Т. вер. 7 класс+
реклама
Элементы теории вероятностей. 7 класс Из программы. Классическое и статистическое определение вероятности события (повторение). Геометрическая вероятность. Выбор элементов из нескольких совокупностей. Перестановки, их использование для определения вероятностей событий. Геометрическая вероятность Представим себе следующую ситуацию. По дну F большой коробки ползает маленький муравей (настолько маленький, что по сравнению с дном его можно считать точкой, не имеющей размеров). Выберем на дне коробки какую-нибудь точку А. Нас будет интересовать, какова вероятность того, что в некоторый момент времени муравей окажется в точке А. Обозначим эту вероятность Р(А)1. А F Попробуем ответить на поставленный вопрос с позиций классического определения вероятности. Сначала слегка упростим нашу задачу – будем считать, что дно коробки содержит большое, но вполне конкретное число точек n, среди которых есть и наша точка А. Никакая из этих точек не имеет предпочтений, т.е. можно сказать, что для муравья оказаться в любой из них равновозможно. Таким образом, выполнены все условия, позволяющие применить классическое определение вероятности. Поскольку среди всех исходов – возможность оказаться в любой из n точек – есть только один благоприятный – оказаться в точке А. Поэтому, в соответствии с классическим определением, 1 Р( A) . n Проанализируем эту формулу. Если увеличивать в ней n, то Р(А) будет все меньше отличаться от 0 (попробуйте подставить в формулу n = 10, n = 100, n = 1000 и т.д.). Математики говорят «с ростом n Р(А) стремится к 0». Но ведь на самом деле точек бесконечно много, поэтому вероятность оказаться в точке А (как и в любой другой) равна Р(А) = 02. Полученный результат вряд ли можно считать интересным: непонятно, какие еще содержательные выводы можно из него получить. Поставим задачу несколько по-другому. Попробуем найти вероятность того, что муравей будет находиться не в конкретной точке, а в некоторой области Т. Т F Строго говоря, мы допустили небольшое нарушение принятой в теории вероятностей символики. В скобках около буквы Р принято указывать обозначение интересующего нас случайного события, а буква А уже «занята» для обозначения точки. Таким образом, у нас оказались обозначены одной и той же буквой и точка плоскости, и событие, состоящее в попадании в эту точку. Но согласитесь, что допустив такое нарушение, мы сделали обозначение интересующей нас вероятности более наглядным. Математики часто допускают такие не вполне корректные обозначения, если это облегчает понимание математического текста и не приводит к ошибкам. 2 Равенство нулю вероятности события в данном случае не означает, что это событие невозможно. Ведь наш «безразмерный» муравей в каждый момент времени находится в какой-либо точке. 1 С позиций классической вероятности вероятность попадания в область Т m Р(T) = , n где n – количество точек в прямоугольнике F (дне коробки), m – количество точек в области Т. Но теперь у нас бесконечно много не только всех возможных исходов (точек во всем прямоугольнике F), но и благоприятных исходов (точек в области Т). Иными словами, мы не можем определить числа m и n, входящие в формулу классической вероятности. Так как же, все-таки, определить вероятность попадания точки в область Т? Будем исходить из следующих соображений: 1) равновозможность попадания точки (муравья) в любую точку прямоугольника F (дна коробки) должна проявляться в том, что вероятность попадания в некоторую область, входящую в прямоугольник, будет зависеть только от площади этой области, а не от ее формы и расположения; 2) чем больше площадь области, тем больше вероятность попадания в нее. Используя такие предпосылки, определяют вероятности попадания точки в область Т: ST , SF где SF – площадь всей области, в которой может оказаться точка (в нашем случае SF – площадь прямоугольника); ST – площадь области, вероятность попадания точки в которую, нас интересует. Такой подход называют геометрическим определением вероятности. В общем случае при геометрическом определении вероятности исходная область F, в которой может находиться точка, не обязательно должна быть прямоугольником. Требуется только, чтобы она включала все возможные положения точки и чтобы вероятности попадания точки в конкретную область Т внутри исходной области зависела только от площади этой области, а не от ее формы и расположения. Р(T) = Т Нетрудно увидеть следующие свойства геометрической вероятности (мы пока рассматриваем только геометрическую вероятность, связанную с площадью1): 1) Вероятность попадания точки в область, не имеющую площади (например, на какуюнибудь линию внутри заданной области F или на границу области F) равна 0. 