Частные производные высших порядков. Экстремум функции

Лекция 21
Частные производные высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных.
Производная по направлению. Градиент
П.1.Понятие о частных производных высших порядков
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные
f x ( x, y) и f y ( x, y ) тоже будут определены в той же области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
2z
 f xx ( x, y );
x 2
2z
 f yy ( x, y );
y 2
2 z
 f xy ( x, y);
xy
2 z
 f yx ( x, y);
yx
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более
высоких порядков.
Определение. Частные производные вида
2z 2z
3 z
3 z
и т.д. называются
;
;
;
xy yx xyx xyy
смешанными производными.
Теорема 21.1. Если функция f(x, y) и ее частные производные f x, f y , f xy , f yx определены и
непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:
2 f
2 f
.

xy yx
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )

d 2 z  d f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy  f x2 ( x, y )( dx) 2  2 f xy ( x, y )dxdy  f y2 ( x, y )( dy ) 2
d 3 z  f x3 ( x, y )( dx) 3  3 f x2y ( x, y )( dx) 2 dy  3 f xy2 ( x, y )dx(dy ) 2  f y3 ( x, y )( dy ) 3
…………………
n



d z   dx  dy  f ( x, y )
y 
 x
n
(21.1)
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после
возведения в нее стоящего в скобках выражения.
1
П.2.Экстремум функции нескольких переменных
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в
некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y0 )  f ( x, y)
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в
некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y 0 )  f ( x, y)
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема 21.2. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные
производные первого порядка равны нулю f x ( x0 , y 0 )  0, f y ( x0 , y 0 )  0 , либо хотя бы одна из
них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема 21.3. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные
производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
2
D( x, y)  f x2 ( x, y)  f y2 ( x, y)  f xy ( x, y)


1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если


f x 2 ( x0 , y 0 )  0 - максимум, если f x2 ( x0 , y 0 )  0 - минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
П.3. Условный экстремум
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y),
не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть
выражена через нее из уравнения связи.
Тогда u = f(x, y(x)).
du f f dy


dx x y dx
В точках экстремума:
2
du f f dy
=0


dx x y dx
(1)
Кроме того:
  dy

0
x y dx
Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).
(2)
 f f dy 
   dy 
 
  
  0


x

y
dx

x

y
dx




   f
  dy
 f
0
        
x   y
y  dx
 x
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так,
чтобы выполнялась система трех уравнений:

 f
 x   x  0


 f
0
 

y

y

( x, y )  0


Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума.
Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек
требуется их дополнительное исследование на экстремум.
Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.
Пример 21.1. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0
u  xy  (2 x  3 y  5)
u
u
 y  2;
 x  3;
x
y
 y  2  0

 x  3  0
2 x  3 y  5  0

5
;
6
5 5
Таким образом, функция имеет экстремум в точке  ;  .
4 6
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется
также методом множителей Лагранжа.
Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно
условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

5
;
12
x
5
;
4
y
3
П.4. Производная по направлению
Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z).
Проведем через точки М и М1 вектор S . Углы наклона этого вектора к направлению
координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих углов называются
направляющими косинусами вектора S .
Расстояние между точками М и М1 на векторе S обозначим S.
S  x 2  y 2  z 2
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на Рисунке 1:
Рисунок 1.
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные
производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:
u 
u
u
u
x 
y 
z  1 x   2 y   3 z ,
x
y
z
где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при S  0 .
Из геометрических соображений очевидно:
x
 cos ;
S
y
 cos ;
S
z
 cos ;
S
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим
образом:
4
u u
u
u

cos   cos   cos   1 cos    2 cos    2 cos  ;
S x
y
z
u
u u
u
u
 lim

cos   cos   cos 
s S 0 S x
y
z
(21.2)
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора S .
Из этого уравнения следует следующее определение:
Определение. Предел
lim
S  0
u
S
называется производной функции u(x, y, z) по
направлению вектора S в точке с координатами ( x, y, z).
Поясним значение изложенных выше равенств на примере.
Пример 21.2. Вычислить производную функции
направлению вектора АВ . В (3, 0).
z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
Решение. Прежде всего, необходимо определить координаты вектора АВ .


АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i  2 j .
Далее определяем модуль этого вектора:
AB = 8  2 2
Находим частные производные функции z в общем виде:
z
z
 2x  y 2 ;
 2 yx;
x
y
z
z
Значения этих величин в точке А :
 6;
 4;
x
y
Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ
преобразования:

AB
2 
2 
 i cos   j cos  
i
j
S=
2 2
2 2
AB
производим следующие
За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора,
т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :
2
2
cos =
;
cos = 2
2
5
z
2
2
 6
 4
 2 – значение производной заданной функции по
s
2
2
направлению вектора АВ .
Окончательно получаем:
П.5.Градиент
Определение. Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый
вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей
точке
u u u
,
;
;
x
y
z
то этот вектор называется градиентом функции u.
gradu 
u  u  u 
i
j
k
x
dy
z
(21.3)
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
П.6. Связь градиента с производной по направлению
Теорема 21.4. Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
u  u  u 
gradu 
i
j
k.
x
dy
z
u
Тогда производная
по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора gradu
s
на вектор S .



Доказательство: Рассмотрим единичный вектор S  i cos   j cos   k cos  и некоторую
функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов S и gradu.
 u
u
u
gradu  S 
cos   cos   cos 
x
y
z
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по
направлению s.
 u
Т.е. gradu  S 
. Если угол между векторами gradu и S обозначить через , то
s
скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус
угла между ними. С учетом того, что вектор S единичный, т.е. его модуль равен единице, можно
записать:
u
gradu  cos  
s
Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на
вектор S .
6
Теорема доказана.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент –
вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в
какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент
давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления, градиент перпендикулярен поверхности
уровня функции.
7