АНАЛИЗ Оглавление

1
АНАЛИЗ
Оглавление
1
Множества ..............................................................................................................................3
1.1
Задачи ..............................................................................................................................3
2
Целые числа и их представление на прямой ......................................................................3
3
Рациональные числа .............................................................................................................4
4
Поле действительных чисел .................................................................................................6
5
6
7
8
4.1
Несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны ...............................................6
4.2
Бесконечные десятичные дроби ...................................................................................7
4.3
Сравнение действительных чисел .................................................................................8
4.4
Сложение и умножение действительных чисел ..........................................................8
4.5
Степени и корни ..............................................................................................................9
4.6
Модуль ...........................................................................................................................10
4.7
Длина интервала на числовой прямой .......................................................................11
4.8
Расширенная область действительных чисел ............................................................11
4.9
Задачи ............................................................................................................................11
Координаты на плоскости ...................................................................................................12
5.1
Прямая и ее уравнение. ...............................................................................................13
5.2
Уравнение окружности .................................................................................................14
5.3
Задачи ............................................................................................................................14
Функции ................................................................................................................................14
6.1
Модуль и знак ...............................................................................................................16
6.2
Операции над функциями ............................................................................................16
Предел функции ...................................................................................................................17
7.1
Примеры ........................................................................................................................17
7.2
Определение предела функции. .................................................................................17
Тригонометрические функции ...........................................................................................20
8.1
Длина кривой ................................................................................................................20
8.2
Длина дуги окружности ................................................................................................20
8.3
Определение тригонометрических функций .............................................................21
8.4
Первый замечательный предел ..................................................................................21
2
9
Непрерывность функции .....................................................................................................22
10 Непрерывность на отрезке .................................................................................................24
11 Показательные и логарифмические функции ...................................................................25
12 Принцип непрерывности ....................................................................................................27
13 Производная ........................................................................................................................28
14 Основные правила дифференцирования. .........................................................................30
15 Другие приемы дифференцирования ...............................................................................32
15.1
Неявно заданные функции. ......................................................................................32
15.2
Параметрически заданные функции .......................................................................33
15.3
Логарифмическая производная ...............................................................................34
16 Теорема Лагранжа ...............................................................................................................34
16.1
Минимумы и максимумы .........................................................................................34
17 Правило Лопиталя ...............................................................................................................36
17.1
Сравнение степени возрастания показательных, степенных и логарифмических
функций. ...................................................................................................................................37
18 Формула Тейлора.................................................................................................................37
19 Разложение элементарных функций по формуле Маклорена .......................................39
19.1
Разложение экспоненты ...........................................................................................39
19.2
Разложение синуса и косинуса ................................................................................39
19.3
Бином Ньютона ..........................................................................................................40
19.4
Разложение логарифма ............................................................................................41
20 Экстремумы. Монотонность. ..............................................................................................41
21 Выпуклость и вогнутость .....................................................................................................42
22 Асимптоты ............................................................................................................................44
3
Введение в анализ
1 Множества
Множество -- неопределяемое понятие. Запись 𝑎 ∈ 𝐴 означает, что элемент 𝑎
принадлежит множеству 𝐴. Отношение принадлежности также неопределяемо. Запись
𝑏 ∉ 𝐴 значит, что элемент 𝑏 не принадлежит множеству 𝐴. Среди всех множеств есть
пустое множество ∅, которое не содержит ни одного элемента. Два множества равны,
если и только, если они состоят из одних и тех же элементов (аксиома).
Множество, состоящее из элементов 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 , записывается как 𝐴 = {𝑎1 , … , 𝑎𝑛 }.
Различают конечные и бесконечные множества. Если множество бесконечно, то очень
часто его задают следующим образом:
𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝑈 ∣ условие отбора элементов 𝑥 }.
Здесь 𝑈 некоторое универсальное множество, из которого и отбираются элементы.
Например, 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ sin 𝑥 = 0} -- множество всех действительных чисел, синус
которых равен нулю. Это множество совпадает с множеством {0,± π ,± 2π ,± 3π ,… }.
Объединением множеств 𝐴 и 𝐵 называется множество 𝐴 ∪ 𝐵 состоящее из всех
элементов, принадлежащих либо 𝐴, либо 𝐵. Пересечением множеств A и B называется
множество A∩B, состоящее из всех элементов, принадлежащих как A, так и B. Разностью
множеств A и B называется множество 𝐴\𝐵, состоящее из всех элементов,
принадлежащих A, но не принадлежащих B.
Множество 𝐵 называется подмножеством множества 𝐴, если всякий элемент из B
принадлежит также и 𝐴. Записывается это отношение так: 𝐵 ⊆ 𝐴 или 𝐴 ⊇ 𝐵. Здесь
употреблен символ нестрого включения. Если мы хотим выразить, что 𝐵 ⊆ 𝐴 и 𝐵 ≠ 𝐴, то
пишем 𝐵 ⊂ 𝐴.
1.1 Задачи
1. Сколько элементов в множестве {sgn 7; 1; 0. (9); 60 }?
2. Перечислить элементы множества {𝑛 ∈ ℤ ∣ 5 − 2𝑛 − 𝑛2 ≥ 0}.
3. Даны числовые множества 𝐴 = [−2; 3] и 𝐵 = (0,5]. Найти пересечение и
объединение этих множеств.
2 Целые числа и их представление на прямой
Определение. Числовой осью 𝑂𝑥 называется прямая ℓ, с выбранной на ней точкой O
(начало отсчета), выбранном одном из двух положительном направлении и выбранном
4
отрезке 𝑂𝐸, длину которого полагаем равным единице. Противоположное к выбранному
положительному направлению называется отрицательным направлением.
Откладываем единицу масштаба в положительном направлении от начала координат и
получаем точки с положительными координатами 1,2,3, … Откладываем единицу
масштаба в отрицательном направлении – получаем точки с координатами −1, −2, −3, …
Самому началу координат припишем нулевую координату. Числа {0, ±1, ±2, . . }
называются целыми. Их совокупность обозначаем символом ℤ. Итак:
ℤ = {0, ±1, ±2, ±3, … }
Сумма и произведение целых чисел снова целое число. Разность двух целых чисел есть
целое число. Обозначим через ℤ+ совокупность чисел {1,2,3, … } (они называются
натуральными). Заметим, что разность натуральных чисел не обязательно есть
натуральное число.
-2
-1
0
1
2
3
4
Рисунок 1 Числовая ось
Целое число 𝑛 называется четным, если его можно записать в виде 𝑛 = 2𝑚 для
подходящего целого 𝑚. В противном случае, целое число 𝑛 называется нечетным.
Упорядочим целые числа так, как это изображено на рис. 1:
… − 3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ⋯
(" < " -- знак строгого неравенства). Иными словами, 𝑛 < 𝑚 тогда и только тогда, когда
𝑚 − 𝑛 ∈ ℤ+ . Нестрогое неравенство 𝑛 ≤ 𝑚 (эквивалентно 𝑚 ≥ 𝑛) означает, что либо 𝑛 <
𝑚, либо 𝑛 = 𝑚. Например, 5 ≤ 5 -- верное высказывание.
2.1 Задачи
1. Квадрат четного числа есть четное число, а квадрат нечетного целого числа –
нечетен.
2. Сколько целых чисел больших -5 и меньших 3? А сколько натуральных чисел с этим
условием?
3 Рациональные числа
Целые числа образуют кольцо. Это значит, что сумма, разность и произведение двух
целых чисел суть целые числа. Кроме того выполняются правила перестановочности,
сочетательности и распределительности:
5
{
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎; 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐;
{
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (1)
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎;
𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐;
Однако отношение целых чисел может уже не быть целым числом. Очень часто требуется
разделить некоторую величину на n равных частей, т.е. решить уравнение 𝑥 ⋅ 𝑛 = 𝑚. В
кольце целых чисел такое уравнение не всегда разрешимо, и мы встаем перед
проблемой расширения системы целых чисел до более обширной, в которой
сохраняются прежние алгебраические правила (1), и уравнение 𝑥 ⋅ 𝑛 = 𝑚 всегда
разрешимо при 𝑛 ≠ 0.
𝑚
Рациональное число есть дробь вида 𝑛 , где знаменатель 𝑛 – целое ненулевое число, а
числитель 𝑚 -- произвольное целое число. Считаем
𝑚 𝑚′
= ′
𝑛
𝑛
Отсюда следует правило сокращения:
опр
⇔
𝑚𝑘
𝑛𝑘
𝑚𝑛′ = 𝑛𝑚′
(2)
𝑚
= 𝑛 . Операции сложения и умножения над
дробями определяются так:
𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑛2 + 𝑛1 𝑚2 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚2
+
=
;
⋅
=
𝑛1 𝑛2
𝑛1 𝑛2
𝑛1 𝑛2
𝑛1 𝑛2
Рациональное число
𝑛
𝑚
(3)
будет ненулевым тогда и только тогда, когда 𝑚 ≠ 0. В этом случае
𝑛
дробь 𝑚 будет обратным рациональным числом, т.е.
𝑚
𝑛
𝑛
⋅ 𝑚 = 1. Совокупность всех дробей
обозначим ℚ и назовем полем рациональных чисел. Термин поле значит, что помимо
правил (1) каждый ненулевой элемент можно обратить.
Поле рациональных чисел действительно расширяет кольцо целых чисел. Мы можем
отождествлять дробь вида
𝑚
1
с целым числом 𝑚, ибо операции сложения и умножения (3)
при подстановке 𝑛1 = 𝑛2 = 1 превращаются в сложение и умножение над целыми
числами 𝑚1 и 𝑚2 .
Положительная дробь
𝑚
𝑛
характеризуется тем, что знаки числителя и знаменателя
одинаковы: 𝑚𝑛 > 0. Поле рациональных чисел упорядочено: – считаем, что дробь
больше дроби
𝑚2
𝑛2
, если
𝑚1
𝑛1
−
𝑚2
𝑛2
> 0. Например,
−4
3
>
−3
2
так как
−4
3
−
−3
2
=
−8−(−9)
6
𝑚1
𝑛1
1
= > 0.
6
Арифметические операции и отношение порядка согласованы в том смысле, что если
𝑞1 ≤ 𝑞2 , то 𝑞1 + 𝑞 ≤ 𝑞2 + 𝑞 для любой дроби 𝑞 и 𝑞1 𝑠 ≤ 𝑞2 𝑠 для любой неотрицательной
дроби 𝑠.
𝑚
Среди всех дробей особенно употребительны десятичные – это дроби вида 10𝑘 (случай,
когда знаменатель есть степень десяти). Любая десятичная дробь однозначно
записывается в виде
6
± (𝑎𝑛 ⋅ 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 ⋅ 10 + 𝑎0 +
𝑎−1 𝑎−2
𝑎−𝑘
+ 2 + ⋯ + 𝑘 ),
10 10
10
(3)
где все 𝑎𝑗 – цифры, т.е целые числа от 0 до 9. Короче дробь вида (3) записывают как
±𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 … 𝑎−𝑘
Отметим, что сумма и разность, а также произведение двух десятичных дробей есть снова
десятичная дробь. Иными словами, десятичные дроби образуют кольцо. Следует уметь
складывать и перемножать десятичные дроби «столбиком». Следует также усвоить
лексикографический принцип сравнения двух десятичных дробей. Пусть
𝒂 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 … 𝑎−𝑘 ; 𝒃 = 𝑏𝑛 𝑏𝑛−1 … 𝑏1 𝑏0 , 𝑏−1 𝑏−2 … 𝑏−𝑘
-- две положительные десятичные дроби (одинакового количества разрядов можно
всегда достичь, добавляя там, где надо нули). Тогда 𝒂 < 𝒃 если и только, если 𝑎𝑗 < 𝑏𝑗 для
′
первого слева несовпадающего разряда. В частности, если 𝑎−𝑘 ≠ 9 и 𝑎−𝑘
: = 𝑎−𝑘 + 1, то
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 … 𝑎′−𝑘 > 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 … 𝑎−𝑘 𝑎−𝑘−1 … 𝑎−𝑚
какие бы дополнительные разрядные цифры 𝑎−𝑘−1 , 𝑎−𝑘−2 , … , 𝑎−𝑚 мы ни добавляли. Для
двух отрицательных десятичных дробей – 𝒂, −𝒃 неравенство −𝒂 < −𝒃 выполняется в
том и только том случае, когда 𝑎𝑗 > 𝑏𝑗 для первого слева несовпадающего разряда.
Как на числовой оси интерпретировать рациональные числа? Прежде всего, дробь
1
𝑛
при
натуральном 𝑛 изображается концом отрезка на числовой оси, который получается
делением единичного отрезка OE на 𝑛 равных частей. Это можно сделать с помощью
циркуля и линейки. Тогда для любого другого натурального числа 𝑚 дробь
𝑚
𝑛
1
изображается точкой, которая получается m кратным откладыванием отрезка 𝑛 ⋅ 𝑂𝐸,
построенном на предыдущем шаге. Откладываем в положительном направлении. Если
же нужно изобразить дробь
𝑚
𝑛
1
при отрицательном целом 𝑚, то отрезок 𝑛 ⋅ 𝑂𝐸
откладываем от начала координат |𝑚| = −𝑚 раз в отрицательном направлении.
4 Поле действительных чисел
В этом параграфе строиться поле действительных чисел ℝ, в котором возможны более
сложные операции с числами, такие как, например, извлечение корней.
4.1 Несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны
Напомним, что по теореме Пифагора квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике
равен сумме квадратов катетов. Следовательно, если взять равнобедренный
прямоугольный треугольник с катетами равными единице, то его гипотенуза 𝑐 будет
удовлетворять соотношению 𝑐 2 = 12 + 12 = 2. Отложим в положительном направлении
на числовой оси эту гипотенузу (см. рис. 4). Получаем точку, которой должно
7
соответствовать число 𝑐 = √2. Какова природа этого числа? Оказывается, что это число не
является рациональным.
1
0
√2
Рисунок 2 Иррациональность корня из 2
Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.
