ТЕМА 11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 11.1. Закон электромагнитной индукции

ТЕМА 11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
11.1. Закон электромагнитной индукции
Явление электромагнитной индукции впервые наблюдалось Фарадеем
в 1831 г. и заключается в возникновении тока в проводящем контуре при
изменении магнитного потока через поверхность, охватываемую этим
контуром. Согласно закону, установленному Фарадеем, э.д.с. индукции
пропорциональна быстроте изменения магнитного потока. Поскольку в
системе СИ коэффициент пропорциональности равен единице,
i  
d
.
dt
Минус единица в правой части имеет символический смысл; она означает,
что явление электромагнитной индукции подчиняется правилу Ленца: при
всяком изменении магнитного потока через поверхность, охватываемую
проводящим контуром, в нем возникает индукционный ток такого
направления, что создаваемое им магнитное поле противодействует
изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток. Изменение магнитного
потока может быть вызвано различными причинами: изменением внешнего
магнитного поля, ориентации контура в пространстве либо геометрии
контура.
Закон электромагнитной индукции можно получить из закона
сохранения энергии. Действительно, при медленном перемещении контура в
магнитном поле внешние силы совершают работу, равную работе
индукционного тока: dA  i dq, dq  Ii dt , dA  i Ii dt . Эта же работа равна (с
точностью до знака) работе сил Ампера: dA   Ii d  . Поэтому
 I i d   i I i dt  i  
d
.
dt
Э.д.с. индукции возникает и при перемещении отрезка проводника в
стационарном магнитном поле, если проводник пересекает линии индукции.
Поскольку при этом в качестве э.д.с. выступает сила Лоренца, действующая
на свободные электроны в движущемся проводнике, нетрудно показать, что и
в данном случае
i  
d
dt
(здесь  – магнитный поток через поверхность, «прочерченную»
движущимся проводником за промежуток времени dt ). Действительно, на
электрон в движущемся со скоростью  проводнике со стороны магнитного
поля действует сила
F  e  , B  .
Эта сила является сторонней (не кулоновской), напряженность поля
сторонних сил:
Eст 
 
F
 , B .
e
1
По определению э.д.с. индукции в проводнике L :
 i   Eст dl    , B , dl .
  
L
(11.1)
L
Поскольку

dr
dt
(здесь dr – вектор перемещения элемента dl проводника),

  dr  
 , B  , dl    B,  , dl   .




  dt  

Так как вектор dl при поступательном движении проводника не зависит от
времени,
 dr  d
 , dl    dr , dl  .
 dt  dt
Согласно геометрическому смыслу векторного произведения,
 dr , dl   ds .


Здесь ds – вектор площади параллелограмма, построенного на
перемножаемых векторах (рис. 11.1). С учетом этого имеем:
ds
dl
L
dr
Рис. 11.1


 , B  , dl     B, dsdt  .
(11.2)
Если магнитное поле стационарно,
 ds 
d
d '
  B,   
B, ds  
dt
dt
 dt 


(11.3)
(здесь  ' – магнитный поток через поверхность, прочерченную элементом
dl проводника при перемещении dr ). Согласно (11.1),
i    , B  , dl .


L
С учетом равенств (11.2) и (11.3) имеем:
d '
d
d
   d '  
dt
dt L
dt
L
i   
(здесь  – магнитный поток через поверхность, прочерченную всем
проводником при перемещении dr ). В частном случае прямолинейного
проводника длиной l , который движется поступательно со скоростью  в
2
однородном стационарном магнитном поле перпендикулярно линиям
индукции, i  Bl  sin  (здесь  – угол между проводником и вектором
скорости).
Как уже отмечалось, индукционная э.д.с. возникает и в том случае,
когда проводник неподвижен, но изменяется индукция внешнего поля. В
такой ситуации на свободные электроны проводника действует т.н. вихревое
электрическое поле, порождаемое переменным магнитным полем, но не сила
Лоренца. Действительно, если E – вектор напряженности этого поля, то
индукционная э.д.с. в неподвижном контуре i   Edl . Далее имеем:
L
d d
d
,    Bds,
i  