2) Вероятность попадания в область Т, прямо пропорциональна площади SТ (до тех пор, пока Т лежит внутри F). 3) Вероятность попадания случайной точки во всю область F равна Р(F) = 1. Последний факт следует из того, что мы изначально задали условие, что точка обязательно находится внутри области F. Важно отметить, что введенное геометрическое определение полностью согласуется с этим фактом. Действительно, подставляя в формулу геометрической вероятности SF вместо SТ, получим вероятность попадания случайной точки в область F определения геометрической вероятности следует, что Мы делаем эту оговорку, поскольку геометрическая вероятность может быть определена и для других случаев, таких как нахождение случайной точки внутри пространственной области, имеющей объем, нахождение точки на отрезке линии. В этих случаях и определение геометрической вероятности, и ее свойства будут другими (см. ниже). 1 SF 1. SF Понятие геометрической вероятности может быть использовано и для решения обратной задачи – определения площади сложной фигуры. Пусть нужно определить площадь SF фигуры, показанной на левом рисунке. Поступим следующим образом. Поместим фигуру в квадрат с известной стороной а (правый рисунок). Р(F) = SF F F а А теперь будем бросать много раз на квадрат случайные точки. Допустим, мы сделали n бросаний. Из них m попало внутрь нашей фигуры. По этим данным можно найти статистическую вероятность (частоту) попадания точки внутрь фигуры: m Рст = . n Если число испытаний (бросаний точки) n достаточно велико, то Рст близка к геометрической вероятности попадания точки в фигуру, т.е. m SF . n a2 Отсюда может быть найдена искомая площадь: m SF a2 . n Рассмотренный метод получил название метода статистических испытаний, или метода Монте-Карло1. Рассмотрим ряд задач на геометрическую вероятность. В этих задачах, если не делается специальных оговорок, предполагается, что все условия, позволяющие применить модель геометрической вероятности, выполняются. 1. Точка бросается случайным образом в квадрат со стороной a. Какова вероятность а того, что расстояние от точки до всех сторон квадрата будет больше ? Зависит ли эта 4 вероятность от а? 1 Название происходит от города Монте-Карло, известного своим игорным домом. Данный метод возник в сороковые годы прошлого века, но широкое распространение получил с появлением мощных компьютеров. Применения метода статистических испытаний выходят далеко за рамки нахождения площадей сложных фигур. В настоящее время это один из важнейших методов математического моделирования в науке и технике. 2. Точки К, L, М – середины сторон равностороннего треугольника АВС. Точка бросается случайным образом в треугольник АВС. Какова вероятность, что она окажется в треугольнике КLM? Примечание. В 8 классе вы сможете распространить полученный результат на случай произвольного треугольника. 3. а) Точка бросается случайным образом в квадрат, вершины которого имеют координаты (–1; –1), (–1; 1), (1; 1), (1; –1). Какова вероятность попадания точки в каждую из координатных четвертей? б) то же самое для квадрата с вершинами (0; –1), (–1; 0), (0; 1), (1; 0). 4. а) Точка бросается случайным образом в прямоугольник, вершины которого имеют координаты (–2; –1), (–2; 3), (3; 3), (3; –1). Какова вероятность попадания точки в каждую из координатных четвертей? б) То же самое для четырехугольника с вершинами (–4; 0), (0; 3), (2; 0), (0; –1). 