Доказательство этого факта проведем методом «от противного». Предположим
𝑚 2
противное -- ( 𝑛 ) = 2. Дробь
𝑚
𝑛
можно считать несократимой, т.е. у 𝑚 и у 𝑛 нет общих
делителей, кроме единицы. Но из соотношения
𝑚2
𝑛2
= 2 вытекает 𝑚2 = 2𝑛2 и тем самым
число 𝑚2 , а значит и число 𝑚 четное, т.е. делится на два: 𝑚 = 2𝑚′. Здесь мы пользуемся
основной теоремой арифметики: -- любое натуральное число можно единственным
образом представить в виде произведения простых чисел. Подстановка 𝑚 = 2𝑚′ в 𝑚2 =
2𝑛2 дает 4𝑚′2 = 2𝑛2 или 2𝑚′2 = 𝑛2 . Аналогичные рассуждения показывают, что число 𝑛
также четно, и тем самым дробь 𝑚/𝑛 сократима на два – противоречие с выбором дроби.
Это противоречие указывает на ложность допущения о существовании рационального
решения уравнения 𝑥 2 = 2. □
Существуют много других иррациональных чисел -- √3, √5, 𝜋 и т.д. Итак, опять мы должны
решать проблему расширения числовой системы до новой, включающей в себя, по
крайней мере, все корни из положительных рациональных чисел и такое важное число 𝜋,
-- длина полуокружности радиуса единица, не выражающееся ни через какие корни из
рациональных чисел.
Мы будем считать, что каждой точке 𝑃 на числовой прямой соответствует координата
𝑥(𝑃) -- действительное число. При этом, если 𝑃 лежит в положительном направлении от
начала координат, то 𝑥(𝑃) это не что иное как длина отрезка 𝑂𝑃. Если же 𝑃 лежит в
отрицательном направлении от начала координат, то 𝑥(𝑃) = −длина(𝑂𝑃).
4.2 Бесконечные десятичные дроби
Бесконечной десятичной дробью называют бесконечную сумму вида
𝑟 = ± (𝑎𝑛 ⋅ 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 ⋅ 10 + 𝑎0 +
𝑎−1 𝑎−2
𝑎−𝑘
+ 2 + ⋯ + 𝑘 + ⋯ ),
10 10
10
где все 𝑎𝑗 – цифры. При этом конечную десятичную дробь
(1)
8
𝑟𝑘 = ± (𝑎𝑛 ⋅ 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 ⋅ 10 + 𝑎0 +
𝑎−1 𝑎−2
𝑎−𝑘
+ 2 + ⋯ + 𝑘)
10 10
10
(2)
назовем приближением дроби (1) с точностью 10−𝑘 . Знак «+» обычно опускают и короче
записывают бесконечную десятичную дробь (1) как
𝑟 = ±𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 … 𝑎−𝑘 …
7
1
2
8
Например, 2,7128 … = 2 + 10 + 100 + 1000 + 10000 + ⋯.
Заметим, что рациональные числа изображаются периодическими бесконечными
десятичными дробями. Например,
1
1
= 0,142857142857(142857); = 0, (3)
7
3
Определение. Действительным числом назовем бесконечную десятичную дробь с
учетом описанного выше отождествления. Совокупность действительных чисел
обозначим ℝ. Числа из множества ℝ \ℚ называют иррациональными.
Например, √2 ∈ ℝ ∖ ℚ как было доказано выше.
4.3 Сравнение действительных чисел
Пусть даны два действительных числа 𝑟 и 𝑠, представленные в виде положительных
бесконечных десятичных дробей
𝑟 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 … 𝑎−𝑘 … ; 𝑠 = 𝑏𝑛 𝑏𝑛−1 … 𝑏1 𝑏0 , 𝑏−1 𝑏−2 … 𝑏−𝑘 …
без бесконечных хвостов девяток (одинакового количества разрядов можно всегда
достичь, добавляя там, где надо нули). Скажем, что 𝑟 < 𝑠, и одновременно – 𝑠 < −𝑟, если
и только, если 𝑎𝑗 < 𝑏𝑗 для первого слева несовпадающего разряда. Отметим, что тогда
1
1
рациональное число 2 (𝑟𝑗 + 𝑠𝑗 ) лежит строго между 𝑟 и 𝑠, а − 2 (𝑟𝑗 + 𝑠𝑗 ) лежит строго
между −𝑟 и −𝑠. Этим доказана плотность рациональных чисел (и даже кольца всех
десятичных дробей) на числовой прямой. :
Теорема. Каждый непустой интервал числовой прямой содержит рациональную точку
Следствие. Каждый непустой интервал содержит бесконечно много рациональных точек.
4.4 Сложение и умножение действительных чисел
Покажем на примере √2 + √3, как складываются две бесконечные десятичные дроби.
Имеем:
√2 = 1,414213562 … ; √3 = 1,73205080756 …
Складывая приближения с одним, двумя, тремя и т.д. десятичными знаками после
запятой, получаем
1,4 + 1,7 = 3,1; 1,41 + 1,73 = 3,14; 1,414 + 1,732 = 3,146; 1,4142 + 1,7320 = 3,1462
9
Получаем приближения бесконечной десятичной дроби 3,146264369941972342…, которая
и есть сумма √2 + √3. Перемножаются бесконечные десятичные дроби по тому же
принципу – перемножают их все более точные приближения, а затем следят к какой
бесконечной десятичной дроби стремятся эти приближения:
1,4 ⋅ 1,7 = 2,38; 1,41 ⋅ 1,73 = 2,4393; 1,414 ⋅ 1,732 = 2,449048;
1,4142 ⋅ 1,7320 = 2,4493944 ; … → 2,4494897427831780981972840747059 …
Здесь не так быстро как для сложения получаются «верные» десятичные знаки. Три
верных знака мы получили лишь вычислив произведение приближений с точностью до
0.0001
Умножение распространяется на все действительные числа при помощи правила знаков:
(−𝑟)(−𝑠) = 𝑟𝑠; (−𝑟)𝑠 = 𝑟(−𝑠) = −𝑟𝑠
Теорема. Совокупность всех действительных чисел образует поле относительно
определенных выше операций сложения и умножения.
Отношение 𝑥 ≤ 𝑦 записывается также как 𝑦 ≥ 𝑥. Если 𝑎 ≤ 𝑏 -- действительные числа, то
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ |𝑎 < 𝑥 < 𝑏}; [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}; (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
называют соответственно интервалом, отрезком и полуинтервалом.
Для неравенств выполняются такие правила
A. Если 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
Б. Если 𝑎 < 𝑏, а 𝑐 > 0 то 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐. Если же 𝑐 < 0, наоборот, 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
1
1
В. Если 0 < 𝑎 < 𝑏 или 𝑎 < 𝑏 < 0, то 𝑎 > 𝑏
С. (транзитивность отношения <) Если 𝑎 < 𝑏 и 𝑏 < 𝑐, то 𝑎 < 𝑐
Наибольшее из чисел 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 будем обозначать max{𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 }, а наименьшее -min{𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 } .
4.5 Степени и корни
Для любого числа 𝑎 ∈ ℝ и любого положительного целого числа 𝑛 определим степень
𝑎𝑛 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎
(𝑛 раз)
Распространим степени на отрицательные показатели:
𝑎−𝑛 =
1
;
𝑎𝑛
(в последней формуле предполагаем 𝑎 ≠ 0)
𝑎0 = 1
10
Имеют место формулы
𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ;
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛 ; (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 ; (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛
𝑎𝑛
(1)
Для любого 𝑎 ≥ 0 найдется единственное неотрицательное действительное число,
квадрат которого равен 𝑎. Его обозначают √𝑎 и называют квадратным корнем из 𝑎.
Например, √9 = 3, но √25 ≠ −5 не смотря на то, что (−5)2 = 25. Квадратные корни из
отрицательных чисел будут числами новой природы (комплексные числа).
Для любого 𝑎 ≥ 0 найдется единственное неотрицательное действительное число, n-ая
𝑛
степень которого равен 𝑎. Его обозначают √𝑎 и называют корнем n-ой степени из 𝑎.
Имеют место следующие правила обращения с корнями
𝑛
𝑛
√𝑎𝑛
𝑎 √𝑎 𝑚 𝑛
= 1; √𝑎𝑏 = √𝑎 ⋅ √𝑏; √ = 𝑛 ; √ √𝑎 =
𝑏
√𝑏
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
После этого можно определить для любого рационального числа
𝑚
𝑛
𝑚𝑛
√𝑎
с 𝑛 > 0 и любого 𝑎 ≥
0 степень с рациональным показателем
𝑚
𝑛
𝑎 𝑛 ≔ √𝑎𝑚
Для такой степени выполняются по-прежнему правила (1).
Если целое число 𝑛 нечетное, то можно определить квадратный корень n-ой степени из
отрицательного числа 𝑎 как такое единиственное (отрицательное) число, n-ая степень
которого равна 𝑎.
4.6 Модуль
Число |𝑥| = max{𝑥, −𝑥} называется абсолютной величиной или модулем числа x.
Имеем:
−𝑥,
|𝑥| = {
𝑥,
𝑥<0
𝑥≥0
Свойства модуля
М1. |𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏| или более общо |𝑥1 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 | = |𝑥1 | ⋅ |𝑥2 |. . . |𝑥𝑛 |
М2. (неравенство треугольника) |𝑎 ± 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| или более общо
|𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 | ≤ |𝑥1 | + |𝑥2 |+. . . +|𝑥𝑛 |
М3. (непрерывность модуля) ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|
M4. |𝑎| = √𝑎2
11
Знак числа определяется как функция 𝑦 = sgn 𝑥 равная 1, если 𝑥 > 0 и равная −1, если
𝑥 < 0. Имеем:
sgn(𝑥1 𝑥2 ) = sgn(𝑥1 ) ⋅ sgn (𝑥2 )
для любых двух ненулевых чисел.
4.7 Длина интервала на числовой прямой
Пусть точки 𝑃 и 𝑄 имеют координаты 𝑥𝑃 , 𝑥𝑄 на числовой оси. Тогда длина интервала
(отрезка) с концами 𝑃 и 𝑄 вычисляется по формуле
|𝑃𝑄| = |𝑥𝑄 − 𝑥𝑃 |
Пример. Расстояние от точки −5 до точки 3 равно |−5 − 3| = |−8| = 8.
4.8 Расширенная область действительных чисел
Присоединим к ℝ два элемента -- +∞ и −∞, полагая, что для всех 𝑥 ∈ ℝ
−∞ < 𝑥 < +∞ ,
𝑥 + (± ∞ ) = ± ∞ , 𝑥/± ∞ = 0
Для всех положительных 𝑥 будем считать, что
𝑥 ⋅ (± ∞ ) = ± ∞ ,
а для отрицательных 𝑥 -𝑥 ⋅ (± ∞ ) = ∓ ∞ ,
Полагаем также
(± ∞ ) + (± ∞ ) = ± ∞ ,
(± ∞ ) ⋅ (± ∞ ) = +∞ ,
(± ∞ ) ⋅ (∓ ∞ ) = −∞.
Таким образом, неопределенными остаются операции:
0
,
0
±∞
, + ∞ − ∞,
±∞
0 ⋅ (±∞)
Вещественные числа вместе с ± ∞ образуют расширенную числовую прямую. Можно
убедиться, что основные арифметические правила (ассоциативность, коммутативность,
дистрибутивность) остаются верными и для расширенной системы чисел, при условии
определенности всех входящих операций.
4.9 Задачи
1. Доказать, что √3 иррациональное число
2. Записать 1/7 в виде бесконечной десятичной периодической дроби
3. Вычислить 2 +
1
3+
1
1
4+
∞
4. Что больше -- √2 + √3 или √10 ?
12
5. Записать 0.77777 … в виде рациональной дроби (Указание: использовать формулу
1
1 + 𝑞 + 𝑞 2 + 𝑞 3 + ⋯ = 1−𝑞 суммы геометрической прогрессии, справедливую для
всякого 𝑞 для которого |𝑞| < 1)
6. Найти расстояние между точками 𝑃(−13) и 𝑄(19) числовой оси.
7. На числовой оси нарисовать множество точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству |1 − 𝑥| ≤ 3
1
1
8. Упростить 26 ⋅ 89 . Ответ: √2.
5 Координаты на плоскости
Выберем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые – горизонтальную и
вертикальную. Их точку пересечения обозначим О и будем считать началом координат.
На каждой из прямой выберем положительное направление (как правило на
горизонтальной прямой слева на право, а на вертикальной снизу вверх). Горизонтальную
прямую превратим в ось 𝑂𝑥, а
вертикальную – в ось 𝑂𝑦. Любой точке 𝑃
на плоскости можно сопоставить пару
P(a,b)
координат 𝑎 = 𝑥(𝑃), 𝑏 = 𝑦(𝑃). Это естьк
bb
ординаты оснований перепедикуляров,
опущенных из точки 𝑃 на оси 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 .
Наоборот, любой паре чисел (𝑎, 𝑏)
обратной процедурой можно
сопоставить точку 𝑃 на плоскости с
заданными координатами. Получаем
взаимно-однозначное соответствие
между парами чисел и точками
плоскости. Система 𝑂𝑥𝑦 называется
Рисунок 3 Декартова плоскость
декартовой системой координат на плоскости.
Замечание 1. Пара (𝑎, 𝑏) это новый математический объект. Считаем, что (𝑎, 𝑏) = (𝑎′ , 𝑏 ′ )
в том и только том случае, когда одновременно 𝑎 = 𝑎′ и 𝑏 = 𝑏′.
Замечание 2. На плоскости существует сколько угодно много разных декартовых систем
координат. Существуют также системы координат, не являющиеся декартовыми.
