Практикум(МПЭиОД) - Югорский государственный

Югорский государственный университет
Методы планирования эксперимента и
обработки данных в среде Matlab
методические указания к
выполнению практических работ
Для студентов специальности 150701.65
Ханты-Мансийск 2012
Практическое занятие №1.
«Точечные оценки экспериментальных данных»
Цель: Ознакомление с функциями Matlab (Statistics Toolbox) для вычисления
точечных оценок по выборкам,
коэффициента вариации и квантилей
распределения случайной величины.
1. Основные определения, формулы и функции Matlab
Наблюдаемая единица - действительный или условный предмет, над которым проводят серию наблюдений.
Результат наблюдения - характеристика свойств единицы, полученная
опытным путем.
Генеральная совокупность - множество всех рассматриваемых единиц.
Выборка - любое конечное подмножество генеральной совокупности,
предназначенное для непосредственных исследований.
Объем - количество единиц в выборке.
Оценивание - определение приближенного значения неизвестного параметра
генеральной совокупности по результатам наблюдений.
Статистика - функция результатов наблюдений, используемая для оценки
параметров распределения и (или) для проверки статистических гипотез.
Оценка - статистика, являющаяся основой для оценивания неизвестного
параметра распределения.
Состоятельная оценка - оценка, сходящаяся по вероятности к значению
оцениваемого параметра при безграничном возрастании объема выборки.
lim *   ,
n 
где  - оцениваемый параметр, * - оценка; n - объем выборки.
Несмещенная оценка - оценка, математическое ожидание которой равно
значению оцениваемого параметра:
 
M *   .
Эффективная оценка - несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра.


2
*
M
      min


или




2
2
*
 *
M
      M  i    ,




где *i - любая другая оценка.
Точечное оценивание - способ оценивания, заключающийся в том, что
значение оценки принимают как неизвестное значение параметра распределения.
Выборочное среднее арифметическое x - сумма значений рассматриваемой
величины, полученных по результатам испытания выборки, деленная на ее объем.
1 n
x   xi , i  1,2,..., n ,
n i 1
(2.1)
где п - объем выборки; х,- результат измерения i-й единицы.
В математической статистике доказано, что выборочное среднее арифметическое
является наилучшей (состоятельной, несмещенной и эффективной) оценкой
математического ожидания случайной величины, подчиняющейся нормальному
закону распределения.
В среде Matlab выборочное среднее арифметическое вектора значений
x размерности n  1 или 1  n вычисляется с помощью функции
mean(x) - среднее арифметическое по выборке.
Если же в качестве аргумента этой функции выступает матрица x размерности
n  m , то в результате будет сформирован вектор средних значений размерности
1  m , рассчитанных по каждому столбцу матрицы.
Пример.
>>x=[0.57, 0.39, 0.45, 0.51, 0.42];
>>mx=mean(x)
mx=
0.4680
>>x=rand(5,3)
x=
0.9961 0.0046
0.0782 0.7749
0.4427 0.8173
0.1067 0.8687
0.9619 0.0844
>>mx=mean(x)
mx =
0.5171 0.5100
S x2
0.3998
0.2599
0.8001
0.4314
0.9106
0.5604

S x2
Выборочная дисперсия
или
- сумма квадратов отклонений выборочных результатов наблюдений от их выборочного среднего арифметического в
выборке, деленная на n  1 или на n .
n
 xi  x 
S x2  i 1
или
2
n 1
(2.2)
n

S x2
S x2
 xi  M x 
2
 i 1
.
n
(2.3)

S x2
Оценки
и
являются состоятельными, несмещенными и, в случае
нормального распределения, асимптотически эффективными оценками дисперсии. Оценка (2.2) применяется для небольших выборок ( n  30 ), а (2.3)
используется когда известно математическое ожидание случайной величины X ,
определенное независимым способом.
В среде Matlab расчет выборочной дисперсии вектора значений
размерности n  1 или 1  n вычисляется с помощью функции
x
var(x) или var(x, w) - расчет выборочной дисперсии,
где w - принимает значения 0 или 1. По умолчанию w  0 и расчет
осуществляется по формуле (2.2). При w  1 выборочная дисперсия вычисляется
по формуле (2.3). При этом математическое ожидание считается равным
выборочному среднему арифметическому, что реализуется при больших размерах
выборки ( n  30 ).
Если же в качестве аргумента этой функции выступает матрица x размерности
n  m , то в результате будет сформирован вектор выборочных дисперсий
размерности 1  m , рассчитанных по каждому столбцу матрицы.
Пример.
>>x=[0.57, 0.39, 0.45, 0.51, 0.42];
>> vx=var(x)
vx =
0.0052
>> x=randn(5,3)
x=
0.1818 0.5797
0.2638 0.5499
0.1455 0.1450
0.1361 0.8530
0.8693 0.6221
>> vx=var(x)
vx =
0.0971 0.0655
0.3510
0.5132
0.4018
0.0760
0.2399
0.0277