5. На основании АС треугольника АВС выбрана точка Т такая, что АТ : ТС = k : l. Точка бросается случайным образом в треугольник АВС. Какова вероятность, что она попадет в треугольник АВТ; в треугольник ТВС? 6. Внутри круга радиуса r1 находится круг радиуса r2. Точка бросается случайным образом в больший круг. Какова вероятность того, что точка окажется в маленьком круге? Примечание. Площадь круга радиуса r находится по формуле: S = r2, где 3,14. 7. Точку Т бросают случайным образом в квадрат АВСD со стороной 2а. Какова вероятность того, что: 1) расстояние от точки Т до центра квадрата будет меньше а? 2) расстояние между точками Т и А будет меньше а? 3) расстояние от точки Т до всех вершин квадрата будет больше а? 8. Как вы думаете, можно ли применить модель геометрической вероятности для оценки вероятности попадания в «яблочко» при стрельбе по мишени? (Размеры всей мишени и «яблочка» известны.) Обоснуйте свое мнение. 9. Для определения площади фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x), осями координат и прямой x = 1, произвели 1000 случайных бросаний точки в прямоугольник с вершинами (0; 0), (0; 3), (1; 3), (1; 0). В 236 случаях точка оказалась выше графика функции. Оцените искомую площадь. y 3 2 1 0 1 2 x Мы рассмотрели понятие геометрической вероятности для двумерного пространства, когда области, в которые попадает случайная точка, представляют собой поверхности. Аналогично можно ввести понятие геометрической вероятности в трехмерном пространстве (для объемных тел) и в одномерном пространстве (на линии). Сформулируйте определение геометрической вероятности для следующих условий: а) когда случайная точка занимает равновозможные положения внутри пространственного тела объема V; б) когда случайная точка занимает равновозможные положения на отрезке длины l некоторой линии (в частности, прямой). Продолжим решение задач. 10. Куб разбит на 64 одинаковых маленьких кубика. В куб случайным образом бросается точка. Найдите вероятность того, что: 1) точка окажется в заранее выбранном маленьком кубике; 2) точка окажется в заранее выбранном столбике, составленном из маленьких кубиков; 3) точка окажется в заранее выбранном слое, составленном из маленьких кубиков. 11. В прямоугольном параллелепипеде c ребрами (сторонами) a, b, c (a < b < c) выделен куб с ребром а (см. рисунок). В параллелепипед случайным образом бросается точка. Какова вероятность, что она попадет в область, не занятую кубом? Найдите значение этой b вероятности, если а : b : c = 1 : 2 : 3. c а а 12. Внутри шара радиуса r1 находится шар радиуса r2. Точка бросается случайным образом в больший шар. Какова вероятность того, что точка окажется в маленьком шаре? 4 Примечание. Объем шара радиуса r находится по формуле: V r 3 . 3 13. На отрезке АВ = 10 см отмечены точки С и D такие, что AC = 5 см, ВD = 2 см. Найдите вероятность того, что точка, брошенная случайным образом на отрезок АВ: 1) попадет на отрезок СD; 2) попадет на отрезок ВС; 3) не попадет на отрезок АС. 14. На координатной плоскости проведена окружность с центром в начале координат. Какова вероятность, что точка, брошенная случайным образом на эту окружность: 1) окажется в первой координатной четверти? 2) окажется в нижней координатной полуплоскости? 3) будет иметь одну из координат положительную, а другую – отрицательную? 4) будет находиться внутри угла, ограниченного биссектрисами первого и четвертого координатных углов? 15. Точка бросается случайным образом на границу прямоугольника, вершины которого имеют координаты (–2; –1), (–2; 3), (3; 3), (3; –1). Какова вероятность попадания точки в каждую из координатных четвертей? Сравните с задачей 4, объясните различие результатов. 16. На границу треугольника АВС со сторонами АВ = 7 см, ВС = 9 см и АС = 10 см случайным образом бросается точка. Найдите вероятность попадания точки на каждую из сторон. 17. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а другой 4 см. На границу этого треугольника случайным образом бросается точка. Найдите вероятность: 1) попадания точки на гипотенузу; 2) попадания точки на один из катетов. 