Плоскость разделяется осями 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 на четыре квадранта, которые задаются
неравенствами
𝐼: 𝑥, 𝑦 > 0; 𝐼𝐼: 𝑥 < 0, 𝑦 > 0; 𝐼𝐼𝐼: 𝑥, 𝑦 < 0; 𝐼𝑉: 𝑥 > 0, 𝑦 < 0
Расстояние между точками 𝑃 и 𝑄 вычислется по формуле
2
2
|𝑃𝑄| = √(𝑥𝑄 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦𝑄 − 𝑦𝑃 ) ,
(1)
13
которая следует из теоремы Пифагора. Средняя точка отрезка 𝑃𝑄 имеет координаты
𝑥𝑄 + 𝑥𝑃 𝑦𝑄 + 𝑦𝑃
𝑀(
;
)
2
2
(2)
Основной принцип Декарта: любое соотношение типа равенства между переменными
𝑥, 𝑦 задает кривую на декартовой плоскости, состоящую из точек, координаты которых
удовлетворяют этому соотношению. Наоборот, если задана кривая на плоскости
(например, геометрическим описанием, т.е. как ГМТ), то ей соответствует некоторое
соотношение между переменными типа равенства.
Принцип Декарта можно распространить на неравенства. А именно, строгое неравенство
𝐹(𝑥, 𝑦) > 0 задает открытую область на плоскости (т.е. область без границы), а нестрогое
неравенство 𝐹(𝑥, 𝑦) ≥ 0 задает замкнутую область (т.е. область с границей).
5.1 Прямая и ее уравнение.
Уравнение вида 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 задает прямую на плоскости. Графиком такой функции служит
прямая, не параллельная оси OY. Коэффициент k равен тангенсу угла наклона этой
прямой, а 𝑏 -- координата точки пересечения графика с осью OY -- см. рис.4
Рисунок 4 Прямая
Функция 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 возрастает на всей числовой прямой, если 𝑘 > 0 и убывает, если 𝑘 <
0. При k=0 график ее параллелен оси Ох.
Прямая, параллельная оси 𝑂𝑦, имеет уравнение 𝑥 = 𝑎. Общее уравнение прямой на
плоскости будет
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0;
(3)
где 𝐴 и 𝐵 обновременно не равны нулю.
Уравнение
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
=
(4)
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1
задает прямую, проходящую через две точки.
Уравнение
14
𝑥 𝑦
+ = 1 (5)
𝑎 𝑏
задает прямую «в отрезках».
Уравнения полуплоскостей на которые делит прямая (3) плоскость суть
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 > 0; 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 < 0
5.2 Уравнение окружности
Уравнение окружности с центром в точке 𝐵(𝑥0 , 𝑦0 ) и радиуса 𝑅 имеет вид
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑅 2
Неравенства
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 < 𝑅 2 ; (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 ≤ 𝑅 2
задают открытый круг и замкнутый круг радиуса 𝑅 с центром в точке 𝐵(𝑥0 , 𝑦0 ).
5.3 Задачи
1. Уравнение прямой, проходящей через точки 𝑃(1; −3) и 𝑄(−5; 0)?
2. Тангенс угла наклона прямой 2𝑥 − 3𝑦 = 6 к оси 𝑂𝑥 (к оси 𝑂𝑦)?
3. Уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющую центр в
точке 𝐷(1; 1)?
4. Нарисовать область на плоскости, заданную неравенством 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 ≤ 0.
5. Нарисовать область на плоскости, заданную неравенством |𝑥| + |𝑦| ≤ 1. Указание:
использовать тот факт, что эта область симметрична относительно координатных
осей.
6 Функции
Пусть 𝐷 -- какое-либо числовое множество, а 𝑓 -- правило, в силу которого каждому числу
𝑎 из 𝐷 ставится в соответсвие число 𝑏 = 𝑓(𝑎). Тогда мы будем говорить, что задана
функция 𝑓(𝑥) на множестве 𝐷. При этом само множество 𝐷 называют областью
определения функции 𝑓; 𝑎 называют аргументом или значением переменной, а 𝑏
называют значением функции. Переменная 𝑥 пробегает область определения 𝐷 и в
результате при этом мы получаем область значений функции 𝐸 = { 𝑓(𝑥) ∣ 𝑥 ∈ 𝐷 }.
Графиком функции 𝑓(𝑥) называется линия на декартовой плоскости, состоящая из точек
𝑃(𝑥, 𝑓(𝑥)).
Пример. Самой простой функцией является тождественная 𝑦 = 𝑥. Ее график –
биссектриса первого и третьего квадрантов. Отправляясь от такой функции с помощью
арифметических операций можно получить любой многочлен:
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 -- линейная функция, т.е. многочлен первой степени (𝑘 ≠ 0)
15
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 -- квадратный трехчлен, т.е. многочлен второй степени (𝑎 ≠ 0)
𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 – кубический многочлен (𝑎 ≠ 0)
и т.д.
График функции 𝑦 = 𝑥 2 или, более общо, 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) называется
параболой. График функции 𝑦 = 𝑥 3 называется кубической параболой. У параболы 𝑦 =
𝑥 2 точка 𝑥 = 0 есть точка глобального минимума, т.е. в ней достигается наименьшее
значение, равное 0. Кубическая парабола 𝑦 = 𝑥 3 в точке 0 касается оси Ох, однако
возрастает в этой точке и вообще на всей числовой оси; сама точка O(0,0) будет точкой
Рисунок 6. Гипербола
Рисунок 5. Параболы
перегиба. Если допустить и операцию деления, то из тождественной функции можно
1
получить функцию 𝑦 = 𝑥. Здесь, не любое значение можно подставлять вместо 𝑥.
Естественной областью определения для такой функции является числовая ось с
выброшенным нулем:
1
ОДЗ ( ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) = ℝ\{0}
𝑥
1
𝑎𝑥+𝑏
𝑥
𝑐𝑥+𝑑
График функции 𝑦 = или, более общо, 𝑦 =
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0) называется гиперболой.
Гипербола 𝑦 = 1/𝑥 терпит разрыв в нуле, график этой функции имеет две ветви. Каждая
из ветвей на бесконечности сколь угодно близко подходит к оси Ох. Этот факт имеет
следующую запись: lim
1
𝑥→±∞ 𝑥
1
= ±∞ = 0 (см. параграф “Предел функции»)
Можно задавать функцию таблицей из двух строк, где в первой строке перечислены все
возможные аргументы, а во второй – соответствующие им значения. Чаще прибегают к
аналитическому способу задания функции. Функция задается аналитическим
выражением, в которое входят переменная 𝑥, константы и известные и точно
16
определенные операции (арифметические, корни, логарифмы, показательные функции,
тригонометрические и т.п.) Естественной ОДЗ аналитического выражения называется
совокупность всех чисел, при которых все операции, входящие в аналитическое
выражение определены, и получается итоговый результат -- 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Пример. Естественная ОДЗ функции 𝑦 = √𝑥 − 1 + √3 − 𝑥 есть отрезок [1; 3].
6.1 Модуль и знак
Рассмотрим функцию модуля 𝑦 = |𝑥|. Она четна, неотрицательна, неограничена. При 𝑥 ≥
0 она совпадает с прямой 𝑦 = 𝑥 и возрастает, а при 𝑥 ≤ 0 она совпадет с прямой 𝑦 = −𝑥
и убывает. Точка 𝑥 = 0 особая -- в ней происходит излом графика функции модуля.
Функция знака sgn x определена при всех x≠ 0. Она нечетна, принимает только два
значения -- ± 1, и поэтому ограничена. В точке 0 имеет разрыв.
𝑦 = sgn 𝑥
𝑦 = |𝑥|
Рисунок 5. Модуль и знак
Функции допускают арифметические операции сложения, вычитания, умножения и
деления. Более сложная операция – подстановка функции 𝑢 = 𝑔(𝑥) в функцию 𝑦 = 𝑓(𝑢).
Буква 𝑢 играет здесь роль промежуточного аргумента. В результате подстановки мы
получаем сложную функцию 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)).
Пример. 𝑦 = 𝑢5 ; 𝑢 = 2𝑥 − 1. Результат подстановки – функция, многочлен пятой степени
𝑦 = (2𝑥 − 1)5 = 32𝑥 5 − 80𝑥 4 + 120𝑥 3 − 40𝑥 2 + 10𝑥 − 1
Если для двух функций 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = ℎ(𝑥) оказывается так, что 𝑥 ≡ ℎ(𝑓(𝑥)) и 𝑦 =
𝑓(ℎ(𝑦)), то эти функции называют взаимно обратными. Например, 𝑦 = 𝑥 2 ,
рассматриваемая на промежутке [0; +∞) и 𝑦 = √𝑥 -- взаимно обратны.
6.2 Задачи
1
1. Найти ОДЗ функции а) √2 − 3𝑥 + √𝑥 + 1; б) 𝑥/𝑥; в) 𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥
2. Найти значения функций 𝑓 + 𝑔, 𝑓 ⋅ 𝑔, 𝑓/𝑔 в точке −1, если 𝑓(𝑥) = 1−𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
17
𝑥−1
3. Построить функцию обратную к 𝑦 = 𝑥+1
7 Предел функции
В этом параграфе изучается важнейшее понятие анализа – предел, который получил
строгую формулировку лишь во второй половине девятнадцатого века в трудах немецкого
математика Вейерштрасса.
7.1 Примеры
Составим таблицу значений функции
𝑥
𝑥2 − 4
𝑥−2
1.9
3.9
𝑥 2 −4
𝑥−2
при 𝑥 → 2
1.95
3.95
1.98
3.98
1.99
3.99
1.999
3.999
Заметим, что значение 𝑥 = 2 мы подставить не можем, так как получим
0
неопределенность 0 . Тем не менее, понятно, что значения функции
𝑥 2 −4
𝑥−2
приближаются к
числу 4 по мере того, как значения аргумента приближаются к 2. Это станет совершенно
очевидно, после сокращения
𝑥 2 −4
𝑥−2
= 𝑥 + 2. Правая часть здесь уже определена при 𝑥 = 2
и имеет значение 4. Иными словами, простым алгебраическим преобразованием мы
0
раскрыли неопределенность 0 и вычислили предел функции
𝑥 2 −4
𝑥−2
при 𝑥 → 2.
Рассмотрим еще один пример: вычислим предел lim (√𝑥 + 1 − √𝑥) . Преобразуем
𝑥→+∞
√𝑥 + 1 − √𝑥 =
(√𝑥 + 1 − √𝑥)(√𝑥 + 1 − √𝑥)
√𝑥 + 1 + √𝑥
=
1
√𝑥 + 1 + √𝑥
При неограниченном увеличении аргумента 𝑥 знаменатель √𝑥 + 1 + √𝑥 становиться
1
больше чем любое наперед заданное число. Так как ±∞ = 0, то получаем нулевое
значение предела.
7.2 Определение предела функции.
Интервал (𝑎 − 𝛿 , 𝑎 + 𝛿 ) называют δ-окрестностью точки 𝑎 (здесь δ >0). Она задается
неравенством |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Множество (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿 )\ {𝑎} называют проколотой
окрестностью точки 𝑎. Она задается неравенством 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 .
Пусть функция 𝑓(𝑥) определена в некоторой проколотой окрестности точки 𝑎. Число A
называется пределом функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 стремящемся к 𝑎, если чем ближе подходит 𝑥 к
𝑎 тем меньше значение функции 𝑓(𝑥) отличается от своего предела. Что означает фраза
«чем ближе 𝑥 подходит к 𝑎»? Мерой близости 𝑥 и 𝑎 можно считать |𝑥 − 𝑎|. Однако мы не
допускаем равенства 𝑥 = 𝑎, ибо функция 𝑓(𝑥) может быть и неопределенной в точке 𝑎.
18
Число A называется пределом функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 → 𝑎, если для любого
положительного 𝜺, сколь бы мало оно ни было, найдется число 𝛿 > 0, зависящее от 𝜺
(𝛿 = 𝛿 (𝜀 )) такое, что |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 для всех 𝑥 принадлежащих проколотой δокрестности точки 𝑎, т.е. таких 𝑥, что 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 .
Предел функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 → 𝑎 записывают как lim 𝑓(𝑥). Формально,
𝑥→𝑎
опр
lim 𝑓(𝑥) = 𝐴 ⇔ [ ∀𝜺 > 0 ∃𝛿 > 0: ∀𝑥: 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜺 ]
𝑥→𝑎
Смысл логических знаков в правой части таков:
∀ -- заменяет слова “для любого», «для всякого»
∃ -- заменяет слова “найдется», «существует»
⇒ -- заменяет слова “следует», «вытекает»
Односторонние пределы определяются аналогично. Число A называется пределом
функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 стремящемся к 𝑎 справа, если для любого положительного 𝜺
найдется δ =δ (𝜺 )>0 такое, что |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 для всех 𝑥 таких, что 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 .
Предел функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 → 𝑎 справа записывают как lim 𝑓(𝑥).
𝑥→𝑎+0
Число A называется пределом функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 стремящемся к 𝑎 слева (записываем
как lim 𝑓(𝑥)), если для любого положительного 𝜺 найдется δ =δ (𝜺 )>0 такое, что
𝑥→𝑎−0
|𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 для всех 𝑥 таких что 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎.
Предложение. Предел функции существует тогда и только тогда, когда существуют оба
односторонних предела, причем они совпадают.
Теперь приведем определение пределов на бесконечности. Число A называется
пределом функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 → +∞, если для любого положительного 𝜺 найдется C
такое, что |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 для всех 𝑥, таких, что 𝑥 > 𝐶. Предел функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 → +∞
записывают как 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞ 𝑓(𝑥).
Аналогично, число 𝐴 называется пределом функции 𝑓(𝑥) при 𝑥 → −∞ (𝐴 =
𝑙𝑖𝑚𝑥→ −∞ 𝑓(𝑥)), если для любого положительного 𝜺 найдется C такое, что |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀
для всех 𝑥, таких, что 𝑥 < 𝐶.
Функция 𝑓(𝑥) называется ограниченной в точке 𝑎, если найдется такая окрестность этой
точки и такая константа 𝑀, что |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀 для всех 𝑥 из этой окрестности.