Выборочное среднее квадратичное отклонение S x или S x - положительный квадратный корень из выборочной дисперсии:
S x   S x2
(2.4)
или

Sx  

S x2
.
(2.5)
В среде Matlab расчет выборочного среднего квадратичного отклонения
вектора значений x размерности n  1 или 1  n вычисляется с помощью
функции
std(x)
или
std(x,w)
-
расчет выборочного
отклонения,
среднего
квадратичного
где w - принимает значения 0 или 1. По умолчанию w  0 и расчет
осуществляется по формуле (2.4). При w  1 выборочное среднее квадратичное
отклонение вычисляется по формуле (2.5). При этом математическое ожидание
считается равным выборочному среднему арифметическому, что реализуется при
больших размерах выборки ( n  30 ).
Выборочный коэффициента вариации  рассчитывается по формуле
Sx
,
x
(2.6)
Sx
 100 % .
x
(2.7)

или, в процентах,

Для какого-либо значения функции нормального распределения, поскольку
 X  Mx x  Mx 

 x  Mx 
x  Mx 
  P Z 
  
 ,
F  x   P X  x   P





x
x
x
x






в качестве точечной оценки F  x  можно использовать
*
xx
 .
F  x   
S
 x 
(2.8)
В среде Matlab нормальное распределение F  x  вычисляется функцией
 x  Mx 
 ,
normcdf(x,mu,sigma)- расчет вероятности P X  x   

x


где mu - математическое ожидание, sigma - среднее квадратическое отклонение.
Размерность векторов или матриц x , mu , sigma должна быть одинаковой.
Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого
входного аргумента. Значение среднего квадратического отклонения sigma
должно быть положительным. Если необходимо вычислить функцию
стандартного нормального распределения, то полагают mu =0, а sigma =1.
Плотность нормального распределения случайной величины X с
математическим ожиданием mu и средним квадратичным отклонением sigma
можно определить с помощью функции Matlab
normpdf(x,mu,sigma) – плотность вероятности случайной величины X .
Если необходимо вычислить функцию плотности стандартного нормального
распределения, то полагают mu =0, а sigma =1.
Пример. Оценить вероятность того, что случайная величина X будет не меньше
величин 7.5, 7, 6.5, если в ходе измерений получена следующая выборка ее значений [7.86, 8.65,
8.12, 9.22, 10.43, 8.01, 9.95, 7.64].
>>x=[7.86, 8.65, 8.12, 9.22, 10.43, 8.01, 9.95, 7.64];
>> mx=mean(x)
mx =
8.7350
>> sx=std(x)
sx =
1.0323
>> P=normcdf([7.5,7,6.5], mx, sx)
P=
0.1158 0.0464 0.0152
Точечная оценка вероятности попадания случайной величины X с нормальным законом распределения в любой из заданных интервалов ( x1 , x2 )
осуществляется по формуле
x x
x x
   1
 .
P x1  X  x2    2
S
S
x 

