Документ 4235028

Направление подготовки 220400
Контр. работа №4
преп. Извеков Ю.А.
ВАРИАНТ № 1
1. Найти и построить область определения функции:
z  arcsin( x  y )  4  x  y
2
2
.
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
z  x  y  ln( x  y)
3
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
z  arccos x  y ; x  ln( t 2  1),
y  e sin t .
dz
?
dt
4. Найти производные неявно заданных функций:
cos2 y  x 2  y 3  e x  0;
d y
?
dx
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
x 3  y 2  2 xy  z 3  1; M 0 (1, 1, 1) .
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой точке в
направлении заданного вектора:
u  arcsin
u
y
 x  z 3  z; M (1, 0, 2); a  (1, 1, 0); grad u ( M )  ?
(M )  ?
x
a
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  2 x 2  2 xy  4 y 2  4 x  2.
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
D:
z  x  y  2 x  3 y  4; D  {x  y  2; x  1; y  0} .
2
2
ВАРИАНТ № 2
1. Найти и построить область определения функции:
z
x
x2  4
 ln( 2 x  y 2 ) .
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
2
u  ( x  y) z  e y  x 2  z
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
z  tg x  ln( y  e ) 
x
y  x3
y2
;
y  x 2  sin x ;
3
z
?
x
4. Найти производные неявно заданных функций:
z  sin x  ln( x 3  y 3 )  x  e z  0;
z
z
?
?
x
y
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
ln z  2 y  x 2 y 3  z  0; M 0 (1, 0, 1) .
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой точке в
направлении заданного вектора:
Направление подготовки 220400
z  2x 2 y 3  3 
y
x
Контр. работа №4
преп. Извеков Ю.А.
; M (4, 2); a  3i  4 j; grad z ( M )  ?
z
a
(M )  ?
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  e x (x  y 2 ) .
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
D:
z  y  2 xy  4 x  2 y  1; D  {0  x  2;  1  y  2} .
2
ВАРИАНТ № 3
1. Найти и построить область определения функции:
z
x
yx
2
 ln( 4  y ) .
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
u  x 5  y 2  z 3  x 2  arctg y
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
z  cos(x 2  y 3 ) 
2.
ln x
; x  u 4  ev ,
y
y  u  tg v.
z
z
?
?
u
v
Найти производные неявно заданных функций:
tg ( x  y )  x  ln z  z 2  2 y  5;
z
z
?
?
x
y
3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
arcsin x  2 x y  y  z  z 2  0; M 0 (0, 0, 1) .
4. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой
точке в направлении заданного вектора:
u  z 2  sin y  x 2  e y ; M (2, 0, 2); a  (1, 2,  2); grad u ( M )  ?
u
a
(M )  ?
5. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  x 3  3x  y 2  2 y  5 .
6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
z  2 x  y  2 y  4; D  { y  4  x ;
2
2
y  2} .
7. Изменить порядок интегрирования:
2 4 x
 d x  f ( x, y ) d y .
x
0
2
8.
Вычислить двойной интеграл по области

D
1 y
dxdy;
x
D : x  y2,
D,
ограниченной линиями:
y  0, x  4 .
ВАРИАНТ № 4
1. Найти и построить область определения функции:
z  ln( x 2  y 2  9)  4  x 2
.
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
D:
Направление подготовки 220400
Контр. работа №4
z  2 x  3 cos y 
x  ln y
x2
преп. Извеков Ю.А.
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
z  x 2  y 2  arctg
y
; x  eu  v5 ,
x
y  u  tg v.
z
z
?
?
u
v
4. Найти производные неявно заданных функций:
z
z
?
?
x
y
x y  y z  ln x  sin 3 y  4e y  0;
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
y
 3 x 2  2 y  4  0; M 0 (1, 0, 1) .
x
z  arctg
6.
Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой
точке в направлении заданного вектора:
u  tg ( x 2  z 3 )  e y
2
4
 4 xz; M (1, 2, 1); a  (1, 1, 0); grad u ( M )  ?
u
a
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  2 xy  x 2  2 y 2  4 x  2 y  2 .
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
z  x  3xy  4 y  3; D  {x  y  2; x  2;
2
D:
y  4} .
ВАРИАНТ № 5
1.
Найти и построить область определения функции:
z  cos x  9  y
2
.
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
x2  y
z
 e x  sin y 
ln x
y
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
u  sin x  y z  e x y ; x  ln( t  t ),
y  arctg t 2 ; z  t 3  3 t .
du
?
dt
4. Найти производные неявно заданных функций:
x y 
5
3
x2
x y
2
 arctg x  9;
d y
?
dx
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
cos z 2  2 x  y 3  ln( x  y)  3; M 0 (2, 1, 0)
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой
точке в
направлении заданного вектора:
u  sin( 2 x  y )  x 2 y  z 3 x; M (1, 2,  1); a  (1,  2, 2); grad u ( M )  ?
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
u
a
(M )  ?
(M )  ?
Направление подготовки 220400
Контр. работа №4
преп. Извеков Ю.А.
z  4 x 2  6 xy  3 y 2  6 x  6 y  4.
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
z  x  y  4 x  4; D  {x  y  3; x  1;
2
1.