Предложение. Функция, имеющая предел в точке 𝑎, ограничена в этой точке. Более того,
если 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴 ≠ 0, то 1/𝑓(𝑥) ограничена в точке a.
19
Доказательство. Если |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜺 для любых 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, то для любых 𝑥 из окрестности точки 𝑎 имеет место оценка
|𝑓(𝑥)| ≤ max{|𝐴| + 𝜺; |𝑓(𝑎)|}
Докажем второе утверждение. Полагаем 𝐴 > 0. Для 𝜺 =A/2 найдем δ такое, что |𝑓(𝑥) −
𝐴| < 𝜀 . Тогда 𝑓(𝑥) > 𝐴/2 и 0 ≤ 1/𝑓(𝑥) < 2/𝐴 для всех x из δ-окрестности точки 𝑎.
Аналогично разбирается случай A<0.□
Свойства пределов функций
LIM1. Константная функция имеет предел, равный этой же константе
Пусть существую пределы lim 𝑓(𝑥) = 𝐴 и lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐵. Тогда
𝑥→𝑎
LIM2. Предел суммы существует и равен сумме пределов: lim𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐴 + 𝐵.
LIM3. Предел произведения существует и равен произведению пределов: lim𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) ⋅
𝑔(𝑥)) = 𝐴𝐵. В частности, константу можно выносить за знак предела.
LIM4. Предел отношения существует и равен отношению пределов в том случае, когда
предел знаменателя отличен от 0.
Следующие свойства LIM5-LIM7 описывают предельный переход в неравенствах.
LIM5. Если 𝑓(𝑥) ≥ 0 при любом x из некоторой малой окрестности точки a, то и
lim 𝑓(𝑥) ≥ 0 (при условии существования предела). Аналогично свойство имеет место
𝑥→𝑎
для неравенства "≤ ".
Как следствие предыдущего свойства получаем монотонность предела:
LIM6. Предположим, что 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) для любого 𝑥 близкого к a. Тогда и 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑎 𝑓(𝑥) ≥
𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑎 𝑔(𝑥) при условии существования этих пределов.
Следующее свойство называется теоремой о пределе промежуточной функции
LIM7. Предположим, что 𝑓(𝑥) ≥ ℎ(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) для любого 𝑥 из некоторой проколотой
окрестности точки 𝑎. Предположим также, что пределы 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) и 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
существуют и совпадают между собой. Тогда и предел промежуточной функции ℎ(𝑥) при
𝑥 → 𝑎 существует и совпадает с пределами крайних функций.
LIM8. (предел сложной функции) Предположим, что


существует предел 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) равный 𝑏;
существует предел 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑏 𝑔(𝑡) = 𝐴.
Тогда существует предел сложной функции 𝑔(𝑓(𝑥)) при 𝑥 → 𝑎 и он равен A.
20
Доказательство. Фиксируем 𝜺 > 0. Находим 𝛿 > 0 такое, что |𝑔(𝑡) − 𝐴| < 𝜺 для любого
0 < |𝑡 − 𝑏| < 𝛿. Для этого 𝛿 находим 𝜏 > 0 такое, что как только 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜏, то
|𝑓(𝑥) − 𝑏| < 𝛿. Тогда и неравенство |𝑔(𝑓(𝑥)) − 𝐴| < 𝜺 также будет выполнено для
любого 𝑥, удовлетворяющего неравенствам 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜏. □
8 Тригонометрические функции
В этом параграфе определяются и изучаются тригонометрические функции
sin 𝑥 , cos 𝑥 , 𝑡𝑔 𝑥, 𝑐𝑡𝑔 𝑥
8.1 Длина кривой
Для определения тригонометрических функций нужно научиться измерять длину кривой.
Не формально говоря, представим кривую как жесткую проволоку, не допускающую
растяжения ни в какой точке. Распрямим эту проволоку и поместим получившийся
отрезок на числовую ось. Длина этого отрезка и будет длиной заданной кривой. Этой
процедуре можно придать строгий математический вид. Сначала нужно определить
длину ломаной, как сумму длин ее звеньев. Под ломаной 𝐴𝐵𝐶. . 𝐷 мы понимаем
конечную последовательность точек, последовательно соединенных отрезками прямых.
Эти отрезки 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, … и будут звеньями. Их суммарная длина есть длина ломаной. Пусть
теперь нам дана кривая 𝛾 с началом в точке 𝐴 и концом в точке 𝐵. Не исключается случай,
когда 𝐴 = 𝐵. Выберем последовательные точки 𝐴0 , 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 на кривой 𝛾 так, что 𝐴0 = 𝐴
и 𝐴𝑛 = 𝐵. Ломаную 𝐴0 𝐴1 … 𝐴𝑛 назовем вписанной в кривую 𝛾. Длиной кривой назовем
предел длин вписанных ломаных при условии, что длины всех звеньев стемяться к 0.
8.2 Длина дуги окружности
Пусть 𝛾𝑅 -- окружность радиуса 𝑅 с центром в точке 𝑂. Обозначим через с(𝑅) длину этой
окружности. Ясно, что длина окружности есть функция радиуса. Построим окружность 𝛾𝑘𝑅
с центром в той же точке 𝑂. Любую ломаную 𝐿𝑅 : 𝐴0 𝐴1 … 𝐴𝑛 (𝐴𝑛 = 𝐴0 ), вписанную в
первую окружность 𝛾𝑅 можно подвергнуть гомотетии с центром в точке 𝑂 и с
коэффициентом 𝑘. Мы получим ломаную 𝐿𝑘𝑅 : 𝐴′0 𝐴1′ … 𝐴′𝑛 длина которой равна 𝑘 ⋅
′
Длина(𝐿𝑅 ). Если длины всех звеньев 𝐴𝑗 𝐴𝑗+1 стремятся к 0, то и все |𝐴𝑗′ 𝐴𝑗+1
| = 𝑘|𝐴𝑗 𝐴𝑗+1 |
стемятся к 0. Тогда, переходя в равенстве Длина(𝐿𝑘𝑅 ) = 𝑘 ⋅ Длина(𝐿𝑅 ) к пределу,
получим 𝑐(𝑘𝑅) = 𝑘𝑐(𝑅). Иными словами:
Теорема. Длина окружности пропорциональна радиусу окружности. Обозначим
половину длины единичной окружности через 𝜋. Тогда
Длина окружности радиуса 𝑅 = 2𝜋𝑅
Число 𝜋 -- важнейшая мировая константа. Ее приближенное значение
𝜋 ≈ 3.14
21
8.3 Определение тригонометрических функций
Рассмотрим единичную окружность 𝛾: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1. Точку 𝐸(1; 0) условно назовем
началом этой окружности. Пусть задано неотрицательное число 𝑡. Отложим от начала 𝐸
дугу окружности 𝛾 длины 𝑡 в направлении вращении против часовой стрелки
(положительное направление вращения). Если 𝑡 > 2𝜋, то наша дуга займет всю
окружность и еще останется отложить дугу длиной 𝑡 − 2𝜋 в положительном направлении.
Если и 𝑡 − 2𝜋 > 2𝜋 (т.е 𝑡 > 4𝜋) то процедуру придется повторить. Но за конечное число
шагов мы придем в точку 𝑃𝑡 , лежащую на окружности 𝛾. Ясно, что 𝑃𝑡 = 𝑃𝑡+2𝜋 . Для
отрицательного числа 𝑡 следует откладывать дугу длиной |𝑡| = −𝑡 в отрицательном
направлении вращения, т.е. против часовой стрелки. Итак, для любого действительного
̆𝑡 отличается от 𝑡
числа 𝑡 мы получаем точку 𝑃𝑡 на окружности 𝛾, такую, что длина дуги 𝑂𝑃
на целое кратное 2𝜋. Точка 𝑃𝑡 имеет координаты (𝑥, 𝑦). Эти координаты есть функции от
𝑡. Первая из них, абсцисса, называется косинусом числа 𝑡, а вторая – синусом:
𝑥 = cos 𝑡 ; 𝑦 = sin 𝑡
Теорема Пифагора дает основное тригонометрическое тождество
cos 2 𝑡 + sin2 𝑡 = 1
Функции тангенс и котангенс определяются уже число алгебраически
𝑡𝑔 𝑡 =
sin 𝑡
cos 𝑡
; 𝑐𝑡𝑔 𝑡 =
cos 𝑡
sin 𝑡
Существует множество тригонометрических тождеств. Особенно нам потребуются
следующие:
sin 2𝑡 = 2 sin 𝑡 cos 𝑡 ; sin 𝑡1 − sin 𝑡2 = 2 sin
sin 𝑡 =
2𝑧
1 − 𝑧2
;
cos
𝑡
=
,
1 + 𝑧2
1 + 𝑧2
𝑡1 − 𝑡2
𝑡1 + 𝑡2
cos
;
2
2
где 𝑧 = 𝑡𝑔
𝑡
2
8.4 Первый замечательный предел
Составим теперь табличку значений функции
sin 𝑥
𝑥
при 𝑥 → 0. Так как sin 0 = 0, то мы
снова сталкиваемся с раскрытием неопределенности “0/0” .
𝑥
sin 𝑥
𝑥
0.1
0.998334
0.05
0.99958
0.01
0.999983
0.005
0.9999983
0.001
0.99999983
Мы видим, что значения функции приближаются к единице по мере того, как аргумент
стремится к нулю. Однако никакое алгебраическое преобразование нам не поможет
раскрыть эту неопределенность. Прибегая к оценкам площадей фигур и свойствам
предела, мы докажем, что
22
lim
𝑥→0
sin 𝑥
=1
𝑥
(1)
На рис. 𝑥 -- длина дуги 𝐴𝐵. Из рисунка видно,
что при 0 < 𝑥 ≤ 𝜋/2 имеют место неравенства
𝑆𝛥𝑂𝐴𝐵 ≤ 𝑆сек.𝑂𝐴𝐵 ≤ 𝑆𝛥𝑂𝐶𝐵
Но
𝑆𝛥𝑂𝐴𝐵 =
Отсюда получаем неравенства
sin 𝑥
2
>0, получим 1 ≤
𝑥
sin 𝑥
≤
sin 𝑥
2
1
cos 𝑥
≤
𝑥
2
≤
tg 𝑥
2
1 ⋅ sin 𝑥
𝑥
; 𝑆сек.𝑂𝐴𝐵 =
𝜋 ⋅ 12 ; 𝑆𝛥𝑂𝐶𝐵
2
2𝜋
1 ⋅ tg 𝑥
=
2
. Поделим все части этого неравенства на
. Обратим дроби и выводим 1 ≥
sin 𝑥
𝑥
≥ cos 𝑥. Отметим
также, что заодно мы доказали неравенство sin 𝑥 ≤ 𝑥 при 𝑥 ∈ [0, 𝜋 /2]. Так как функции
sin 𝑥
𝑥
и cos 𝑥 четные, то для любых ненулевых 𝑥 с модулем меньше π /2 имеют место
неравенства
1≥
sin 𝑥
≥ cos 𝑥 ;
𝑥
|sin 𝑥| ≤ |𝑥|
(2)
Тогда
0 ≤ 1 − cos 𝑥 = 2 sin2
𝑥
𝑥 2 𝑥2
≤ 2( ) =
2
2
2
-- стремится к 0, откуда lim cos 𝑥 = 1 . Левая часть двойного неравенства в (2) также имеет
𝑥→0
предел равный 1. По теореме о пределе промежуточной функции получаем требуемое
равенство.
9 Непрерывность функции
Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), определенная в окрестности точки 𝑎, называется
непрерывной в этой точке, если 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Функция непрерывна на отрезке
(интервале), если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).
Это определение можно переписать так: функция непрерывна в точке 𝑎, если
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑥),
т.е. когда две операции над переменной 𝑥 -- функция f и предельный переход
перестановочны.
23
Обозначим 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑎 -- приращение переменной и 𝛥𝑓 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) -- приращение
функции. Тогда определение непрерывности можно переписать и так: 𝑓 непрерывна в
точке a, если 𝑙𝑖𝑚𝛥𝑥→𝑎 𝛥𝑓 = 0.
Свойства непрерывных функций
Н1. Сумма непрерывных функций суть непрерывная функция
Н2. Произведение непрерывных функций суть непрерывная функция
Н3. Частное непрерывных функций суть непрерывная функция, во всех точках, где
знаменатель отличен от 0
Эти свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов
(см. LIM2-LIM4, ).
Н4. Подстановка непрерывной функции в непрерывную функцию есть непрерывная
функция
Это свойство следует из свойства LIM8 -- предел сложной функции.
Устойчивость знака непрерывной функции. Пусть 𝑓(𝑥) непрерывна в точке a и 𝑓(𝑎) > 0.
Тогда 𝑓(𝑥) > 0 для всех x достаточно близких к 𝑎.
Доказательство. Для 𝜺 = 𝑓(𝑎)/2 найдется 𝛿 такое, что как только |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, то
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝑓(𝑎)/2. Для этих значений 𝑥 имеем: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎) −
𝑓(𝑎)
2
> 0. □
Примеры непрерывных функций
1. Константа, а также тождественная функция 𝑦 = 𝑥 непрерывны.
Доказательство вытекает из LIM1.
2. Любой многочлен непрерывная функция.
Применяем Н1 и Н2 к тождественной функции
3. Рациональная функция, т.е. отношение двух многочленов, непрерывная функция в
точках не являющихся корнями знаменателя.
Применяем Н3 к многочленам.
4. Функция sin 𝑥 непрерывна.
Действительно, |sin 𝑥 − sin 𝑎| = 2| sin
𝑥−𝑎
2
| ⋅ | cos
𝑥+𝑎
2
|≤ 2|(𝑥 − 𝑎)/2| = |𝑥 − 𝑎|
Применяем неравенство |sin 𝑡| ≤ |𝑡|, полученное при выводе первого замечательного
предела.
24
10 Непрерывность на отрезке
Теорема Вейерштрасса. Функция 𝑓(𝑥), непрерывная на отрезке [𝑎, 𝑏], ограничена на
этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют
точки 𝑥𝑚𝑖𝑛 , 𝑥𝑚𝑎𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] такие, что
𝑓(𝑥𝑚𝑖𝑛 ) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥 )
для любого 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Для интервала аналогичное утверждение неверно -- см. пример неограниченной
функции tg x на интервале (-π /2,π /2).
Теорема Больцано-Коши. Пусть функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏] и в концах
отрезка принимает значения разных знаков. Тогда найдется точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что
f(c)=0.
Следствие. Пусть функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏]. Обозначим 𝑀 =
max{𝑓(𝑥) ∣ [𝑎, 𝑏]}, 𝑚 = min{𝑓(𝑥) ∣ [𝑎, 𝑏]}. Тогда для любого числа C лежащего между m и
M найдется точка 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] такая, что 𝑓(𝑐) = 𝐶.
Достаточно применить теорему Больцано-Коши к разности 𝑓(𝑥) − 𝐶 и отрезку
[𝑥𝑚𝑖𝑛 , 𝑥𝑚𝑎𝑥 ] вместо [𝑎, 𝑏].
Теорема [непрерывность обратной функции]. Если 𝑓(𝑥) непрерывно и строго монотонно
отображает отрезок [𝑎, 𝑏] в отрезок [𝑐, 𝑑] так, что 𝑓(𝑎) = 𝑐, 𝑓(𝑏) = 𝑑 (либо 𝑓(𝑎) =
𝑑, 𝑓(𝑏) = 𝑐 в случае убывающей функции), то обратная функция 𝑥 = 𝑔(𝑦)существует, и
она непрерывно и монотонно отображает отрезок [𝑐, 𝑑] на отрезок [𝑎, 𝑏].
Доказательство. Существование обратной функции, т.е. фактически свойство 𝑓([𝑎, 𝑏]) =
[𝑐, 𝑑], вытекает из следствия теоремы Больцано-Коши. Монотонность g ясна.
Пусть 𝑥0 = 𝑔(𝑦0 ) и 𝜺 >0. Предполагаем, что 𝑓 возрастает. Тогда
𝑓(𝑥0 − 𝜀 ) < 𝑓(𝑥0 ) = 𝑦0 < 𝑓(𝑥0 ) + 𝜀 .
Возьмем
𝛿 = min{𝑔(𝑓(𝑥0 ) + 𝜀 ) − 𝑦0 , 𝑦0 − 𝑔(𝑓(𝑥0 } − 𝜀 )} .
Тогда для 𝑦 ∈ (𝑦0 − 𝛿 , 𝑦0 + 𝛿 ) выполняется неравенство 𝑥0 − 𝜀 < 𝑔(𝑦) < 𝑥0 + 𝜀 . Это
влечет непрерывность функции g. □
Ранее мы уже определили корень арифметический n-ой степени из неотрицательного
числа. Однако существование корня мы можем обосновать только сейчас.
𝑛
Следствие. 𝑦 = √𝑥 -- непрерывная функция как обратная к непрерывной монотонной
функции 𝑥 = 𝑦 𝑛 .
25
11 Показательные и логарифмические функции
Ранее была определена степень с натуральным и отрицательным целым показателем, а
также арифметический корень n-ой степени. Напомним свойства степеней.

(основное свойство) 𝑎 𝑥1 +𝑥2 = 𝑎 𝑥1 ⋅ 𝑎 𝑥2 ;

𝑎 𝑥1 −𝑥2 = 𝑎𝑥2 , в частности 𝑎−𝑥 = 𝑎𝑥 ;

(𝑎 𝑥 )𝑘 = 𝑎𝑘𝑥 ;

(𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 , ( ) = 𝑥;
𝑏
𝑏

если 𝑎 > 1, то lim 𝑎 𝑥 = +∞ и lim 𝑎 𝑥 = 0; если же 0 < 𝑎 < 1, то lim 𝑎 𝑥 = 0 и
𝑎 𝑥1
1
𝑎 𝑥
𝑥→+∞
𝑎𝑥
𝑥→−∞
𝑥→+∞
lim 𝑎 𝑥 = +∞
𝑥→−∞
Эти свойства сначала доказываются для целых показателей, а затем для рациональных
показателей. Доказательства при этом чисто алгебраические, без использования предела
(кроме последнего свойства). В связи с последним свойством заметим, что можно
доопределить операции с бесконечностью, полагая для 𝑎 > 1
𝑎+∞ = +∞ ; 𝑎−∞ = 0.
а для 0 < 𝑎 < 1 наоборот. Но операция 1± ∞ остается неопределенной.
Лемма. Пусть 𝑎 > 1 и 𝑑 < 𝑎𝑞 < 𝑏. Тогда найдется Δ>0 такое, что
𝑑 < 𝑎𝑞−𝛥 < 𝑎𝑞 < 𝑎𝑞+𝛥 < 𝑏.
Доказательство сводим к неравенству 𝑎 𝛥 < 1 + 𝜀 для заданного положительного 𝜺 . При
достаточно большом натуральном n имеет место неравенство (1 + 𝜀 )𝑛 > 𝑎 по принципу
Архимеда. Следовательно, если взять Δ =1/n, то 𝑎 𝛥 < 1 + 𝜀 в силу монотонности корня.
Теорема. Для всякого положительного числа 𝑎 не равного единице, имеется
единственная непрерывная строго монотонная функция 𝑎 𝑥 , удовлетворяющая
𝑛
перечисленным выше свойствам и совпадающая с √𝑎𝑚 для рационального 𝑥 = 𝑚/𝑛.
Доказательство. Считаем 𝑎 > 1. Пусть x∈ ℝ . Определим
𝑎𝑥 =
lim
𝑞→𝑥,𝑞∈ℚ
𝑎𝑞 .
′
В силу леммы монотонность сохраняется: 𝑎𝑞 ≤ 𝑎 𝑥 < 𝑎𝑞 для любых рациональных 𝑞 ≤
𝑥 < 𝑞′. Отсюда следует непрерывность. Аналогично разбирается случай 0 < 𝑎 < 1.
Докажем первое свойство функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 . Пусть 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ . Выберем
последовательности 𝑢𝑛 , 𝑣𝑛 рациональных точек, сходящиеся к 𝑥1 и 𝑥2 соответственно
(например, приближения по недостатку бесконечных десятичных дробей 𝑥1 и 𝑥2 ). Далее
26
воспользуемся непрерывностью и свойством 1 в том случае, когда показатели
рациональны:
𝑎 𝑥1 +𝑥2 = lim 𝑎 𝑢𝑛+𝑣𝑛 = lim 𝑎𝑢𝑛 𝑎𝑣𝑛 = lim 𝑎 𝑢𝑛 ⋅ lim 𝑎𝑣𝑛 = 𝑎 𝑥1 ⋅ 𝑎 𝑥2 .
Второе и третье свойства следуют из первого. Четвертое свойство доказывается
аналогично первому.
Рис. Графики показательной и логарифмической функций
Функцию 𝑦 = 𝑎 𝑥 при 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 называют показательной. При 𝑎 > 1 она
возрастающая, а при 0 < 𝑎 < 1 -- убывающая. Функция 𝑎 𝑥 имеет обратную 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 по
теореме об обратной функции к непрерывной монотонной функции. Так мы приходим к
понятию логарифма. Пусть 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 и 𝑏 > 0. В этом случае 𝑐: = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 тогда и только
тогда, когда 𝑎𝑐 = 𝑏. Функция 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 называется логарифмической. Ее область
определения -- множество положительных чисел. График логарифмической функции
изображен на рисунке.
Свойства логарифмической функции следующие

(основное свойство) log a (𝑥1 ⋅ 𝑥2 ) = log a 𝑥1 + log a 𝑥2 ;

log a 𝑥1 = log a 𝑥1 − log a 𝑥2 ;

log a 𝑥 𝑘 = 𝑘 ⋅ log a 𝑥 , log ak 𝑥 = 𝑘 ⋅ log a 𝑥 (здесь x>0);

log a 𝑥 2 = 2 ⋅ log a |𝑥| (здесь x -- любое ненулевое число);

log a 𝑏 ⋅ log b 𝑐 = log a 𝑐, отсюда log b 𝑎 = log


log 1 = 0, log a 𝑎 = 1;
если 𝑎 > 1, то log a +∞ = +∞ и log a (0 + 0) = −∞; если же 0 < 𝑎 < 1, то
log a +∞ = −∞ и log a (0 + 0) = +∞.
𝑥
2
1
1
a𝑏
log 𝑐
и log b 𝑐 = log a 𝑏;
a
Эти свойства есть следствия свойств показательной функции. Если 𝑎 = 𝑒 -- основание
натуральных логарифмов, то полагают ln 𝑥 = log e 𝑥 и называют эту функцию
27
натуральным логарифмом. Также записывают exp(𝑥) = 𝑒 𝑥 и называют эту функцию
экспонентой.
12 Принцип непрерывности
Ранее мы определили и частично изучили степенные функции 𝑦 = 𝑥 𝑞 ,
тригонометрические sin 𝑥 , cos 𝑥 , 𝑡𝑔 𝑥, 𝑐𝑡𝑔 𝑥 , показательные 𝑎 𝑥 и логарифмические log a 𝑥.
Добавим сюда еще обратные тригонометрические функции
𝑥 = tg 𝑦
𝑥 = sin 𝑦
опр
𝜋 𝜋
𝜋
𝜋
arcsin 𝑥 = 𝑦 ⇔ {
; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑦 ⇔ {
𝑦 ∈ (− ; )
𝑦 ∈ [− ; ]
2 2
2 2
опр
Все перечисленные выше функции называются основными элементарными функциями.
Функция называется элементарной, если она может быть получена из основных
элементарных функций действиями сложения, вычитания, умножения, деления и
подстановкой функции в функцию. Так, например ln(𝑥 + √𝑥 2 + 1), exp(−𝑥 2 ), 𝑥 𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑥
-- элементарные функции. Однако существуют очень важные функции, не являющиеся
элементарными. Таковыми, например, являются функция ошибок и интегральный
синус.
𝑥
𝑥
𝑡2
sin 𝑡
∫ exp (− ) 𝑑𝑡 ; ∫
𝑑𝑡
2
𝑡
0
0
Теорема. Любая элементарная функция непрерывна на всей естественной области
определения.
Доказательство. Ранее доказана непрерывность многочленов, sin 𝑥, 𝑒 𝑥 . Непрерывность
𝜋
cos 𝑥 = sin ( 2 − 𝑥) следует из свойства Н4 (§ Непрерывность функции). Тогда и tg 𝑥, ctg 𝑥
-- непрерывные функции (там, где они определены), как частное двух непрерывных
функций (свойство Н3). Следовательно, arcsin 𝑥 , arctg 𝑥 непрерывны как обратные
функции к непрерывным монотонным функциям. В силу свойств непрерывных функций
Н1-Н4 и определения элементарной функции, получаем, что любая элементарная
функция непрерывна. □
28
Дифференциальное исчисление
функции одной переменной
13 Производная
Задача о мгновенной скорости. Рассмотрим материальное тело движущееся по оси Ох.
Предположим, что нам известен закон движения – функция 𝑥(𝑡), задающая координату
точки в момент времени 𝑡. Фиксируем какой-либо момент времени 𝑡0 . Поставим задачу
об определении и вычислении мгновенной скорости 𝑣мг (𝑡0 ) в момент времени 𝑡0 .
Придадим приращение Δ𝑡 времени и найдем соответствующее ему приращение
координаты Δ 𝑥 = 𝑥(𝑡0 + Δ 𝑡) − 𝑥(𝑡0 ) . Тогда отношение приращения координаты к
приращению времени задает среднюю скорость на временном участке [𝑡0 ; 𝑡0 + Δ𝑡] :
𝑣ср (𝑡0 , 𝑡0 + Δ 𝑡) =
Δ𝑥
Δ𝑡
(1)
Мгновенную скорость определим как предел средней скорости при Δ𝑡 → 0:
𝑣мг (𝑡0 ) = 𝑙𝑖𝑚Δ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
(2)
Пример. Закон падения тела с высоты без учета сопротивления воздуха задается как
𝑥(𝑡) =
𝑔𝑡 2
2
м
(𝑔 ≈ 9.8 сек2 -- ускорение свободного падения). Вычислим скорость тела после
3-х секунд падения:
𝑔(3 + Δ𝑡)2
32
−
𝑔
⋅
𝑔
9 + 6Δ𝑡 + Δ𝑡 2 − 9 𝑔
м
2
2
𝑣мг (3) = lim
= ⋅ lim
= ⋅ 6 = 3𝑔 ≈ 29,4
Δ𝑡→0
Δ𝑡
2 Δ𝑡→0
Δ𝑡
2
сек
Задача о касательной. Пусть на плоскости или в пространстве задана некоторая кривая γ
и точка P на ней. Требуется
секущая
определить понятие касательной к γ
в точке P. Выберем точку 𝑄 на
кривой 𝛾 , не совпадающую с точкой
𝑃. Проведем через точки 𝑃 и 𝑄
касательная
прямую ℓ𝑃𝑄 , называемую секущей.
Касательной в точке P к кривой γ
назовем предельное положение
секущих ℓ𝑃𝑄 , в случае, когда точка Q
приближается к точке P, оставаясь на
кривой γ. Пусть теперь γ -- график
Рис. 1 Касательная
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), и точка P имеет
координаты (𝑎, 𝑓(𝑎)). Рассмотрим
29
точку 𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥)) ∈ 𝛾 . Обозначим 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑎, 𝛥𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) и назовем эти величины
приращением аргумента и приращением функции соответственно. Тогда угловой
Δ𝑦
коэффициент секущей ℓ𝑃𝑄 будет равен Δ𝑥 и ее уравнение будет
𝑌 − 𝑓(𝑎) =
Δ𝑦
(𝑋 − 𝑎)
Δ𝑥
(3)
Если 𝛥𝑥 → 0, то 𝑄 → 𝑃, причем 𝑄 ∈ 𝛾 и секущая (3) переходит в касательную с угловым
коэффициентом
Δ𝑦
Δ𝑥→0 Δ𝑥
𝑘кас = lim
(4)
Пример. Найдем касательную к кубической параболе 𝑦 = 𝑥 3 в точке 𝑎 = 1. Имеем
𝑘кас
(1 + Δ𝑥)3 − 1
Δ𝑦
Δ𝑥((1 + Δ𝑥)2 + 1 + Δ𝑥 + 1)
= 𝑙𝑖𝑚 Δ𝑥→0
= lim
= lim
= 1+1+1
Δ𝑥→0
Δ𝑥 Δ𝑥→0
Δ𝑥
Δ𝑥
=3
Отсюда получаем ответ: 𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 1) или 𝑦 = 3𝑥 − 2 . Это и есть уравнение искомой
касательной.