18. Ученик решал следующую задачу: «Внутри круга радиуса r1 находится круг радиуса r2. Точка бросается случайным образом в больший круг. Какова вероятность того, что точка окажется в маленьком круге?» Он рассуждал следующим образом: «Вероятность попадания точки в маленький круг не зависит от его расположения; важно только, чтобы он целиком находился внутри большого круга. Поэтому можно расположить r2 О маленький круг так, чтобы центры кругов совпадали (см. r1 рисунок). Тогда всем точкам, брошенным в большой круг, соответствует расстояние от центра от 0 до r1, а точкам, попавшим в маленький круг – расстояние от центра от 0 до r2. Следовательно, вероятность попадания точки в r маленький круг равна 2 ». r1 Когда ученик сравнил этот результат с полученным ранее при решении точно такой же задачи 6, оказалось, что результаты не совпадают. В чем причина расхождения? Где ошибка? 19. На отрезок [0; 5] координатной прямой случайным образом бросают точку. Какова вероятность, что точка окажется на отрезке [3; 7]? 20. На координатной плоскости проведена окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точку случайным образом бросают на эту окружность. Найдите вероятность того, что: 1 1) абсцисса х точки удовлетворяет условию х ; 2 1 2) абсцисса х точки удовлетворяет условию х ; 2 1 x 2 3) координаты точки x и y удовлетворяют условиям ; y 1 2 1 x 2 4) координаты точки x и y удовлетворяют условиям . 1 y 2 Простейшие задачи, связанные с выбором элементов из двух и более совокупностей Рассмотрим следующую задачу. В кружке актерского мастерства занимаются 6 мальчиков, среди которых один Петя, и 8 девочек, среди которых одна Катя. Для ведения праздничного концерта требуется выбрать двух конферансье – мальчика и девочку. Чтобы никому не было обидно, решили бросить жребий среди мальчиков и среди девочек так, чтобы все мальчики имели равный шанс быть выбранными и все девочки – тоже. Нужно найти вероятность того, что концерт будут вести Петя и Катя. Пусть А – событие, состоящее в том, что в результате жеребьевки выбор пал на Петю и Катю. Попробуем использовать для нахождения Р(А) классическое определение вероятности. Для этого нам нужно знать общее количество исходов – возможных результатов жеребьевки и количество благоприятных для события А исходов. С благоприятными исходами все просто. Такой исход один – выбраны Петя и Катя. А сколько всего возможных исходов? Это не что иное, как число способов образования пары, состоящей из мальчика и девочки, если есть 6 мальчиков и 8 девочек. Найдем это число. Обозначим всех мальчиков М1, М2, …, М6, а девочек Д1, Д2, …, Д8. Пары, в которые входил бы мальчик М1 можно образовать 8-ю способами. Это пары (М1 Д1), (М1 Д2), …, (М1 Д8)1. Точно так же возможны 8 различных пар с мальчиком М2, 8 пар с мальчиком М3…, и, наконец, 8 пар с мальчиком М6. Таким образом, можно сформировать 8 6 = 48 различных пар. Это и есть число возможных исходов. К этому же результату можно было прийти немного по-другому. С каждой из девочек возможно по 6 пар – всего 6 8 = 48 пар. 1 Теперь можем определить искомую вероятность: Р(А) = . 48 Сформулируем общее правило определения числа способов образования пары. Если есть две совокупности элементов, в первой из которых n1 элементов, а во второй – n2 элементов, то пары, содержащие по одному элементу из каждой совокупности, можно образовать n1 · n2 способами. Решите задачи. 21. В кружке актерского мастерства занимаются 6 мальчиков, среди которых два Саши, и 8 девочек среди которых три Даши. Для ведения праздничного концерта требуется выбрать двух конферансье – мальчика и девочку. Чтобы никому не было обидно, решили бросить жребий среди мальчиков и среди девочек так, чтобы все мальчики имели равный шанс быть выбранными и все девочки – тоже. Какова вероятность того, что концерт будут вести мальчик с именем Саша и девочка с именем Даша? Для краткости вместо «пары можно образовать 8-ю способами» мы в дальнейшем будем говорить «можно образовать 8 пар» и т.п., подразумевая под этим именно число различных способов образования одной пары. 1 22. Бросают красную и зеленую игральные кости и записывают результат в виде двузначного числа a1a0 , где a 0 – цифра, выпавшая на красной кости, a 1 – цифра, выпавшая на зеленой кости. а) Сколько различных чисел могут получиться в результате такого эксперимента? б) Какова вероятность получить: 1) число 31? 2) число, меньшее 11? 3) четное число? 4) число, кратное 5? 