случайной величиной - Московский региональный социально

АНО ВПО «МОСКОВСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
Рабочая программа одобрена
Ученым советом МРСЭИ
Протокол № 1 от 28.08.2014 г.
Утверждаю
Ректор__________Стражевская Н.Я.
«___»____________2014 г.
Рабочая программа дисциплины
Б2.Б.3. Учебно-методический комплекс дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика
Направление подготовки
38.03.01 (080100) Экономика
Профиль Финансы и кредит
Квалификация (степень) выпускника бакалавр экономики
Форма обучения –заочная
Видное 2014
УДК
Рецензент: к.п.н., доцент кафедры общегуманитарных и естественнонаучных дисциплин МРСЭИ Киселев Г.М.
Луканкин А.Г.
Учебно-методический комплекс дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика»/ А.Г. Луканкин. Моск. регион. социальноэкономический ин-т. – Видное, 2014. – 30с.
Учебно-методический комплекс разработан в соответствии с ФГОС
ВПО по направлению подготовки 080100.62 «Экономика».
Одобрена кафедрой общегуманитарных и естественно-научных дисциплин и
рекомендована к печати Ученым советом Московского регионального
социально-экономического института в качестве рабочей учебной
программы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая
статистика».
© Луканкин А.Г.
© АНО ВПО МРСЭИ 2014
СОДЕРЖАНИЕ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ………………………………………… 4
I.
Цель освоения дисциплины ……………………………………………….. 4
Место дисциплины в структуре ООП ВПО ……………………………….. 4
Структура и содержание дисциплины …………………………………… 5
Образовательные технологии …………………………………………….. 7
Самостоятельная работа студентов …………………………………….. 8
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины ……………………………. 8
Вопросы и задания к экзамену ……………………………………………. 13
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ….. 19
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………….. 19
II.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ …………………………… 19
1. Методические рекомендации для преподавателя ……………………. 20
2. Методические рекомендации для студентов …………………………. 20
1. Цель освоения дисциплины
Основными целями и задачами изучения дисциплины являются:
- дать студентам представление об основных проблемах, разделах и
применении теории вероятностей и математической статистики;
- дать студентам представление о методах теории вероятностей и
математической статистики;
- овладение теоретическими и практическими основами теории вероятностей
и математической статистики;
- расширить математический кругозор студентов;
- развить у студентов навыки самостоятельной работы с литературой по
теории вероятностей и математической статистике;
- развить у студентов стремление и навыки применения теории вероятностей
и математической статистики в экономике.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»
представляет собой дисциплину базовой части математического и
естественно-научного цикла. Преподавание дисциплины ведется на 2 курсе
(4 семестр).
3. Компетенции обучающихся,
освоения дисциплины
формируемые
в
результате
В процессе освоения данной дисциплины студент формирует и
демонстрирует следующие общекультурные и общепрофессиональные
компетенции при освоении ООП ВПО, реализующей ФГОС ВПО:
Общекультурные:
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения
(ОК-1); способность к логическому мышлению, анализу, систематизации,
обобщению,
критическому
осмыслению
информации,
постановке
исследовательских задач и выбору путей их решения (ОК-9); способность
применять математический инструментарий для решения экономических
задач (ОК-15).
Профессиональные:
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых
для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
В результате освоения дисциплины, обучающийся
демонстрировать следующие результаты образования:
должен
Студент должен знать:
- основные понятия и инструментарий Теории вероятностей и
математической статистики, необходимые для решения экономических задач
Студент должен уметь:
- решать типовые задачи, используемые при принятии управленческих
решений;
- применять методы для решения экономических задач;
- использовать язык и символику математической статистики при построении
организационно - управленческих моделей.
Студент должен владеть:
- основами математического моделирования прикладных задач, решаемых
аналитическими методами;
- навыками применения современного математического инструментария для
решения экономических задач;
- методикой построения, анализа и применения математических моделей для
оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180
часов).
Структура дисциплины
Таблица 1
Заочная форма обучения 4 года
№
тем
Наименование разделов и тем
Общее
к-во
часов
Аудиторные часы
в том числе:
семинары,
всего
лекции
практич.
занятия
СР
Раздел I.Теория вероятностей
1.
Тема 1. Элементы комбинаторики
2.
Тема 2.Классическое определение
вероятности
3.
4.
Тема 3.Основные теоремы и
формулы теории вероятностей
Тема 4.Случайные величины
88
6
2
4
82
10,75
0,75
0,25
0,5
10
31,5
1,5
0,5
1
30
12,75
0,75
0,25
0,5
12
31,5
1,5
0,5
1
30
Комп
етенц
ии
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
Раздел II.Математическая
статистика.
5.
6.
7.
8.
Тема 1. Выборка и выборочное
распределение
Тема 2. графические изображения
выборок, выборочные
характеристики
Тема 3. элементы регрессионного
и корреляционного анализа
Тема 4. Статистическая проверка
гипотез
Зачёт / Экзамен
Всего:
88
6
2
4
82
12,75
0,75
0,25
0,5
12
10,75
0,75
0,25
0,5
10
31,5
1,5
0,5
1
30
31,5
4/0
180
1,5
0,5
1
30
4
8
164
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
Заочная форма обучения 5 лет
№
тем
Наименование разделов и тем
Общее
к-во
часов
Аудиторные часы
в том числе:
семинары,
всего
лекции
практич.