Определение. Предел
Δ𝑦
Δ𝑥→0 Δ𝑥
𝑓 ′ (𝑎) = lim
(5)
называется производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑎. Функция 𝑓 называется
дифференцируемой на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого
интервала.
Можно определить правую производную в точке 𝑎, рассматривая в (5) правый предел
Δ𝑥 → 0 + 0. Такая производная обозначается 𝑓 ′ (𝑎 + 0). Аналогично определяется левая
производная 𝑓 ′ (𝑎 − 0). Производная 𝑓 ′ (𝑎) существует тогда и только тогда существуют и
совпадают между собой односторонние производные. Односторонние производные
удобно использовать, когда мы говорим о дифференцируемости функции 𝑓(𝑥) на отрезке
[𝑐, 𝑑]. Тогда подразумевается, что 𝑓(𝑥) имеет (двустороннюю) производную в каждой
внутренней точке 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑑), а также имеет односторонние производные 𝑓 ′ (𝑐 − 0) и
𝑓 ′ (𝑑 + 0).
Итак: механический смысл производной -- мгновенная скорость. Геометрический смысл
производной -- тангенс угла наклона касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке
(𝑎, 𝑓(𝑎)).
Уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке (𝑎, 𝑓(𝑎)) имеет вид:
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎)
а уравнение нормали имеет вид:
(6)
30
𝑦 − 𝑓(𝑎) = −
1
(𝑥 − 𝑎)
𝑓 ′ (𝑎)
(7)
в предположении 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0. Если же 𝑓 ′ (𝑎) = 0, то касательная горизонтальна и задается
уравнением 𝑦 = 𝑓(𝑎), а нормаль перпендикулярна оси Ох и задается уравнением 𝑥 = 𝑎.
Примеры. 1. (𝐶)′ = 0
2. (𝑥)′ = 1. Действительно, (𝑥)′ = lim
Δ𝑥
Δ𝑥→0 Δ𝑥
3. (𝑥 2 )′ = 2𝑥. Действительно, (𝑥 2 )′ = lim
= lim 1 = 1
(𝑥+Δ𝑥)2 −𝑥 2
Δ𝑥→0
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0
2𝑥Δ𝑥+Δ𝑥 2
Δ𝑥
= lim (2𝑥 + Δ𝑥) =
Δ𝑥→0
2𝑥
4. Функция 𝑦 = |𝑥| в нуле непрерывна, но не имеет производной. Правая производная в
нуле равна 1, а левая равна −1.
Предложение. Дифференцируемая функция непрерывна.
Действительно, из соотношения 𝑓 ′ (𝑎) = lim
бесконечно малую величину
Δ𝑦
Δ𝑦
вытекает, что Δ𝑥 отличается от 𝑓 ′ (𝑎) на
Δ𝑥→0 Δ𝑥
Δ𝑦
𝛼(Δ𝑥). Тогда Δ𝑥 = 𝑓 ′ (𝑎)
+ 𝛼(Δ𝑥) и
lim Δ𝑦 = lim (𝑓 ′ (𝑎)𝛥𝑥 + 𝛼(𝛥𝑥) ⋅ Δ𝑥) = 0.
Δ𝑥→0
Δ𝑥→0
Это и означает непрерывность функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑎. □
Заметим, что непрерывная функция не обязательно будет дифференцируемой, см. выше
пример функции 𝑦 = |𝑥| в точке 𝑎 = 0.
14 Основные правила дифференцирования.
Д1. Производная константной функции равна нулю: (C)'=0.
Д2. Производная суммы равна сумме производных: (𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓′ + 𝑔′.
Д3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (𝑓)′ =  𝑓′.
Д4. (правило Лейбница) (𝑓𝑔)′ = 𝑓′𝑔 + 𝑔′𝑓.
Доказательство. (𝑓𝑔)′ = lim
lim
Δ𝑥
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥+Δ𝑥)𝑔(𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+Δ𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
Δ𝑥
Δ𝑥→0
lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥+Δ𝑥)𝑔(𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥+Δ𝑥)−𝑔(𝑥)
Δ𝑥
=
= lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)
Δ𝑥
⋅ 𝑔(𝑥 + Δ𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅
= 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥)
Здесь мы применили правила предел суммы и предел произведения, а также заменили
lim 𝑔(𝑥 + Δ𝑥) на 𝑔(𝑥) в виду непрерывности функции 𝑔(𝑥) (см. предложение выше)
Δ𝑥→0
31
𝑓 ′
Д5. (𝑔) =
𝑓 ′ 𝑔−𝑔′ 𝑓
𝑔2
1 ′
; в частности (𝑔) =
−𝑔′
𝑔2
.
Докажем утверждение «в частности».
1 ′
1
1
1
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥 + Δ𝑥)
1
( ) = lim
(
−
) = lim
⋅ lim
Δ𝑥→0 Δ𝑥 𝑔(𝑥 + Δ𝑥)
Δ𝑥→0
Δ𝑥→0 𝑔(𝑥 + Δ𝑥)𝑔(𝑥)
𝑔
𝑔(𝑥)
Δ𝑥
′ (𝑥)
𝑔
=−
𝑔(𝑥)2
Общий случай следует из этого частного случая в виду правила Лейбница
𝑓 ′
1
1 ′
𝑓 ′ 𝑓𝑔′ (𝑓 ′ 𝑔 − 𝑔′ 𝑓)
′
( ) =𝑓 ⋅ +( ) ⋅𝑓 = − 2 =
𝑔
𝑔
𝑔
𝑔
𝑔
𝑔2
′
Д6. (производная сложной функции}) [𝑓(𝑔(𝑥))]𝑥 = 𝑓𝑢′ (𝑢) ⋅ 𝑢𝑥′
Обоснуем эту формулу. Придадим приращение Δ𝑥 переменной 𝑥. Тогда 𝑢(𝑥) получит
приращение Δ𝑢 = 𝑢(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑢(𝑥). Следовательно, 𝑓 получит приращение Δ𝑓 =
𝑓(𝑢 + Δ𝑢) − 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑢(𝑥 + Δ𝑥)) − 𝑓(𝑢(𝑥)). Далее:
′
Δ𝑓
Δ𝑓 Δ𝑢
Δ𝑓
Δ𝑢
Δ𝑓
Δ𝑢
= lim
⋅
= lim
⋅ lim
= lim
⋅ lim
= 𝑓𝑢′ (𝑢) ⋅ 𝑢𝑥′
Δ𝑥→0 Δ𝑥
Δ𝑥→0 Δ𝑢 Δ𝑥
Δ𝑥→0 Δ𝑢 Δ𝑥→0 Δ𝑥
Δ𝑢→0 Δ𝑢 Δ𝑥→0 Δ𝑥
[𝑓(𝑔(𝑥))]𝑥 = lim
Замена Δ𝑥 → 0 на Δ𝑢 → 0 возможна в силу непрерывности дифференцируемой функции
𝑢(𝑥).
Д7. ( производная обратной функции}) Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑥 = 𝑔(𝑦) -- две взаимно
1
обратные функции. Тогда 𝑦𝑥′ = 𝑥 ′ .
𝑦
Действительно, из 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑦)) дифференцированием по 𝑦 следует соотношение 1 = 𝑓𝑥′ ⋅
𝑔𝑦′ = 𝑦𝑥′ ⋅ 𝑥𝑦′ , откуда получаем результат.
Таблица производных
Функция
Производная
𝑥𝛼
𝛼𝑥 𝛼−1
Функция
Производная
𝑡𝑔 𝑥
1
cos 2 𝑥
Здесь sh 𝑥 =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
𝑥2
2𝑥
𝑥
1
𝑐𝑡𝑔 𝑥
1
− 2
sin 𝑥
; ch 𝑥 =
Вычислим производную синуса:
√𝑥
1/2√𝑥
arcsin 𝑥
1
arccos 𝑥
−1
√1 − 𝑥 2
√1 − 𝑥 2
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
1/𝑥
−1/𝑥 2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
1
1 + 𝑥2
ln 𝑥
1/𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥
−1
1 + 𝑥2
sin 𝑥
cos 𝑥
𝑠ℎ 𝑥
𝑐ℎ 𝑥
cos 𝑥
− sin 𝑥
𝑐ℎ 𝑥
𝑠ℎ 𝑥
-- гиперболические синус и косинус соответственно.
32
x + Δ𝑥 − 𝑥
𝑥 + Δ𝑥 + 𝑥
2 sin
⋅ cos
sin(𝑥
+
Δ𝑥)
−
sin
𝑥
2
2
(sin 𝑥)′ = lim
= lim
Δ𝑥→0
Δ𝑥→0
Δ𝑥
Δ𝑥
Δ𝑥
Δ𝑥
2
⋅ cos (𝑥 + 2 )
= lim 2
= cos 𝑥
Δ𝑥→0
Δ𝑥
Здесь мы воспользовались эквивалентностью sin
Δ𝑥
2
~
Δ𝑥
2
а также непрерывностью
функции cos 𝑥. Вычислим производную косинуса:
′
𝜋
𝜋
𝜋
(cos 𝑥)′ = (sin ( − 𝑥) ) = cos ( − 𝑥) ⋅ (0 − 1) = − cos ( − 𝑥) = − sin 𝑥
2
2
2
Здесь мы воспользовались формулой производная сложной функции, введя
𝜋
промежуточный аргумент 𝑢 = − 𝑥 и учитывая (sin 𝑢)′𝑢 = cos 𝑢, а 𝑢𝑥′ = 0 − 1 = −1.
2
Производная тангенса:
sin 𝑥 ′ (sin 𝑥)′ cos 𝑥 − (cos 𝑥)′ sin 𝑥 cos2 𝑥 + sin2 𝑥
1
(tg 𝑥) = (
) =
=
=
2
2
cos 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
cos 2 𝑥
′
Производная экспоненты:
𝑒 𝑥+Δ𝑥 − 𝑒 𝑥
𝑒 Δ𝑥 − 1
= 𝑒 𝑥 ⋅ lim
= 𝑒𝑥 ⋅ 1 = 𝑒𝑥
Δ𝑥→0
Δ𝑥→0
Δ𝑥
Δ𝑥
(𝑒 𝑥 )′ = lim
Производная логарифма 𝑦 = ln 𝑥 считается с применением правила «производная
обратной функции»
(ln 𝑥)′ =
1
(𝑒 𝑦 )′𝑦
=
1
1
=
𝑒𝑦 𝑥
15 Другие приемы дифференцирования
15.1 Неявно заданные функции.
Пусть для уравнения
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0
(1)
и отрезков [𝑎, 𝑏], [𝑐, 𝑑] верно следующее: для любого 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] найдется единственное
значение 𝑦𝑥 ∈ [𝑐, 𝑑] (зависящее от x) такое, что 𝐹(𝑥, 𝑦𝑥 ) = 0. Тогда получаем закон 𝑓 в
силу которого любому 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ставится в соответствие число 𝑦𝑥 = 𝑓(𝑥) такое, что
𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0. В этом случае 𝑓(𝑥) -- функция, заданная неявно уравнением (1) в
прямоугольнике [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑].
Пример. Соотнoшение 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 в области 𝑦 ≥ 0 задает функцию 𝑦 = √1 − 𝑥 2 , а в
области 𝑦 ≤ 0 -- функцию 𝑦 = −√1 − 𝑥 2 .
33
Метод дифференцирования неявно заданных функций.
1. Дифференцируем (1) по 𝑥, считая 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцией аргумента x.
2. Из полученного соотношения выражаем 𝑦𝑥′ через y и x. Пусть результат будет 𝑦 ′ =
𝑔(𝑥, 𝑦)
3. Если даны координаты (𝑥0 , 𝑦0 ) такие, что 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ), то 𝑦′(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 ).
Пример. Найдем производную функции, заданной неявно соотношением 𝑥 3 + 𝑦 3 = 2𝑥𝑦
в окрестности точки (1; 1). Дифференцируем данное отношение по 𝑥, получим: 3𝑥 2 +
2𝑦−3𝑥 2
3𝑦 2 𝑦 ′ = 2𝑦 + 2𝑥𝑦′. Отсюда находим 𝑦 ′ = 3𝑦 2 −2𝑥. В точке 𝑃(1; 1) эта производная равна −
1 и уравнение касательной будет иметь вид 𝑦 = 1 − 1(𝑥 − 1) = −𝑥 + 2
15.2 Параметрически заданные функции
Пусть
𝑥 = 𝑥(𝑡); 𝑦 = 𝑦(𝑡),
𝛼<𝑡<𝛽
-- кривая на плоскости, заданная параметрически. Предположим, что для любого 𝑥 ∈
[𝑎, 𝑏] найдется единственное значение параметра 𝑡𝑥 ∈ [𝛼𝑎 , 𝛽𝑏 ] ⊆ (𝛼, 𝛽) такое, что 𝑥 =
𝑥(𝑡𝑥 ). Тогда 𝑦 = 𝑦(𝑡𝑥 ) называется функцией, заданной параметрически.