Bds .
dt
dt dt S
S
Поскольку контур неподвижен,
d
dB
dB

ds, i   
ds .
dt S dt
dt
S
Более подробно вихревое электрическое поле будет рассматриваться позже;
пока отметим лишь, что оно не потенциально, поэтому его силовые линии
всегда замкнуты.
Индукционный ток возникает не только в замкнутых проводниках типа
проволоки, но и в массивных проводящих телах произвольной формы. Такие
токи называются токами Фуко; они приводят к значительным потерям
энергии в устройствах типа трансформаторов и дросселей. Для уменьшения
потерь стальные сердечники делаются в виде пакета пластин, изолированных
друг от друга тонким картоном. В некоторых устройствах токи Фуко играют
положительную роль, например – в индукционных сталеплавильных печах, в
медицинских приборах для прогрева внутренних органов, в бытовых СВЧпечах.
11.2. Самоиндукция
Самоиндукцией называется явление возникновения индукционной
э.д.с. в цепи при изменении силы тока в ней. Легко видеть, что самоиндукция
– это частный случай электромагнитной индукции. Действительно, ток в
цепи создает в окружающем пространстве магнитное поле. В соответствии с
этим существует магнитный поток через поверхность, охватываемую цепью.
При изменении силы тока изменяется индукция поля; следовательно,
изменяется магнитный поток и возникает индукционная э.д.с.
Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля
пропорциональна силе тока в проводнике. Поэтому магнитный поток через
поверхность, охватываемую цепью, также пропорционален силе тока:   LI .
Здесь L – коэффициент пропорциональности, который называется
индуктивностью цепи. Из последнего равенства следует, что
L

,  L   1 Вб/А=1 Гн.
I
3
Если среда, в которой находится электрическая цепь, неферромагнитна
(магнитная проницаемость среды не зависит от силы тока), индуктивность
определяется только геометрией цепи. Поэтому
i  
d
dI
 LI    L .
dt
dt
Минус единица здесь имеет то же значение, что и в основном законе
электромагнитной индукции.
Далее найдем индуктивность соленоида, обмотка которого состоит из
N витков. Поскольку все они соединены последовательно, индукционная
э.д.с, возникающая в соленоиде при наличии переменного магнитного поля,
равна сумме э.д.с, индуцируемых в каждом витке в отдельности:
N
i  
i 1
Величина
N

i
d i
d N
   i .
dt
dt i 1
  называется потокосцеплением (полным магнитным
i1
потоком) соленоида. Если поток, пронизывающий каждый виток, одинаков,
то   N i . Индуктивность соленоида представляет собой коэффициент
пропорциональности между потокосцеплением и силой тока в нем:   LI .
Ранее было показано, что внутри обмотки соленоида с током существует
однородное магнитное поле с индукцией B  0nI . Поскольку магнитный
поток через каждый виток равен Bs , потокосцепление соленоида
  NBs  nl 0nIs   0n 2VI (здесь l – длина обмотки соленоида, V – объем
пространства внутри него). Из сопоставления двух последних равенств
следует, что L   0n 2V .
11.3. Ток при замыкании и размыкании цепи
Рассмотрим цепь, состоящую из источника тока с внутренним
сопротивлением r и соленоида индуктивностью L и электрическим
сопротивлением RL . В соответствии с правилом Ленца ток самоиндукции
направлен так, чтобы противодействовать изменению силы тока в цепи.
Поэтому при замыкании или размыкании цепи сила тока изменяется не
мгновенно, но постепенно. По обобщенному закону Ома
I
1  2   
R
,
где   и  R – суммарная э.д.с. и суммарное сопротивление цепи (далее
вместо  R будем писать просто R ) . Понятно, что в рассматриваемом
случае 1  2  0 , а суммарная э.д.с. складывается из э.д.с. источника тока и
самоиндукции. Поэтому
dI
dt  L dI    IR  dI  1 dt .
I
Rr
dt
  IR L
L
В результате интегрирования этого уравнения получим следующее:
4
ln
Rt

