Урок 1 Производная — центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики. Производная функции. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Тогда для любой точки x U(x0) разность x − x0 обозначается ∆x и называется приращением аргумента, соответствующая разность значений функции f(x) – f(x0) обозначается ∆f(x0) и называется приращением функции. Так как x = x0 + ∆x, то ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0). Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции Δf(x0, Δx) к соответствующему приращению аргумента Δx, если приращение аргумента стремится к нулю: f ( x0 ) lim x 0 f ( x0 , x) f ( x0 x) f ( x0 ) lim . x 0 x x Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке. Найдем производную функции f(x)= cos x в точке хо с помощью определения. 1) значению x = хо придаём приращение Δx; 2) находим приращение функции f(x)= cos x в точке хо: ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = cos (x0 + ∆x) – cos(x0); 3) находим число f ( x0 ) (если такое число существует), к которому стремится f ( x0 x) f ( x0 ) при x 0 : x f ( x0 ) lim x 0 f ( x0 x) f ( x0 ) cos( x0 x) cos( x0 ) lim x 0 x x x x x x0 x0 x x0 2 x x 2sin 0 2sin 0 sin sin 2 2 2 2 lim lim x 0 x 0 x x x 2 x x 2 sin 0 т.к. x 0, 2 2 lim sin 2 x0 x sin x . x x lim 0 x 0 x 0 x 2 то sin ~ 2 2 Итак, получили (cos x0) = –sin x0. Найдем производную функции f ( x) x в точке хо (хо > 0) с помощью определения. 1) значению x = хо придаём приращение Δx (│Δx│< х0 ); 2) находим приращение функции f ( x) x в точке хо: x0 x x0 ; ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = 3) находим число f ( x0 ) (если такое число существует), к которому стремится f ( x0 x) f ( x0 ) при x 0 : x f ( x0 ) lim x 0 x x x0 f ( x0 x) f ( x0 ) lim 0 x 0 x x домножим числитель и знаменатель на lim x0 x x0 x x 0 x0 x x0 lim x 0 x x0 x x0 x0 x x0 lim x 0 x x x0 x x0 x0 x x0 x0 x x0 lim x 0 1 1 . x0 x x0 2 x0 Итак, получили x 2 1x 0 . 0 Найдем производную функции f(x)= tg x в точке хо с помощью определения. 1) значению x = хо придаём приращение Δx; 2) находим приращение функции f(x)= tg x в точке хо: ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = tg (x0 + ∆x) – tg (x0); 3) находим число f ( x0 ) (если такое число существует), к которому стремится f ( x0 x) f ( x0 ) при x 0 : x f ( x0 ) lim x 0 tg tg f ( x0 x) f ( x0 ) tg( x0 x) tg( x0 ) lim x 0 x x sin( x0 x x0 ) sin( ) sin x lim lim cos cos x0 x cos( x0 x) cos x0 x0 x cos( x0 x) cos x0 т.к. x 0, x 1 1 lim lim x 0 x 0 то sin x ~ x x cos( x0 x) cos x0 cos( x0 x) cos x0 cos 2 x0 Итак, получили tg x0 1 . cos 2 x0 Если же попробовать вычислить производную по этой же схеме, например, функции y 3 log 2 (2x x) arctg x , то это будет очень сложный и трудоемкий процесс. Поэтому существуют более простые и эффективные способы. Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными. Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные. Таблица производных основных элементарных функций 1) (ха) = a xa–1; 2) (ax) = ax ln a, a > 0, a 1; (ex) = ex; 3) ( x ) 1 2 x ; 4) (sin x) = cos x; 5) (cos x) = –sin x; 6) tg x 1 ; cos 2 x 7) ctg x 1 ; sin 2 x 8) log a x 1 1 ; (ln x) ; x ln a x Основные правила нахождения производных Если элементарную функцию умножить на произвольное число, то производная новой функции тоже можно легко найти: (c f) = c f . В общем, константы можно выносить за знак производной. Например: 5 x 2 5x 0 0 Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать и делить. Так появятся новые функции, дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрим ниже. Пусть с = const, v = v(x) и u = u(x) – некоторые функции, дифференцируемые в точке x 0 . Тогда: 1) (c) = 0; 2) (x) = 1; 3) (u + v) = u + v; 4) (u – v) = u – v; 5) (c u) = c u; u u 6) ; c c 7) (u v) = u v + u v; u uv uv 8) , v 0; v2 v cv c 9) 2 , v 0. v v Далее для усвоения всего сказанного ранее рассмотрим примеры с подробным описанием каждого шага решения. Пример 1. Найти производную функции y = 3x5 + 6x7 − 8х3 + x2 − 12 в точке x0 = –1. Решение y' = 3(x5)' + 6(x7)' − 8(х3)' + (x2)' − (12)' = 15x4 + 42x6 − 24х2 + 2x. Тогда производная функции в точке x0 = –1: y'(–1) = 15(–1)4 + 42(–1)6 − 24(–1)2 +2(−1) = 15 + 42 – 24 − 2 = 31. Пример 2. Найти производную функции y 1 5 x 3 2 3 x 5 3 в точке x0 = 1. x Решение Преобразуем функцию: y 1 5 x3 2 3 x5 3 5 3 x 5 2 x 3 3x 1. x Тогда 53 53 5 5 1 3 3 1 y x 2 x 3x 1 x 5 2 x 3 3 x 11 5 3 3 8 10 8 x 5 x 3 3x 2 . 5 3 Производная функции в точке x0 = 1: 3 8 10 8 3 10 4 y(1) 1 5 1 3 3 12 3 . 5 3 5 3 15 Пример 3. Найти производную функции y 33 x 56 x в точке x0 = 1. x3 Решение Преобразуем функцию y 33 x 56 x x3 3 3 x x3 5 6 x x3 1 3 2 3x 3 1 3 2 5x 6 3x 7 6 4 5x 3 . Тогда 4 76 7 76 1 4 34 1 7 136 20 73 3 y 3 x 5 x 3 x 5 x x x . 2 3 6 3 Производная функции в точке x0 = 1: 7 20 19 y(1) . 2 3 6 Пример 4. Найти производную функции у 4 х sin x в точке x0 = π/2. 3 Решение Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций: (uv) = uv + uv. Тогда y 4 х3 sin x 4 x3 sin x 4 х3 sin x 4 3x 2 sin x 4 х3 cos x 12 x 2 sin x 4 х3 cos x. Производная функции в точке x0 = π/2: y 12 sin 4 cos 12 1 4 0 3 2 . 2 2 4 8 2 2 2 2 3 2 3 Пример 5. Найти производную функции y x 8 ctg x в точке x0 = π/4. Решение Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций: (uv) = uv + uv. Тогда 1 y x 8 ctg x x 8 ctg x x 8 ctg x ctg x x 8 2 . sin x Производная функции в точке x0 = π/4: 1 y ctg 8 4 4 4 sin 2 4 1 32 2 32 1 32 4 1 1 2 4 4 2 2 2 2 32 30 . 2 2 Пример 6. Найти производную функции f x 1 4x в точке x0 = 1. 2x 1 Решение Воспользуемся правилом нахождения производной частного: u uv uv . v2 v Тогда 1 4 x 1 4 x 2 x 1 1 4 x 2 x 1 4 2 x 1 2 1 4 x y 2 2 2x 1 2 x 1 2 x 1 8 x 4 2 8 x 2 x 1 2 6 2 x 1 2 . Производная функции в точке x0 = 1: y 1 6 2 1 2 2 . 3 Пример 7. Найти производную функции f x cos x в точке x0 = 0. ex 1 Решение Воспользуемся правилом нахождения производной частного: u uv uv . v2 v Тогда x x x x cos x cos x e 1 cos x e 1 sin x e 1 cos x e y x . 2 2 e 1 ex 1 e x 1 Производная функции в точке x0 = 0: y 0 sin 0 e0 1 cos 0 e0 e 0 1 2 1 . 4 Контрольные вопросы. 1). Что такое приращение аргумента и приращение функции? 2) Дайте определение производной функции в точке. 3). Сформулируйте алгоритм нахождения производной по определению. 4). Почему производная константы равна нулю? 5). Чему равна производная суммы? 6) Продолжить формулы: (u v) ' ... ; u ... c u ...; v (cu ) ' ... ; c ... . u c const, c 0 ; 7) Найти производные следующих функций: а) y x 3 x ; 8) Продолжить формулы: ( x a ) ' ...; (a x ) ' ...; б) y = 2x + sin x; в) y = log3 x + 4. ( x ) ' ...; (e x ) ' ...; (sin x) ' ...; (cos x) ' ...; (loga x)'= …; (ctg x)'= …; 9). Когда рациональнее вместо производной частного находить производную суммы? 10). Как дробь представить в виде произведения? 11). Чему равна производная произведения? 12). Чему равна производная степенной функции?