Пример. Соотношения
𝑥 = 3 cos 𝑡 ; 𝑦 = 2 sin 𝑡 ,
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
(∗)
задают эллипс с полуосями 3 и 2. Для любого x∈ [0,3] найдется единственное число 𝑡𝑥 ∈
𝑥
[0, 𝜋/2], а именно 𝑡𝑥 = arccos 𝑥/3 такое, что 𝑥 = 3 cos 𝑡𝑥 . Тогда 𝑦 = 2 sin(arccos 3 ) -функция, заданная параметрически соотношением (*), и которую в данном случае мы
𝑥 2
записали как элементарную функцию (другая запись той же функции -- 𝑦 = 2√1 − (3) ).
Имеет место следующая формула, для производной функции, заданной параметрически:
𝑦𝑥′ =
𝑦𝑡′
𝑥𝑡′
Действительно, дифференцируя 𝑦 = 𝑦(𝑡𝑥 ) по 𝑥 как сложную функцию с промежуточным
аргументом 𝑡, получаем 𝑦𝑥′ = 𝑦𝑡′ ⋅ (𝑡𝑥 )′𝑥 . Но (𝑡𝑥 )′𝑥 = 1/𝑥𝑡′ согласно правила
𝑦′
дифференцирования обратной функции. Подставляя, получим 𝑦𝑥′ = 𝑥𝑡′ , что и требовалось
𝑡
доказать.□
Пример. Найдем касательную к эллипсу 𝑥 = 3 cos 𝑡 , 𝑦 = 2 sin 𝑡 при 𝑡 = 𝜋/4. Значения
𝜋
𝜋
функций 𝑥 (4 ) = 3/√2; 𝑦 (4 ) = √2
34
𝑦𝑥′ =
2 cos 𝑡
2
2
3
2
/𝑡=𝜋 = − ⇒ 𝑦 = √2 − (𝑥 − ) ⇒ 𝑦 = − 𝑥 + 2√2
−3 sin 𝑡
3
3
3
4
√2
15.3 Логарифмическая производная
Пусть задана дифференцируемая функция 𝑦 = 𝑓(𝑥). Тогда (ln 𝑦)′𝑥 =
𝑦′
𝑦
называют
логарифмической производной этой функции. Ясно, что 𝑦′ = 𝑦(ln 𝑦)′. Иногда бывает
проще сначала найти логарифмическую производную.
Пример. Найдем производную функции 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 . Сначала найдем логарифмическую
производную этой функции –
(ln 𝑦)′ = (sin 𝑥 ln 𝑥)′ = cos 𝑥 ln 𝑥 −
sin 𝑥
.
𝑥
Отюда следует
𝑦′ = 𝑦 (cos 𝑥 ln 𝑥 −
sin 𝑥
sin 𝑥
) = 𝑥 sin 𝑥 (cos 𝑥 ln 𝑥 −
)
𝑥
𝑥
Теперь найдем производную функции 𝑦 =
(𝑥+1)2 √𝑥−1
(𝑥+4)3 𝑒 𝑥
:
1
𝑦′ = 𝑦(ln 𝑦)′ = 𝑦(2 ln(𝑥 + 1) + ln(𝑥 − 1) − 3 ln(𝑥 + 4) − 𝑥)′
2
2
1
3
= 𝑦(
+
−
− 1)
𝑥 + 1 2𝑥 − 2 𝑥 + 4
16 Теорема Лагранжа
16.1 Минимумы и максимумы
Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена в окрестности точки 𝑎. Точка 𝑎 называется точкой
локального максимума, если 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) для всех 𝑥 из достаточно малой окрестности
точки 𝑎. Если выполняется неравенство 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) для всех 𝑥 из достаточно малой
окрестности точки 𝑎, то a называется точкой локального минимума. Точка локального
минимума или локального максимума называется точкой локального экстремума.
Точек локального экстремума на заданном отрезке может быть сколь угодно много (в
частности, бесконечно много). Значений
в этих точках может быть также сколь
max
угодно много. Но наибольшее
(наименьшее) значение функции на
max
заданном множестве может быть только
одно. Каждая точка интервала, в
которой достигается наибольшее
значение (наименьшее значение) на
Рис. 3 Максимумы и минимумы
35
этом интервале автоматически будет точкой локального максимума (локального
минимума), но обратное неверно (см. рис.).
Теорема Ферма; необходимое условие экстремума. Пусть 𝑎 - точка локального
экстремума функции 𝑓(𝑥), причем эта функция определена в окрестности точки 𝑎 и имеет
в этой точке производную. Тогда 𝑓′(𝑎) = 0.
Доказательство. Предположим, что 𝑎 -- точка локального максимума. Тогда для 𝑥 > 𝑎
𝛥𝑓
имеем 𝛥 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 > 0 и 𝛥𝑥 ≤ 0. Следовательно, 𝑙𝑖𝑚𝑥→
𝛥𝑓
𝑎+0 𝛥𝑥
≤ 0. Но этот правый
предел совпадает с двусторонним пределом. Отсюда 𝑓′(𝑎) ≤ 0. Аналогично,
рассматривая левый предел, т.е. налагая условие 𝑥 < 𝑎, получим, что 𝑓′(𝑎) ≥ 0. Из
последних двух неравенств следует равенство 𝑓′(𝑎) = 0. □
Теорема Ролля. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏] и
дифференцируема на интервале (𝑎, 𝑏), а в концах отрезка [𝑎, 𝑏] принимает одинаковое
значение. Тогда найдется точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что 𝑓′(𝑐) = 0.
Доказательство. Пусть 𝑥𝑚𝑖𝑛 , 𝑥𝑚𝑎𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] -- точки в которых функция 𝑓(𝑥) достигает своих
наименьшего и наибольшего значений (теорема Вейерштрасса). Если 𝑥𝑚𝑖𝑛 не является
концевой точкой отрезка [𝑎, 𝑏], то 𝑐 = 𝑥𝑚𝑖𝑛 -- искомая точка по теореме Ферма.
Аналогично рассуждаем в случае, когда 𝑥𝑚𝑎𝑥 не является концевой точкой. Итак, осталось
разобрать случай, когда обе точки 𝑥𝑚𝑖𝑛 , 𝑥𝑚𝑎𝑥 -- концевые. Тогда 𝑓(𝑥𝑚𝑖𝑛 ) = 𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥 ) =
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), и поэтому функция 𝑓(𝑥) постоянна на отрезке [𝑎, 𝑏], ибо любое значение
𝑓(𝑥) лежит между 𝑓(𝑥𝑚𝑖𝑛 ) и 𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥 ). В этом случае в качестве c можно взять любую
точку интервала (𝑎, 𝑏). □
Механический смысл теоремы Ролля: если материальная точка, двигаясь на оси,
возвратилась в исходную точку, то найдется момент времени, в котором ее мгновенная
скорость была равна нулю. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что
если концы гладкой кривой лежат на одном и том же уровне относительно некоторой
прямой, то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна заданной
прямой.
Теорема Лагранжа. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏] и
дифференцируема на интервале (𝑎, 𝑏). Тогда найдется точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎)
или
𝑓 ′ (𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
36
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
и
применим к ней теорему Ролля. Это можно сделать, так как 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏) = 0. Тогда
получаем точку 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] с условием 𝑔′(𝑐) = 0, т.е.
𝑓 ′ (𝑐) − 0 −
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
= 0, откуда 𝑓 ′ (𝑐) =
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
Механический смысл теоремы Лагранжа: -- если материальная точка движется на оси
некоторый конечный отрезок времени, то найдется промежуточный момент времени, в
котором ее мгновенная скорость была равна средней скорости. Геометрический смысл
теоремы Лагранжа состоит в том, что если через концы гладкой кривой провести
секущую ℓ , то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна прямой
ℓ.
Обобщим теорему Лагранжа
Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏] и
дифференцируема на интервале (a,b), причем g'(x)≠ 0 для любой точки 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Тогда
найдется точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) такая, что
𝑓 ′ (𝑐) 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
=
𝑔′ (𝑐) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
Доказательство такое же как и у теоремы Лагранжа, но следует взять вспомогательную
функцию ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
.
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)
17 Правило Лопиталя
Теорема. Пусть функции 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) дифференцируемы в окрестности точки 𝑎 и 𝑓(𝑎) =
𝑔(𝑎) = 0. Предположим также, что 𝑔′(𝑥) ≠ 0 в некоторой достаточно малой проколотой
окрестности точки 𝑎. Если существует предел отношения производных 𝑓′(𝑥)/𝑔′(𝑥) при
𝑥 → 𝑎, то существует предел отношения функций, и эти два предела совпадают:
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑓 ′ (𝑥)
𝑓(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
′
𝑔 (𝑥)
𝑔(𝑥)
(1)
Доказательство. Имеем
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑓 ′ (𝑐 )
𝑓 ′ (𝑥)
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑐𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑥)
𝑥
Здесь мы применили теорему Коши к отрезку [𝑎, 𝑥] и нашли точку 𝑐𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥).□
Правило Лопиталя для бесконечности. Пусть функции 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) дифференцируемы для
всех достаточно больших 𝑥. Предположим также, что 𝑔′(𝑥) ≠ 0 для всех достаточно
больших 𝑥. Если 𝑓(+∞) = 𝑔(+∞) = 0 и существует предел отношения производных
37
𝑓′(𝑥)/𝑔′(𝑥) при 𝑥 → +∞ , то существует предел отношения функций и эти два предела
совпадают:
𝑓 ′ (𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞ ′
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑔 (𝑥)
𝑔(𝑥)
(2)
Аналогичный результат имеет место и для -∞ .
Замена 𝑡 = 1/𝑥 сводит доказательство к случаю a=0 правила Лопиталя.
Правило Лопиталя для неопределенности ∞/∞ . Пусть функции 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)
дифференцируемы для всех достаточно больших 𝑥. Предположим также, что 𝑔′(𝑥) ≠ 0
для всех достаточно больших x. Если 𝑓(+∞) = ±∞; 𝑔(+∞) = ±∞ и существует предел
отношения производных 𝑓′(𝑥)/𝑔′(𝑥) при x→ +∞ , то существует предел отношения
функций и эти два предела совпадают (см (2)).
Аналогичный результат имеет место и для -∞ .
Замена дроби f/g на (1/g)/(1/f) сводит доказательство к предыдущему случаю.
Пример.
𝑒𝑥 − 1 − 𝑥
𝑒𝑥 − 0 − 1
𝑒𝑥 1
=
lim
=
lim
= .
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0 2
𝑥2
2𝑥
2
lim
17.1 Сравнение степени возрастания показательных, степенных и
логарифмических функций.
Для любого 𝑎 > 1 и для любого натурального n имеет место соотношение
𝑥𝑛
lim
=0
𝑥→+∞ 𝑎 𝑥
а также соотношение
ln𝑛 𝑥
=0
𝑥→+∞ 𝑥
lim
Для доказательства этих соотношений следует применить правило Лопиталя достаточно
количество раз. Эти соотношения обобщаются на случай, когда 𝑛 -- любое
действительное число.
Пример. lim
ln 𝑥
𝑥→+∞ 𝑥
= lim
1
𝑥
𝑥→+∞ 1
1
=∞=0
18 Формула Тейлора
Ставится задача приблизить (аппроксимировать) функцию 𝑓(𝑥) в окрестности точки 𝑎
многочленом степени n. Для n=1 мы уже нашли решение: 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎).
38
Удобно точкой отсчета считать нулевую точку, т.е. от координат (𝑥, 𝑦) мы переходим к
приращениям Δ𝑥 ≔ 𝑥 − 𝑎 и Δ𝑦 = 𝑓(𝑎 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑎). Ряд
Δ𝑥; Δ𝑥 2 ; Δ𝑥 3 ; …
представляется из себя семейство бесконечно малых величин, каждая последующая из
которых есть б.м. большего порядка, чем предыдущая. Поставим задачу о разложении
вида
Δ𝑦 = 𝐴1 Δ𝑥 + 𝐴2 Δ𝑥 2 + ⋯ + 𝐴𝑛 Δ𝑥 𝑛 + 𝑅𝑛 ,
(1)
где остаточный член 𝑅𝑛 есть б.м. высшего порядка по сравнению с Δ𝑥 𝑛 . Деля (1) на Δ𝑥 и
устремляя Δ𝑥 → 0 получаем 𝐴1 = 𝑓 ′ (𝑎). Найдем другие коэффициенты в этом
разложении:
Локальная формула Тейлора. Пусть функция 𝑓(𝑥) дифференцируема в окрестности точки
𝑎 n раз, и n-ая производная непрерывна в точке 𝑎. Тогда
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
𝑓 ′′ (𝑎)
𝑓 (𝑛) (𝑎)
(𝑥 − 𝑎)2 +. . . +
(𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑜((𝑥 − 𝑎)𝑛 )
2!
𝑛!
Доказательство. Применяем n раз правило Лопиталя к вычислению предела отношения
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)−𝑓 ′ (𝑎)(𝑥−𝑎)−⋯ −
𝑓(𝑛) (𝑎)
(𝑥−𝑎)𝑛
𝑛!
(𝑥−𝑎)𝑛
и доказываем, что этот предел равен 0.□
В условиях теоремы функция 𝑓(𝑥) раскладывается в окрестности точки a в сумму
многочлена степени ≤ n от переменной 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑎 и остаточного члена 𝑅𝑛 (𝛥𝑥), про
который известно, что он есть величина бесконечно малая высшего порядка по
сравнению с 𝛥𝑥 𝑛 .
Функция 𝑓 ′ (𝑎)Δ𝑥 линейна по переменной Δ𝑥, она называется дифференциалом 𝑓(𝑥) в
точке 𝑎 и обозначается 𝑑𝑓(𝑥 = 𝑎). Легко видеть, что 𝑑𝑥 = Δ𝑥. Мы получаем
«симметричный» вид дифференциала вычисленный в произвольной точке𝑥:
𝑑𝑓 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 или 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
Отсюда получаем, что производная равна отношению дифференциалов: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥
Аналогично, функция 𝑓 (𝑘) (𝑎)Δ𝑥 𝑘 называется дифференциалом k-го порядка и
обозначается 𝑑𝑘 𝑓. Ее симметричный вид есть 𝑑 𝑘 𝑓 = 𝑓 (𝑘) (𝑥)𝑑𝑥 𝑘 . Тогда локальная
формула Тейлора в дифференциалах принимает вид:
Δ𝑓 = 𝑑𝑓 +
Уточним вид остаточного члена
𝑑2𝑓 𝑑3𝑓
𝑑𝑛 𝑓
+
+⋯+
+ 𝑜(𝑑𝑥 𝑛 )
2!