2
D:
y  0}
ВАРИАНТ № 6
Найти и построить область определения функции:
y
z  arccos  3  2 y  x .
x
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
z  arctg e x  ln( x  y )
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
u  x 2  sin y  e z 
4.
x
; x  ln 2 t ,
y
y  arcsin t , z  t 2  t .
du
?
dt
Найти производные неявно заданных функций:
2
ln( x  ctg y )  x 5  3 y  4 x  0;
d y
?
dx
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
3
e x  cos y  4 z 2  3xy  5; M 0 (0, 0, 1) .
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой точке в
направлении заданного вектора:
z
u  x 2  y 3  y  ln z 
e
; M (1, 1, 1); a  (3, 0, 4); grad u ( M )  ?
x 1
u
a
(M )  ?
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  2 x 2  4 xy  6 y 2  4 x  12 y  5 .
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
D:
z  x  y  2 xy  4; D  {x  4 y  4}.
2
1.
2
2
2
ВАРИАНТ № 7
Найти и построить область определения функции:
z  arctg
y
 x  y2
x
.
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
ex
z  tg ( xy )  x  ln y 
y
2
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
z  arcsin x  1  y 2  sin( x  y 2 ); x  u 3 ln v,
4. Найти производные неявно заданных функций:
z 3  x  y  2 arcsin x 2  y  3 x ;
y  sin 2 u  v 5 .
z
z
?
?
x
y
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
z
z
?
?
u
v
Направление подготовки 220400
Контр. работа №4
преп. Извеков Ю.А.
поверхности в указанной точке:
z  2 x  y  3 y 2  e x  5 sin x  0; M 0 (0, 1,  1) .
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой точке в
направлении заданного вектора:
z  ln( x 2  3 y ) 
x y
y
2
; M (2, 1); a  (12,  5); grad z ( M )  ?
z
a
(M )  ?
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  5 y  2 xy  3 y 2  6 x  x 2  4.
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
D:
z  3x  6 xy  3 y  4 x  4; D  {1  x  3; 0  y  2}
2
1.
2
ВАРИАНТ № 8
Найти и построить область определения функции:
z
2
4 y
2
 ln( 2  x ) .
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
z  x3  y 2 
2
x y
 ey
ln x
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
z  cos3 y  arcsin
y
; x  u 3 sin v,
x
2
y  2 u cos v.
4. Найти производные неявно заданных функций:
log 2 ( x  z )  tg y 2  x 5  e z  8;
z
z
?
?
u
v
z
z
?
?
x
y
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
z 2  x 4  cos y  2 x  y 3  1; M 0 (1, 0, 1)
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой точке в
направлении заданного вектора:
u  x  ln( z  1)  y 2  arctg ( x  1); M (1, 2, 2); a  (2,  1, 2); grad u ( M )  ?
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  x 2  3 y 2  2 x  6 y  4.
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
z  2 x  3 y  2 xy  6 y  3; D  { y  x  1;
2
2
ВАРИАНТ № 9
1.
Найти и построить область определения функции:
ze
x 1
 arcsin( y 2  1) .
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
x2
z  arctg y  x  ln y 
x y
2
3
.
y  3} .
D:
u
a
(M )  ?
Направление подготовки 220400
Контр. работа №4
преп. Извеков Ю.А.
3. Найти указанные производные сложных функций:
x2  y2
t
z  arcctg y 
; x  2  (t  t ),
ln x
dz
?
dt
y  cos t .
2
4. Найти производные неявно заданных функций:
arcsin x 2  tg ( y  z )  ln
z
z
z
 e 2 y  0;
?
?
x
x
y
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
x y
2
x
 sin y  y  2  3; M 0 (1, 0, 1)
z
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой точке в
направлении заданного вектора:
z
ln x
y2 1
 tg ( x 2  1)  sin( x  y ); M (1, 1); a  (3,  4); grad z ( M )  ?
z
a
(M )  ?
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  3 x 2  12 xy  4 y 2  6 x  6 y  4.
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
z  x  x  y  6 xy  8; D  {x  y  4 x;
3
2
2
2
D:
y  0} .
ВАРИАНТ № 10
1.
Найти и построить область определения функции:
z  (1  x)  (3  x)  ln(1  y ) .
2
2. Найти частные производные 1- го и 2-го порядка:
u  x yz 
sin y
e
z
 tgx
.
3. Найти указанные производные сложных функций:
u  ln(sin y  x 2  e z ); x  cos t 2 ,
y  tg 2 t; z  3 t 2  1.
u
?
t
4. Найти производные неявно заданных функций:
sin z  y 3  ln x  tgz  x  y;
z
z
?
?
xx
y
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в указанной точке:
arcsin x  y  5 y  ln x  z  0; M 0 (1, 1, 5)
6. Найти градиент функции в указанной точке и производную функции в этой точке в
направлении заданного вектора:
z
x y
e
x
 sin x  y  1; M (0, 3); a  5i  12 j; grad z ( M )  ?
z
a
(M )  ?
7. Найти экстремумы функции 2-х переменных:
z  y 3  3 y  4 x 2  8 x  4.
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
z  2 xy  x  y  2 x  4; D  { y  2 x;
2
2
y  x;
y  4}
D: