19 - Nirvana.FM

§ 19. Что такое разложение многочленов на множители и зачем
оно нужно.
Разложение многочлена на множители вещь очень полезная,
давайте убедимся в этом. Представим, что нам предложили
решить уравнение 2X-3=0. С этим мы справимся без труда: 2X=3;
X=1,5. Затем нам предложили решить уравнение x+2=0. С этим
мы тоже справимся легко: X=-2. Теперь мы попробуем решить
уравнение 2X²+X-6=0, т.е. дать ответ на вопрос, при каких
значениях X трехчлен 2X²+X-6 обращается в нуль,- эти значения X
обычно называют корнями уравнения. Это уравнение, мы, к
сожалению, не можем решить так же легко, как и предыдущие.
Что нам делать?
Сначала воспользуемся полученным выше разложением
многочлена 2X²+X-6 на множители: 2X²+X-6=(2X-3)(X+2). Теперь
заданное уравнение можно переписать в виде
(2X-3)(X+2)=0.
Теперь нам остается воспользоваться следующим нам уже
известным фактом: если произведение двух множителей равно
нулю, то один из множителей равен нулю. Значит, либо 2X-3=0,
либо X+2=0. Мы получили два простых уравнения. Из уравнения
2X-3=0 получаем X=1,5. Из уравнения X+2=0 получаем x=-2.
Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и -2.
Рассмотрим другую ситуацию. Теперь мы попытаемся найти
значение числового выражения 53²-47². Самое эффективное
решение - воспользоваться формулой разности квадратов.
53²-47²=(53-47)(53+47)=6·100=600.
Так намного легче. Не правда ли?
§20. Вынесение общего множителя за скобки.
Рассмотрим примеры:
а) 2X+6y=2(X=3y). Здесь мы за скобки вынесли общий делитель
коэффициентов членов многочлена.
б) а³+а²=а²(а+1). Если одна и та же переменная входит во все
члены многочлен, то её выносят за скобки в степени, равной
наименьшей из всех имеющихся.
в) 4а³+6а²=2а²·2а+2а²·3=2а²(2а+3). Здесь мы используем тот же
прием, что и при решении а и б.
г) 12аb³-18a²b³c=6ab²·2b-6ab³·3ac=6ab²(2b-3ac). Обычно для
целочисленных коэффициентов стараются найти наибольший
общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6.
Замечаем, что переменная a входит в оба члена многочлена, при
этом наименьший показатель равен 1. Переменная b также
входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель
равен 3. Наконец, переменная c входит только во второй член
многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную
нельзя вынести за скобки ни в какой степени.
д) 5a³-10a³+15a²=5a²(a-2a+3). В этом примере мы выработали
следующий алгоритм:
1) Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех
одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым
множителем.
2) Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена,
и выбрать для каждой из них наименьший показатель степени.
3) Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и
степеней, найденных на втором шаге, является общим
множителем, который целесообразно вынести за скобки.
§ 21. Способ группировки.
2а²+8а+аb+4b
Объединим в одну группу первые два члена, а в другую последние два члена многочлена:
(2а²+8а)+(аb+4b)
Мы заметили, что в первой группе можно вынести за скобки 2а,
во второй группе b. Теперь мы имеем: 2а(а+4)+b(а+4). Мы видим
что «проявился» общий множитель (а+4), который можно
вынести за скобки. Получаем: (а+4)(2а+b).
Группировки не всегда бывают удачными, например эта:
(2а²+8а)+(аb+4b)=(2а²+4b)+(8a+ab)=(2a²+4b)+a(6+b).
Члены многочлена можно группировать так, как нам хочется.
Иногда удается такая группировка, что в каждой группе после
вынесения общих множителей в скобках остается один и тот же
многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за
скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение
многочлена на множители осуществлено способом группировки.
§22. Разложение многочлена на множители с помощью формул
сокращённого умножения.
1) а²-b²=(a-b)(a+b); Эту формулу можно применять к
выражению, представляющему собой разность квадратов
(безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов).
2) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²);
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²); Эти формулы можно применять к
выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов.
3) a²+2ab+b²=(a+b)²;
a²-2ab+b²=(a-b)². Эти формулы применяются к трехчлену,
который представляет собой полный квадрат, т.е.
содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное
произведение тех же выражений.
Пример:
а ) 64X²-9=(8X)²-3²=(8X-3)(8X+3);
б) (2X-1)²-25=(2X-1)²-5²=((2X-1)-5)((2X-1)+5)=(2X-6)(2X+4)=2(X-3)·2(X+2)=4(X-3)(X+2).
§23. Разложение многочлена на множители с помощью
комбинации и различных приемов.
В математике не так часто бывает, чтобы при решении
уравнения применялся только один прием, чаще встречаются
комбинированные примеры, где сначала используется один
прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие
примеры, мало знать сами приемы, надо ещё уметь выработать
план их последовательного применения. Иными словами, здесь
нужен опыт. В этом параграфе мы рассмотрим
комбинированные примеры.
1) a²-c²+b²+2ab;
Сначала попробуем воспользоваться способом группировки.
До сих пор четыре слагаемых мы разбивали на группы по парам.
Здесь это не подходит: a²-c²+b²+2ab=(a²-c²)+(b²+2ab)=(a-c)·
·(a+c)+b(b+2a).
Попробуем по по-другому. Ниоткуда не следует, что
группировать можно только по парам, можно группировать и
так:
a²-c²+b²+2ab=(a²+2ab+b²)-c²=(a+b)²-c²=((a+b)c)((a+b)+c)=(a+b-c)(a+b+c).
Итак, комбинируя два приема (группировку и использование
формул сокращенного умножения - квадрат суммы и разность
квадратов), мы смогли разложить многочлен a²-c²+b²+2ab на
множители.
Комбинируя несколько приемов, мы с легкостью можем
решать уравнения и раскладывать многочлен на множители.
2) X +X²a²+a
Применим здесь метод выделения полного квадрата, для
этого представим X²a² в виде 2X²a²-X²a².
Получим: X +X²a²+a=X +2X²a²-X²a²+a =(X +2X²a²+a)X²a²=(X²+a²)²-(Xa)²=(X²+a²-Xa) ·(X²+a²+Xa).
Информация взята из учебника по алгебре за 7-й класс,
А.Г.Мордковича.