3!
𝑛!
39
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пусть функция
𝑓(𝑥) дифференцируема в окрестности точки 𝑎 n+1 раз. Тогда для всех 𝑥 достаточно
близких к 𝑎 найдется точка 𝑐𝑥 ∈ (𝑥, 𝑎) такая, что
𝑅𝑛 (𝛥𝑥) =
𝑓 (𝑛+1) (𝑐𝑥 ) 𝑛+1
𝛥𝑥
(𝑛 + 1)!
В частности, если
max{|𝑓 (𝑛+1) (𝑐)| ∣ 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑥]} ≤ 𝑀,
то имеет место следующая оценка остаточного члена:
𝑅𝑛 (𝛥𝑥) ≤ 𝑀 ⋅ |𝛥𝑥|𝑛+1
Частный случай формулы Тейлора -- формула Маклорена получается при 𝑎 = 0. Тогда
при наличии n+1 производной в окрестности нуля, для каждого достаточно малого 𝑥
найдется 𝑐𝑥 ∈ (0, 𝑥) такой, что
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +
𝑓 ′′ (0) 2
𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑓 (𝑛+1) (𝑐𝑥 ) 𝑛+1
𝑥 +. . . +
𝑥 +
𝑥
(𝑛 + 1)!
2!
𝑛!
19 Разложение элементарных функций по формуле Маклорена
19.1 Разложение экспоненты
Для всех x∈ ℝ имеет место разложение
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +
где |𝑅𝑛 (𝑥)| ≤
𝑥2 𝑥3
𝑥𝑛
+ +. . . + + 𝑅𝑛 (𝑥),
2! 3!
𝑛!
max{𝑒 𝑥 ,1}
|𝑥|𝑛+1 .
(𝑛+1)!
Например, если 𝑥 = 1/2, то
1
1 7
2
1
1
√𝑒
|𝑅6 ( )| ≤
( ) ≤
=
≤ ⋅ 10−5
7
(6 + 1)! 2
2
7! ⋅ 2
5040 ⋅ 64 3
1
1
1
1
1
1
Тем самым √𝑒 ≈ 1 + 2 + 4⋅ 2! + 8⋅ 3! + 16⋅4! + 32⋅5! + 64⋅ 6! c точностью 1/3 ⋅ 10−5 .
19.2 Разложение синуса и косинуса
Для всех 𝑥 ∈ ℝ имеет место разложение
sin 𝑥 = 𝑥 −
где
(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1
𝑥3 𝑥5
+ +⋯ +
+ 𝑅2𝑛+2 (𝑥),
(2𝑛 + 1)!
3! 5!
40
|𝑥|2𝑛+3
|𝑅2𝑛+2 (𝑥)| ≤
.
(2𝑛 + 3)!
Для всех 𝑥 ∈ ℝ имеет место разложение
cos 𝑥 = 1 −
(−1)𝑛 𝑥 2𝑛
𝑥2 𝑥4
+ +⋯ +
+ 𝑅2𝑛+1 (𝑥),
(2𝑛)!
2! 4!
где
|𝑥|2𝑛+2
|𝑅2𝑛+1 (𝑥)| ≤
.
(2𝑛 + 2)!
19.3 Бином Ньютона
Для каждого действительного числа α и для каждого 𝑘 ∈ ℕ определим биномиальный
коэффициент
𝐶𝛼𝑘 =
𝛼 (𝛼 − 1). . . (𝛼 − 𝑘 + 1)
𝑘!
По определению полагаем также, что 𝐶𝛼0 = 1. Имеем:
𝐶𝛼1 = 𝛼 , 𝐶𝛼2 =
𝛼 (𝛼 − 1)
,
2
𝐶𝛼3 =
𝛼 (𝛼 − 1)(𝛼 − 2)
,...
2⋅3
Теорема. Для любого действительного α и для любого 𝑥 ∈ (−1,1) имеет место
разложение
(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝛼 𝑥 + 𝐶𝛼2 𝑥 2 + 𝐶𝛼3 𝑥 3 + ⋯ + 𝐶𝛼𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑅𝑛 (𝑥),
(5)
причем
|𝑅𝑛 (𝑥)| ≤ |𝐶𝛼𝑛+1 | ⋅ |𝑥|𝑛+1 ⋅ max{1, |𝑥|𝛼 −𝑛−1 }
Рассмотрим частные случаи формулы (5).
Случай α =m -- натуральное число. Тогда 𝑅𝑚 (𝑥) = 0 и мы получаем бином Ньютона
𝑚
𝑚(𝑚 − 1) 2 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2) 3
𝑘 𝑘
(1 + 𝑥) = 1 + 𝑚𝑥 +
𝑥 +
𝑥 + ⋯ + 𝑥 𝑚 = ∑ 𝐶𝑚
𝑥
2!
3!
𝑚
𝑘=0
𝑘
Случай 𝛼 = −1. Тогда нетрудно вывести, что 𝐶−1
= (−1)𝑘 . Поэтому
1
= 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑅𝑛 (𝑥),
1+𝑥
где
(8)
41
(−𝑥)𝑛+1
𝑅𝑛 (𝑥) =
1+𝑥
19.4 Разложение логарифма
Из (8) или непосредственно нетрудно получить
ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥2 𝑥3
+ −⋯+
2
3
(−1)𝑛+1
𝑥𝑛
+ 𝑅𝑛 (𝑥),
𝑛
где
|𝑅𝑛 (𝑥)| ≤
𝑥 𝑛+1
1
⋅ max {1,
}.
(1 + 𝑥)𝑛+1
𝑛+1
20 Экстремумы. Монотонность.
Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется возрастающей (убывающей) на множестве
X, если для любых 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 таких, что 𝑥1 ≤ 𝑥2 следует неравенство 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )
(𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 )). Возрастающая или убывающая функция называется монотонной.
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется строго возрастающей (строго убывающей) на множестве X,
если для любых 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 таких, что 𝑥1 < 𝑥2 следует неравенство 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
(𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )). Строго возрастающая или строго убывающая функция называется строго
монотонной.
Теорема. Пусть 𝑓(𝑥) дифференцируема на интервале (𝑎, 𝑏), и 𝑓′(𝑥) ≥ 0 (𝑓′(𝑥) ≤ 0) для
любой точки 𝑥 этого интервала. Тогда 𝑓(𝑥) возрастает (убывает) на (𝑎, 𝑏). Верно и
обратное утверждение.
Доказательство. Если 𝑥1 < 𝑥2 , то по теореме Лагранжа найдется 𝑐 ∈ (𝑥1 , 𝑥2 ) ⊂ (𝑎, 𝑏)
такая, что 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓′(𝑐)(𝑥2 − 𝑥1 ). В силу того, что 𝑓′(𝑐) ≥ 0 и 𝑥2 − 𝑥1 > 0 имеем:
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) ≥ 0, т.е. 𝑓(𝑥2 ) ≥ 𝑓(𝑥1 ).
Точка 𝑎 называется критической точкой функции 𝑓(𝑥), если производная 𝑓′(𝑎)
существует и равна 0. Необходимое условие экстремума может быть сформулировано
так: для дифференцируемой функции любая точка локального экстремума является
критической. Обратное утверждение неверно как показывает пример кубической
параболы 𝑦 = 𝑥 3 , которая в нуле имеет нулевую производную, т.е. 0 - критическая точка,
но эта точка не является экстремальной.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть 𝑓(𝑥) дифференцируема в окрестности
точки a и производная 𝑓′(𝑥) при переходе через точку a меняет знак. Тогда 𝑎 -- точка
экстремума. При этом 𝑎 -- локальный максимум, если смена знака производной
происходит с плюса на минус и 𝑎 -- локальный минимум, если знак меняется с минуса на
плюс.
42
Доказательство -- следствие теоремы.
Второе достаточное условие экстремума. Пусть 𝑎 -- критическая точка дважды
непрерывно дифференцируемой функции 𝑓(𝑥). Если 𝑓′′(𝑎) > 0, то 𝑎 -- локальный
минимум. Если же 𝑓′′(𝑎) < 0, то 𝑎 -- локальный максимум.
Доказательство. Если 𝑓′′(𝑎) > 0, то 𝑓′′(𝑥) > 0 в некоторой достаточно малой окрестности
точки a (пользуемся непрерывностью второй производной). Тогда по теореме
производная 𝑓′(𝑥) возрастает в этой окрестности. С учетом равенства 𝑓′(𝑎) = 0 это
значит, в частности, что 𝑓′(𝑥) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку 𝑎.
Первое достаточное условие экстремума тогда влечет, что 𝑎 -- локальный минимум.
Второй случай разбирается аналогично. □
Пусть функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏] и дифференцируема на интервале
(𝑎, 𝑏). Поставим задачу о вычислении наибольшего и наименьшего значения функции
𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏]. Напомним, что они существуют согласно теореме Вейерштрасса.
Теорема. Пусть 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , . .. -- все критические точки функции 𝑓(𝑥) на интервале (𝑎, 𝑏).
Тогда
𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]} = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 ), 𝑓(𝑥3 ), . . . } (1)
и
min{𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]} = min {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 ), 𝑓(𝑥3 ), . . . }
Доказательство. Пусть в точке 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] функция 𝑓(𝑥) достигает наибольшего значения
(см. теорему Вейерштрасса). Если 𝑐 ≠ 𝑎 и 𝑐 ≠ 𝑏, т.е. 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), то 𝑓′(𝑐) = 0 по теореме
Ферма. Седовательно, 𝑐 = 𝑥𝑖 для какого-либо i, и равенство (1) следует. Если же c
совпадает с одной из концевых точек отрезка [𝑎, 𝑏], то равенство (1) тривиально.
21 Выпуклость и вогнутость
График дифференцируемой на интервале 𝐼 функции 𝑓(𝑥) называется выпуклым вверх
или просто выпуклым (выпуклым вниз или вогнутым), если он лежит ниже (выше)
касательной, проведенной в любой точке (см. рис ).
43
Рис. Выпуклость и вогнутость
Так как уравнение касательной в точке (𝑎, 𝑓(𝑎)), 𝑎 ∈ 𝐼 есть 𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎), то
условие выпуклости будет таким:
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎),
∀ 𝑥, 𝑎 ∈ 𝐼
(2)
Условие вогнутости будет следующим:
𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎),
∀ 𝑥, 𝑎 ∈ 𝐼
Достаточное условие выпуклости. Пусть функция 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема на
интервале 𝐼 и 𝑓′′(𝑥) ≥ 0 для любой точки 𝑥 ∈ 𝐼. Тогда график этой функции вогнут на
интервале 𝐼. Если же 𝑓′′(𝑥) ≤ 0 для любой 𝑥 ∈ 𝐼, то график функции 𝑓(𝑥) выпукл.
Доказательство. Рассмотрим лишь случай 𝑓′′(𝑥) ≥ 0. Докажем неравенство (2),
убедившись, что разность левой и правой части неотрицательна:
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥 − 𝑎) − 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) = (𝑓 ′ (𝑐) − 𝑓 ′ (𝑎))(𝑥 − 𝑎)
= 𝑓 ′′ (𝑑)(𝑐 − 𝑑)(𝑥 − 𝑎)
(3)
Здесь мы применили два раза теорему Лагранжа. Если 𝑥 > 𝑎, то 𝑐 > 𝑑. Если же 𝑥 < 𝑎, то и
𝑐 < 𝑑. В любом случае (𝑐 − 𝑑)(𝑥 − 𝑎) > 0. Тогда и все произведение (3) будет
неотрицательным.
Определение. Точка, при переходе через которую график функции меняет выпуклость,
называется точкой перегиба.
44
Рис. Точка перегиба
Другое определение точки перегиба такое: 𝑎 -- точка перегиба дифференцируемой
функции 𝑓(𝑥), если график функции 𝑓(𝑥) лежит по обе стороны от касательной (или,
иначе, переходит с одной стороны касательной на другую), проведенной к графику этой
функции в точке (𝑎, 𝑓(𝑎)) (см. рис.).
22 Асимптоты
Прямая ℓ называется асимптотой кривой γ , если ρ (P,ℓ )→ 0 при условии P→ ∞ , P∈ γ
(см. рис. ).
Асимптоты графика функции y=f(x) бывают вертикальные, т.е. задающиеся уравнением
x=a и наклонными, т.е. те прямые, которые задаются уравнением y=kx+b . Среди
наклонных асимптот выделяются горизонтальные}. Это асимптоты, параллельные оси OX.
Рис. Асимптоты
Теорема. Прямая 𝑥 = 𝑎 является вертикальной асимптотой тогда и только тогда, когда
либо lim 𝑓(𝑥) = ∞ , либо lim 𝑓(𝑥) = ∞ (см. рис. ).
𝑥→𝑎+0
𝑥→ 𝑎−0
45
Прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 будет наклонной асимптотой к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) на +∞ (на ∞ ), если и только если существуют следующие пределы
𝑘 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→ +∞
𝑓(𝑥)
,
𝑥
𝑏 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→ +∞ (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥)
Доказательство. Из 𝑀(𝑥, 𝑓(𝑥)) → ∞ и 𝑁 ∈ 𝛾 вытекает 𝑥 → +∞ . Тогда при x→ +∞ имеют
место эквивалентности:
𝜌 = |𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥 − 𝑏|𝑐𝑜𝑠 𝜑 → 0 ⇔ f(x) − kx − b → 0 ⇔ b = lim (f(x) − kx)
x→ +∞
Отсюда следует 𝑏 + 𝛼 (𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥 для некоторой б.м. α (x). Тогда
𝑏
𝑥
и 𝑘 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→ +∞ 𝑓(𝑥)/𝑥.
1
+ 𝛼 (𝑥) ⋅ 𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑥
−𝑘