 x 
*
(2.9)
Точечная оценка квантили x p порядка P для нормального распределения
равна
*
xp  x  z p  Sx ,
(2.10)
где z p квантиль порядка P нормированного нормального распределения с
нулевым средним арифметическим и единичной дисперсией.
Вычисления квантили x p порядка P для нормального распределения в среде
Matlab используется функция
norminv(p,mu,sigma) - расчет значения случайной величины X, при котором
функция распределения вероятности равна p.
Здесь mu - математическое ожидание, sigma - среднее квадратическое
отклонение. Если необходимо вычислить значение случайной величины со
стандартным нормальным законом распределения, то полагают mu =0, а sigma =1.
Пример. Оценить значение случайной величины, при котором значение функции
распределения не меньше 0.85, если в ходе измерений получена следующая выборка ее
значений [7.86, 8.65, 8.12, 9.22, 10.43, 8.01, 9.95, 7.64].
>> mx=mean(x)
mx =
8.7350
>> sx=std(x)
sx =
1.0323
>> zp=norminv(0.85,0,1) %вычисление квантили Z0.85 для нормированного нормального закона
распределения вероятности
zp =
1.0364
>> xp=mx+sx*zp
%вычисление квантили X0.85 для нормального закона распределения
вероятности случайной величины X с математическим ожиданием mx и
средним квадратичным отклонением sx.
xp =
9.8050
>> xp=norminv(0.85,mx,sx) %прямое вычисление X0.85 с помощью norminv
xp =
9.8050
1.2. Задание к выполнению практической работы (варианты в таблице 1)
1. Вычислите точечные оценки математического ожидания и дисперсии по
выборке случайной величины X (выборка является результатом измерений в
физическом эксперименте). Рассчитайте коэффициент вариации.
2. Постройте график функции вероятности, предполагая, что статистика
случайной величины соответствует нормальному закону распределения.
 
3. Найдите квантили x p i порядков Pi  для нормального закона распределения
случайной величины. Отобразите их в виде вертикальных пунктирных линий
от оси абсцисс до графика функции вероятности, а соответствующие им
порядки в виде горизонтальных пунктирных линий от графика до оси
ординат. Расставьте числовые метки на осях, соответствующие каждой
квантили.
4. Оцените вероятность попадания случайной величины в диапазон (x1,x2) при
последующих измерениях. Постройте график плотности распределения
вероятности и на нем цветом (или штриховкой) выделите площадь,
соответствующую вероятности попадания случайной величины в указанный
диапазон.
Таблица 1.1. Варианты задания для индивидуальной работы
X
Pi
x1
x2
1.
6.05, 8.44, 9.03, 7.69, 7.02, 6.73, 7.38
0.1, 0.25, 0.45, 0.75, 0.95
8
12
2.
12.45, 11.93, 9.94, 11.29, 12.07, 10.59
0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8
7
9
3.
50.05, 55.30, 48.90, 53.83, 57.04, 46.68