23. а) В треугольнике ABC вершина A соединена отрезками прямой с n точками на стороне BC. На сколько частей делят треугольник эти отрезки? б) В треугольнике ABC вершина A соединена отрезками прямой с n точками на стороне BC, а вершина C соединена отрезками прямой с m точками на стороне AB. На сколько частей делят треугольник эти отрезки? 24. а) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске белую и черную ладьи? б) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске белую и черную ладьи, чтобы они не били друг друга? в) На клетки шахматной доски случайным образом ставят белую и черную ладьи. Какова вероятность, что они будут бить друг друга? 25. В соревнованиях по волейболу участвуют 7 команд. Каждая команда должна сыграть по одной игре со всеми остальными. Сколько встреч необходимо провести? 26. Сколько двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5? (Цифра в числе может повторяться.) Какова вероятность, что число, взятое наугад из этих чисел, не будет кратно 11? Ситуацию с образованием пар легко обобщить на случай комбинаций, состоящих из большего числа элементов. Рассмотрим ситуацию, когда есть 3 совокупности элементов, в первой из которых n1 элементов, во второй – n2 элементов, в третьей – n3 элементов. Определим, сколькими способами можно образовать тройки, включающие по одному элементу из каждой совокупности. Будем рассуждать следующим образом. Как мы уже знаем, из первой и второй совокупностей можно образовать n1 n2 различных пар. С каждой из таких пар, добавляя один из элементов третьей совокупности, можно образовать n3 троек. Значит, общее число возможных троек равно n1 n2 n3. Точно так же, как мы перешли от двоек к тройкам, можно перейти от троек четверкам, от четверок – к пятеркам и т.д. Общее правило таково: Если есть k совокупностей элементов, в которых содержится n1, n2, …, nk элементов соответственно, то комбинации, содержащие по одному элементу из каждой Продолжим решение задач. совокупности, можно образовать n1 · n2 · nk способами. 27. Бросают 3 игральные кости: красную, желтую и зеленую. Пусть a1 – число, выпавшее на первой кости, a2 – число, выпавшее на первой кости, a3 – число, выпавшее на первой кости. а) Сколько различных трехзначных чисел вида а1а2 а3 можно получить таким способом? б) Не производя расчетов, скажите, что больше: вероятность того, что число а1а2 а3 четное или вероятность того, что число а1а2 а3 кратно четырем. Найдите эти вероятности и проверьте свое предположение. в) Какова вероятность, что 200 < а1а2 а3 < 400? г) Какова вероятность, что в числе а1а2 а3 : 1) все цифры одинаковые? *2) все цифры разные? 28. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске: 1) две фигуры, 2) три фигуры; 3) 4 фигуры? 29. На клетке D5 шахматной доски стоит белый конь. а) Сколькими способами можно расположить на доске черного слона и черную пешку так, чтобы конь не бил ни одну из этих фигур? б) Черного слона и черную пешку поставили на свободные клетки случайным образом. Какова вероятность того, что: 1) обе черные фигуры окажутся под боем? 2) одна из черных фигур окажется под боем, а другая – нет? 30. В рекламном проспекте новой модели автомобиля покупателю предлагается на выбор: – 3 варианта двигателя разной мощности; – 4 варианта кузова; – 10 вариантов окраски кузова; – 5 вариантов отделки салона; – механическая или автоматическая коробка передач. Сколько различных вариантов новой модели автомобиля может предоставить покупателям фирма-изготовитель? Перестановки, их использование для определения вероятности событий Рассмотрим следующую задачу. Туристическая фирма планирует посещение трех городов Италии: Рима, Венеции, Флоренции. Сколькими способами можно организовать маршрут? (Под маршрутом понимается последовательность посещения городов. Нас не интересует протяженность маршрутов, возможность перемещения из города в город по различным дорогам и т.