занятия
СР
Раздел I. Теория вероятностей
1.
Тема 1. Элементы комбинаторики
2.
Тема 2.Классическое определение
вероятности
3.
4.
Тема 3.Основные теоремы и
формулы теории вероятностей
6.
7.
8.
6
2
4
82
10,75
0,75
0,25
0,5
10
31,5
1,5
0,5
1
30
12,75
0,75
0,25
0,5
12
31,5
1,5
0,5
1
30
88
6
2
4
82
12,75
0,75
0,25
0,5
12
10,75
0,75
0,25
0,5
10
Тема 4.Случайные величины
Раздел II. Математическая
статистика.
5.
88
Тема 1. Выборка и выборочное
распределение
Тема 2. графические изображения
выборок, выборочные
характеристики
Тема 3. элементы регрессионного
и корреляционного анализа
Тема 4. Статистическая проверка
гипотез
Зачёт / Экзамен
Всего:
31,5
1,5
0,5
1
30
31,5
4/0
180
1,5
0,5
1
30
4
8
164
Содержание разделов дисциплины
Комп
етенц
ии
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
ОК1,9,15
ПК-4
Таблица 2
№
п/п
1
Наименование
раздела
дисциплины
Комбинаторика.
Содержание раздела
(дидактические единицы)
Соединения без повторений. Бином Ньютона.
2
Случайные
события.
Вероятность
события.
Случайные события и операции над ними. Вероятность
события. Основные теоремы и формулы теории
вероятностей.
3
Случайные
величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые
характеристики случайных величин. Ковариация,
коэффициент корреляции.
4
Математическая
статистика
Выборка и выборочное распределение; графические
изображения выборок, выборочные характеристики;
элементы регрессионного и корреляционного анализа;
статистическая проверка гипотез.
Модуль 1.Теория вероятностей.
Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики.
Примеры простейших комбинаторных задач. Понятие выборки. Размещения
и перестановки. Сочетания. Формула Ньютона.
В математике и других науках, в повседневной жизни часто приходится
решать задачи, в которых требуется из элементов некоторого конечного
множества составлять различные комбинации, удовлетворяющие каким-либо
условиям, и подсчитывать число всех таких комбинаций. Такие задачи
получили название комбинаторных. Раздел математики, занимающийся
решением таких задач, называют комбинаторикой. Если из множества,
содержащего n элементов, каким-то способом отобраны k элементов ( k  n) , то
говорят, что из этого множества произведена выборка объемаk. Всякая
упорядоченная выборка объема k из множества, содержащего n элементов
(n  k ) , называется размещением из n элементов по k элементов. Размещения
из n элементов по n элементов называют перестановками из n элементов.
Всякая неупорядоченная выборка объема k из множества, содержащего n
элементов (n  k ) , называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Что называют выборкой объема k?
Какие выборки называют упорядоченными?
Что такое размещения, перестановки, сочетания?
Дайте определение символа п!.
Какие формулы существуют для вычисления числа размещений, числа
перестановок, числа сочетаний?
6. Сформулируйте теорему о разложении натуральной степени бинома по
формуле Ньютона.
7. Укажите характерные особенности формулы Ньютона.
8. Запишите формулу для k-го члена разложения.
Тема 1.2. Случайные события. Вероятность события.
Случайные события и операции над ними. Опыт с равновероятными
исходами. Классическое определение вероятности события.
Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается
всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит,
либо не происходит. Для событий вводятся операции сложения и умножения.
Суммой событий называется событие, которое осуществляется тогда и только
тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событийА
и В обозначают A  B . Произведением событий называется событие,
осуществляющееся только в том случае, когда данные события происходят
одновременно. Произведение событийА и В обозначают A  B.
Вероятностью P(A) событияA, связанного с опытом с равновероятными
исходами, называется отношение числа исходов, благоприятствующих
событиюА, к числу всех исходов.
Контрольные вопросы
1. Что называют случайным событием?
2. Какое событие называют: а) достоверным; б) невозможным?
3. Как определяются: а) противоположное событие; б) сумма событий; в)
произведение событий?
4. Какими свойствами обладают операции сложения и умножения
событий?
5. В каком случае два события называют несовместными?
6. Что такое полная система событий?
7. Сформулируйте классическое определение вероятности события.
8. Чему равны вероятности: а) достоверного события; б) невозможного
события?
9. Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?
Тема 1.3. Основные теоремы и формулы теории вероятностей.
Теорема сложения. Условная вероятность. Теорема умножения.
Независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Формула Бернулли.
В рассмотренных выше примерах вероятность события вычислялась
непосредственно, исходя из определения. К сожалению, этот путь приводит к
успеху только в самых простых случаях. Обычно же прямой подсчет как всех
исходов, так и тех из них, которые являются благоприятствующими,
оказывается неудобным, а иногда и практически невозможным из-за своей
чрезмерной сложности. Вычисление вероятностей событий, как правило,
можно
существенно
упростить,
если
использовать
теоремы,
устанавливающие связи между вероятностями событий, и формулы.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему сложения: а) для несовместных событий; б)
для произвольных событий.
2. Чему равна вероятность события A , если вероятность событияА равна
0,6?
3. Что называют условной вероятностью?