0.15, 0.35, 0.55, 0.7, 0.9
40
45
4.
34.12, 43.75, 52.84, 49.86, 37.36, 50.93
0.05, 0.30, 0.5, 0.7, 0.95
35
40
5.
0.45, 0.67, 0.54, 0.38, 0.48, 0.46, 0.52, 0.42
0.25, 0.5, 0.75, 0.85, 0.95
0.5
0.6
6.
70.49, 67.39, 69.63, 71.20, 68.28, 69.84, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8,
70.36. 68.53
0.9
60
65
7.
53.25, 59.86, 51.12, 54.06, 57.38, 56.94, 0.12, 0.35, 0.58, 0.87, 0.98
52.69
49
51
8.
94.76, 97.40, 89.63, 92.56, 98.53, 96.34, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9
95.57, 94.69
90
94
9.
23.05, 23.56, 23.07, 23.26, 23.58, 23.53, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25,
23.17, 23.83
0.35, 0.5, 0.7, 0.95
24
24.50
10.
9.45, 7.59, 8.54, 8.03, 7.93
0.1, 0.25, 0.4, 0.65, 0.9, 0.99
7.5
9
11.
40.38, 43.09, 41.85, 41.05, 42.37, 41.03, 0.25, 0.35, 0.45, 0.5, 0.7,
40.94, 42.47
0.95
43
44
12.
84.56, 83.85, 84.29, 84.89, 84.04, 83.69, 0.15, 0.25, 0.35, 0.45, 0.55,
83.96, 84.20
0.65, 0.75, 0.9
85
86
13.
326.5, 317.5, 322.4, 324.8. 320, 318.6, 0.2, 0.35, 0.5, 0.65, 0.8, 0.95
319.1
315
317
14.
-4.95, -2.06, 0.5, 1.73, -0.96, -3.17, -2.95
0.05, 0.25, 0.45, 0.65, 0.85,
0.99
0
2
15.
438, 494, 456, 464, 473, 482, 490, 446
0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9
440
450
16.
37.6, 38.1, 36.9, 37.2, 38.3, 37.5, 38.5
0.01, 0.05, 0.10, 0.3, 0.6, 0.9
36
37
17.
-17.5, -14. 6, -15.9, -15.1, -16
0.025, 0.075, 0.2, 0.45, 0.65,
0.975
-18
-17
18.
30.4, 32.9, 35.6, 31.5, 30.8, 33.7, 32.1
0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.9, 0.99
34
36
19.
-5.6, -4.7, -7.2, -6.4, -5.1, -5.9, -6.8
0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 0.99
4
4.5
20.
80, 85, 82, 79, 84, 80, 86, 81
0.05, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95
77
78
21.
0.56, 0.96, 0.1, 0.45, 0.34, 0.67
0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 0.99
0.1
1
22.
18.56, 16.45, 14.83, 15.36, 17.03
0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.75, 0.95
14
15
23.
0.5, 2.4, -0.3, 0, 1.3, 2.1, -0.1
0.05, 0.25, 0.45, 0.75, 0.9,
0.99
0.5
1.5
24.
160.5, 163.7, 169.4, 157.2, 162.4, 167.3
0.01, 0.1, 0.3, 0.5, 0.75, 0.99
150
155
25.
50.3, 68.4, 61.4, 59.6, 65.6
0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 0.95
55
60
1.3. Подготовка отчета по работе
Отчет по практической работе необходимо подготовить в электронной форме
в виде текстового файла с расширением rtf. Название файла – Work01(фамилия
студента) (Например, Work01(Иванов).rtf). Отчет должен включать следующие
данные:
1. Исходную выборку данных (результатов измерений);
2. Точечную оценку математического ожидания;
3. Точечную оценку среднего квадратичного отклонения;
4. Коэффициент вариации (в процентах);
 