  IR
R
  t    IR  Ce L .
C
L
Если при t  0 I  I 0 , имеем:
I
Rt
Rt




L
L
.
1

e

I
e

 0
R

Rt



В момент включения тока I 0  0, поэтому I  1  e L  .
R

С течением времени сила тока увеличивается до стационарного значения
 / R , причем нарастание происходит тем быстрее, чем больше отношение
R / L . В момент отключения цепи от источника тока   0 , соответственно
I  I 0e

Rt
L
.
При этом уменьшение силы тока тем быстрее, чем больше отношение R / L .
Если по проводнику протекает переменный ток, магнитное поле внутри
него изменяется, и в толще проводника возникают вихревые токи
самоиндукции. Согласно правилу Ленца плоскости вихревых токов в
цилиндрическом проводнике проходят через его ось. На рис. 11.2 показана
I
Рис. 11.2
ситуация в тот момент, когда сила тока в проводнике увеличивается. При
этом ток самоиндукции вблизи оси проводника направлен в
противоположную сторону и противодействует увеличению тока.
Соответственно плотность переменного тока внутри проводника
неодинакова; она минимальна вблизи его оси и максимальна у поверхности.
В результате этого высокочастотный переменный ток сосредоточен лишь в
тонком приповерхностном слое проводника (это явление называется скинэффектом). Именно поэтому в высокочастотных силовых цепях
используются не обычные, но трубчатые проводники.
11.4. Энергия магнитного поля
При увеличении силы тока в цепи возникает э.д.с. самоиндукции,
препятствующая этому. По обобщенному закону Ома для замкнутой цепи
5
I
  i
,
R
где  – алгебраическая сумма э.д.с всех источников тока,  i – э.д.с.
самоиндукции, R – суммарное электрическое сопротивление цепи.
Поскольку
i   L
dI
,
dt
имеем:
  IR  L
dI
.
dt
Работа, совершаемая источниками тока цепи за промежуток времени dt :
dI 

dA  dq, dq  Idt , dA   IR  L  Idt  I 2 Rdt  LIdI .
dt 

Здесь первое слагаемое в правой части – теплота Джоуля-Ленца, второе
слагаемое – работа источников тока против э.д.с. самоиндукции, в результате
чего в контуре устанавливается постоянный ток и возникает магнитное поле.
Следовательно, приращение энергии магнитного поля за промежуток
времени dt : dW  LIdI . Полную энергию магнитного поля найдем путем
интегрирования:
I0
W   LIdI 
0
LI 0 2
2
(здесь I 0 – сила установившегося тока). Понятно, что полученный результат
справедлив лишь в случае неферромагнитной среды, когда индуктивность
цепи неизменна.
Далее выразим энергию магнитного поля через его характеристики –
магнитную индукцию и напряженность. Для этого найдем энергию
однородного поля соленоида, индуктивность которого L   0n 2V . Имеем:
B
LI 2 B 2V
B  0H , H  nI , B  0nI  I 
,W

.
0n
2
20
Так как поле однородно, для объемной плотности энергии получим:
WV 
B2
.
2 0
Учитывая, что B  0H , имеем:
Поскольку LI   , W 
I
.
2
BH 0H 2
WV 