4. Сформулируйте теорему умножения для: а) двух произвольных
событий; б) для двух независимых событий.
5. Запишите формулу полной вероятности.
6. Запишите формулу Бернулли. Вероятность каких событий можно
вычислять по этой формуле?
Тема 1.4. Случайные величины.
Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание
случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое
отклонение. Биноминальное распределение. Понятие о законе больших чисел.
Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая
переменная величина которая при осуществлении этого опыта принимает то
или иное числовое значение из множества возможных значений. Если для
случайной величины Х известны все значения x1 , x 2 , , x n , которые она может
принимать, и все вероятности p1 , p2 , , pn , с которыми эти значения
принимаются, то говорят, что задан закон распределения случайной
величины Х или просто распределение величины Х. Важной числовой
характеристикой случайной величины является ее среднее значение или
математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной
величины называется число, равное сумме произведений всех значений
случайной величины на вероятности этих значений. Другой важной числовой
характеристикой случайной величины является ее дисперсия. Дисперсией
случайной величины называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Контрольные вопросы
Что называют случайной величиной?
Что называется распределением случайной величины?
Какое распределение называется биноминальным?
Дайте определение математического ожидания случайной величины.
Что называется дисперсией случайной величины?
Что называется средним квадратическим отклонением случайной
величины?
7. В чем состоит закон больших чисел в форме Бернулли?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Модуль 2. Математическая статистика.
Тема 2.1. Основные понятия и задачи математической статистики.
Предмет математической статистики. Выборки и выборочные
распределения. Графические изображения выборки. Полигон и гистограмма.
Выборочные характеристики.
В математической статистике разрабатываются теории и методы
обработки информации о массовых явлениях. Исходным материалом для
всякого статистического исследования служат статистические данные. Под
статистическими данными понимаются сведения о числе объектов какойлибо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными
признаками. В самых различных областях производственной и научной
деятельности приходится проводить изучение (обследование, измерение,
проверку) объектов, принадлежащих некоторой совокупности, по какомулибо признаку. При этом иногда приходится исследовать все объекты
совокупности, т. е. проводить сплошное исследование. Но во многих других
случаях в силу различных причин исследовать все объекты невыгодно или
даже невозможно. Поэтому на практике гораздо чаще применяется
выборочное исследование. При выборочном исследовании из всей
совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и
только их подвергают исследованию. При этом совокупность всех
исследуемых объектов называют генеральной совокупностью. Выборочной
совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно
отобранных объектов из генеральной совокупности. Для того чтобы по
выборке можно было с определенной уверенностью судить о всей
генеральной совокупности, выборка должна достаточно полно отражать
изучаемое свойство объектов генеральной совокупности, быть достаточно
представительной (репрезентативной). Для наглядного представления о
выборке часто используют различные графические изображения выборки.
Простейшими изображениями выборки являются полигон и гистограмма. В
теории вероятностей изучались числовые характеристики случайных
величин: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. В
математической статистике аналогичные характеристики вводятся для
выборки.
Контрольные вопросы
1. Что называют: а) генеральной совокупностью; б) выборочной
совокупностью; в) объемом выборки.
2. Дайте определение вариационного ряда. Что называют размахом
выборки?
3. Что называют: а) статистическим рядом; б) выборочным
распределением?
4. Какие графические изображения выборок вы знаете?
5. Дайте определения выборочных характеристик: а) выборочного
среднего; б) выборочной дисперсии.
Тема 2.2. Статистические оценки неизвестных параметров.
Точечные
оценки.
Несмещенность
и
состоятельность
оценок.
Интервальные оценки.
Одной из основных задач математической статистики является нахождение
приближенного значения некоторого неизвестного параметра а случайной
величины Х по выборке ее значений x1 , x2 ,, xn , полученной в результате п
измерений (наблюдений, опытов). Таким параметром может быть, например,
математическое ожидание случайной величины или ее дисперсия.
Приближенное значение параметра а, вычисленное каким-либо
способом по значениям выборки, в статистике называют точечной оценкой
этого параметра и обозначают a n . Точечная оценка a n параметраа называется
несмещенной, если математическое ожидание оценки равно а. Оценка a n
параметра а называется состоятельной, если для любого числа   0
lim P| a n  a|     1 . Использование состоятельных оценок обеспечивает
n
сближение оценки с оцениваемым параметром при увеличении объема
выборки. Любая точечная оценка a n неизвестного параметраа является
случайной величиной. Принимая оценку a n за значение параметра а, мы, как
правило, делаем ошибку, даже в том случае, когда оценка является
несмещенной и состоятельной. Поэтому важно знать, каковы точность и
надежность используемой оценки. Задача состоит в том, чтобы уметь
находить границы, в которых с определенной вероятностью заключено
неизвестное значение параметра. Для этого существуют интервальные
оценки.
Контрольные вопросы
1. Дайте определения: а) несмещенной оценки; б) состоятельной оценки.
2. Объясните, что значит, что доверительный интервал a1 ; a 2  накрывает
неизвестный параметра с вероятностью .
Тема 2.3. Обработка результатов измерений методом наименьших
квадратов.