п.) Примечание. В математике последовательности из одних и тех же элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования этих элементов, называются перестановками1. Понятие «перестановка» относится к разделу математики, получившему название «комбинаторика» (или «комбинатóрный анализ», «теория соединений»). В комбинаторике рассматриваются задачи, связанные с составлением по тем или иным правилам различных комбинаций из некоторых элементов и подсчетом числа таких комбинаций. С некоторыми комбинаторными задачами люди были знакомы еще в Древнем Китае и Древней Греции. Однако как наука комбинаторика оформилась лишь в ХVII в., главным образом, в связи возникновением теории вероятностей. С 50-х годов ХХ в. интерес к комбинаторике возродился в связи с бурным развитием кибернетики, дискретной математики, теории информации. 1 Итак, выражаясь математическим языком, нам нужно найти число перестановок из трех элементов. Сделать это нетрудно, можно просто выписать все перестановки (для удобства обозначим города буквами Р, В, Ф): Р В Ф Р Ф В В Р Ф всего 6 перестановок В Ф Р Ф Р В Ф В Р Обратите внимание: чтобы ничего не пропустить, мы выписывали перестановки в определенном порядке – сначала зафиксировали на первом месте Р и записали две перестановки, отличающиеся порядком следования Ф и В, затем зафиксировали на первом месте В и т.д. Итак, число перестановок из 3 элементов равно 6. Усложним нашу задачу, добавив еще один – четвертый город. Пуст это будет Милан (М). Попробуйте выписать все перестановки из четырех элементов: Р, В, Ф, М. Это, скорее всего, оказалось не так просто. Таких перестановок должно было получиться 24. С ростом числа элементов число перестановок из них резко возрастает. А, значит, выписывая их, легко ошибиться, пропустить какие-то варианты. А нельзя ли было при подсчете числа перестановок из 4 элементов не выписывать эти перестановки, а воспользоваться уже известным числом перестановок из трех элементов? Мы могли рассуждать следующим образом. Возьмем какую-нибудь перестановку из наших «старых» элементов, например, перестановку В Ф Р. Четвертый элемент – М можно поставить на любую из следующих четырех позиций: перед В, между В и Ф, между Ф и Р, после Р. Тем самым будут исчерпаны все перестановки, которые можно получить из В Ф Р, добавляя М. То же самое можно проделать, добавляя М к любой другой «старой» перестановке. Таким образом, из каждой «старой» перестановки из трех элементов, добавляя новый, четвертый элемент, можно получить 4 перестановки из четырех элементов. Значит число перестановок из четырех элементов равно 6 4 = 24. А теперь представим себе, что нам нужно найти число перестановок из произвольного (возможно, очень большого) числа элементов n. В математике принято обозначать число перестановок из n элементов Pn (не путайте с буквой Р без индекса, используемой для обозначения вероятности). Предположим, что нам уже известно число перестановок Pn–1 из n – 1 элементов. Тогда, рассуждая точно так же, как раньше в случае четырех элементов, мы можем записать1: Pn = Pn–1 n. Эта формула справедлива для любых количеств элементов, при которых имеет смысл говорить о перестановках. Воспользуемся ею. Если у нас есть всего два элемента, то из них можно образовать всего две перестановки: либо на первом месте стоит первый элемент, а на втором месте – второй, либо наоборот. Значит, Р2 = 2. А дальше, пользуясь нашей формулой, получаем: P2 = 2 P3 = P 2 · 3 = 2 · 3 P4 = P3 · 4 = 2 · 3 · 4 Такие формулы, позволяющие находить значения некоторой величины, пользуясь ранее найденными значениями, называются рекуррентными. 1 P5 = P4 · 5 = 2 · 3 · 4 5 ................................................ Pn = Pn1 n = 2 · 3 · 4 · ... · (n – 1) · n Мы получили формулу для нахождения числа перестановок из любого количества элементов. Обычно в правой части формулы добавляют еще один множитель – единицу и записывают формулу для числа перестановок из n элементов следующим образом: Pn = 1 2 · 3 · ... · (n – 1) · n Эта единица никак не влияет на результат, но делает вид формулы более законченным. Может возникнуть вопрос, имеет ли смысл рекуррентная формула Pn = Pn–1 n и при n = 2, т.