.
2
2
11.5. Взаимная индукция
Явление взаимной индукции состоит в том, что при изменении силы
тока в одном контуре возникает индукционная э.д.с. в другом
6
близкорасположенном контуре. Легко видеть, что взаимная индукция
обусловлена более общим уже известным явлением – электромагнитной
индукцией.
Пусть сила тока в контуре 1 равна I1 (рис. 11.3). Поток магнитной
индукции через поверхность, охватываемую контуром 2, пропорционален I1 :
 21  L21I1
(здесь L21 – коэффициент взаимной индукции контура 2 относительно
контура 1, его единица измерения – 1 Гн). При изменении силы тока в первом
1
2
B
Рис. 11.3
контуре будет изменяться величина  21 , поэтому во втором контуре
возникает индукционная э.д.с.
2  
d  21
.
dt
Если геометрия и взаимное расположение обоих контуров неизменно,
величина L21 также остается постоянной. Поэтому
d  21
dI
dI
 L21 1 ,  2   L21 1 .
dt
dt
dt
Рассуждая аналогично, можно показать, что индукционная э.д.с. в первом
контуре, обусловленная изменением тока во втором контуре, определяется
следующим равенством:
1   L12
dI 2
dt
(здесь L12 – коэффициент взаимной индукции первого контура относительно
второго, причем L12  L21 ). Если среда, в которой расположены оба контура,
неферромагнитна, значения коэффициентов L12 и L21 определяются только
их геометрией и взаимным расположением. В противном случае значения
L12 и L21 зависят и от силы тока в контурах, поскольку силой тока
определяется магнитная проницаемость ферромагнетика и, соответственно,
магнитная индукция и магнитный поток.
В качестве примера найдем коэффициент взаимной индукции двух
обмоток, расположенных одна поверх другой на парамагнитном каркасе в
виде тора. Если радиус тора ( R ) много больше радиуса его поперечного
7
сечения ( r ), то при наличии в первой обмотке тока I1 внутри каркаса
создается практически однородное магнитное поле с индукцией
B1   0n1 I1   0
N1
I1
2R
(здесь N1 – количество витков в первой обмотке). При этом через каждый
виток второй обмотки существует магнитный поток 2  B1s , где s –
площадь поперечного сечения тора. Следовательно, полный магнитный
поток, сцепленный со второй обмоткой,
 2  N 2 B1s   0N1 N 2
s
I1 .
2R
Аналогично, при наличии тока I 2 во второй обмотке внутри тора возникает
поле с индукцией
B2   0n2 I 2   0
N2
I2 ;
2R
в результате этого с первой обмоткой будет сцеплен поток
1  N1 B2 s   0N1 N 2
s
I2 .
2R
С другой стороны, потокосцепление первой и второй обмоток
1  L12 I 2 ,  2  L21I1 . Поэтому
L12  L21   0N1 N 2
s
.
2R
Рассмотренный пример вычисления коэффициентов взаимной индукции
можно рассматривать как иллюстрацию того, что, как уже отмечалось,
L12  L21 .
11.6. Электромагнитные источники э.д.с.
Мы уже рассматривали явления, лежащие в основе работы химических
источников тока – т.н. гальванических элементов. Помимо них на практике
широко используются электромагнитные источники, которые называются
генераторами переменного тока. Их действие основано на явлении
электромагнитной индукции.
Пусть в однородном поле постоянного магнита вращается
прямоугольная рамка, на которую намотана проволока, содержащая N
витков (рис. 11.4). Как известно, поток магнитной индукции через
n
N