5. Таблицу с двумя множествами Pi  и x Pi ;
6. График функции распределения случайной величины с изображением
множества квантилей x Pi порядка Pi ;
 
7. Вероятность попадания случайной величины в диапазон ( x1 , x2 );
8. График плотности функции распределения случайной величины с
изображением области, площадь которой равна вероятности попадания
случайной величины в диапазон ( x1 , x2 );
9. В дополнение к отчету может быть приведен сценарий расчета и
построения графиков в виде m-файла (Название m-файла должно совпадать
с названием текстового файла - отчета).
Пример отчета приведен в приложении 1.
1.4. Контрольные вопросы
1. Какие точечные оценки математического ожидания, кроме выборочного
среднего арифметического, существуют?
2. Какая оценка является несмещенной и эффективной для математического
ожидания?
3. Каков физический смысл дисперсии случайной величины?
4. Какая разница между средним квадратичным и коэффициентом вариации?
5. Если из генеральной совокупности взять несколько произвольных выборок, то
их точечные оценки будут одинаковыми?
6. В чем разница между математическим ожиданием и выборочным средним
арифметическим?
7. В чем разница при расчете среднего квадратичного отклонения, когда
математическое ожидание считается известной и неизвестной величиной?
Объясните причину.
8. Какие свойства стандартного нормального закона распределения вероятности
вам известны?
9. Дайте определение квантили распределения случайной величины порядка
P.
10.Каким образом можно построить точечную оценку квантили случайной
величины на основе нормированного нормального закона распределения?
Приложение 1. Пример отчета по работе
Отчет о выполнении практической работы №1
1. Исходная выборка данных: 58.34, 60.86, 54.12, 57.06, 57.38, 59.94, 55.69;
2. Выборочное среднее арифметическое: 57.63;
3. Выборочное среднее квадратичное отклонение: 2.34;
4. Коэффициент вариации: 4.05%;
5. Квантили распределения
Pi 
x P 
i
0.2
0.45
0.65
0.85
0.95
55.66
57.33
58.53
60.05
61.47
6. График функции распределения случайной величины
7. P52  X  54   0.052 ;
8. График плотности функции распределения случайной величины
Практическое занятие №2.
«Оценки экспериментальных данных на основе доверительных интервалов»
Цель: Ознакомление с методикой вычисления в Matlab доверительных
интервалов для математического ожидания и дисперсии, а также расчета
количества повторных наблюдений.
1. Основные определения, формулы и функции Matlab
Доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью
накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.
Доверительная вероятность (или надежность) - вероятность того, что
доверительный интервал накроет действительное значение параметра,
оцениваемого по выборочным данным.
Уровень значимости (или риск ошибки) - вероятность того, что
доверительный интервал не накроет действительное значение параметра,
оцениваемого по выборочным данным.
Доверительная вероятность P связана с уровнем значимости  следующим
образом
P 1   .
(2.1)
Оценивание с помощью доверительного интервала - способ оценки, при
котором с заданной доверительной вероятностью P 1*    *2 устанавливают