Пусть изучается зависимость между величинами Х и Y в случае, когда
имеется возможность измерять значения величины Y при различных
значениях величины Х. при помощи конечного числа измерений, как
правило, нельзя установить точную функциональную зависимость между
изучаемыми величинами. Одной из важнейших задач математической
статистики является установление связи между двумя величинами по
известным выборкам их значений. Для решения поставленной задачи
используется метод наименьших квадратов.
Контрольные вопросы
1. Что называется прямой линией регрессии?
2. Как составляется нормальная система для определения прямой линией
регрессии?
3. Как находятся оценки параметров неизвестной линейной зависимости
между величинами методом наименьших квадратов?
Тема 2.4. Проверка статистических гипотез.
Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое
высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по
выборке.
Правило по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу
Н0 (соответственно, отклонить или принять Н1), называется статистическим
критерием (или просто критерием) проверки гипотезы Н0.
Контрольные вопросы
1. Что называется статистической гипотезой?
2. Сформулируйте определение статистического критерия.
3. Какие статистические критерии вы знаете?
Практические занятия
Модуль 1
№
1.
Число
часов
Темы практических занятий
Соединения без повторений.
1/1
Модуль 1
Всего часов:
1/1
Модуль 2
№
Число
часов
Темы практических занятий
1.
Случайные события. Классическое определение вероятности.
1/1
2.
Основные теоремы теории вероятностей.
1/1
Модуль 2
Всего часов:
2/2
Модуль 3
№
Темы практических занятий
Число
часов
1.
Дискретные случайные величины.
1/1
2.
Непрерывные случайные величины.
1/1
Модуль 3
Всего часов:
2/2
Модуль 4
№
Число
часов
Темы практических занятий
1.
Выборка и выборочное распределение. Полигоны и гистограммы.
1/1
2.
Выборочные характеристики.
1/1
3.
Обработка результатов измерений
1/1
Модуль 4
Всего часов:
3/3
Всего за семестр:
8/8
Образовательные технологии
При реализации программы дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика» используются различные образовательные
технологии - во время аудиторных занятий (12 часов) занятия проводятся в
виде лекций и с применением ПК и компьютерного проектора; лабораторных
работ, а самостоятельная работа студентов (164 часов) предусматривает
работу под руководством преподавателей (консультации).
Кафедра:
- организует самостоятельную внеаудиторную работу студентов по
математике, обеспечивая их необходимыми учебно-методическими
пособиями, подготовленными на кафедре;
- разрабатывает учебно-методические комплексы, программы, пособия в
соответствии с государственными стандартами образования;
- разрабатывает задания для самостоятельной работы, составляет
контрольные и тестовые задания, экзаменационные вопросы;
- обеспечивает доступность необходимого учебно-методического и
справочного материала, имеющегося на кафедре.
Самостоятельная работа студентов
Таблица 3
№
п/п
1
Наименование
раздела
дисциплины
Комбинаторика.
Вид самостоятельной работы
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
Трудоемкость
(в академических
часах)
42
2
Случайные
события.
Вероятность
события.
3
Случайные
величины.
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
32
4
Математическая
статистика
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
58
32
Всего
164
5. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Средства оценивания:
1). Диагностирующий контроль
ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ №1
Цель настоящих заданий – проверить знания студентов по высшей
математике в соответствии с требованиями государственного стандарта.
Знания группируются по следующим разделам:
1) Основы комбинаторики;
2) Основные понятия теории вероятностей;
3) Элементы математической статистики.
Задания призваны проверить следующие уровни подготовленности.
Первый блок состоит из заданий на диагностику базовых понятий
тестируемой дисциплины (модуля или даже цикла модулей/дисциплин). Цель
тестирования заданиями этого блока состоит в определении достижения
конкретным студентом первого уровня.
Второй блок состоит из заданий на диагностику освоения студентами
второго уровня. Это задания на проверку возможностей использовать
полученные знания и умения для выполнения типовых (учебных,
формирующих) заданий.
В третьем блоке собраны задания, требующие от учащегося применения
полученных знаний, умений и навыков в квазиреальных жизненных
ситуациях.
Каждое задание призвано проверить усвоение студентом знаний по каждому
конкретному
разделу
с
проверкой
соответственного
уровня
подготовленности. Номера задания состоит из трех чисел, где первое число
обозначает уровень подготовленности, второе – номер раздела, третье –
номер в разделе. Например, задание 2.2.4означает, что задание с номером 4
относится к разделу «Основные понятия теории вероятностей» и призвано
проверить возможность использовать полученные знания и умения для
выполнения типовых (учебных, формирующих) заданий (второй блок).
1.1.1. Какой выборкой является размещение из n элементов по k?
1) упорядоченной;
2) неупорядоченной.
1.1.2.А. Какой выборкой является сочетание из n элементов по k?
1) упорядоченной;
2) неупорядоченной.
2
1.1.3. Вычислите выражение: A 5
1) 7;
2) 10;
3) 20.
2
1.1.4. Вычислите выражение: C 5
1) 7;
2) 10;
3) 20.
1.2.1. Суммой событий А и В называется событие, которое осуществляется
тогда и только тогда, когда:
1) оба события произошли одновременно;
2) произошло хотя бы одно из этих событий.
1.2.2. Произведением событий А и В называется событие, которое
осуществляется тогда и только тогда, когда:
1) оба события произошли одновременно;
2) произошло хотя бы одно из этих событий.