B
S
Рис. 11.4
поверхность, охватываемую рамкой,   Bs cos  (здесь  – угол между
линиями магнитной индукции и нормалью к плоскости рамки). Если рамка
вращается с постоянной угловой скоростью, то   t ,   Bs cos t .
8
Согласно закону Фарадея индукционная э.д.с, возникающая в одном витке,
i '  
d
 B sin t .
dt
Поскольку витки обмотки соединены последовательно, суммарная э.д.с.
i  NBs sin t . Обозначив NBs  0i (амплитудное значение э.д.с.), имеем:
i  0i sin t .
Таким образом, при вращении рамки в постоянном магнитном поле в
обмотке возникает э.д.с, изменяющаяся по гармоническому закону (такая
э.д.с. называется синусоидальной). Поскольку магнитное поле стационарно, в
роли э.д.с. выступает сила Лоренца, действующая на свободные электроны в
металлическом проводе. Если источник синусоидальной э.д.с. включить в
цепь, в ней возникает переменный синусоидальный ток.
11.7. Трансформатор
Во многих случаях бывает необходимым использовать значения э.д.с,
которые значительно больше либо меньше тех, которые дают генераторы.
Особенно важно повышение э.д.с. для передачи электроэнергии на большие
расстояния, иногда на многие сотни и тысячи километров. Дело в том, что
электрическая мощность, передаваемая по ЛЭП, равна произведению э.д.с.
на силу тока. Мощность потерь, обусловленных нагреванием проводов,
пропорциональна квадрату силы тока. Следовательно, для снижения потерь
на тепло при неизменной передаваемой мощности необходимо уменьшать
ток и увеличивать э.д.с. В случае переменного тока для этого используется
повышающий трансформатор, действие которого основано на явлении
электромагнитной индукции.
Впервые трансформатор был сконструирован российским инженером
П.Н. Яблочковым; в простейшем случае он представляет собой две обмотки
на замкнутом стальном сердечнике. Первичная обмотка повышающего
трансформатора состоит из небольшого количества витков толстого провода,
вторичная обмотка содержит большое число витков тонкого провода. Если
первичная обмотка подключена к источнику переменной э.д.с, ток в ней
создает переменный магнитный поток, который практически целиком
сосредоточен внутри сердечника. Поэтому во вторичной обмотке существует
такой же переменный поток магнитной индукции и, соответственно,
индукционная э.д.с. В случае, когда вторичная обмотка разомкнута, т.е. к ней
не подключена нагрузка, трансформатор работает в режиме холостого хода.
При этом, если электрическое сопротивление первичной обмотки мало,
величина возникающей в ней э.д.с. самоиндукции в точности равна
напряжению на ее концах. Поскольку в одном витке
 ' si  
d
,
dt
э.д.с. самоиндукции всей первичной обмотки
9
 si  N1 
d
dt
(здесь N1 – количество витков). Поскольку магнитный поток через витки
вторичной и первичной обмоток практически одинаков, э.д.с. индукции во
вторичной обмотке
i  N2 
d
.
dt
Отношение э.д.с. самоиндукции к э.д.с. электромагнитной индукции
соответственно в первичной и вторичной обмотках называется
коэффициентом трансформации:
d
N
dt
k
 1 .
d
N2
N2 
dt
N1 
Если N 2  N1 , т.е. k  1, трансформатор повышает э.д.с; в противном случае
трансформатор является понижающим.
Итак, в режиме холостого хода, когда к клеммам вторичной обмотки
не подключена нагрузка, трансформатор практически не потребляет энергии.
Если же вторичная обмотка нагружена, первичная обмотка потребляет
энергию, причем с увеличением тока в нагрузке автоматически
увеличивается энергопотребление. Действительно, ток нагрузки создает
дополнительный магнитный поток через витки первичной обмотки. Согласно
правилу Ленца ток в этой обмотке увеличивается с тем, чтобы
воспрепятствовать этому.
В электромагнитных процессах, протекающих в трансформаторе,
неизбежны энергетически потери. Наиболее существенное значение здесь
имеет выделение джоулевого тепла в проводах обмоткок, а также нагревание
сердечника вихревыми индукционными токами. Тем не менее в современных
трансформаторах удается снизить потери до 2%, в результате их к.п.д.
приближается к 98%. Полагая мощность тока в обеих обмотках примерно
одинаковой, имеем:
 si I1   i I 2 
I1  i
N

 2.
I 2  si N1
Следовательно, сила тока и э.д.с. в обмотках обратно пропорциональна
количеству витков в них.
Используя повышающие трансформаторы, тепловые потери в ЛЭП
сводятся к минимуму. Перед распределением электрической энергии
потребителям э.д.с. вторичной обмотки уменьшается до нужных значений с
помощью понижающих трансформаторов.
10