границы доверительного интервала ( 1* ,  *2 ).
Если доверительный интервал считать симметричным относительно
точечной оценки параметра  * , то его ширина 2 (  *   ) определяется
условием


P   *  1   .
(2.2)
При построении любой интервальной оценки необходимо знать
распределение той точечной оценки (случайной величины), которая берется за
основу для построения доверительного интервала.
В математической статистике доказано, что выборочное среднее арифметическое x из n независимых результатов наблюдений случайной величины
X , распределенной нормально с параметрами M x и  x2 , также подчиняется нормальному закону распределения с параметрами:
M x   M x ,
 x  
2
 x2
n
.
(2.3)
(2.4)
Доверительный интервал для математического ожидания:
а). При известной дисперсии  x2 . Если случайная величина X подчиняется
нормальному закону распределения с параметрами M  x   M x и  2  x    x2 n , то
соответствующая ей приведенная случайная величина
Z
X  M x  X  M x
,

 x 
x n
(2.5)
имеет нормированный стандартный нормальный закон распределения. Квантиль
x p порядка P такой случайной величины X определяется:
x p  M x   z p   x   M x  z p 
x
n
.
(2.6)
Вероятность того, что выполняется неравенство
x  z p2
x
n
 M x  x  z p1
x
n
будет P  P2  P1  1   .
(2.7)
При построении доверительного интервала для математического ожидания
обычно принимают P1   2 и P2  1   2 , т.е. рассматривают симметричные
границы относительно выборочного среднего арифметического. С учетом
соотношения z 2   z1 2 получаем, что вероятность выполнения неравенства
x  z1
равна
x
2
n
 M x  x  z1
x
2
n
(2.8)
P  1   2   2  1   . Половина ширины интервала
  z1
x
2
n
.
(2.9)
Если задаться полушириной интервала  , в который должно попасть
математическое ожидание случайной величины X с заданной вероятностью
P 1   , то объем выборки можно определить как
 

n   z1 2  x  .
 

2
(2.10)
б). При неизвестной дисперсии. Если  x2 неизвестна, то при построении
доверительного интервала для математического ожидания M x используют
выборочную дисперсию S x2 . В этом случае приведенная случайная величина
t
x  Mx
,
Sx n
(2.11)
где S x - выборочное среднее квадратичное отклонение. Функция распределения
случайной величины t соответствует распределению Стьюдента.
Если принять симметричные границы P1   2 и P2  1   2 при построении
Рис. 2.1. Плотность (а) и функция (б) t -распределения Стьюдента
доверительного интервала для математического ожидания, то получим, что
вероятность выполнения неравенства
x  t , m
Sx
S
 M x x  t , m x
n
n
(2.12)
равна P 1   , где t , m - так называемый коэффициент Стьюдента - значение
квантили статистики t порядка P  1   2 для числа степеней свободы m  n  1
( n - объем выборки).
В среде Matlab t -распределение F t , m вычисляется с помощью функции
tcdf(t,m), где m - число степеней свободы равное m  n  1 . Плотность
распределения f t , m  вычисляется с помощью функции tpdf(t,m).
Квантиль распределения Стьюдента t , m порядка P  1   2 для числа
степеней свободы m  n  1 вычисляется с помощью функции tinv(P,m).
Пример 1. Для выборки объемом n=5 определите квантиль с уровнями значимости
a=[0.1, 0.05, 0.01].
>>t=tinv(1-a/2,n-1)
t=
2.1318 2.7764 4.6041
Пример 2. В результате измерения получена следующая выборка случайной величины
X=[11.2, 10.6, 14.6, 11.2, 11.4, 12.0, 13.7]. Найдите доверительный интервал для
математического ожидания Mx с доверительной вероятностью 0.97, если величина дисперсии:
1). равна  x =4; 2). неизвестна. Для случая с известной дисперсией вычислите количество
измерений, при котором ширина доверительного интервала равна 1.
2
>>mx=mean(X)
mx =
12.1000
%вычисляем точечную оценку - выборочное среднее арифметическое
%находим объем выборки
>>n=length(X)
n= 7
>>Sx2=4;
>>a=1-0.97
a=
0.03
>>z=norminv(1-a/2,0,1)
%Дисперсия  x известна и равна 4
%Уровень значимости 
2
%Вычисляем квантиль стандартного нормального распределения
%порядка 1   2  0.985
z=
2.1701
>>lMx1=mx-z*(Sx2/n)^0.5 %Вычисляем левую границу доверительного интервала для случая
%когда дисперсия известна и равна 2.
lMx1 =
10.4596
>> rMx1=mx+z*(Sx2/n)^0.5 %Вычисляем правую границу доверительного интервала для случая
%когда дисперсия известна и равна 2.
rMx1 =
13.7404
%Таким образом, когда дисперсия известна и равна 4, то математическое ожидание находится в
%доверительном интервале 10.4596<MX<13.7404 с доверительной вероятностью 0.97.
>>d= z*(Sx2/n)^0.5 %Полуширина симметричного доверительного интервала
d=
1.6404
%Ширина доверительного интервала равна 2*d= 3.2809
>>n1=(z/0.5)^2*Sx2 %Вычисление количества измерений для нахождения доверительного
%интервала с шириной 1 (полушириной – 0.5) , который с вероятностью
%0.97 накрывает математическое ожидание случайной величины X
n1 =
75.3487
%Объем выборки должен быть 76
>>sx=std(X)
%Вычисление выборочного среднего квадратичного отклонения
sx =
1.4821
>>m=n-1
%Число степеней свободы
m=
6
>>t=tinv(1-a/2,m)
%Квантиль распределения Стьюдента порядка 1   2  0.985 и числом
%степеней свободы m  6
t=
2.8289
>>lMx2=mx-t*sx/n^0.5
lMx2 =
10.5153
>>rMx2=mx+t*sx/n^0.5
%Вычисляем левую границу доверительного интервала для случая
%когда дисперсия неизвестна
%Вычисляем правую границу доверительного интервала для случая
%когда дисперсия неизвестна
rMx2 =
13.6847
%Таким образом, когда дисперсия неизвестна, то доверительный интервал, который с
%вероятностью 0.97 накрывает математическое ожидание случайной величины X имеет
%следующие границы 10.5153<MX<13.6847
Как правило, действительное значение среднеквадратичной ошибки (  x )
неизвестно, а имеется только ее оценка ( S x ). В этом случае следует воспользоваться критерием Стьюдента, и необходимое число измерений определять из
соотношения
n
t2 , m  S x2

