-М.: Просвещение, 1994.-271с.: ил.
13.Троякова Г.А.
Элементы теории множеств и математической
логики. Для углубленного изучения математики. Учебное пособие
для 9 - х классов с углубленным изучением математики.- Кызыл,
издательство “Lyceum”, 2010.- 51 с.
14. Попова,
Т.Г.
О
важности
развития
комбинаторно-логического
мышления старшеклассников/ Известия РГПУ, 2008.- № 24 (55). - С.
428-432.
15.. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 3. № 19. С. 87.
16. Попова, Т.Г. Математика. 10-11 классы. Развитие комбинаторнологического мышления. Задачи, алгоритмы решений [Текст] / авт.-сост.
Т.Г. Попова.- Волгоград: Учитель, 2009.-111 с.
17.Кузьмин, О.В., Попова, Т.Г. О важности комбинаторно-логического
мышления/ Проблемы учебного процесса в инновационных школах.
Вып.12: Сб. научн. тр./ Под ред. О.В. Кузьмина.- Иркутск: Иркут. ун-т,
2007.- С. 113-123.
18.Александров А.Д. Математика, её содержание, методы и значение — т.
1, М.; изд-во Академии наук СССР, 1956.
19.Башмаков М.И. Планирование учителем своей деятельности //Вестник
СЗО РАО "Образование и культура Северо – Запада России", Вып. 1,
СПб, 1996. с. 140 – 147.
20.Башмаков М.И. Что такое школьная математика?// Математика М.:
Издательский дом "Первое сентября", № 48, 2003. с.1 - 4
21. Попова,
Т.Г.
О
важности
развития
комбинаторно-логического
мышления старшеклассников [Текст] // Известия РГПУ, 2008. – № 24
(55). – С. 428-432.
22.Попова, Т.Г. Система элективных курсов по формированию и развитию
комбинаторно-логического
мышления
старшеклассников
[Текст]
//Профильная школа, 2008. – №6. – С.23-27.Издательский дом
Паганель, 11 февраля 2011
23.Попова, Т.Г. Развитие комбинаторно-логического мышления на основе
математики [Текст] // Материалы Всероссийской научно-практической
конференции «Портфолио современного учителя», номер госуд.
Регистрации 0321001764, регистр. свидет. №20127 от 06. 09.2010. – М.,
Издательский дом «Паганель», 2010. – с.74-77.
24.Попова, Т.Г. Система элективных курсов, направленная на развитие
комбинаторно-логического мышления старшеклассников. Математика.
10-11 класс: учебно-методическое пособие [Текст] / Т.Г. Попова;
научн. ред. д-р физ.-мат. наук, проф. О.В. Кузьмин. Иркутск: Изд-во
Иркут. гос. ун-та, 2008. –39 с.
25.Попова, Т.Г.Математика. 10-11 классы. Развитие комбинаторнологического мышления. Задачи, алгоритмы решений [Текст] / авт.-сост.
Т.Г. Попова. – Волгоград: Учитель, 2009.– 111 с.
26.Попова,
Т.Г.
Кафедра
физики
и
математики:
инновационные
образовательные технологии [Текст] / авт.-сост. Т.Г. Попова, Г.А.
Кругова, О.Г. Закирова; под ред. О.В. Кузьмина. – Волгоград: Учитель,
2010. – 191 с.
27.