Обзор - Высшая школа экономики

Вычислительная сложность правил коллективного выбора
и манипулирования
Ю. А. Веселова
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ);
Институт проблем управления РАН, Москва
e-mail: yul-r@mail.ru
Во многих современных системах управления, в функции которых входит
согласование работы различных подсистем, встречается задача агрегирования. Ее частные
формулировки
могут
быть
разнообразны,
а
под
элементами
системы
могут
подразумеваться как частные лица, организации, так и некоторые модули компьютерной
программы. Тем не менее, все ситуации, в которых на основе множества индивидуальных
предпочтений
требуется
построить
некоторое
коллективное
ранжирование
или
определить выбор из множества альтернатив, могут быть описаны в терминах
голосования, а для решения подобных задач применяются различные правила
коллективного выбора.
На сегодняшний день существует множество процедур, и каждая из них
характеризуется набором некоторых свойств, от которых зависит удобство ее применения
в различных практических ситуациях. Одна из таких характеристик – вычислительная
сложность правила, которая начинает играть важную роль при обработке больших
объемов данных.
Другим
свойством
процедуры
агрегирования
является
подверженность
манипулированию со стороны избирателей: избиратели, действуя стратегически, могут
намеренно исказить свои предпочтения с целью добиться более выгодного для них
результата голосования. Манипулируемость является нежелательным свойством, так как в
результате сообщения неискренних предпочтений избирателями исход голосования может
сильно отличаться от истинного и быть для общества менее предпочтительным.
Первый теоретический результат, с которого началось изучение манипулируемости
правил голосования с помощью математического моделирования, был получен в работах
[1] и [2]. Доказанная авторами теорема утверждает, что любая недиктаторская процедура,
в которой участвуют хотя бы три кандидата, является манипулируемой. При этом
достаточно уже одного исхода, при котором какому-либо избирателю (или коалиции
избирателей)
было
бы
выгодно
исказить
свои
предпочтения,
чтобы
правило
коллективного выбора было подвержено манипулированию.
В связи с этим возникает вопрос о степени манипулируемости правил голосования.
Один из подходов к решению этой задачи – вероятностный, – рассматривает степень
манипулируемости как вероятность возникновения такой ситуации, при которой
возможно манипулирование [3]. В работе [4] был поставлен следующий вопрос: пусть
многие правила допускают возможность стратегического поведения, но насколько
трудоемка эта задача? Предположим, что две процедуры манипулируемы в одинаковом
числе случаев. Однако для того, чтобы выбрать стратегию для манипулирования в первой
процедуре, нужно составить бюллетень по определенному правилу. А для другой нужно
осуществить перебор всех возможных вариантов расстановки кандидатов в бюллетене,
потому что неизвестно, как тот или иной вариант повлияет на результат голосования.
Так,
правила
голосования,
для
манипулирования
в
которых
существует
полиномиальный алгоритм поиска стратегии, стали считать легко манипулируемыми. А те
правила, где поиск манипулирующей стратегии принадлежит классу NP-полных задач –
трудно
манипулируемыми.
Однако
определение
класса
сложности
для
правил
голосования зависит от конкретной постановки задачи манипулирования. Возможны
следующие варианты предпосылок модели:
1.
Индивидуальное
манипулирование
или
коалиционное?
Индивидуальное
манипулирование осуществляется одним агентом, который решает, какое предпочтение
следует заявить процедуре, чтобы тем самым изменить исход голосования в лучшую для
него сторону. При коалиционном манипулировании аналогично действует группа
(коалиция) из нескольких агентов.
2.
Конструктивное
определить,
что
или
является
деструктивное
целью
манипулирование?
манипулирования.
При
Здесь
следует
конструктивном
манипулировании цель – это добиться победы любимого кандидата. Деструктивное
манипулирование направлено на то, чтобы избежать победы определенного кандидата.
3. Полная или неполная информация? Манипулирование результатом голосования
имеет смысл только в том случае, когда избирателю заранее известно хотя бы что-то о
предпочтениях других избирателей. И чем большим объемом информации он располагает,
тем легче рассчитать то, как следует ему проголосовать.
4. Одинаковый ли вес имеют голоса избирателей? Хотя равноправие избирателей
на выборах является желательным свойством процедуры голосования, на практике
довольно часто встречаются ситуации, когда вес голосов избирателей неодинаков,
например, если один избиратель представляет на голосовании интересы некоторой группы
2
людей. Другой случай – голосование среди владельцев акций некоторой компании, где вес
голоса акционера пропорционален доле принадлежащих ему акций.
5. Ограничено ли множество кандидатов? Основополагающие результаты в области
вычислительной сложности манипулирования получены в предположении, что множество
кандидатов, как и множество избирателей, может быть неограниченно большим. Однако,
как впервые показано в исследовании [5], при индивидуальном манипулировании без
весов сложность экспоненциальна только по числу кандидатов и полиномиальна по числу
избирателей.
В данной работе мы рассматриваем все эти аспекты по основным публикациям с
целью определить границы уже исследованной области. Так как низкая вычислительная
сложность самой процедуры является ее положительным качеством, а низкая сложность
манипулирования – отрицательным, то основная задача состоит в выявлении тех правил,
для которых победитель определяется достаточно просто, а манипулирования как можно
более трудно. Мы исследуем вычислительную сложность некоторых позиционных правил
и правил, использующих мажоритарное отношение, а также сложность индивидуального
манипулирования при наличии полной и неполной информации.
Литература
1.
Gibbard A. Manipulation of voting schemes: a general result //Econometrica:
journal of the Econometric Society. – 1973. – С. 587-601.
2.
Satterthwaite M. A. Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and
correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions //Journal of
economic theory. – 1975. – Т. 10. – №. 2. – С. 187-217.
3.
Алескеров Ф. Т. и др. Оценка степени манипулируемости известных схем
агрегирования в условиях множественного выбора //Журнал новой экономической
ассоциации. – 2009. – №. 1-2. – С. 37-61.
4.
Bartholdi III J. J., Tovey C. A., Trick M. A. The computational difficulty of
manipulating an election //Social Choice and Welfare. – 1989. – Т. 6. – №. 3. – С. 227-241.
5.
Conitzer V., Sandholm T., Lang J. When are elections with few candidates hard to
manipulate? //Journal of the ACM (JACM). – 2007. – Т. 54. – №. 3. – С. 14.
3