2
2
S 
 t , m   x   t2 , m   2 ,
 
2
(2.13)
где   S x  .
При расчетах по этому уравнению следует иметь в виду, что значение
критерия Стьюдента зависит не только от  , но и от числа степеней свободы m .
Последние же определяются числом измерений. В связи с этим уравнение (2.13)
следует решать методом последовательных приближений.
Доверительный интервал для дисперсии
При построении доверительного интервала для дисперсии используется
случайная величина  2 (читается: «хи-квадрат»),
2
x x
n 1
  2 S x2 ,
    i
x
i 1  x 
2
n
(2.14)
которая имеет так называемое распределение Пирсона (по имени английского
математика и биолога К. Пирсона), или  2 -распределение.
Рис. 2.3. Плотность распределения (а) и функция распределения (б)  2
 
На рисунке 2.2 приведены кривые f  2 для различных значений m . Эти
кривые ассиметричны, причем асимметрия особенно резко выражена при малых
значениях параметра m . Так при m  1 и  2  0 кривая уходит в бесконечность, а
при m  2 и  2  0 она достигает максимального значения, равного 0.5. При
2
 m  2 . При больших значениях m
m  2 кривые имеют максимум при  max
( m  30 )  2 -распределение переходит в нормальное со средним значением
 
f  2  2m  1 и дисперсией  2  1 .
В среде Matlab распределение F (  2 , m) вычисляется с помощью функции
chi2cdf(x,m), где x – вектор значений случайной величины  2 ; m - число степеней
свободы равное m  n  1 . Плотность распределения f  2 , m вычисляется с
помощью функции chi2pdf(x,m).
Квантиль распределения Пирсона  2p ,m порядка P  1   2 для числа
степеней свободы m  n  1 вычисляется с помощью функции chi2inv(P,m).
Если границы доверительного интервала симметричны
дисперсии, то эти границы можно найти из неравенства:
S x2
n 1
 2p 2
  x2  S x2
n 1
 2p1
,
относительно
(2.15)
где P1   2 , P2  1   2 , а доверительная вероятность равна P  P2  P1  1   .
Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии с доверительной вероятностью 0.93,
если получена следующая выборка случайной величины x  [236,243,239,240,237] .
>> sx2=var(x)
%Вычисление выборочной дисперсии
sx2 =
7.5000
>> m=length(x)-1
%Вычисление числа степеней свободы
m=
4
>> a=1-0.93
%Определяем уровень значимости 
a=
0.0700
>> lsx2=sx2*m/chi2inv(1-a/2,m) %Вычисляем левую границу доверительного интервала
lsx2 =
2.8999
>> rsx2=sx2*m/chi2inv(a/2,m)
%Вычисляем правую границу доверительного интервала
rsx2 =
51.5116
%Таким образом, доверительный интервал, который с вероятностью 0.93 накрывает дисперсию
X составляет 2.9   x2  51.5 , а соответственно доверительный
интервал для среднего квадратического отклонения имеет границы 1.7   x  7.2 .
случайной величины
2.2. Модель информационного канала измерительного прибора
Большинство измерительных приборов сигнал от объекта исследования
преобразуют в электрический ток или разность потенциалов, которые
наблюдаются на эквивалентном сопротивлении прибора R .
Пусть в эксперименте зафиксированы все контролируемые измеряемые
факторы, а неконтролируемые измеряемые факторы известны и постоянны. При
этом в отсутствие неконтролируемых факторов прибор должен давать
детерминированный сигнал S 0 . Однако устранить действие неконтролируемых
факторов невозможно. Поэтому для учета их влияния пользуются следующей
моделью:
 количество неконтролируемых факторов велико (в пределе бесконечно);
 вклад различных неконтролируемых факторов в сигнал прибора примерно
одинаков, а их общее воздействие, называемое шумом N , можно описать
нормальным законом распределения с математических ожиданием M N и
дисперсией  N2 .
Шум может быть аддитивным S  S 0  N и мультипликативным S  N  S 0 .
Тогда сигнал S , регистрируемый прибором - это случайная величина.
Рассмотрим прибор с аддитивным шумом в информационно-измерительном
канале. Если прибор не обладает систематической погрешностью, то
математическое ожидание шума M N считают
равным нулю. При этом
математическое ожидание сигнала M S будет равно S 0 , а среднее квадратичное
отклонение  S будет равно среднему квадратичному отклонению шума  N .
Тогда при постоянном уровне сигнала от объекта исследования около 70%
измерений прибора будет находиться в доверительном интервале:
S  S 0   N .
(2.16)
Мощность сигнала пропорциональна квадрату его интенсивности, поэтому
отношение мощностей сигнала S 0 и аддитивного шума равно
PS 0
PN

S 02
N2

M S2
 S2

M S2
 N2
.
(2.17)
Измерительные приборы часто характеризуют соотношением «сигнал-шум»
S N . На его основе выражение (2.17) можно записать в виде
2
S

   1 .
PN  N

PS 0
(2.18)
Из (2.18) видно, что пороговой чувствительностью прибора является отношение
S N  1 . При этом условии вся электрическая мощность, подводимая к прибору,
преобразуется в его измерительном тракте в шум.
2.3. Задание к выполнению практической работы (варианты в таблице 2.1)
Пусть сигнал от объекта исследования находится на постоянном уровне, а в
информационном канале измерительного прибора присутствует аддитивный шум
с нулевым математическим ожиданием.
Вариант
1. Определите доверительный интервал для сигнала S 0 и шума N при
уровнях значимости 0.1, 0.05, 0.01.
2. Постройте графики функций распределения оценки для сигнала S 0 и шума
N , и пометьте на них границы доверительных интервалов с разным
уровнем значимости.
3. Определите доверительный интервал для соотношения сигнал-шум.
4. Постройте графики зависимости ширины доверительного интервала для
оценки сигнала S 0 и шума N от количества измерений с уровнем
значимости  , считая, что выборочная дисперсия осталась неизменной.
Количество измерений n лежит в диапазоне 5  n  1000 .
Таблица 2.1. Варианты задания для индивидуальной работы
Результаты измерения физической величины S при фиксированных
контролируемых параметрах