1.2.3. Случайная величина X – количество бракованных изделий в партии –
является:
1) непрерывной;
2) дискретной.
1.2.4. Случайная величина X – надой молока от одной коровы в течении года
– является:
1) непрерывной;
2) дискретной.
3.1.1. Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность:
1) всех исследуемых объектов;
2) случайно отобранных объектов из генеральной совокупности;
3) объектов, обладающих заданными свойствами.
3.1.2. Выборку, представленную в виде неубывающей последовательности
чисел, называют:
1) выборочным распределением;
2) статистическим рядом;
3) вариационным рядом.
3.1.3. Выборочное математическое ожидание является несмещенной и
состоятельной оценкой для математического ожидания случайной величины:
1) да;
2) нет.
3.1.4. Выборочная дисперсия является несмещенной оценкой для дисперсии
случайной величины:
1) да; 2)нет.
2.2.1 В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Найдите вероятность того,
что на удачу вынутый шар будет белый:
1) ¾;
2) 3/7;
3) 4/7
4) 0.
2.2.2. В урне находятся 2 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того,
что на удачу вынутый шар будет зеленый:
1)
2)
3)
4)
2
/6;
/8;
6
/2;
0.
2
2.2.3. Из урны, в которой находятся 2 белых и 4 черных шара, наудачу
извлекли два. Найдите вероятность того, что два извлеченных шара будут
белыми.
1) 1/15;
2) ½;
3) 0;
4) 3/36.
2.2.4. Из урны, в которой находятся 2 белых и 4 черных шара, наудачу
извлекли два. Найдите вероятность того, что два извлеченных шара будут
черными.
1)
2)
3)
4)
2
/5;
/5;
4
/15;
1.
1
2.2.5. Дан закон распределения случайной величины:
1
2
3
4
0,1
0,2
0,3
?
С какой вероятностью принимается значение 4?
1) 0,4;
2) 0,2;
3) 0,5.
2.2.6. Закон распределения случайной величины имеет вид:
1
2
3
0,4
0,5
0,1
Найдите МХ?
1) 1,7;
2) 7,0;
3) 3,5.
2.2.7. Является ли таблица законом распределения некоторой случайной
величины?
1
2
3
0,3
0,2
0,4
1) да;
2) нет.
2.3.1. Дана выборка: 1,2,1,1,1,3,2,0,1,0. Выборочное математическое
ожидание равно:
1) 1,2;
2) 12;
3) 0,21.
2.3.2. Дана выборка: 1,2,1,2,2,2,2,0,3,2. Выборочная дисперсия равна:
1) 1,7;
2) 3,5;
3) 0,61.
3.2.1. Самолет бомбит цель, делая пять заходов. В каждом заходе сбрасывает
одну бомбу, вероятность попадания которой в цель 0,7. Под случайной
величиной понимается число попаданий в цель.
а) Вычислите математическое ожидание случайной величины.
1) 0,7; 2) 0,3; 3) 3,5, 4) 0,35.
б) Вычислите дисперсию случайной величины.
1) 0,3; 2) 1,05; 3) 0,03; 4) 0,015.
в) Как называется такое распределение?
1) Гаусса; 2) Бернулли; 3) Пуассона; 4) равномерное.
3.3.1. Четыре измерения длины стержня дали следующие результаты: 18, 19,
21, 22 мм. Найдите:
а) выборочную среднюю длины стержня;
1) 20,2; 2) 20; 3) 19) 21.
б) выборочную дисперсию;
1) 2,0; 2) 2,1; 3) 2,3; 4) 2,5.
в) несмещенную выборочную дисперсию;
1) 2,55; 2) 3,22; 3) 3,33; 4) 3,55.
г) какие из этих оценок будут несмещенными и состоятельными.
1) выборочное среднее; 2) выборочная дисперсия; 3) несмещенная
выборочная дисперсия.
2) Текущий контроль.
Таблица 4
№
п/п
1
Наименование раздела
дисциплины
Комбинаторика.
Средства текущего контроля
2
Случайные события.
Вероятность события.
Тесты, контрольные работы
3
Случайные величины.
Тесты, контрольные работы
4
Математическая статистика
Тесты, контрольные работы
Тесты, контрольные работы
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 1
1. Вычислите:
77 !
; C106 ;
76!
P6  P5
;
5!
A156  A155
.
A154
2. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3,
4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
3. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг.
Сколькими
способами это можно сделать?
4. Из урны, в которой находятся 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров,
наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар
окажется:
1) белым; 2) черным; 3) желтым; 4) красным.
5. Из букв Л, И, Т, Е, Р, А выбраны наугад и подставлены друг к другу в
порядке выбора 4 буквы. Найдите вероятность того, что при этом получилось
слово «тире».
6. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным
номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди
отобранных лиц окажутся три женщины.
7. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух
извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) хотя бы одно
окрашенное изделие.
8. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислите вероятность того,
что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.
9. Найти недостающую вероятность, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины:
X
-4
0
6
10
P
0,2 0,3 ?
0,4
10. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимаются два
шара. Найдите MX и DX , если Х – число вынутых белых шаров.
Вариант 2
1. Вычислите:
57 !
; C84 ;
56!
P6  P5
;
6!
A106  A105
.
A104
2. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3,
5,6?
3. Имеется 10 флажков разного цвета. Сколько вариантов сигнала из двух
флажков можно составить?