е. что представляет собой запись P2 = P1 2. Чтобы ответить на него, нужно понять, что представляет собой P1. Говорить о перестановках из одного элемента можно лишь с большой натяжкой, но нам известно, что P2 = 2. Поэтому, чтобы общая рекуррентная формула числа перестановок могла использоваться и в рассматриваемом случае, нам нужно принять P1 = 1 (как говорят математики, по определению). Впрочем, такое определение соответствует интуитивным представлениям: при наличии всего одного элемента число возможных его расположений в ряду – одно. Формула для вычисления Рп может быть записана более компактно с помощью так называемого факториала1. Факториалом натурального числа п (обозначается n!, читается n-факториал) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно: п! = 1 2 · 3 · ... · (n – 1) · n Введенное определение, строго говоря, подходит для чисел, удовлетворяющих условию п 2, поскольку не имеет смысла говорить о произведении, если нет хотя бы двух множителей. Чтобы распространить понятие факториала на все натуральные числа, включая 1, математики приняли дополнительное определение: 1! = 1. Теперь мы можем записать формулу для числа перестановок из любого количества элементов в очень простом виде: Pn = n! Выполните несколько упражнений. 31. Вычислите: 1) 6!; 2) Р7; 3) 100! ; 99! 4) (3!)! 32. Два ученика, вычисляли значение выражения Первый ученик: 6! . 3! 9! 9 3. 3! 3 Это понятие очень широко используется в различных областях математики, далеко выходящих за пределы рассматриваемого нами круга вопросов. 1 9! 9 ! 3! 6 . 3! 3 С кем из учеников вы согласны? Почему? Второй ученик: 33. Сократите дроби: 1) P Р (n 1)! (n 1)! ; 2) ; 3) n ; 4) 2 п . n 1 п Рп (n 1)! 34. Представьте в виде дроби: 1 1 . k! (k 1)! *35. Упростите выражение: 2! 4! 6! 8! (2п)! ... 1! 3! 5! 7! (2п 1)! . п 2 36. Сколькими способами можно: а) расставить 6 человек в ряд? *б) расставить 6 человек по кругу? *в) сделать ожерелье из 6 разноцветных круглых бусинок? Необходимость расчета числа перестановок возникает во многих вероятностных задачах. В качестве примера рассмотрим такую задачу: В коробке положили карточки с написанными на них цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и тщательно перемешали. Карточки, не глядя, по одной вынимают из коробки и выкладывают одну за другой. Какова вероятность, что получившееся пятизначное число будет больше 43600? Решение. Общее число возможных исходов (чисел, которые можно составить из заданных цифр) – это число перестановок из 5 элементов: Р5 = 5!. Благоприятные исходы – это, во-первых, числа, начинающиеся с цифры 5, их Р4 = 4! (объясните, почему); во-вторых, числа, начинающиеся с комбинации 45, их Р3 = 3!. Таким образом, число благоприятных исходов равно 4! + 3!. 4!3! 3!(4 1) 5 1 . Искомая вероятность равна 5! 45 4 Решите задачи. 37. В мешке находятся 7 шаров, различающихся только цветом: красный, фиолетовый, зеленый, оранжевый, голубой, желтый, синий. Шары вытаскивают из мешка по одному наугад. Какова вероятность, что цвета вытащенных шаров будут соответствовать очередности цветов в радуге? 38. В мешке лежат карточки с буквами А, И, К, Р, Ш. Наугад вытаскивают карточки одну за другой и укладывают в ряд. Какова вероятность, что получится слово «ШАРИК»? 39. В мешке лежат карточки с буквами В, Е, Н, О, О, Р, С, Т, Т, Ь, Я. Наугад вытаскивают карточки одну за другой и укладывают в ряд. Какова вероятность, что получится слово «ВЕРОЯТНОСТЬ»? 40. Из 10 букв а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к составлены всевозможные перестановки. Сколько из них: а) начинается с буквы в? б) содержит букву а на 4 месте, а букву д – на 7 месте? 41. Сколько различных пятизначных чисел можно образовать: а) из цифр 1, 2, 3, 4, 5? б) из цифр 0, 1, 2, 3, 4? (В каждом числе должны быть использованы все цифры.) 42. Сколько чисел, бóльших 23000, можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Какова вероятность того, что пятизначное число, составленное наугад из этих цифр, будет больше 20000 но меньше 50000? (В каждом числе должны быть использованы все цифры.) 43. а) Из 6 букв A, B, C, p, q, r составлены всевозможные перестановки. Сколько из них начинается с большой буквы? б) На основе сюжета задачи а) составьте несколько задач на определение вероятности и решите их. *44. В мешке находятся 5 черных и 3 белых шара. Шары отличаются только цветом. Шары вынимают по одному. Какова вероятность, что все белые шары будут вынуты друг за другом?