1.
304, 328, 321, 340, 331, 317, 310
0.03
2.
17.45, 17.99, 17.28, 17.37, 17.82
0.04
3.
160.5, 163.7, 158.4, 160.9, 161.2, 165, 160.3
0.02
4.
156.6, 159.5, 217.6, 214.7, 215.0
0.01
5.
35.4, 30.4, 25.6, 35.7, 21.2
0.05
6.
190.5, 187.3, 200.5, 200.3, 172.6, 192.2, 189.1, 207.7
0.005
7.
11.3, 14.8, 13.0, 17.1, 10.3
0.08
8.
678.5, 667.9, 780.5, 682.6, 727.6, 696.6
0.07
9.
3.3,
3.0,
3.3,
3.4, 3.3
0.1
10.
-6.1, -5.5, -5.2, -4.4, -5.8, -5.5, -5.6, -6.4
0.06
11.
64.9, 71.3, 64.2, 70.2, 67.7, 71.6, 61.6
0.025
12.
561.7, 548.2, 507.7, 529.5, 548.8, 629.4
0.04
13.
11.4, 9.7, 11.5, 10.5, 10.2, 10.5
0.07
14.
-47.7, -47.3, -39.9, -40.3, -40.2, -43.7, -52.3
0.01
15.
7.3, 7.9, 7.1, 7.5, 7.3, 6.5, 7.0
0.005
16.
80.0, 90.7, 75.2, 83.3, 82.6, 85.4
0.08
17.
0.47, 0.6, 0.4, 0.33, 0.32
0.05
18.
756.6, 800.2, 804.2, 772.9
0.045
19.
0.772, 0.658, 0.541
0.07
20.
-18.22, -14.49, -18.62, -15.16, -16.58
0.02
21.
-126.04, -190.26, -156.93, -176.02
0.08
22.
3.14, 3.16, 3.33, 3.16, 3.28, 2.95
0.002
23.
258.7, 245.8, 235.0, 240.3, 235.6, 210.9, 235.2
0.035
24.
750, 718, 680, 815, 496
0.025
25.
12.9, 12.0, 10.9, 10.9, 9.4, 13.0, 10.7
0.05
2.4. Подготовка отчета по работе
Отчет по практической работе необходимо подготовить в электронной форме
в виде текстового файла с расширением rtf. Название файла – Work02(фамилия
студента) (Например, Work02(Иванов).rtf). Отчет должен включать следующие
пункты:
1. Исходные данные;
2. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения;
3. Таблица со сведения о границах доверительных интервалов для оценки
сигнала S 0 и аддитивного шума N при различных уровнях значимости;
4. График функции распределения статистики для оценки сигнала S 0 с
помеченными границами доверительных интервалов при разных уровнях
значимости.
5. График функции распределения статистики для оценки аддитивного шума
N с помеченными границами доверительных интервалов при разных
уровнях значимости.
6. Таблица со сведения о границах доверительных интервалов
соотношения «сигнал-шум» при различных уровнях значимости;
для
7. График зависимости ширины доверительного интервала для сигнала S 0 от
объема выборки.
8. График зависимости ширины доверительного интервала для аддитивного
шума N от объема выборки.
9. В дополнение к отчету может быть приведен сценарий расчета и
построения графиков в виде m-файла (Название m-файла должно совпадать
с названием текстового файла - отчета).
Пример отчета приведен в приложении 2.
1.4. Контрольные вопросы
1. В чем смысл доверительных интервалов для среднего?
2. Что такое число степеней свободы?
3. Какую статистику следует использовать для оценки доверительного
интервала для математического ожидания?
4. Какая статистика используется для оценки доверительного интервала
дисперсии?
5. Каков физический смысл дисперсии случайной величины?
6. Какие свойства распределения Стьюдента Вам известны?
7. Какие свойства распределения Пирсона Вам известны?
8. Какой статистикой следует воспользоваться для оценки доверительного
интервала для сигнала S 0 и аддитивного шума N ?
9. Как определить количество измерений для оценки сигнал S 0 c заданной
точностью?
Приложение 2. Пример отчета по работе
Отчет о выполнении практической работы №2
1. Исходная выборка: 36.50, 36.45, 36.45, 36.6, 36.6, 36.65, 36.6;
2. Точечные оценки по выборке:
 Выборочное среднее арифметическое: 36.525;
 Выборочная дисперсия: 0.1793;
 Выборочное среднее квадратическое отклонение: 0.4234;
3. Доверительные интервалы для сигнала S 0 и шума N
Уровень Доверительный интервал для S 0 Доверительный интервал для N
значимости левая граница правая граница левая граница правая граница
0.3
36.36
36.69
0.342
0.611
0.05
36.24
36.81
0.299
0.761
0.01
36.17
36.88
0.280
0.862