4. Из урны, в которой находятся 4 белых, 5 черных и 6 красных шаров,
наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар
окажется:
1) белым; 2) черным; 3) желтым; 4) красным.
5. Из букв Л, И, Т, Е, Р, А выбраны наугад и подставлены друг к другу в
порядке выбора 4 буквы. Найдите вероятность того, что при этом получилось
слово «лира».
6. На складе имеются 15 телевизоров, причем 10 из них изготовлены в Киеве.
Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу телевизоров
окажутся три телевизора киевского завода.
7. В коробке десять одинаковых изделий, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух
извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) хотя бы одно
окрашенное изделие.
8. Студент знает 20 из 30 вопросов программы. Вычислите вероятность того,
что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.
9. Найти недостающую вероятность, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины:
X
0,1 0,2 0,6 1,0
P
0,2 ?
0,1 0,4
10. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимаются два
шара. Найдите MX и DX , если Х – число вынутых черных шаров.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 1
1. Дана выборка: –1, 0, –1, 1, 0, –1, 1, 1, 2, 1, 4.
Найти объем выборки, размах выборки; записать вариационный ряд,
статистический ряд, выборочное распределение; построить полигон частот.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом (10; 3), (40; 3), (80; 2)
найдите выборочное среднее x и выборочную дисперсию S 0 .
3.Постройте гистограмму частот для выборки:
17, 19, 20, 10, 14, 16, 21, 21, 22, 22, 35, 27, 32, 24, 24, 24, 24, 27, 27, 27,
разбив промежуток от наименьшего значения выборки дот наибольшего её
значения на 5 промежутков.
4. Результаты измерений некоторой величины Y, зависящей от температуры
Х, даны в таблице:
xi
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
yi
0,2
0,3
0,6
1,0
1,8
2,7
3,8
5,1
6,7
8,3
10,2
Найдите прямую линию регрессии.
Вариант 2
1. Дана выборка: 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 2.
Найти объем выборки, размах выборки; записать вариационный ряд,
статистический ряд, выборочное распределение; построить полигон частот.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом (10; 3), (20; 3), (50; 4)
найдите выборочное среднее x и выборочную дисперсию S 0 .
3.Постройте гистограмму частот для выборки:
27, 29, 30, 20, 24, 26, 31, 31, 32, 32, 45, 27, 32, 24, 24, 24, 24, 37, 37, 27,
разбив промежуток от наименьшего значения выборки дот наибольшего её
значения на 5 промежутков.
4. Результаты измерений некоторой величины Y, зависящей от температуры
Х, даны в таблице:
xi
50
100
140
180
240
270
40
300
210
yi
8
14
20
23
30
36
4
37
26
Найдите прямую линию регрессии.
Вопросы и задания к экзамену
Требования к экзаменам.
Ответ студента оценивается положительно при следующих условиях:
 студент владеет теоретическим материалом учебной программы;
 студент освоил основные методы решения математических задач в
соответствии с учебной программой;
 студент способен применять теорию и методики к решению
конкретных задач.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНАМ
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
1.Размещения без повторений.
2.Перестановки без повторений.
3.Сочетания без повторений.
4.Виды событий: достоверное, невозможное, случайное.
5.События независимые и зависимые.
6.События совместные и несовместные.
7.Классическое определение вероятности события.
8.Статистическая вероятность.
9.Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
10.Условная вероятность.
11.Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
12.Формула полной вероятности.
13.Формулы Байеса.
14.Дискретные и непрерывные случайные величины.
15.Закон распределения.
16.Математическое ожидание.
17.Дисперсия.
18.Среднее квадратическое отклонение.
Математическая статистика
1.Выборы и выборочные распределения.
2.Полигон частот. Полигон относительных чисел.
3.Гистрограмма частот. Гистограмма относительных частот.
4.Выборочное математическое ожидание.
5.Выборочная дисперсия.
6.Точечные оценки. Несмещенность и состоятельность оценки.
7.Метод наименьших квадратов.
8. Статистические гипотезы. Нулевая и конкурирующая.
9. Уровни статистической значимости. Правило отклонения H 0 и принятия
H1 .
10. Q – критерий Розенбаума.
11. U – критерий Манна-Уитни.
12.  2 - критерий Пирсона.
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
6.1 Список рекомендуемой литературы по курсу
«Высшая математика».
6.1.1. Список основной литературы.
1. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Высшая математика для экономистов. Курс
лекций: учебное пособие для вузов. – М.: Из-во «Экзамен», 2009. 285 с.
2.
Высшая математика для экономистов: учебник для студентов,
обучающихся по экономическим специальностям / под ред. Н.Ш. Кремера.
– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 479 с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник
для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 573 с.
6.1.2. Список дополнительной литературы.
1. И.И.Баврин. Высшая математика. 3-е издание – Москва. – «Академия». –
2003.
2. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.:
Речь. 2003.
3. Луканкин А.Г. Математика: учебник для учащихся сред. проф.
образования. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2012. 320 с.
6.2.
Интернет-ресурсы
1. www.mrsei.ru/methodical-maintenance
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированные аудитории по изучаемой дисциплине со стендами
с образцами работ и справочными материалами.
Компьютерные классы с программным обеспечением и мультимедиапроектором.
Слайды и компьютерные презентации по различным темам
дисциплины.
и т. д.
8. Терминология
Вариационным рядом называют выборку, представленную в виде
неубывающей последовательности чисел.
Выборочной совокупностьюили просто выборкой называют
совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.
Выборочным математическим ожиданиемили выборочным средним
называют среднее арифметическое значений выборки.
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов
отклонений значений выборки от выборочного среднего.
Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Если
на плоскости выбрать две взаимно перпендикулярных оси с общим началом,
то каждой точке плоскости можно поставить в однозначное соответствие
пару чисел и наоборот – каждой паре чисел можно поставить в однозначное
соответствие точку плоскости.
Дисперсией случайной величины называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического
ожидания.
Дифференциальной
функцией
распределения
(плотностью
вероятности) непрерывной случайной величины Х называется функция f(x),
равная производной интегральной функции распределения: f ( x)  F ( x) .
Закон больших чисел. С вероятностью, сколь угодно близкой к
единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе
независимых опытов частота появления события как угодно мало отличается
от его вероятности в отдельном опыте.
Закон распределения случайной величины. Если для случайной
величины Х известны все значения x1 , x 2 , , x n , которые она может принимать,
и все вероятности p1 , p2 , , pn , с которыми эти значения принимаются, то
говорят, что задан закон распределения случайной величины Х или просто
распределение величины Х.
Интегральной функцией распределения (интегральным законом
распределения) непрерывной случайной величины Х называется функция
F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение меньше
х:F(x) = P(X < x).
Интервалы монотонности. Интервалы, на которых функция убывает
или возрастает, называются интервалами монотонности этой функции.
Классическое определение вероятности события.Вероятностью
P(A) событияA, связанного с опытом с равновероятными исходами,
называется отношение числа исходов, благориятствующих событиюА, к
числу всех исходов.
Координатная прямая.Прямая, на которой выбраны начальная точка и
единичный вектор, называется координатной осью или координатной
прямой.
Математическим ожиданием случайной величины называется число,
равное сумме произведений всех значений случайной величины на
вероятности этих значений.
Матрицей размерности m  n называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов, и обозначается
 a11

 a 21
 

a
 m1
a12
a 22

am2
 a1n 

 a2n 
.
  

 a mn 
Множество представляет собой собрание или совокупность некоторых
предметов или объектов, объединенных по некоторому признаку.
Нормальный
закон
распределения.
Закон
распределения
вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным
или распределением Гаусса, если ее плотность вероятности равна
f ( x) 
1
 2
e

( xa )2
2
,где σ и а – некоторые постоянные, причем σ > 0
Определитель матрицы. Каждой квадратной матрицеА ставится в
соответствие число detA, обладающее свойствами:
1) величина определителя матрицы не меняется при ее транспонировании;
2) если к матрице применить элементарное преобразование первого типа, то
определитель изменит знак на противоположный;
3) если к матрице применить элементарное преобразование второго типа, то
определитель не изменится;
4) умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на
число k равносильно умножению определителя на это число k;
5) если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен
нулю;
6) если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю,
то и сам определитель равен нулю;
7) если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то
определитель равен нулю.
Опыт с равновероятными исходами. Рассмотрим полную систему
попарно несовместных событий U 1 , U 2 , , U n ,связанную с некоторым опытом.
Предположим, что в этом опыте осуществление каждого из событий
U 1 , U 2 , , U n равновозможно, т. е. предположим, что не существует никаких
объективных оснований считать, что одно из событий является более
возможным, чем другое. Такой опыт будем называть опытом с
равновероятными исходами.
Перестановки. Размещения из n элементов по n элементов называют
перестановками из n элементов.
Произведением событий называется событие, осуществляющееся
только в том случае, когда данные события происходят одновременно.
Произведение событийА и В обозначают A  B.
Размещение. Всякая упорядоченная выборка объема k из множества,
содержащего n элементов (n  k ) , называется размещением из n элементов по
k элементов.
Случайная величина. Под случайной величиной, связанной с
некоторым опытом, понимается всякая переменная величина которая при
осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение из
множества возможных значений.
Случайное событие. Под случайным событием, связанным с
некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении
этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Среднеквадратическим отклонением ( X ) случайной величины Х
называют корень квадратный из ее дисперсии: ( X )  DX .
Сочетания. Всякая неупорядоченная выборка объема k из множества,
содержащего n элементов (n  k ) , называется сочетанием из n элементов по k
элементов.
Статистическим
 x ; n ,  x ; n ,,  x ; n 
1
1
2
2
n
рядом
называют
последовательность
пар
n
Суммой событий называется событие, которое осуществляется тогда и
только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму
событийА и В обозначают A  B .
Точечная оценка. Приближенное значение параметра а, вычисленное
каким-либо способом по значениям выборки (1), в статистике называют
точечной оценкой этого параметра и обозначают a n .
I.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1. Методические рекомендации для преподавателя
Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая
статистика» преподается студентам первого курса, не имеющим опыта
обучения в высших учебных заведениях, поэтому одна из основных задач
преподавателя – помочь студентам учиться в новых для них условиях.
Практика показывает, что при обучении в вузах на младших курсах студенты
сталкиваются с рядом проблем. В качестве одного из признаков таких
проблем, возникающих при переходе из школы в вуз, можно указать резкое
снижение успеваемости на первом курсе по сравнению с результатами в
школе.
УМК ориентирован на студентов, получивших базовые знания по
математике в старшем звене средней школы, что является необходимым
условием для успешного усвоения данной дисциплины в институте.
Учебная работа студентов по данной дисциплине включает в себя
посещение лекций, участие в семинарских занятиях, выполнение
контрольных работ (рефератов), а также самостоятельную работу.
Основным видом учебной работы является освоение лекционного
материала, преподаваемого в соответствии с настоящим УМК.
На вводном занятии преподавателю необходимо ознакомить
студентов с требованиями Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по направлению
080100.62 «Экономика» подготовки по учебной дисциплине «Теория
вероятностей и математическая статистика». Необходимо ознакомить
студентов с формами контроля успеваемости студентов.
При проведении занятий преподаватель должен четко формулировать
цель занятия и основные проблемные вопросы. В целях контроля
подготовленности студентов и привития им навыков краткого письменного
изложения своих мыслей по предложенной тематике преподаватель в ходе
занятий может проводить контрольные работы.
При проведении первых лекций необходимо обратить особое
внимание на доступность материала и темп его изложения (возможность
конспектирования), дать рекомендации по организации самостоятельной
работы и обеспечить контроль усвоения пройденного материала.
Семинарские занятия проводятся с целью закрепления наиболее
значимых для будущей профессиональной деятельности частей лекционного
курса, усвоения навыков и методов практического использования изученного
теоретического материала, а также контроля успеваемости учащихся.
При проведении семинарских занятий преподаватель должен четко
формулировать цель занятия и основные проблемные вопросы. После
заслушивания докладов студентов необходимо подчеркнуть положительные
аспекты их работы, обратить внимание на имеющиеся неточности (ошибки),
дать рекомендации по подготовке к следующим докладам. Рефераты,
предполагающие анализ публикаций по отдельным вопросам семинара,
рекомендуется заслушивать в середине занятия. При подведении итогов
обсуждения намеченных вопросов преподаватель оценивает каждого
выступавшего студента, выделяя наиболее активных.
В целях контроля уровня подготовленности студентов и привития
им навыков краткого письменного изложения своих мыслей по
предложенной тематике преподаватель в ходе семинарских занятий может
проводить контрольные работы.
Семинар может включать в себя элементы индивидуального
собеседования. Преподаватель должен осуществлять индивидуальный
контроль работы студентов; давать соответствующие рекомендации; в случае
необходимости помогать студенту составить индивидуальный план работы
по изучению данной учебной дисциплины.
Контрольные работы проводятся для проверки степени усвоения
студентами изученного материала.
Самостоятельная работа необходима студентам для подготовки к
семинарским занятиям и зачету, а также подготовки рефератов на выбранную
тему с использованием материалов преподаваемого курса, лекций и
рекомендованной литературы.
2.
Методические указания для студента
Основными видами аудиторной работы студента при изучении
дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются
лекции, семинары и практические занятия в компьютерном классе. Студент
не имеет права пропускать без уважительных причин аудиторные занятия, в
противном случае он может быть не допущен к зачету.
На лекциях излагаются и разъясняются основные понятия темы,
связанные с ней теоретические и практические проблемы, даются
рекомендации для самостоятельной работы. В ходе лекции студент должен
внимательно слушать и конспектировать новый материал.
Завершают изучение наиболее важных тем или разделов учебной
дисциплины практические занятия.
Результаты контроля качества учебной работы студентов
преподаватель может оценивать, выставляя текущие оценки в рабочий
журнал. Студент имеет право ознакомиться с выставленными ему оценками.
Важным видом работы студента при изучении дисциплины «Теория
вероятностей и математическая статистика» является самостоятельная работа.
Для студентов очной формы обучения на самостоятельную работу
отводится примерно 50%, для студентов очно-заочной формы обучения – до
80% и заочной формы обучения – до 90% общего времени дисциплины,
поэтому правильная организация самостоятельной работы является залогом
успешного изучения дисциплины. Нельзя надеяться только на тот материал,
который был изучен в ходе лекций, семинаров или практических занятий,
необходимо закрепить его и расширить в ходе самостоятельной работы.
Наибольший
эффект
достигается
при
использовании
«системы
опережающего чтения», то есть предварительного самостоятельного
изучения материала следующего занятия.
Самостоятельная работа должна носить творческий и планомерный
характер. Ошибку совершают те студенты, которые надеются освоить весь
материал только за время подготовки к зачету. Опыт показывает, что уровень
знаний у таких студентов является низким, а знания и навыки – непрочными.
В процессе организации самостоятельной работы большое значение
имеют консультации преподавателя. Они могут быть как индивидуальные,
так и в составе учебной группы. С графиком консультаций преподавателей
можно ознакомиться на кафедре.
Самостоятельную работу по изучению информатики и математики
целесообразно начинать с изучения УМК, который содержит основные
требования к знаниям, умениям, навыкам; ознакомления с разделами и
темами в порядке, предусмотренном учебной программой. Получив
представление об основном содержании раздела, темы, необходимо изучить
данную тему, представленную в учебнике, придерживаясь рекомендаций
преподавателя, данных в ходе установочных занятий по методике работы над
учебным материалом.